Probando Validez - Logic in Action

Lógica en Acción
Capı́tulo 8: Demostrando válidaez
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La idea de las tablas semánticas
La idea de las tablas semánticas (1)
ϕ1 , . . . , ϕn
ψ
Recordemos que:
una inferencia es válida
si y solo si
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La idea de las tablas semánticas
La idea de las tablas semánticas (1)
ϕ1 , . . . , ϕn
ψ
Recordemos que:
una inferencia es válida
si y solo si
la conclusión ψ es verdadera
en todas las situaciones en las cuales
todas las premisas ϕ1 , . . . , ϕn son verdaderas.
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La idea de las tablas semánticas
La idea de las tablas semánticas (1)
ϕ1 , . . . , ϕn
ψ
Es decir:
una inferencia es válida
si y solo si
(http://www.logicinaction.org/)
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La idea de las tablas semánticas
La idea de las tablas semánticas (1)
ϕ1 , . . . , ϕn
ψ
Es decir:
una inferencia es válida
si y solo si
no existen situaciones en las cuales
todas las premisas ϕ1 , . . . , ϕn son verdaderas
pero la conclusión ψ es falsa.
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La idea de las tablas semánticas
La idea de las tablas semánticas (2)
Si podemos encontrar una situación en la cual todas las
premisas ϕ1 , . . . , ϕn son verdaderas pero la conclusión ψ es
falsa, entonces la inferencia no es válida.
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La idea de las tablas semánticas
La idea de las tablas semánticas (2)
Si podemos encontrar una situación en la cual todas las
premisas ϕ1 , . . . , ϕn son verdaderas pero la conclusión ψ es
falsa, entonces la inferencia no es válida.
¡Busquemos dichas situaciones!
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Empecemos con algo mas sencillo
ϕ
Recordemos que:
una fórmula es válida
si y solo si
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Empecemos con algo mas sencillo
ϕ
Recordemos que:
una fórmula es válida
si y solo si
es verdadera en cualquier situación.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Empecemos con algo mas sencillo
ϕ
Es decir:
una fórmula es válida
si y solo si
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Empecemos con algo mas sencillo
ϕ
Es decir:
una fórmula es válida
si y solo si
no existen situaciones en las cuales ϕ es falsa.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Un caso simple
¿Es p ∨ q válida?
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Un caso simple
¿Es p ∨ q válida? ¿Puede p ∨ q ser falsa?
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Un caso simple
¿Es p ∨ q válida? ¿Puede p ∨ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Un caso simple
¿Es p ∨ q válida? ¿Puede p ∨ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∨q
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Un caso simple
¿Es p ∨ q válida? ¿Puede p ∨ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∨q
◦ p, q
(http://www.logicinaction.org/)
5 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
Un caso simple
¿Es p ∨ q válida? ¿Puede p ∨ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∨q
◦ p, q
¡Sı́!
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Un caso simple
¿Es p ∨ q válida? ¿Puede p ∨ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∨q
◦ p, q
¡Sı́! Si p y q son ambas falsas, p ∨ q es falsa.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Un caso simple
¿Es p ∨ q válida? ¿Puede p ∨ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∨q
◦ p, q
¡Sı́! Si p y q son ambas falsas, p ∨ q es falsa.
Por lo tanto, p ∨ q no es válida.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida?
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida? ¿Puede ¬(p ∧ q) ser falsa?
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6 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida? ¿Puede ¬(p ∧ q) ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
(http://www.logicinaction.org/)
6 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida? ¿Puede ¬(p ∧ q) ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ ¬(p ∧ q)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida? ¿Puede ¬(p ∧ q) ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ ¬(p ∧ q)
p∧q ◦
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida? ¿Puede ¬(p ∧ q) ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ ¬(p ∧ q)
p∧q ◦
p, q ◦
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida? ¿Puede ¬(p ∧ q) ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ ¬(p ∧ q)
p∧q ◦
p, q ◦
¡Sı́!
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida? ¿Puede ¬(p ∧ q) ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ ¬(p ∧ q)
p∧q ◦
p, q ◦
¡Sı́! Si p y q son ambas verdaderas, ¬(p ∧ q) es falsa.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Otro caso simple
¿Es ¬(p ∧ q) válida? ¿Puede ¬(p ∧ q) ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ ¬(p ∧ q)
p∧q ◦
p, q ◦
¡Sı́! Si p y q son ambas verdaderas, ¬(p ∧ q) es falsa.
Por lo tanto, ¬(p ∧ q) no es válida.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Y uno mas
¿Es p ∧ q válida?
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Y uno mas
¿Es p ∧ q válida? ¿Puede p ∧ q ser falsa?
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Y uno mas
¿Es p ∧ q válida? ¿Puede p ∧ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
(http://www.logicinaction.org/)
7 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
Y uno mas
¿Es p ∧ q válida? ¿Puede p ∧ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∧q
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Y uno mas
¿Es p ∧ q válida? ¿Puede p ∧ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∧q
◦ p
(http://www.logicinaction.org/)
◦ q
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Y uno mas
¿Es p ∧ q válida? ¿Puede p ∧ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∧q
◦ p
◦ q
¡Sı́! De hecho, hay dos formas de hacer p ∧ q falsa.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Y uno mas
¿Es p ∧ q válida? ¿Puede p ∧ q ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p∧q
◦ p
◦ q
¡Sı́! De hecho, hay dos formas de hacer p ∧ q falsa.
Por lo tanto, p ∧ q no es válida.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida?
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida? ¿Puede p ∨ ¬p ser falsa?
