2 f xx - Departamento de Informática

Universidad Técnica Federico Santa María
Universidad Técnica Federico Santa María
Distribuciones Multivariantes
Departamento de Informática
ILI-280
Sea X = (X1, X2,..., Xk) vector aleatorio
PX : Bk R caracterizada por FX , fX (discreta,
continua, mixta).
Capítulo 6:
Variables Aleatorias Multivariadas
Estadística Computacional
1er Semestre 2003
Consideremos k=2 :
FX ( x1 , x2 ) : función de Distribución conjunta X=(X1,X2)
f X ( x1 , x2 ) : función de densidad (cuantía)
Prof. Héctor Allende
Página
e-mail
: www.inf.utfsm.cl/~hallende
: [email protected]
FX i ( xi ) : función de Distribución marginal de Xi, i=1,2
f X i ( xi ) : función de densidad marginal i=1,2
H. Allende, S. Ahumada y R. Salas
Profesor: H. Allende R. Salas
Distribuciones Multivariantes
f ( X 1 / X 2 = x2 ) =
X 1⊥ X 2
Distribuciones Multivariantes
f X ( x1 , x2 )
f X 2 ( x2 )
si
f X ( x1 , x2 ) = f
( x1 ) ∗ f X 2 ( x2 )
X1
⇔
f X 2 ( x2 ) > 0
E [ X ] = ( E [ X 1 ], E [ X 2 ])
∑
X
[
= E ( X − E [X ]) ( X − E [X ])
T
3
Ejemplos de Vectores Aleatorios
Discretos
Sea X = ( X1, X2) vector aleatorio discreto, con
Xi variable aleatoria que representa el número
de fallas del turno i. La siguiente tabla nos
proporciona la función de cuantía conjunta:
X1
0
1
2
0
0,1
0,2
0,2
1
0,04
0,08
0,08
2
0,06
0,12
0,12
X2
Profesor: H. Allende R. Salas
Profesor: Rodrigo Salas
cov( X 1 , X 2 ) = E [( X 1 − E [ X 1 ])( X 2 − E [X 2 ])]
ρ ( X1, X 2 ) =
cov( X 1 , X 2 )
(V [ X 1 ]∗ V [ X 2 ])
X 1 ⊥X 2
⇒
cov( X 1 , X 2 ) = 0
⇒
ρ ( X1, X 2 ) = 0 ⇒
E [X 1 X 2 ] = E [X 1 ] E [X 2 ]
]
Profesor: H. Allende R. Salas
2
Profesor: H. Allende R. Salas
4
Ejemplos de Vectores Aleatorios
Discretos
1. Determinar las cuantías marginales
f
X1
f X2
2. Determine las cuantías condicionales
f ( X 1 / X 2 = 1)
5
f ( X 2 / X 1 = 2)
Profesor: H. Allende R. Salas
6
1
Universidad Técnica Federico Santa María
Solución
Solución
1. Cuantías marginales
0,2 ; x1 = 0

f X 1 ( x1 ) = 0,4 ; x1 = 1
0,4 ; x = 2
1

2. Cuantías condicionales
0,04 / 0,2 ; x1 = 0
f ( x1 , x2 ) 
f X 1 / X 2 =1 =
= 0,04 / 0,4 ; x1 = 1
f X 2 ( x2 = 1) 
0,04 / 0,4 ; x1 = 2
0,5 ; x2 = 0

