transformada de laplace

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ANALISIS DE SISTEMAS Y SEÑALES
TAREA . TRANSFORMADAS LAPLACE, FOURIER, Z
ALUMNOS:
CRUZ NAVARRO JESUS
ALBARRÁN DÍAZ KARLA
GRUPO: 04
SEMESTRE: 2008-2
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Dada una función x(t) de la variable t de tiempo continuo, la transformada de
Laplace bilateral de x(t), denotada por X(s), es una función de la variable compleja s=
σ+jω definida por:
La transformada de Laplace X(s) es una función compleja de la variable compleja s. En
otras palabras dado un número complejo s, el valor X(s) de la transformada en el punto
s es, en general, un número complejo.
La transformada de Laplace unilateral de x (t), que también se denota por X(s) se define
como
En esta ultima ecuación se ve que la transformada unilateral depende sólo de los
valores de la señal para x(t)>0. Esta es la razón por la que la definición anterior se
denomina unilateral.
FUNCIÓN ESCALÓN
Supóngase que x(t) es l función escalón unitario u(t). La transformada de Laplace U(s)
de u(t) está dada por:
Ahora, exp(-st) evaluada en t=
se define mediante
Al poner s= σ+jω en el lado derecho de la ecuación anterior, se tiene:
=
El límite que se presenta existe si y solo sí σ>0, lo que equivale a que Re s>0. Si Re
s>0, el límite que aparece es igual a cero y la expresión para U(s) se reduce a
=
También se tiene que
Para todos los números reales σ tales que σ>0. Así que la región de convergencia
absoluta de U(s) es el conjunto de todos los números complejos s tales que Re s>0
FUNCIÓN IMPULSO
Sea x(t) el impulso unitario δ(t). La transformada de Laplace X(s) esta dada por
El límite inferior de la integral que se ve en la definición anterior se debe tomar a 0-,
puesto que el pulso δ(t) no esta definido en t=0. Como δ(t)=0 para todo t 0, se tiene
Por tanto,
Puesto que
;
para todo los números reales σ
La región de convergencia absoluta de la transformada de Laplace de δ(t) es todo el
plano complejo. En consecuencia, X(s) existe y es igual a 1 para todos los números
complejos s.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ahora sea
, donde b es un número real arbitrario. La transformada de
Laplace X(s) esta dada por
Para evaluar el lado derecho de la ecuación anterior en t= , se tiene
exp[-(s+b)
]=
Al poner s= σ+jω en el lado derecho de la ecuación se tiene:
]=
Este límite existe si solo sí σ+b>0, en cuyo caso el límite es igual a cero y la
transformad de Laplace X(s) es
La región de convergencia absoluta de la transformada X(s) dada por ese conjunto de
todos los números complejos s tales que Re s>-b.
FUNCIÓN RAMPA
Sea
x (t)=0;
t<0
x (t)=At ; t>0
Aplicando la definición de transformada de Laplace, e integrando por partes tenemos:
=
Y finalmente:
X(s)=
FUNCIÓN SENOIDAL
Sea
x (t) =
Utilizando la formula de Euler para cos ω0 :
Cada una de estas integrales converge si y solo sí Re s>0, para este caso:
con Re s>0
con Re s>0
con Re s>0
FUNCIÓN PULSO
Consideremos la función pulso:
Su transformada de Laplace se obtiene aplicando la definición dada al inicio:
;
Para toda s.
TRANSFORMADA DE FOURIER
En nuestro estudio de la integral de Fourier compleja para una función , vimos
que los coeficientes de Fourier para esta integral, están dados por:
∞
F { f ( t )}( w ) =
∫ f (t )e
jωt
dt
−∞
La integral impropia que aparece en estos coeficientes (conocida como la
transformada de Fourier de ), resulta ser de gran importancia en el análisis de Fourier y
€
en la múltiples aplicaciones
de esta rama de la ciencia. Solo por mencionar algunas,
digamos que la transformada de Fourier se aplica en el estudio de señales y sistemas,
así como en óptica; aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que se
usan para tomar una tomografía, también surge en las técnicas analíticas como la
resonancia magnética nuclear, y en general, en todo tipo de instrumentación científica
que se use para el análisis y la presentación de datos.
FUNCIÓN ESCALÓN
La funcion escalon se define como:
1,t ≥ 0
u( t ) = 
0,t < 0
Por tanto, la transformada de Fourier se obtiene como :
€
x(w) =
∫
∞
0
u(t)e− jtω dt
∞
− jtω
∫ 1e dt
x(w) = ∫ e dt
lim ∫ e dt
x(w) =
0
∞ − jtω
0
€
t
€
t →∞
− jtω
0
x(w) = −
€
1
jω
€
€
FUNCIÓN IMPULSO
La funcion impulso se define como:
1,t = 0
δ(t) = 
0,t ≠ 0
La transformada de Fourier no es transformable porque no es absolutamente integrable,
pero por definición se sabe que:
€
FT
δ (t)↔1
€
FUNCIÓN EXPONENCIAL
La señal esta definida como:
x(t) = e at
La transformada se evalua como:
€
€
x( jw) =
∫
∞ at − jtω
0
e e
dt
x( jw) = −
∞
1
e−( a + jw) t
0
a + jw
Esto es
€
1
a + jw
x( jw) =
Ahora, para a<0 la funcion sera exponencial decreciente y para a>0 la funcion sera
€
exponencial creciente.
FUNCIÓN RAMPA
Sea
(t),t ≥ 0
u( t ) = 
 0,t < 0
La transformada es :
€
x(w) =
∫
∞
0
te− jtω dt
Como es una integral impropia se adiciona un limite.
€
b
x(w) = lim ∫ 0 te− jtω dt
b →∞
Como el limite no existe la funcion rampa no tiene transformada de Fourier.
€
FUNCIÓN SENOIDAL
Esta funcion es de la forma:
f (t) = sen(ωt)
Aplicando la transformación se obtiene:
€
€
f (ω ) =
∫
∞
−∞
sen(ωt)e− jωt dt
Usando las formulas de Euler y sustituyendo
 e jωt − e− jωt  − jωt
∫−∞ 2 j e dt
1 ∞ jωt − jωt − jωt
f (ω ) =
∫ (e − e )e dt
2 j −∞
1 ∞ − j(ω −ω 0 )t − j(ω −ω 0 )t
f (ω ) =
−e
)dt
∫ (e
2 j −∞
f (ω ) =
€
€
f (ω ) =
€
∞
2π
[δ (ω − ω 0 ) − δ(ω − ω 0 )]
2j
€
FUNCIÓN PULSO
0 si
t < −a