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida? ¿Puede p ∨ ¬p ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
(http://www.logicinaction.org/)
8 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida? ¿Puede p ∨ ¬p ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p ∨ ¬p
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida? ¿Puede p ∨ ¬p ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p ∨ ¬p
◦ p, ¬p
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida? ¿Puede p ∨ ¬p ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p ∨ ¬p
◦ p, ¬p
p ◦ p
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida? ¿Puede p ∨ ¬p ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p ∨ ¬p
◦ p, ¬p
p ◦ p
×
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida? ¿Puede p ∨ ¬p ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p ∨ ¬p
◦ p, ¬p
p ◦ p
×
¡No! p ∨ ¬p no puede ser falsa.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Finalmente
¿Es p ∨ ¬p válida? ¿Puede p ∨ ¬p ser falsa? Si es el caso, ¿cómo?
◦ p ∨ ¬p
◦ p, ¬p
p ◦ p
×
¡No! p ∨ ¬p no puede ser falsa.
Por lo tanto, p ∨ ¬p es válida.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
(http://www.logicinaction.org/)
¬ϕ ◦
9 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ϕ
(http://www.logicinaction.org/)
9 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ¬ϕ
◦ ϕ
(http://www.logicinaction.org/)
9 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ϕ
(http://www.logicinaction.org/)
◦ ¬ϕ
ϕ ◦
9 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ϕ
◦ ¬ϕ
ϕ ◦
∧
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ϕ
◦ ¬ϕ
ϕ ◦
ϕ∧ψ ◦
∧
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ϕ
◦ ¬ϕ
ϕ ◦
ϕ∧ψ ◦
∧
ϕ, ψ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ϕ
ϕ∧ψ ◦
◦ ¬ϕ
ϕ ◦
◦ ϕ∧ψ
∧
ϕ, ψ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ¬ϕ
◦ ϕ
ϕ ◦
ϕ∧ψ ◦
◦ ϕ∧ψ
∧
ϕ, ψ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
◦ ϕ
◦ ψ
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ¬ϕ
◦ ϕ
ϕ ◦
ϕ∧ψ ◦
◦ ϕ∧ψ
∧
ϕ, ψ ◦
◦ ϕ
◦ ψ
∨
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬
¬ϕ ◦
◦ ¬ϕ
◦ ϕ
ϕ ◦
ϕ∧ψ ◦
◦ ϕ∧ψ
∧
ϕ, ψ ◦
◦ ϕ
◦ ψ
ϕ∨ψ ◦
∨
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬ϕ ◦
¬
◦ ¬ϕ
◦ ϕ
ϕ ◦
ϕ∧ψ ◦
◦ ϕ∧ψ
∧
◦ ϕ
ϕ, ψ ◦
◦ ψ
ϕ∨ψ ◦
∨
ϕ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
ψ ◦
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬ϕ ◦
¬
◦ ¬ϕ
◦ ϕ
ϕ ◦
ϕ∧ψ ◦
◦ ϕ∧ψ
∧
◦ ϕ
ϕ, ψ ◦
ϕ∨ψ ◦
◦ ψ
◦ ϕ∨ψ
∨
ϕ ◦
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ψ ◦
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (1)
¬ϕ ◦
¬
◦ ¬ϕ
◦ ϕ
ϕ ◦
ϕ∧ψ ◦
◦ ϕ∧ψ
∧
◦ ϕ
ϕ, ψ ◦
ϕ∨ψ ◦
◦ ψ
◦ ϕ∨ψ
∨
ϕ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
ψ ◦
◦ ϕ, ψ
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
10 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
◦ ϕ
(http://www.logicinaction.org/)
ψ ◦
10 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
◦ ϕ
(http://www.logicinaction.org/)
◦ ϕ→ψ
ψ ◦
10 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
◦ ϕ
(http://www.logicinaction.org/)
◦ ϕ→ψ
ψ ◦
ϕ ◦ ψ
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
◦ ϕ
◦ ϕ→ψ
ψ ◦
ϕ ◦ ψ
↔
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
◦ ϕ
↔
◦ ϕ→ψ
ψ ◦
ϕ ◦ ψ
ϕ↔ψ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
◦ ϕ
↔
◦ ϕ→ψ
ψ ◦
ϕ ◦ ψ
ϕ↔ψ ◦
ϕ, ψ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
◦ ϕ, ψ
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
◦ ϕ
↔
◦ ϕ→ψ
ψ ◦
ϕ↔ψ ◦
ϕ, ψ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
ϕ ◦ ψ
◦ ϕ↔ψ
◦ ϕ, ψ
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Tablas semánticas para lógica proposicional
En general (2)
→
ϕ→ψ ◦
◦ ϕ
↔
◦ ϕ→ψ
ψ ◦
ϕ ◦ ψ
ϕ↔ψ ◦
ϕ, ψ ◦
(http://www.logicinaction.org/)
◦ ϕ↔ψ
◦ ϕ, ψ
ϕ ◦ ψ
ψ ◦ ϕ
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Terminologı́a
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Terminologı́a
Secuente. A cada nodo en el árbol se le llama secuente.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Terminologı́a
Secuente. A cada nodo en el árbol se le llama secuente.
Rama cerrada. Una rama está cerrada si en su secuente final hay una
fórmula que aparece en ambos lados.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Terminologı́a
Secuente. A cada nodo en el árbol se le llama secuente.
Rama cerrada. Una rama está cerrada si en su secuente final hay una
fórmula que aparece en ambos lados.
Tabla cerrada. Una tabla está cerrada si todas sus ramas están
cerradas.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Terminologı́a
Secuente. A cada nodo en el árbol se le llama secuente.
Rama cerrada. Una rama está cerrada si en su secuente final hay una
fórmula que aparece en ambos lados.
Tabla cerrada. Una tabla está cerrada si todas sus ramas están
cerradas.
Rama abierta. Una rama está abierta si no está cerrada y no hay
regla que se pueda aplicar.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Terminologı́a
Secuente. A cada nodo en el árbol se le llama secuente.
Rama cerrada. Una rama está cerrada si en su secuente final hay una
fórmula que aparece en ambos lados.
