Triángulos isósceles inscritos en una circunferencia.

Artículo: "Triángulos isósceles inscritos en una circunferencia."
Autor: Benito Moreno Peña.
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“Triángulos isósceles inscritos en
una circunferencia.”
Autor: Benito Moreno Peña
Resumen: Dentro de este artículo se hace una reflexión sobre un
problema matemático que implica los conceptos de circunferencia y de
triángulo inscrito.
Palabras clave: Circunferencia, optimización, triángulo isósceles.
Cuadernos de Docencia - Revista Digital de Educación
I.S.S.N.: 1988 - 0227 | D.L: GR - 493 / 2007
Año I - Volumen I
Número 6 - Agosto 2.007.
Artículo: "Triángulos isósceles inscritos en una circunferencia."
Autor: Benito Moreno Peña.
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1. TRIÁNGULOS ISÓSCELES INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA.
Recordemos que un triángulo isósceles es aquel que tiene dos de sus
lados iguales y uno desigual.
Dentro de este artículo nos plateamos la manera de hallar, de entre
todos los triángulos isósceles circunscritos en una circunferencia, el de área
máxima.
g ( x) = 1 − x 2
Consideremos la función siguiente:
x 1
−1
No quita generalidad al problema suponer que el radio de la
circunferencia es igual a 1. Tampoco quita generalidad, al ser el triángulo
isósceles, estudiar la situación del gráfico, y el área mayor de los triángulos
formados nos dará la del triángulo circunscrito mayor.
Así que vamos a considerar la función que a cada x ∈ [− 1,1] le hace
corresponder el área del triángulo que hemos sombreado. Esta función, que es
la que debemos maximizar, es
f ( x) = (1 + x)· 1 − x 2
Tendremos que f ' ( x) = 1 − x 2 −
0 = 1− x2 −
(1 + x) x
1− x
2
, luego 1 − x 2 =
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(1 + x) x
1− x2
(1 + x) x
1− x
2
, y haciendo f ' ( x) = 0 , tenemos:
⇒ 1 − x 2 = x 2 + x ⇒ 2x 2 + x − 1 = 0 .
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Resolviendo esta ecuación, tenemos que x =
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−1± 1+ 8 −1± 3
=
,
4
4
obteniendo, x1 = 1 / 2 , x 2 = −1 (también deberíamos estudiar el caso en el que
x=1, pero lo desechamos ya que ahí el área será cero).
Como en x 2 = −1 tenemos un mínimo, concluimos que el máximo se
alcanza para x1 = 1 / 2 .
En este caso, la altura del triángulo circunscrito será
1
3
+ 1 = , y su base
2
2
será 2 1 − (1 / 2) 2 = 2 3 / 2 = 3 .
2
2
9 3
 3   3 
Como   + 
=
+ = 3 , se concluye que los otros dos lados
4 4
 2   2 
iguales tienen de longitud
3 , luego el triángulo resultante es isósceles.
Este mismo razonamiento se podría haber realizado con una
circunferencia de radio r , llegando a las mismas conclusiones.
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2. BIBLIOGRAFÍA.
•
T.M. Apostol. "Calculus". Ed. Reverté.
•
A.D. Aleksandrov. "La Matemática: su contenido, métodos y significado".
Alianza Editorial.
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