f X 2 ( x2 ) = 0,2 ; x2 = 1
0,3 ; x = 2
2

Profesor: H. Allende R. Salas
f X 2 / X1 =2
 0,2 / 0,4 ; x2 = 0
f ( x1 , x2 ) 
=
= 0,08 / 0,4 ; x2 = 1
f X 1 ( x1 = 2) 
 0,12 / 0,4 ; x2 = 2
7
8
Profesor: H. Allende R. Salas
Ejemplo de vectores aleatorios
continuos
Nota
Obtenga además:
1.
E [X 1 ]
2.
ρ ( X1, X 2 )
3.
Sea X = (X1, X2) vector aleatorio continuo, con
densidad:
2
f X ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 )e − x1 I R + x [0,1] ( x1 , x2 )
3
V [ X 2 / X 1 = 2]
Calcular:
ρ ( X1, X 2 )
Profesor: H. Allende R. Salas
9
Solución
[ ]
E X1
2
[ ]
2
∞ 1
V [X 1 ] =
E[X 1 X 2 ] =
∞1
2
5
2
( x1 x2 + x2 )e − x1 dx1dx2 =
∫
∫
300
9
∞1
2
7
2
3
= ∫ ∫ ( x1 x2 + x2 )e − x1 dx1dx2 =
300
18
E[X 2 ] =
E X2
Solución
2
5
2
( x1 + x1 x2 )e − x1 dx1dx2 =
3 ∫0 ∫0
3
∞ 1
2
14
3
2
= ∫ ∫ ( x1 + x1 x2 )e − x1 dx1dx2 =
300
3
E[X 1 ] =
Profesor: H. Allende R. Salas
Profesor: Rodrigo Salas
10
Profesor: H. Allende R. Salas
V [X 2 ] =
13
162
∞1
2
8
2
2
( x1 x2 + x1 x2 )e − x1 dx1dx2 =
3 ∫0 ∫0
9
ρ ( X1, X 2 ) =
11
17
9
cov( X 1 , X 2 )
= −0,0951
V [X 1 ] V [X 2 ]
Profesor: H. Allende R. Salas
12
2
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Transformaciones de Vectores
Aleatorios
Función de Regresión
Sea X vector aleatorio continuo con densidad
conjunta f X , y sea y = g (x ) con g: D ⊆ R2
R2
función vectorial. Si se cumple:
♦D conjunto abierto: P X (D ) = 1
♦g es una transformación invertible con
derivadas parciales continuas
∂( g1 , g 2 )
♦Existe J =
/
J ≠0
∂( x1 , x2 )
En tal caso
−1
f y ( y1 , y2 ) = f X ( x1 , x2 ) ∗ J ∗ I g ( D ) ( y1 , y2 )
Sea X = ( X1 , X2 )vector aleatorio y sea
f X 2 ( x2 ) función de densidad marginal de X .
2
Además, sea M = { x2 : f X 2 (x2 ) > 0 }
g : D ⊂ R R.
Consideremos ϕ : M R / ϕ (X2) = E[g(X1)/X2].
ϕ se llama función de regresión de g(X1) en X2.
13
Profesor: H. Allende R. Salas
y sea
Profesor: H. Allende R. Salas
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Función de Regresión
Ejemplo de Transformaciones
Propiedades:
1. E [E [ X 1 / X 2 ]] = E [ X 1 ] E [E [ X 2 / X 1 ]] = E [ X 2 ]
Sean X1 , X2 v.a.c. y f X ( x1 , x2 ) = 4 x1 x2 I ]0 ,1[2 ( x1 , x2 )
2. V [ X 2 ] = E [V [ X 2 / X 1 ]] + V [E [ X 2 / X 1 ]]
3. Y1 = AX 1 + B Y2 = CX 2 + D
Entonces:
ρY Y =
1 2
A, B, C , D ∈ R
Encontrar:
1. fY ( y1 , y2 )
2. fY2 ( y2 )
4. ¿ Es y1 ⊥ y2 ?
15
Profesor: H. Allende R. Salas
Solución
∂( g1 , g 2 )
∂( x1 , x2 )
−1
1. f y ( y1 , y2 ) = f X ( x1 , x2 ) J I g (]0 ,1[2 )( y1 , y2 )
y
= 2 2 I g ( S ) ( y1 , y2 )
y1
1/ y2
1/ y2
dy1
2. fY2 ( y2 ) = ∫ fY ( y1 , y2 )dy1 = 2 y2 ∫
y1
y2
y2
Y1= g1(x1 , x2) Y2= g2(x1 , x2)
X1= h1(x1 , x2) X2= h2(x1 , x2)
−1
=
∂( h1 , h2 ) ∂h1 ∂y1 ∂h1 ∂y2
1
=
=
∂( y1 , y2 ) ∂h2 ∂y1 ∂h2 ∂y2 2 y1
Profesor: H. Allende R. Salas
Profesor: Rodrigo Salas
16
Solución
X1 , X2 ∈ ]0,1[ X12=Y1Y2 X22=Y2/Y1
Con Y1>0 ; Y2>0 ; Y1Y2<1 ; Y2/Y1<1
Sean
Y2 = X 1 , X 2
3. f Y1 / Y2
AC
ρX X
AC 1 2
Profesor: H. Allende R. Salas
sean también Y1 = X 1 / X 2
17
3. f Y1 / Y2
= 4 y2 ln y2
f ( y1 , y2 )
=
f Y2 ( y2 )
−1
0 < y2 < 1
Profesor: H. Allende R. Salas
18
3
Universidad Técnica Federico Santa María
Solución
y1
y
4. f Y1 ( y1 ) = ∫ 2 2 dy2 +
y1
0
1 y1
y2
∫2y
0
Esperanza y Varianza
Sean X , Y v.a. y α , C ∈ R
dy2
E X [α ] = α
1
E X [αX ] = αE [ X ]
1
= y1 I [0 ,1] ( y1 ) + 3 I [1,∞ [ ( y1 )
y1
f ( y1 , y2 ) ≠ f ( y1 ) f ( y2 ) ∴ Y1 , Y2 no son independientes
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Profesor: H. Allende R. Salas
Esperanza y Varianza
 n
 n
 n
 n
E ∏ X i  = ∏ E [ X i ] V ∑ X i  = ∑ V [ X i ]
 i =1  i =1
 i =1  i =1
En general para X1, X2,..., Xn v.a.cualesquiera:
n
 n