Tabla cerrada. Una tabla está cerrada si todas sus ramas están
cerradas.
Rama abierta. Una rama está abierta si no está cerrada y no hay
regla que se pueda aplicar.
Tabla abierta. Una tabla está abierta si contiene al menos una rama
abierta.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Para practicar
Utilice el método de tablas semánticas para decidir si cada una de las siguientes fórmulas
es válida o no. Si la respuesta es negativa, proporcione un contraejemplo.
• (¬p) ∧ q
• p → (q → r)
• ((p ∨ q) → r) ∧ (p → ¬q)
• ¬(p ∧ q ∧ r)
• (¬r) → (¬p)
• (p → q) → ((p ∧ r) → q)
• ((p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ (q ∧ r)))
• (p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ (q ∧ r))
• (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
• ((p ∧ q) ∧ r) ∨ ((¬p ∧ ¬q) ∧ ¬r)
• ((p ∧ q) → r) ↔ (p → (q → r))
• ((¬p → q) ∧ (p ∨ ¬q)) → (p ∨ r)
• ((p ∨ q) → r) ↔ ((p → r) ∨ (q → r))
• ¬(p ↔ q) ↔ (¬p ↔ ¬q)
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• p ∨ ¬q
• (p → q) → r
• (p ∧ (p → q)) → q
• q ∧ ¬q
• ¬¬p
• (q ∧ (p → q)) → p
• ((p ↔ (q → r)) ↔ ((p ↔ q) → r))
• ¬((¬p ∨ ¬(q ∧ r)) ∨ (p ∧ r))
• (p ↔ (q → r)) ↔ ((p ↔ q) → r)
• (p → q) ∨ (q → p)
• ((¬p → q) ∧ (p ∨ ¬q)) → p
• (p → (q ∧ r)) ↔ ((p → q) ∧ (p → r))
• ((p ∨ q) → r) ↔ ((p → r) ∧ (q → r))
•
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Tablas semánticas para lógica proposicional
¿Y validez de inferencias?
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
¿Y validez de inferencias?
Podemos utilizar tablas semánticas para decidir si una inferencia es válida
o no.
(http://www.logicinaction.org/)
13 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
¿Y validez de inferencias?
Podemos utilizar tablas semánticas para decidir si una inferencia es válida
o no.
Una inferencia ϕ1 , . . . , ϕn /ψ es válida
si y solo si
no hay situaciones en las cuales ϕ1 , . . . , ϕn sean todas verdaderas
pero ψ sea falsa.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
¿Y validez de inferencias?
Podemos utilizar tablas semánticas para decidir si una inferencia es válida
o no.
Una inferencia ϕ1 , . . . , ϕn /ψ es válida
si y solo si
no hay situaciones en las cuales ϕ1 , . . . , ϕn sean todas verdaderas
pero ψ sea falsa.
Podemos trabajar con una tabla de la siguiente forma
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Tablas semánticas para lógica proposicional
¿Y validez de inferencias?
Podemos utilizar tablas semánticas para decidir si una inferencia es válida
o no.
Una inferencia ϕ1 , . . . , ϕn /ψ es válida
si y solo si
no hay situaciones en las cuales ϕ1 , . . . , ϕn sean todas verdaderas
pero ψ sea falsa.
Podemos trabajar con una tabla de la siguiente forma
ϕ1 , . . . , ϕn ◦ ψ
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Para practicar
Utilice el método de tablas semánticas para decidir si cada una de
las siguientes inferencias es válida o no. Si la respuesta es negativa,
proporcione un contraejemplo.
• ¿ ϕ ∨ ψ, ¬ψ |= ϕ ?
• ¿ ϕ → ψ |= ψ → ϕ ?
• ¿ ϕ ∧ ¬ϕ |= ψ ?
• ¿ ϕ → ψ, ϕ |= ψ ?
• ¿ (ϕ ∨ ψ) ∧ χ |= ϕ ∨ (ψ ∧ χ) ?
• ¿ ϕ ∨ (ψ ∧ χ) |= (ϕ ∨ ψ) ∧ χ ?
• ¿ ϕ → ψ |= (¬ϕ) ∨ ψ ?
• ¿ ¬(ϕ ∧ ψ) |= ¬ϕ ?
• ¿ ¬¬ϕ |= ϕ ?
• ¿ ϕ → ψ, ψ |= ϕ ?
• ¿ ¬(ϕ ∧ ψ), ψ |= ¬ϕ ?
• ¿ ¬(ψ ∧ χ), ψ |= ¬χ ?
• ¿ ((¬ϕ ∨ ¬ψ) ∨ χ), (ψ ∨ χ), ϕ |= χ ?
• ¿ ϕ ∨ ψ, ϕ → χ, ψ → χ |= χ ?
• ¿ ¬(ϕ ↔ ψ) |= ¬ϕ ↔ ψ ?
• ¿ ¬(ϕ → (ψ ∧ χ)), χ → (ϕ ∧ ψ) |= ¬χ ?
• ¿ ϕ → (ψ ∧ χ), ¬((ϕ ∨ ψ) → χ) |= ϕ ?
• ¿ ϕ → ψ, ϕ → χ |= ψ ↔ χ ?
• ¿ ϕ → ψ, ϕ → ¬ψ |= ¬ϕ ?
• ¿ϕ, ψ |= χ ∨ ¬χ ?
• ϕ → ψ, χ → η, ϕ ∨ χ, ¬(ψ ∧ η) |= (ψ → ϕ) ∧ (η → χ) ?
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Las tablas semánticas pueden ser usadas para . . .
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Las tablas semánticas pueden ser usadas para . . .
1
Decidir si una fórmula es válida o no.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Las tablas semánticas pueden ser usadas para . . .
1
Decidir si una fórmula es válida o no.
