Números. Conjuntos numéricos

Contenidos: Conjuntos numéricos
Nivel: 1° Medio
Números. Conjuntos numéricos
1. Conjuntos numéricos
Los conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como
en Enseñanza Media, se van ampliando a medida que se necesita resolver ciertas
problemáticas de la vida diaria.
1.1. Números naturales (N)
Son números enteros positivos que sirven para contar.
Su primer elemento es el 1 y son infinitos. De los números naturales se
pueden formar subconjuntos, tales como:
a)
b)
c)
d)
pares e impares
neutro multiplicativo, primos y compuestos
múltiplos de un determinado número
divisores de un determinado número
Observa que los subconjuntos a) y b) no tienen elementos en común y si se unen
ambos, generan el conjunto de los naturales completo.
1.2. Números enteros (Z)
Este conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero. Se necesitan
para resolver algunas problemáticas como:
– años antes de Cristo, año cero (nacimiento de Jesús) y años después de Cristo
– temperaturas bajo cero, cero grados y temperaturas sobre cero.
El orden en la recta numérica
es:
Cada natural tiene un
opuesto (inverso
aditivo). Por ejemplo, op(-3) = 3 y op (7)= -7.
Además, op (op ( -12 )) = -12, pues cambia dos veces de signo, quedando igual al
original.
Se define valor absoluto de un número entero como la distancia desde ese número al
cero. Por ejemplo, valor absoluto de -5 es 5 (se anota |-5| = 5) y valor absoluto de 16
es16, pues se debe considerar el valor positivo del entero.
1.3. Números racionales (Q)
Los cocientes de dos números enteros, resultados de la división, generan números
enteros o fraccionarios. El conjunto de los racionales es denso porque entre dos
números racionales siempre podemos encontrar otro número racional. Además es
ordenado, es decir, si se tienen dos números racionales p y q, entonces se puede
determinar que: p< q o p > q o p = q .
Los números racionales se expresan como cociente entre un número entero y un
número natural,
Definición:
a se llama numerador y b denominador.
O bien:
Recuerda que el denominador debe ser positivo distinto de 0:
Ejemplo:
- Los resultados fraccionarios de diferentes problemas se deben expresar con el
denominador en forma natural ( entero positivo distinto de cero)
-
Los números naturales y los enteros se expresan como fracción con denominador 1 :
-
Los números decimales
-
Los números decimales infinitos
-
Los números decimales infinitos
finitos:
periódicos:
semiperiódicos:
1.4. Números irracionales (Q’)
Se caracterizan por ser números con infinitas cifras decimales sin periodicidad. No se
pueden expresar como cociente entre dos números enteros.
Ejemplos:
Todas las raíces inexactas son números irracionales.
π = Es el número de veces que el diámetro de una circunferencia cabe en el perímetro
de dicha circunferencia. Se aproxima a 3,14
-
Se pueden inventar decimales infinitos no periódicos mediante azar o secuencias
numéricas.
El número e se aplica a problemas de intereses y de crecimiento exponencial.
Î e = 2,71828182845904523… se aproxima a 2,7
1.5. Números reales (R)
Es el conjunto de números racionales e irracionales.
2. Operatoria en Q
2.1. Adición y sustracción de racionales en notación de fracciones
2.2. Multiplicación y división de fracciones
2.3. Adición y sustracción de decimales
Se deben colocar las comas en columna, alineando los decimales según la ubicación
de cada cifra. (Décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc.) Al realizar la
sustracción, debes restar el número mayor en valor absoluto menos el menor en valor
absoluto, y la diferencia tendrá el signo del número mayor.
0,23 + 1,4
12,3 – 9,75
4,25 – 15,8
=
=
=
2.4. Multiplicación de decimales
Se multiplican tal como si fueran números enteros, y el producto debe tener tantas
cifras decimales como decimales tengan ambos factores:
0,2· 1,54 = 0,308
pues 2· 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54
tiene dos,
por lo tanto el producto debe tener tres decimales.
2.5. División de decimales
Se deben amplificar los números decimales por 10, 100, 1000, 10000, etc., según se
necesite para que el divisor sea un número entero. Esto implica que: se corre la coma
hacia la derecha la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como en el
divisor, de modo que el divisor sea un número entero o bien, ambos se conviertan en
números enteros. Posteriormente, se efectúa la división entre estos, completando su
cociente con decimales si es necesario.
Ejemplo:
0,02 : 0,5 = Amplificamos por 100, es decir, corremos la coma dos lugares a la
derecha y se divide:
2 : 50 = 0,04
3. Comparación entre racionales
3.1. Orden de decimales
Al ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifras decimales y
comparar como si fueran enteros.
Agregamos cifras decimales para poder comparar:
x = 0,23 | 0000...
y = 0,23 | 2323...
z = 0,23 | 3333...
Por lo tanto: x < y < z
3.2. Orden de fracciones
Para comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente y
comparar los productos resultantes:
Ordenar:
21
Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3· 7 = 21 y
21 > 20 implica
20
5· 4 = 20
que:
Si las fracciones
son negativas, recuerda que el numerador es negativo y
los denominadores deben ser siempre positivos. Entonces, al multiplicar cruzado se
respetará el mismo orden de los productos.
Si se tienen que comparar más de dos fracciones, se igualan los denominadores al
mínimo común múltiplo entre ellos, entonces el orden de las fracciones con el mismo
denominador será el correspondiente al orden de los numeradores.
Ejemplo:
Ordenar de menor a
mayor:
El m.c.m entre los denominadores es 60.
Amplificando las
Se deduce
fracciones:
que: por lo tanto: c < b < a
También se pueden transformar las fracciones a decimal y se ordenan como
decimales.
4. Números complejos
En cursos superiores conocerás otros números que corresponden a números
imaginarios y reales.
Sitios sugeridos
En la siguiente dirección encontrarás una presentación que trata de los números
reales (clasificación) y conocimientos básicos de potencias:
Sitios sugeridos
www.monografias.com/Matematicas/index.shtml