Péndulo físico

PROLOGO
El presente Informe de laboratorio, que tiene por titulo Péndulo Físico y teorema de Steiner, en la sección a la
cual pertenece el grupo de trabajo estuvo a cargo del Ing. Jose Pachas, profesor del curso de Física II, de la
Facultad de Ingeniería Mecánica.
El tema nos es útil para entender los diferentes métodos que existen para hallar el momento inercia de un
cuerpo, sobre todo si tiene una geometría desconocida.
También es una nueva oportunidad que tenemos los alumnos pertenecientes al grupo, para poder dar un aporte
que sea útil a nuestros compañeros, con los cuales intercambiaremos información sobre el tema desarrollado,
resultados, y así sacar conclusiones, con las cuales sacar recomendaciones para mejorar el experimento
realizado.
Por ultimo esperamos que el presente informe sea de su agrado.
INDICE
Prologo i
Indice ii
Objetivos 1
Fundamento Teorico 1
Materiales 3
Cálculos y resultados 4
Observaciones 10
Conclusiones 10
Recomendaciones 10
Bibliografía 11
Apéndice 12
OBJETIVOS
• Comprobar experimentalmente las leyes del péndulo físico constituido por una barra metálica,
midiendo el período de oscilación del mismo, para varias posiciones del centro de oscilación.
• Hallar la variación del T(periodo), respecto a la longitud entre el C.G, y el eje en que oscila.
• Determinar el tipo de movimiento respecto al ángulo de giro de la barra metálica
1
• Saber el procedimiento del calculo de momento de inercia para cuerpos con geometría desconocida.
FUNDAMENTO TEORICO
PENDULO FISICO
Se llama péndulo físico a aquel cuerpo rígido capaz de pivotar a través de un eje horizontal fijo, como se
muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posición de equilibrio, figura (b), aparece un torque
ejercido por la fuerza de gravedad teniendo como línea de acción el eje horizontal en el que se suspende el
cuerpo rígido y con dirección contraria al desplazamiento angular
, y de esta forma llevar al cuerpo rígido a su posición de equilibrio, posición que no logra obtener debido a la
inercia del cuerpo rígido, llevando la así a una nueva posición, donde nuevamente aparece un torque
recuperador repitiéndose este movimiento oscilatorio.
En el péndulo simple se cumple las siguientes relaciones (desmostradas en el punto 8 de calculos y
resultados):
Donde:
T : periodo
Io : momento inercia respecto al eje
IG : momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)
m : masa
! : longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O
En el caso que estudiaremos para la barra usaremos las siguientes terminologías y relaciones:
Donde:
Ti : periodo experimental
Ii : momento inercia para cada # de hueco
2
IG : momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)
m : masa (constante)
!i : longitud del centro de gravedad a cada # de hueco
b : longitud de la barra (constante)
a : ancho de la barra (constante)
Momento de Inercia
Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas
de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido.
Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo.
Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme.(La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en
traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación) Así,
por ejemplo, la segunda ley de newton tiene como equivalente para la rotación:
MATERIALES
• Una barra metalica con agujeros circulares
• Un soporte de madera con cuchilla
• Un cronometro digital
• Una regla milimetrada
CALCULOS Y RESULTADOS
• Presentamos la tabla 1
Donde calculamos el periodo T de la siguiente forma :
3
# de
hueco
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ði (cm)
t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
# de oscilaciones
50.8
45.8
40.8
35.7
30.8
25.8
20.9
15.9
10.8
5.8
16.76
16.48
16.36
16.04
15.93
9.68
9.98
10.72
6.14
7.89
16.75
16.40
16.18
16.12
15.95
9.67
9.89
10.67
6.06
8.01
16.76
16.50
16.21
16.02
15.96
9.65
10.06
10.68
6.10
8.04
10
10
10
10
10
6
6
6
3
3
periodo T
promedio
1.676
1.646
1.625
1.606
1.595
1.611
1.663
1.782
2.033
2.660
• a) Grafica de T vs !
• Calculo de ! a partir del periodo T, cuando T es minimo
Para ello se calculara a partir de las siguientes relaciones:
Primero hacemos a T en función de !, entonces reemplazamos () en ()
Luego hay dos formas de resolverlo:
• Aplicando el criterio de la primera derivada, derivamos respecto a !
para T mínimo,
Quedando
Pero IG es igual a:
4
, reemplazando en
tenemos:
Reemplazando los datos: a = 3.75 cm ; b = 102.6 cm
Obtenemos !=29.63
T=1.544
• Como tenemos T en función de !, lo graficamos usando el programa MATLAB 7.0 , y obtenemos que para
T mínimo, !=29.63 y T=1.544, dándonos el mismo resultado (Apéndice A), pero de una manera mas rápida
que la anterior.
• Comparación de ! obtenido en a) y b), y su respectivo periodo
Los resultados obtenidos de a) son: !=30.08 y T=1.595
b) son: !=29.63 y T=1.544
• Para deducir dos puntos con el mismo periodo, trazamos una recta horizontal, (en la grafica de T vs !) y
afirmamos que son correspondientes al hueco # 4 y hueco # 6
• Tabla 2
# de hueco
Eje de oscilación !