2
Decidir si una fórmula es satisfacible o no (¿como?), y entonces
decidir si la fórmula es una contradicción o no.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Las tablas semánticas pueden ser usadas para . . .
1
Decidir si una fórmula es válida o no.
2
Decidir si una fórmula es satisfacible o no (¿como?), y entonces
decidir si la fórmula es una contradicción o no.
3
Decidir si un conjunto de fórmulas es satisfacible (i.e., existe
una situación en la cual todas las fórmulas son verdaderas) o no
(¿como?).
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Las tablas semánticas pueden ser usadas para . . .
1
Decidir si una fórmula es válida o no.
2
Decidir si una fórmula es satisfacible o no (¿como?), y entonces
decidir si la fórmula es una contradicción o no.
3
Decidir si un conjunto de fórmulas es satisfacible (i.e., existe
una situación en la cual todas las fórmulas son verdaderas) o no
(¿como?).
4
Decidir si una inferencia es válida o no, y entonces decidir si
dos fórmulas son lógicamente equivalentes o no.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Observaciones importantes
(http://www.logicinaction.org/)
16 / 39
Tablas semánticas para lógica proposicional
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (valores de verdad de
proposiciones atómicas) con los requerimientos especificados.
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (valores de verdad de
proposiciones atómicas) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica
proposicional: si una inferencia es válida, la tabla será cerrada.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (valores de verdad de
proposiciones atómicas) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica
proposicional: si una inferencia es válida, la tabla será cerrada.
3
Las reglas descritas son completas para encontrar contraejemplos
en lógica proposicional: si una inferencia no es válida, la tabla tendrá
al menos una rama abierta.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica proposicional
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (valores de verdad de
proposiciones atómicas) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica
proposicional: si una inferencia es válida, la tabla será cerrada.
3
Las reglas descritas son completas para encontrar contraejemplos
en lógica proposicional: si una inferencia no es válida, la tabla tendrá
al menos una rama abierta.
4
Las reglas descritas pueden generar todos los contraejemplos de una
inferencia proposicional no válida.
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Para la lógica de predicados
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Para la lógica de predicados
Las tablas semánticas también se pueden utilizar para decidir validez
de fórmulas e inferencias en lógica de predicados.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Para la lógica de predicados
Las tablas semánticas también se pueden utilizar para decidir validez
de fórmulas e inferencias en lógica de predicados.
Ya tenemos reglas para los conectivos lógicos (¬, ∧, ∨, →, ↔).
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Para la lógica de predicados
Las tablas semánticas también se pueden utilizar para decidir validez
de fórmulas e inferencias en lógica de predicados.
Ya tenemos reglas para los conectivos lógicos (¬, ∧, ∨, →, ↔).
Solo hacen falta reglas para los cuantificadores (∃, ∀).
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
(http://www.logicinaction.org/)
18 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
(http://www.logicinaction.org/)
18 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
(http://www.logicinaction.org/)
18 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
Con a
un elemento nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
◦ ∃xϕ(x)
+
ϕ(a) ◦
Con a
un elemento nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ∃xϕ(x)
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
un elemento nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ∃xϕ(x)
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ∃xϕ(x)
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
∀
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ∃xϕ(x)
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
∀xϕ(x) ◦
∀
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ∃xϕ(x)
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
∀xϕ(x) ◦
∀
ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ) ◦
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ∃xϕ(x)
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
∀xϕ(x) ◦
∀
ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ) ◦
Con a1 , . . . , an
los elementos existentes
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
∀xϕ(x) ◦
∀
◦ ∃xϕ(x)
◦ ∀xϕ(x)
ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ) ◦
Con a1 , . . . , an
los elementos existentes
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
∀xϕ(x) ◦
∀
◦ ∃xϕ(x)
ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ) ◦
◦ ∀xϕ(x)
+
◦ ϕ(a)
Con a1 , . . . , an
los elementos existentes
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
+
ϕ(a) ◦
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
∀xϕ(x) ◦
∀
◦ ∃xϕ(x)
ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ) ◦
◦ ∀xϕ(x)
+
◦ ϕ(a)
Con a1 , . . . , an
Con a
los elementos existentes
un elemento nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
◦ ∃xϕ(x)
+
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
ϕ(a) ◦
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
◦ ∀xϕ(x)
∀xϕ(x) ◦
∀
+
ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ) ◦
◦ ϕ(a)
Con a1 , . . . , an
Con a
los elementos existentes
un elemento nuevo
Afirnaciones existenciales:
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∃xϕ(x) ◦
◦ ∀xϕ(x)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (1)
∃xϕ(x) ◦
∃
◦ ∃xϕ(x)
+
◦ ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )
ϕ(a) ◦
Con a
Con a1 , . . . , an
un elemento nuevo
los elementos existentes
◦ ∀xϕ(x)
∀xϕ(x) ◦
∀
+
ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ) ◦
◦ ϕ(a)
Con a1 , . . . , an
Con a
los elementos existentes
un elemento nuevo
Afirnaciones existenciales:
Afirmaciones universales:
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∃xϕ(x) ◦
◦ ∃xϕ(x)
◦ ∀xϕ(x)
∀xϕ(x) ◦
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
Agregamos un elemento nuevo (no permitimos dominios vacı́os).
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
Agregamos un elemento nuevo (no permitimos dominios vacı́os).
(http://www.logicinaction.org/)
19 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
Agregamos un elemento nuevo (no permitimos dominios vacı́os).
∀xϕ(x) ◦
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
Agregamos un elemento nuevo (no permitimos dominios vacı́os).
∀xϕ(x) ◦
+
ϕ(a) ◦
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
Agregamos un elemento nuevo (no permitimos dominios vacı́os).
∀xϕ(x) ◦
+
ϕ(a) ◦
Con a
un elemento nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
Agregamos un elemento nuevo (no permitimos dominios vacı́os).