E ∏ X i  ≠ ∏ E [ X i ]
 i =1  i =1
n
n


2
V ∑ α i X i  = α i ∑ E [ X i ] + 2∑ α iα j cov( X i , X j )
i =1
i< j
 i =1

V [αX ] = α 2V [ X ]
V [X + C ] = V [X ]
X⊥ Y
V [X + Y ] = V [X ] + V [Y ] + 2 cov( X , Y )
21
Profesor: H. Allende R. Salas
Ejemplos de Distribuciones Continuas
Distribución (Binomial):
n , p=p1 , q=1-p=p2
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Ejemplos de Distribuciones
Multivariadas
Distribución (Polinomial): n , p1, p2,..., pk
n!
x
x
x
f X ( x1 , x2 ,..., xk ) = k
p1 1 p2 2 ... pk k I ( x1 ,.., xk )
{x : x ≥ 0 ∧ ∑ x = n}
∏ xi !
i
Ejemplos de Distribuciones Multivariadas
n!
x
x
f X ( x1 , x2 ) =
p1 1 p2 2 I ( x1 , x2 )
{x : x ≥ 0 ∧ ∑ x
x1! x2 !
i
Profesor: Rodrigo Salas
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Profesor: H. Allende R. Salas
Sean X1, X2,..., Xn v.a.independientes:
V [α ] = 0
Profesor: H. Allende R. Salas
E [ XY ] ≠ E [X ]E [Y ]
Esperanza y Varianza
Sean X , Y v.a. y α , C ∈ R
V [X + Y ] = V [ X ] + V [Y ] si
E [ X + Y ] = E [X ] + E [Y ]
i
= n}
23
i
i =1
E [ X ] = ( np1 , np2 ,..., npk )
− np1 pk 
 np1 (1 − p1 ) − np1 p2 K