(cm)
1
50,8
2
45,8
3
40,8
4
35,7
5
30,8
6
25,8
7
20,9
8
15,9
9
10,8
10
5,8
• Grafico de I1 vs !2
(periodo)2
LONGITUD2
Momento de
T 2(S2)
2.81
2.71
2.64
2.58
2.54
2.60
2.76
3.17
4.13
7.08
!2 (cm2)
2580.64
2097.64
1664.64
1274.49
948.64
665.64
436.81
252.81
116.64
33.64
Inercia (Kg.cm2)
6635.20
5772.19
5011.66
4283.26
3643.39
3115.20
2688.00
2347.82
2077.09
1909.00
• Por comparación obtener IG y M
Del grafico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos:
Y=1.861X + 1873.9 Donde X=!2
Y=I
Reemplazando queda : I =1.861!2 + 1873.9
comparando con la formula I = m.L2 + IG
5
Tenemos:
m= 1.861 Kg.
IG = 1873.9 Kg.cm2
• Obtención del error experimental para IG
Aplicando la formula para una barra homogénea:
Donde: a: ancho de la barra
b: largo de la barra
m: masa
Reemplazando los datos tenemos IG = 1644.36 Kg.cm2
El error experimental es:
• Hallando la longitud del péndulo simple equivalente
Como Sabemos el período del péndulo simple es :
Pero para el péndulo físico el período es :
Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que:
Para el hueco 8:
Momento inercia = 2347.82 Kg.cm2
Masa = 1.872 Kg ! L = 35.41cm
• Demostración de las relaciones utilizadas
6
Demostración de la relación (13.1)
Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de
restitución:
El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y
viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S
porque el momento de torsión es proporcional a sen, no a , pero si es pequeño podemos aproximar
sen por en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S
Quedando:
Pero la ecuación de movimiento es:
Remplazando:
ecuación diferencial
Pero
Demostración del teorema de steiner (relación 13.2)
El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido
respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a
un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.
El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es
El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es
7
Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.
En la figura, tenemos que
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa
desde el centro de masa. Quedando:
OBSERVACIONES
• En los diferentes casos las oscilaciones que dio el péndulo simple, el ángulo inicial con el que se soltó
no es el mismo, tiene una ligera variación.
• El tiempo medido para cada caso de oscilacion sufre variaciones debido a la precision del cronometro.
• La cuchilla q sostiene a la barra metálica no es un eje fijo (como se indica teóricamente) tiene
pequeñas vibraciones, esto provoca una propagación de errores.
• El momento de inercia obtenido respecto al eje de oscilación (teórico y experimental) son diferentes
debido a que no se consideran los huecos que tiene la barra.
CONCLUSIONES
• El cálculo de momento de inercia para cuerpos que no presentan geometría conocida, es más fácil
calcularlo utilizando el péndulo físico.
• En un péndulo físico, cuanto mas se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, su periodo
disminuye luego aumenta.
• En un péndulo físico y simple el ángulo de giro debe ser mucho menor a 15 grados, para que sea un
M.A.S (movimiento armónico simple) y si es mayor a esta se da un M.A.A (movimiento armónico
amortiguado).
• En el experimento se pudo hallar la longitud de un péndulo simple equivalente a la barra metálica,
utilizando previamente el periodo experimental.
• En el experimento se pudo poner a prueba las formulas de péndulo físico hechas en clases.
• En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no se consideran en los
resultados como son la temperatura, la fuerza de fricción del aire.
RECOMENDACIONES
• Para que los resultados sean más precisos se recomienda tener en cuenta las masas de los huecos de la
barra.
• Se recomienda limpiar la barra de las manchas hechas por el uso de otros experimentos.
• Para tener una mejor precisión a la hora de medir el tiempo de oscilación con el cronometro, es
necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones.
8
BIBLIOGRAFIA
• Facultad de Ciencias.(Universidad Nacional de Ingeniería), Manual de laboratorio de física
general, 2004, Pág. 81.
• Separata de movimiento oscilatorio(Universidad Nacional de Ingeniería);José Casado Marqués,
docente de la UNI, Pág. 8
• Mecánica Racional(Dinámica),editorial Libros Técnicos, Jorge Días Mosto; Pág. 233.
• www.sociedadcolombianadefisica.org.co/revista/Vol36_1/articulos/pdf/3601056.pdf
• www.fisicarecreativa.com/guias/pendulo2.pdf
APENDICE
Apéndice A
Para la grafica de T vs L, programamos en MatLab 7.0 lo siguiente:
%LvsT
L=4:1/1000:60
T=2*pi*sqrt((1644.36+1.872*L.^2)./(1.872*981*L))
comet(L,T)
plot(L,T)
grid on
ylabel('T (s)')
xlabel('L (cm)')
y la grafica fue
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
FISICA II SECCION C
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