∀xϕ(x) ◦
◦ ∃xϕ(x)
+
ϕ(a) ◦
Con a
un elemento nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
Agregamos un elemento nuevo (no permitimos dominios vacı́os).
∀xϕ(x) ◦
+
ϕ(a) ◦
◦ ∃xϕ(x)
+
◦ ϕ(a)
Con a
un elemento nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (2)
¿Que pasa si tenemos afirmaciones universales, pero no tenemos elementos?
Agregamos un elemento nuevo (no permitimos dominios vacı́os).
∀xϕ(x) ◦
+
ϕ(a) ◦
◦ ∃xϕ(x)
+
◦ ϕ(a)
Con a
Con a
un elemento nuevo
un elemento nuevo
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (3)
Observación importante.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Cuantificadores (3)
Observación importante.
+
Cada vez que agregamos un nuevo elemento ( ◦ ), debemos reactivar
todas las afirmaciones universales previas.
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Recomendaciones
En las tablas semánticas para lógica de predicados, se recomienda el
siguiente orden:
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Recomendaciones
En las tablas semánticas para lógica de predicados, se recomienda el
siguiente orden:
1
Trabajar primero con conectivos lógicos (¬, ∧, ∨, →, ↔).
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Recomendaciones
En las tablas semánticas para lógica de predicados, se recomienda el
siguiente orden:
1
Trabajar primero con conectivos lógicos (¬, ∧, ∨, →, ↔).
2
Después trabajar con afirmaciones existenciales.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Recomendaciones
En las tablas semánticas para lógica de predicados, se recomienda el
siguiente orden:
1
Trabajar primero con conectivos lógicos (¬, ∧, ∨, →, ↔).
2
Después trabajar con afirmaciones existenciales.
3
Finalmente trabajar con afirmaciones universales.
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Para practicar
¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
• ∀x(P x) |= ¬∃x(¬P x)
• ¬∃x(P x) |= ∀x(¬P x)
• ∀x∃yRxy |= ∀xRxx
• ∀x∀yRxy |= ∀xRxx
• ∀x∀yRxy, Rab |= Raa
• ∀x(P x → Qx) ∨ ∀y(Qy → P y) |= ∀x∀y((P x ∧ Qy) → (Qx ∨ P y))
• ∀xP x → ∀xQx |= ∀x(P x → Qx)
• ∀x(P x → Qx) |= ∀xP x → ∀xQx
• ∃y∀xRxy |= ∀x∃yRxy
• ∀x(P x → Qx), ∃x(P x ∧ Rx) |= ∃x(Qx ∧ Rx)
• ∀x(P x → Qx), ∃x(¬P x ∧ Rx) |= ∃x(¬Qx ∧ Rx)
• ¬∃x(P x ∧ Qx), ∀x(Qx → Rx) |= ¬∃x(P x ∧ Rx)
• ∀x(P x → Qx), ∀x(Qx → Rx), ∀x(Rx → P x) |= ∀x(Qx ∧ P x)
(http://www.logicinaction.org/)
22 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy
∃y∀xRxy
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23 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy
∃y∀xRxy
¿Que dice?
(http://www.logicinaction.org/)
23 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy
∃y∀xRxy
¿Que dice?
¿Es válida?
(http://www.logicinaction.org/)
23 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy
∃y∀xRxy
¿Que dice?
¿Es válida?
¿Podemos encontrar un contraejemplo sin usar tablas semánticas?
(http://www.logicinaction.org/)
23 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy
∃y∀xRxy
¿Que dice?
¿Es válida?
¿Podemos encontrar un contraejemplo sin usar tablas semánticas?
¿Podemos encontrar un contraejemplo usando tablas semánticas?
(http://www.logicinaction.org/)
23 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
(http://www.logicinaction.org/)
24 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
Cada afirmación existencial introduce un nuevo elemento.
(http://www.logicinaction.org/)
24 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
Cada afirmación existencial introduce un nuevo elemento.
Pero tal vez los elementos existentes son útiles.
(http://www.logicinaction.org/)
24 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
Cada afirmación existencial introduce un nuevo elemento.
Pero tal vez los elementos existentes son útiles.
Una solución
(http://www.logicinaction.org/)
24 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
Cada afirmación existencial introduce un nuevo elemento.
Pero tal vez los elementos existentes son útiles.
Una solución
En cada afirmación existencial, consideraremos la posibilidad de que un
elemento ya existente sea el adecuado.
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Reglas extendidas para afirmaciones existenciales
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
Reglas extendidas para afirmaciones existenciales
∃xϕ(x) ◦
(http://www.logicinaction.org/)
25 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Reglas extendidas para afirmaciones existenciales
∃xϕ(x) ◦
ϕ(ai ) ◦
(http://www.logicinaction.org/)
+
ϕ(a) ◦
25 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Reglas extendidas para afirmaciones existenciales
∃xϕ(x) ◦
+
ϕ(ai ) ◦
ϕ(a) ◦
Con ai existente
y a nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
25 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Reglas extendidas para afirmaciones existenciales
◦ ∀xϕ(x)
∃xϕ(x) ◦
+
ϕ(ai ) ◦
ϕ(a) ◦
Con ai existente
y a nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
25 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Reglas extendidas para afirmaciones existenciales
◦ ∀xϕ(x)
∃xϕ(x) ◦
+
ϕ(ai ) ◦
ϕ(a) ◦
◦ ϕ(ai )
+
◦ ϕ(a)
Con ai existente
y a nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
25 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Reglas extendidas para afirmaciones existenciales
◦ ∀xϕ(x)
∃xϕ(x) ◦
+
ϕ(ai ) ◦
ϕ(a) ◦
◦ ϕ(ai )
+
◦ ϕ(a)
Con ai existente
Con ai existente
y a nuevo
y a nuevo
(http://www.logicinaction.org/)
25 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Reglas extendidas para afirmaciones existenciales
◦ ∀xϕ(x)
∃xϕ(x) ◦
+
ϕ(ai ) ◦
◦ ϕ(ai )
ϕ(a) ◦
+
◦ ϕ(a)
Con ai existente
Con ai existente
y a nuevo
y a nuevo
∀y∃xRxy
¿Que sucede ahora con
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∃y∀xRxy
?