O
M

∑ X= M

 − np p
K
np
1
p
−
(
)
1 k
k
k 

24
Profesor: H. Allende R. Salas
4
Universidad Técnica Federico Santa María
Ejemplos de Distribuciones
Multivariadas
X ∼ N(µ,Σ)
Distribución Normal (Bivariada):
f X ( x1 , x2 ) =
o bien
=
1
2πσ 1σ 2 1 − ρ 2
e
1
2π ∑
12
e
Ejemplo de Distribuciones Multinomial
1
− ( x − µ )T Σ −1 ( x − µ )
2
2
2

 x − µ  x −µ
 −1   x1 − µ1   x2 − µ 2 
 − 2 ρ  1 1   2 2
 + 


2
 σ1  σ 2
 2 (1− ρ )   σ 1   σ 2 
Además
E [ X ] = ( µ1µ 2 )
 σ2
∑X =  1
 ρσ 1σ 2
  
  
  
ρσ 1σ 2 
= V [X ]
2 
σ2 
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Profesor: H. Allende R. Salas
Ejemplo de Distribuciones Multinomial
P( X 1 = x1; X 2 = x2 ; X 3 = x3 ) =
3
x1
∏ xi !
ρ ( X1, X 2 ) = ρ
f X 1 ( x1 ) = N ( µ1 , σ 1 )
2
f X 2 ( x2 ) = N ( µ 2 , σ 2 )
2
x2
p1 p2 p3
x3
E[X 1 / X 2 ]
i =1
=
8!
(0,3) 2 (0,5)5 (0,2)1 = 0,0945
2!5!1!
f ( X 1 / X 2 ) = N ( µ1 + ρ
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Profesor: H. Allende R. Salas
Propiedades Normal Bivariada
f ( X 2 / X1 ) = N (µ2 + ρ
Profesor: Rodrigo Salas
V [X 2 / X 1 ]
σ2
2
( x1 − µ1 );σ 2 (1 − ρ 2 ))
σ1
Profesor: H. Allende R. Salas
V [X 1 / X 2 ]
σ1
2
( x2 − µ 2 );σ 1 (1 − ρ 2 ))
σ2
Profesor: H. Allende R. Salas
28
Aplicación Normal Bivariada
Análogamente se tiene que:
E[X 2 / X 1 ]
26
Profesor: H. Allende R. Salas
Propiedades Normal Bivariada
Solución:
n=8 ; p1=0,3 ; p2=0,5 ; p3=0,2
x1=2 ; x2=5 ; x3=1
n!
Las probabilidades de que cierta lámpara de un
modelo de proyector dure menos de 40 horas,
entre 40 y 80 horas, y más de 80 horas de uso
interrumpido son 0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente.
Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales
lámparas, 2 duren menos de 40 horas; cinco
duren entre 40 y 80 horas, y una dure más de 80
horas.
29
Dos elementos (X,Y) se distribuyen como
N ( µ , Σ ), siendo :
 1 0.8 

Σ = 
2 

Al analizar un elemento se observa que contiene
6 gramos de X.
- ¿Cuál es el valor más probable de Y?
 4
 6
µ =  
Profesor: H. Allende R. Salas
30
5
Universidad Técnica Federico Santa María
Solución
Problema de Tarea
La respuesta consiste en encontrar: E [ y / x = 6]
Una línea eléctrica se avería cuando la tensión
sobrepasa la capacidad de la línea. Si la tensión
se distribuye como N ( 100 ; 20 ) y la capacidad
como N ( 140 ; 10 ), calcular la probabilidad de
avería, suponiendo independencia.
E [ y / x = 6] = µ 2 + ρ
σ2
( x − µ1 ) = 7,6
σ1
gramos
V [ y / x = 6] = σ 2 (1 − ρ 2 ) = 2,72
2
Profesor: H. Allende R. Salas
Profesor: Rodrigo Salas
31
Profesor: H. Allende R. Salas
32
6