Flujo Potencial - U

UNIVERSIDAD DE CHILE
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
CI31A – MECÁNICA DE FLUIDOS
Prof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS
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FLUJO POTENCIAL BIDIMENSIONAL
(continuación)
RESUMEN DE LA CLASE ANTERIOR
r
r
Si un flujo es irrotacional, ∇ × V = 0 , entonces existe una función escalar φ tal que V = ∇φ .
De este modo para el caso 2-D se tiene que:
u=
∂φ
∂x
v=
∂φ
∂y
La ecuación de continuidad para un fluido incompresible en términos de la función
potencial φ está dada por:
∇2φ = 0
La función φ = constante se denomina línea equipotencial.
Superposición:
Por ser la ecuación de Laplace lineal, se cumple que si φ 1 y φ 2 son soluciones de la ecuación
de Laplace, entonces φ = φ 1 + φ 2 también lo es. De acá resulta que el campo de velocidades
r
r
también se puede superponer, o sea si V1 deriva de φ 1 y V2 deriva de φ2 , entonces
r r
r
V = V1 + V2 .
En coordenadas polares:
1 ∂  ∂φ  1 ∂ 2 φ
∇ φ=
=0
r  +
r ∂r  ∂r  r 2 ∂θ 2
2
ur =
∂φ
∂r
uθ =
-1 -
1 ∂φ
r ∂θ
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Las líneas de corriente se definen como las tangentes al vector velocidad. DE proporción de
triángulos resulta:
r
V
dx
dy
u dx
=
v dy
v
u
udy − vdx = 0
Línea de corriente
Definamos una función ψ. Si la función es constante, entonces dψ = 0. O sea:
dψ =
De donde resulta que:
u=
∂ψ
∂ψ
dx +
dy = 0
∂x
∂y
∂ψ
∂y
v=−
∂ψ
∂x
La función ψ se denomina función de corriente.
En un flujo irrotacional se cumple que
ωz =
∂u ∂v
−
= 0 . Al expresar la vorticidad en
∂y ∂x
términos de la función de corriente resulta:
∇2ψ = 0
∂φ ∂ψ
=
∂x ∂y
Ecuaciones de Riemman:
u=
En coordenadas polares:
ur =
∂φ 1 ∂ψ
=
∂r r ∂θ
v=
∂φ
∂ψ
=−
∂y
∂x
uθ =
1 ∂φ
∂ψ
=−
r ∂θ
∂r
Las líneas equipotenciales y las de corriente son perpendiculares entre sí.
ψ2
q
ψ1
El caudal (2D) que escurre entre dos líneas de
corriente es igual a la diferencia de las
funciones de corriente: q = ψ 2 - ψ 1 .
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Determinación del campo de velocidades y condiciones de borde
Para determinar el campo de velocidades de cualquier flujo debe resolverse la
determinación de Laplace para φ o para ψ con las condiciones de borde adecuadas.
Conocida φ (o ψ), se determina el campo de velocidades por simple derivación. Las
condiciones de borde típica son:
Condición de borde en el infinito:
r
r
x, y → ± ∞ ; V → V∞
Por ejemplo, si se desea conocer el campo de velocidades en torno a un cuerpo sumergido
r
en un flujo tal que V∞ = (U ,0 ) , las condiciones de borde serán:
x → ±∞ , ∀y ; u → U , v = 0
En términos de la función potencial x → ±∞ , ∀y ;
En términos de la función de corriente:
∂ψ
→U
∂y
∂φ
→U
,
∂x
∂ψ
,
=0 .
∂x
∂φ
=0
∂y
Condición de borde en una frontera sólida impermeable en reposo:
r
La velocidad normal a la frontera debe ser nula, o sea V ⋅ n̂ = 0 , donde n̂ es la normal a la
superficie.
En términos de la función potencial, esta condición se escribe como:
∇φ ⋅ n̂ =
∂φ
=0
∂n
Para escribirla en términos de la función de corriente debemos recordar que la frontera es
una línea de corriente. Si ŝ es el vector tangente a la superficie que define la frontera, se
tiene:
∂ψ
=0
∂s
o, lo que es lo mismo ψ = cte. a lo largo de la frontera.
Conocido el campo de velocidades es fácil determinar la presión a partir de la ecuación de
Bernoulli.
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EJEMPLOS DE FLUJOS POTENCIALES USUALES
FLUJO PARALELO UNIFORME
φ = cte.
Consideremos un flujo uniforme paralelo al eje
x con velocidad V∞ .
y
La función de corriente está dada por:
∂φ