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Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy, ∀x∀y∀z (Rxy ∧ Ryz) → Rxz
∃x∃y(Rxy ∧ Ryx)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy, ∀x∀y∀z (Rxy ∧ Ryz) → Rxz
∃x∃y(Rxy ∧ Ryx)
¿Que dice?
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy, ∀x∀y∀z (Rxy ∧ Ryz) → Rxz
∃x∃y(Rxy ∧ Ryx)
¿Que dice?
¿Es válida?
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Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy, ∀x∀y∀z (Rxy ∧ Ryz) → Rxz
∃x∃y(Rxy ∧ Ryx)
¿Que dice?
¿Es válida?
¿Podemos encontrar un contraejemplo sin usar tablas semánticas?
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Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Siempre podemos encontrar contraejemplos?
Considere la siguiente inferencia
∀y∃xRxy, ∀x∀y∀z (Rxy ∧ Ryz) → Rxz
∃x∃y(Rxy ∧ Ryx)
¿Que dice?
¿Es válida?
¿Podemos encontrar un contraejemplo sin usar tablas semánticas?
¿Podemos encontrar un contraejemplo usando tablas semánticas?
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26 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
(http://www.logicinaction.org/)
27 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
Una tabla semántica intenta construir un contraejemplo paso a paso,
agregando a lo mucho un elemento en cada paso.
(http://www.logicinaction.org/)
27 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
Una tabla semántica intenta construir un contraejemplo paso a paso,
agregando a lo mucho un elemento en cada paso.
Por lo tanto, solo podemos construir modelos finitos.
(http://www.logicinaction.org/)
27 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
¿Que podemos hacer?
El problema
Una tabla semántica intenta construir un contraejemplo paso a paso,
agregando a lo mucho un elemento en cada paso.
Por lo tanto, solo podemos construir modelos finitos.
Existen inferencias no válida cuyos contraejemplos son modelos infinitos.
(http://www.logicinaction.org/)
27 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Observaciones importantes
(http://www.logicinaction.org/)
28 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (dominio,
propiedades y relaciones) con los requerimientos especificados.
(http://www.logicinaction.org/)
28 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (dominio,
propiedades y relaciones) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica de
predicados: si una inferencia es válida, la tabla será cerrada.
(http://www.logicinaction.org/)
28 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (dominio,
propiedades y relaciones) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica de
predicados: si una inferencia es válida, la tabla será cerrada.
3
Las reglas descritas son no son completas para encontrar
contraejemplos en lógica de predicados: si una inferencia no es
válida y sus contraejemplos son modelos infinitos, la tabla no los
encontrará.
(http://www.logicinaction.org/)
28 / 39
Tablas semánticas para lógica de predicados
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (dominio,
propiedades y relaciones) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica de
predicados: si una inferencia es válida, la tabla será cerrada.
3
Las reglas descritas son no son completas para encontrar
contraejemplos en lógica de predicados: si una inferencia no es
válida y sus contraejemplos son modelos infinitos, la tabla no los
encontrará.
4
Las reglas descritas pueden no puede generar todos los
contraejemplos de una inferencia de predicados no válida.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para lógica epistémica
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para lógica epistémica
Las tablas semánticas también se pueden utilizar para decidir validez
de fórmulas e inferencias en lógica epistémica.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para lógica epistémica
Las tablas semánticas también se pueden utilizar para decidir validez
de fórmulas e inferencias en lógica epistémica.
Existen diferentes reglas, de acuerdo al número de relaciones Ri y a
sus propiedades.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para lógica epistémica
Las tablas semánticas también se pueden utilizar para decidir validez
de fórmulas e inferencias en lógica epistémica.
Existen diferentes reglas, de acuerdo al número de relaciones Ri y a
sus propiedades.
Presentaremos reglas para el caso en el que tenemos una relación de
equivalencia (i.e., reflexiva, transitiva y simétrica).
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Tablas semánticas para lógica epistémica
La idea intuitiva
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Tablas semánticas para lógica epistémica
La idea intuitiva
La estrategia: construir un modelo con los requerimientos especificados.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
La idea intuitiva
La estrategia: construir un modelo con los requerimientos especificados.
Para la lógica proposicional necesitamos el valor de verdad de las
proposiciones atómicas.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
La idea intuitiva
La estrategia: construir un modelo con los requerimientos especificados.
Para la lógica proposicional necesitamos el valor de verdad de las
proposiciones atómicas.
Para la lógica de predicados necesitamos el dominio y las propiedades y
relaciones de los objetos.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
La idea intuitiva
La estrategia: construir un modelo con los requerimientos especificados.
Para la lógica proposicional necesitamos el valor de verdad de las
proposiciones atómicas.
Para la lógica de predicados necesitamos el dominio y las propiedades y
relaciones de los objetos.
Para la lógica epistémica necesitamos el conjunto de mundos, la valuación y
la relación.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
La idea intuitiva
La estrategia: construir un modelo con los requerimientos especificados.
Para la lógica proposicional necesitamos el valor de verdad de las
proposiciones atómicas.
Para la lógica de predicados necesitamos el dominio y las propiedades y
relaciones de los objetos.
Para la lógica epistémica necesitamos el conjunto de mundos, la valuación y
la relación.
Observe que
(http://www.logicinaction.org/)
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La idea intuitiva
La estrategia: construir un modelo con los requerimientos especificados.
Para la lógica proposicional necesitamos el valor de verdad de las
proposiciones atómicas.
