septiembre 2005

EXAMEN DE
CURVAS ALGEBRAICAS
(Grupos B, C y D) 13 de septiembre de 2005
(3 horas)
1)
(2 puntos) Demuestra que una curva algebraica plana compleja tiene un numero
innito de puntos.
2)
(2 puntos) Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) Sea C una curva algebraica de grado 5, irreducible. >Puede C tener dos puntos
singulares de multiplicidad 3?
>Puede C tener cinco puntos singulares, uno de ellos de multiplicidad 3?
b) Da la ecuacion de una curva irreducible de grado 4 que tenga un punto singular
de multiplicidad 3 con dos tangentes distintas.
c) Demuestra que una cuartica irreducible con un punto singular de multiplicidad
3 no tiene mas puntos singulares.
3)
(6 puntos) Sean las curvas
polinomios
F
3
=
X0 X1
y
G
=
C
=
V
(F ) y
D
=
V
(G) de P2C denidas por los
+ X14 + 4X13 X2 + 6X12 X22 + 4X1 X23 + X24
2
X0 X1
+ X13 + 3X12 X2 + 3X1 X22 + X23 :
Se pide:
a) Demostrar que (1 : 0 : 0) es un punto triple de C y un punto doble de D, y
que C y D son irreducibles.
b) Calcular todos los puntos singulares de C y D, calculando sus rectas tangentes
en ellos, y demostrar que C y D poseen una parametrizacion racional.
c) Demostrar que la recta X0 = 0 es tangente de inexion para ambas curvas y
calcular todos los puntos de inexion de D.
d) Demostrar que C y D se cortan con multiplicidad 8 en (1 : 0 : 0) y multiplicidad 3 en (0 : 1 : 1). Calcular con que multiplicidad se cortan C y D en los
demas puntos de interseccion.
e) Encontrar los puntos de D cuya recta tangente pasa por (1 : 0 : 0).
f) Demostrar que hay innitas cuarticas que cortan a C con multiplicidad al
menos 8 en (1 : 0 : 0), con multiplicidad al menos 6 en (0 : 1 : 1) y pasan
ademas por el punto (1 : 1 : 0).