= V∞ 
∂x

 ⇒ φ ( x, y ) = V∞ x + const.
∂φ
v=
=0 
∂y

u=
ψ= cte.
x
La constante de integración es arbitraria y por simplicidad podemos elegir φ = 0 para x =0.
La línea de corriente está dada por :
u = V∞ =
∂ψ
∂ψ
, v=0=−
⇒ ψ ( x, y ) = V∞ y
∂y
∂x
(se impuso que en y = 0, ψ =0)
Si el flujo forma un ángulo α con el eje x, las funciones potencial y de corriente están dadas
por:
φ = V∞ ( x cos α + y sin α ) , ψ = V∞ ( y cos α − x sin α )
y
α
x
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FUENTE
uθ
φ = const.
Busquemos una solución de la función potencial
que sólo dependa de la coordenada r: φ = φ(r).
ur
r
La ecuación de Laplace en coordenadas polares
queda:
θ
y
x
1 ∂  ∂φ 
r  = 0
r ∂r  ∂r 
ψ = const.
de donde φ = c ln r + A .
componentes del campo de velocidad están dadas por:
ur =
∂φ c
=
∂r r
uθ =
De
este
modo,
las
1 ∂φ
=0
r ∂θ
El caudal que atraviesa un círculo de radio r centrado en el origen del sistema de
coordenadas polares es:
q = 2πru r = 2πc
q
. Eligiendo arbitrariamente que en r = 1, φ = 0, la función potencial y las
2π
velocidades debido a una fuente son:
de donde c =
φ=
q
ln r
2π
,
ur =
q
2πr
,
uθ = 0
Conocidas las velocidades, se obtiene la función de corriente:
ur =
q
1 ∂ψ
=
r ∂θ 2π r
uθ = −
∂ψ
=0
∂r
Integrando las ecuaciones anteriores se obtiene:
ψ=
q
θ
2π
Si q > 0, el flujo se debe a una fuente. Si q < 0, se está en presencia de un sumidero.
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VÓRTICE LIBRE
Busquemos una solución de la función potencial que sólo
dependa de la coordenada θ: φ = φ(θ).
uθ
ur
La ecuación de Laplace en coordenadas polares queda:
1 ∂2 φ
=0
r 2 ∂θ 2
De donde resulta que la función potencial y las
componentes de velocidad están dadas por:
φ = cθ
,
ur =
∂φ
=0
∂r
,
uθ =
1 ∂φ c
=
r ∂θ r
r r
Calculemos la circulación Γ del vórtice. La definición de circulación es: Γ = ∫ V ⋅ ds
Γ =∫
2π c
r
0
rdθ = 2 πc
Notar que, aunque el flujo es irrotacional, existe circulación. Si calculamos la vorticidad,
encontraremos que es nula en todo el dominio del flujo, excepto en el origen, donde la
vorticidad es infinita. Verificar esto es muy fácil. (Usar ω z =
(
1 ∂
r ∂r
la función potencial en términos de la circulación está dada por:
φ=
Γ
θ
2π
Conocidas las velocidades, se obtiene la función de corriente:
ur =
1 ∂ψ
=0
r ∂θ
uθ = −
∂ψ
Γ
=
∂ r 2πr
Integrando las ecuaciones anteriores se obtiene:
ψ=−
Γ
ln r
2π
El signo de Γ define el sentido del giro de las líneas de corriente.
-6 -
)
(ruθ) − ∂∂uθr ). De este modo,
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DIPOLO
Consideremos una fuente y un sumidero separadas una distancia L, como se muestra en la
figura, equidistantes del origen.
Si φ 1 es el potencial debido a la fuente y φ 2 al
sumidero, φ = φ 1 + φ 2 es el debido a la
combinación de ambos:
y
r1
r2
r
φ=
θ
q
-q
q
q
q
(ln r1 − ln r 2 )
ln r1 −
ln r2 =
2π
2π
2π
x
Nos interesa el caso cuando la fuente y el
sumidero están infinitamente cerca y el producto
qL se mantiene constante e igual a K.
O sea: lim φ
L
L →0
K cte.
lim φ = lim
L →0
K cte.
L→ 0
K cte.
q
qL (ln r1 − ln r2 ) K
(ln r1 − ln r2 )
(ln r1 − ln r2 ) = lim
=
lim
L →0 2 π
2π
L
2π L→ 0.
L
K cte.
Pero el último límite no es más que la definición de la derivada de lnr respecto a x:
lim
(ln r1 − ln r2 )
L →0.
L
=
d
d
x
ln r =
ln x 2 + y 2 = 2
dx
dx
x + y2
Por lo tanto la función potencial de un dipolo es:
φ=
K
x
2
2π x + y 2
En coordenadas polares:
φ=
K cos θ
2π r
Determinemos ahora las líneas equipotenciales. Ellas están dadas por φ = C, constante:
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K
x
=C
2
2π x + y 2
2
K 