Para la lógica de predicados necesitamos el dominio y las propiedades y
relaciones de los objetos.
Para la lógica epistémica necesitamos el conjunto de mundos, la valuación y
la relación.
Observe que
en nuestro caso (una relación de equivalencia), el dominio es tan solo un
conjunto de mundos (i.e., todo mundo es accessible a partir de cualquier otro).
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La idea intuitiva
La estrategia: construir un modelo con los requerimientos especificados.
Para la lógica proposicional necesitamos el valor de verdad de las
proposiciones atómicas.
Para la lógica de predicados necesitamos el dominio y las propiedades y
relaciones de los objetos.
Para la lógica epistémica necesitamos el conjunto de mundos, la valuación y
la relación.
Observe que
en nuestro caso (una relación de equivalencia), el dominio es tan solo un
conjunto de mundos (i.e., todo mundo es accessible a partir de cualquier otro).
Por lo tanto, cada nodo tendrá la información de este conjunto de mundos.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Nodos del árbol
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Nodos del árbol
Nodos en tablas semánticas para lógica proposicional y de predicados:
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Nodos del árbol
Nodos en tablas semánticas para lógica proposicional y de predicados:
φ1 , . . . , φn ◦ χ1 , . . . , χm
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Nodos del árbol
Nodos en tablas semánticas para lógica proposicional y de predicados:
φ1 , . . . , φn ◦ χ1 , . . . , χm
Nodos en tablas semánticas para lógica epistémica:
(http://www.logicinaction.org/)
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Nodos del árbol
Nodos en tablas semánticas para lógica proposicional y de predicados:
φ1 , . . . , φn ◦ χ1 , . . . , χm
Nodos en tablas semánticas para lógica epistémica:
1
1
1
φ1
1 , . . . , φn1 ◦ χ1 , . . . , χm1
..
.
φl1 , . . . , φlnl ◦ χl1 , . . . , χlml
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Terminologı́a y notación
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Terminologı́a y notación
A cada nodo se le llama multi-secuente.
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Terminologı́a y notación
A cada nodo se le llama multi-secuente.
Cada elemento de un multi-secuente es un secuente.
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Terminologı́a y notación
A cada nodo se le llama multi-secuente.
Cada elemento de un multi-secuente es un secuente.
Si la fórmula ϕ aparece a la izquierda de al menos un secuente, escribiremos
(http://www.logicinaction.org/)
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Terminologı́a y notación
A cada nodo se le llama multi-secuente.
Cada elemento de un multi-secuente es un secuente.
Si la fórmula ϕ aparece a la izquierda de al menos un secuente, escribiremos
ϕ
+ ◦
..
.
◦
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Terminologı́a y notación
A cada nodo se le llama multi-secuente.
Cada elemento de un multi-secuente es un secuente.
Si la fórmula ϕ aparece a la izquierda de al menos un secuente, escribiremos
ϕ
+ ◦
..
.
◦
Si la fórmula ϕ aparece a la izquierda de todos los secuentes, escribiremos
(http://www.logicinaction.org/)
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Terminologı́a y notación
A cada nodo se le llama multi-secuente.
Cada elemento de un multi-secuente es un secuente.
Si la fórmula ϕ aparece a la izquierda de al menos un secuente, escribiremos
ϕ
+ ◦
..
.
◦
Si la fórmula ϕ aparece a la izquierda de todos los secuentes, escribiremos
8
>
< ◦.
..
ϕ
>
:
◦
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Terminologı́a y notación
A cada nodo se le llama multi-secuente.
Cada elemento de un multi-secuente es un secuente.
Si la fórmula ϕ aparece a la izquierda de al menos un secuente, escribiremos
ϕ
+ ◦
..
.
◦
Si la fórmula ϕ aparece a la izquierda de todos los secuentes, escribiremos
8
>
< ◦.
..
ϕ
>
:
◦
Notación para el lado derecho es análoga.
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Las reglas para conectivos (1)
Para la negación ¬:
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Las reglas para conectivos (1)
Para la negación ¬:
... ◦ ...
·
¬ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
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Las reglas para conectivos (1)
Para la negación ¬:
... ◦ ...
·
¬ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ϕ
·
... ◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Las reglas para conectivos (1)
Para la negación ¬:
... ◦ ...
·
¬ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
. . . ◦ . . . , ¬ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ϕ
·
... ◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Las reglas para conectivos (1)
Para la negación ¬:
... ◦ ...
·
¬ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ϕ
·
... ◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
... ◦ ...
·
. . . ◦ . . . , ¬ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Las reglas para conectivos (2)
Para la conjunción ∧:
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Las reglas para conectivos (2)
Para la conjunción ∧:
... ◦ ...
·
ϕ ∧ ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Las reglas para conectivos (2)
Para la conjunción ∧:
... ◦ ...
·
ϕ ∧ ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
ϕ, ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Las reglas para conectivos (2)
Para la conjunción ∧:
... ◦ ...
·
ϕ ∧ ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ϕ ∧ ψ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
ϕ, ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Las reglas para conectivos (2)
Para la conjunción ∧:
... ◦ ...
·
ϕ ∧ ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
ϕ, ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ϕ ∧ ψ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ψ
·
... ◦ ...
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Las reglas para conectivos (2)
Para la conjunción ∧:
... ◦ ...
·
ϕ ∧ ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
ϕ, ψ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ϕ ∧ ψ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,ψ
·
... ◦ ...
Similar para los demás conectivos.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (1)
Para el operador modal 2 :
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (1)
Para el operador modal 2 :
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (1)
Para el operador modal 2 :
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
8 ...
>
>
>
>
<
...
ϕ
>
>
>
>
: ...
◦ ...
·
◦ ...
·
◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (1)
Para el operador modal 2 :
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
8 ...
>
>
>
>
<
...
ϕ
>
>
>
>
: ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,2ϕ
·
... ◦ ...
◦ ...