u( t ) =  k si −a ≤ t ≤ a
0 si
t>a

Se aplica la formula de Fourier
€
F(ω ) =
∫
a
ke− jωt dt
−a
Se completa el diferencial y se integra
€
a
k − jωt
F(ω ) = −
e
jω
−a
1
F(ω ) = −
(e− jωt − e jωt )
jω
[
]
€
Usando las formulas de Euler para seno y coseno
€
1
F(ω ) = −
[cos(ωa) − jsen(ωa) − cos(ωa) − jsen(ωa)]
jω
F(ω ) =
€
€
2ksen(ωa)
ω
TRANSFORMADA Z
La Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del
tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el
dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que
se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más
adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada
en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace
a las señales de tiempo continuo.
en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z
unilateral se define como:
∞
X(z) = Z [ x(k)] = ∑ x(k)z−k
k= 0
En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En
este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ;
es decir que converge "hacia afuera".
€
FUNCIÓN ESCALÓN
La funcion escalon se define como:
1,t ≥ 0
u( t ) = 
0,t < 0
y aplicando la formula de transformada z
€
∞
X(z) = Z [ x(1)] = ∑ z−k
k= 0
1
1
1
X(z) = Z [ x(1)] = 0 + −1 + −2 + … =
z
z
z
€
esta serie geometrica converge en el siguiente termino:
€
X(z) = Z [ u(t)] =
€
1
z
=
−1
1− z
z −1
FUNCIÓN IMPULSO
La funcion impulso (o delta de Dirac) se define como:
1,t = 0
δ(t) = 
0,t ≠ 0
la transformada solo existe en t=0 asi que:
€
X(z) = Z [δ (t)] =
1
=1
z0
€
FUNCIÓN EXPONENCIAL
La señal esta definida como:
x(t) = e at
La Transformada Z se evalua como:
€
∞
X(z) = Z [ x(kT)] = ∑ e akT z−k
k= 0
X(z) = 1+ e−aT z−1 + e−2aT z−2 + e−3aT z−3 + … =
se identifica como una serie geometrica y se evalua
€€
X(z) =
1
z − e−aT
Si a >0 entonces la funcion sera creciente, si a<o entonces sera decreciente.
€
FUNCIÓN RAMPA
Sea
 kT
x(kT)
0
La transformada es :
€
si
k ≥0
si
k <0
∞
X(z) = Z [ x(kT)] = ∑ kTz−k
k= 0
X(z) = T(z−1 + 2z−2 + 3z−3 + … =
Esta es otra serie geometrica que converge en:
€
€
X(z) =
€
Tz
(z −1) 2