·
◦ ...
·
◦ ...
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (1)
Para el operador modal 2 :
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
8 ...
>
>
>
>
<
...
ϕ
>
>
>
>
: ...
◦ ...
·
◦ ...
·
◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,2ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
*
·
... ◦ ...
ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...
·
... ◦ ...
+
◦ ϕ
(http://www.logicinaction.org/)
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Para el operador modal (1)
Para el operador modal 2 :
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
8 ...
>
>
>
>
<
...
ϕ
>
>
>
>
: ...
◦ ...
·
◦ ...
·
◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,2ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
*
·
... ◦ ...
ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...
·
... ◦ ...
+
◦ ϕ
La idea:
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (1)
Para el operador modal 2 :
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
8 ...
>
>
>
>
<
...
ϕ
>
>
>
>
: ...
◦ ...
·
◦ ...
·
◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,2ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
*
·
... ◦ ...
ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...
·
... ◦ ...
+
◦ ϕ
La idea:
si 2 ϕ es verdadera, todos los mundos deben hacer ϕ verdadera;
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (1)
Para el operador modal 2 :
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
8 ...
>
>
>
>
<
...
ϕ
>
>
>
>
: ...
◦ ...
·
◦ ...
·
◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,2ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
*
·
... ◦ ...
ϕ
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...
·
... ◦ ...
+
◦ ϕ
La idea:
si 2 ϕ es verdadera, todos los mundos deben hacer ϕ verdadera;
si 2 ϕ es falsa, al menos un mundo debe hacer ϕ falsa.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (2)
Terminologı́a:
(http://www.logicinaction.org/)
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Para el operador modal (2)
Terminologı́a:
Afirmación universal:
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (2)
Terminologı́a:
Afirmación universal:
(http://www.logicinaction.org/)
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (2)
Terminologı́a:
Afirmación universal:
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
Afirmación existencial:
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (2)
Terminologı́a:
Afirmación universal:
Afirmación existencial:
(http://www.logicinaction.org/)
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,2ϕ
·
... ◦ ...
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (2)
Terminologı́a:
Afirmación universal:
Afirmación existencial:
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,2ϕ
·
... ◦ ...
Observation importante
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para el operador modal (2)
Terminologı́a:
Afirmación universal:
Afirmación existencial:
... ◦ ...
·
2 ϕ, . . . ◦ . . .
·
... ◦ ...
... ◦ ...
·
... ◦ ...,2ϕ
·
... ◦ ...
Observation importante
+
Cada vez que introducimos un nuevo mundo ( ◦ ) debemos reactivar
todos las afirmaciones universales previas.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Terminologı́a
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Terminologı́a
Rama cerrada. Una rama está cerrada si en su multi-secuente final
existe un secuente en el cual hay una fórmula que aparece en ambos
lados.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Terminologı́a
Rama cerrada. Una rama está cerrada si en su multi-secuente final
existe un secuente en el cual hay una fórmula que aparece en ambos
lados.
Tabla cerrada. Una tabla está cerrada si todas sus ramas están
cerradas.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Terminologı́a
Rama cerrada. Una rama está cerrada si en su multi-secuente final
existe un secuente en el cual hay una fórmula que aparece en ambos
lados.
Tabla cerrada. Una tabla está cerrada si todas sus ramas están
cerradas.
Rama abierta. Una rama está abierta no si no está cerrada y no hay
regla que se pueda aplicar.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Terminologı́a
Rama cerrada. Una rama está cerrada si en su multi-secuente final
existe un secuente en el cual hay una fórmula que aparece en ambos
lados.
Tabla cerrada. Una tabla está cerrada si todas sus ramas están
cerradas.
Rama abierta. Una rama está abierta no si no está cerrada y no hay
regla que se pueda aplicar.
Tabla abierta. Una tabla está abierta si contiene al menos una rama
abierta.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Para practicar
Utilice el método de tablas semánticas para decidir cuales de las
siguientes afirmaciones son verdaderas. Si la respuesta es negativa,
proporcione un contraejemplo.
• 2 (ϕ ∧ ψ) |= 2 ϕ ∧ 2 ψ
• 2 ϕ ∧ 2 ψ |= 2 (ϕ ∧ ψ)
• 2 (ϕ ∨ ψ) |= 2 ϕ ∨ 2 ψ
• 2 ϕ ∨ 2 ψ |= 2 (ϕ ∨ ψ)
• 2 ϕ |= 2 2 ϕ
• 2 ϕ |= ¬2 ¬ϕ
• ϕ |= 2 ¬2 ¬ϕ
• 2 ϕ |= ϕ
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Observaciones importantes
(http://www.logicinaction.org/)
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (mundos, valuación y
relación) con los requerimientos especificados.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (mundos, valuación y
relación) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica
epistémica con una relación de equivalencia: si una inferencia es
válida, la tabla será cerrada.
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (mundos, valuación y
relación) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica
epistémica con una relación de equivalencia: si una inferencia es
válida, la tabla será cerrada.
3
Las reglas descritas son completas para encontrar contraejemplos
en lógica epistémica con una relación de equivalencia: si una
inferencia no es válida, la tabla tendrá al menos una rama abierta (¿por
qué?).
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Tablas semánticas para lógica epistémica
Observaciones importantes
1
Una tabla semántica intenta construir un modelo (mundos, valuación y
relación) con los requerimientos especificados.
2
Las reglas descritas son completas para probar validez en lógica
epistémica con una relación de equivalencia: si una inferencia es
válida, la tabla será cerrada.
3
Las reglas descritas son completas para encontrar contraejemplos
en lógica epistémica con una relación de equivalencia: si una
inferencia no es válida, la tabla tendrá al menos una rama abierta (¿por
qué?).
4
Las reglas descritas pueden generar todos los contraejemplos de una
inferencia epistémica no válida con una relación de equivalencia.
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