 K 
2
x −
 +y =

4πC 

 4 πC 
2
O sea, las líneas equipotenciales son circunferencias de radio
K
4πC
con centro en
( 4KπC ,0 ).
Conocida la función potencialφ, es fácil determinar la función de corriente ψ, resultando:
ψ=−
y
K
2
2π x + y2
En coordenadas polares:
ψ=−
K sen θ
2π r
Las líneas de corriente
definidas a partir de:
ψ=C
quedan
y
K
=C
2
2π x + y 2
2
K 

 K 
x2 +y −
 =

4
π
C


 4 πC 
φ=C
2
O sea, las líneas de corriente son
circunferencias de radio 4K
con
πC
(
)
centro en 0 , 4K
.
πC
Si el dipolo no está orientado en la dirección del eje x, sino que forma un ángulo α con este
eje, la función potencial y de corriente son:
φ=
K cos (θ − α )
2π
r
ψ=−
-8 -
K sen (θ − α)
2π
r
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FLUJO ALREDEDOR DE UN CILINDRO
Como se mostrará más adelante, el flujo en torno a un cilindro corresponde a la
superposición del flujo uniforme y el dipolo. En coordenadas cilíndricas, las funciones
potenciales y de corriente para estos flujos son:
φ U = V∞ r cos θ
φD =
ψ U = V∞ rsen θ
Llamando R 2 =
K cos θ
2π r
ψD = −
K sen θ
2π r
K
:
2π

R2 
φ = φ U + φ D = V∞ r cos θ 1 + 2 

r 


R2
ψ = ψ U + ψ D = V∞ rsenθ 1 − 2
r





Notar que para r = R, ψ = 0. Por lo tanto, el círculo de radio R es una línea de corriente. La
función de corriente también es nula para θ = 0 (rama positiva del eje x) y para θ = π (rama
negativa del eje x).
A partir de las funciones anteriores, es posible determinar el campo de velocidades:
ur =

1 ∂ψ
R2 
= V∞ cosθ 1 − 2 
r ∂θ
r 

uθ = −

∂ψ
R2 
= −V∞ senθ 1 + 2 
∂r
r 

Las velocidades sobre la superficie del cilindro se determinan al evaluar las expresiones
anteriores en r = R, resultando:
ur = 0
u θ = −2 V∞ senθ
Es fácil ver que existen dos puntos de estancamiento (u r = u θ = 0), los que se ubican en r = R
para θ = 0 y θ = 2π. Un esquema de las líneas de corriente y la distribución de velocidades se
da en la figura siguiente.
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La distribución de presiones podemos
calcularla a partir de la ecuación de
Bernoulli, B∞ = B :
V∞
p ∞ V∞2 p V 2
+
= +
γ
2g γ 2g
2V∞
donde V 2 = u 2r + u θ2 . En particular se puede
calcular la distribución de presiones sobre la
superficie del cilindro, p cil = p(R,θ):
p ∞ V∞2 p cil 4 V∞2 senθ
+
=
+
γ
2g
γ
2g
R
Consideremos que p ∞ es la presión atmosférica y trabajemos con presiones relativas:
p cil V∞2
=
(1 − 4senθ )
γ
2g
Conocida la distribución de presiones, es posible calcular la fuerza debido a la presión sobre
el cilindro:
2π
Fx = −∫ p cil cos θRdθ
0
2π
Fy = −∫ p cilsenθRdθ
0
Integrando resulta Fx = Fy = 0. O sea, el flujo no tiene ningún efecto
sobre el cilindro, lo que va contra la onservación empírica. Este
resultado se conoce como la paradoja de d’Alambert. Ya vimos que
esta paradoja fue resuelta por Prandtl con su concepto de capa límite.
Jean le Rond d’Alambert
(1717-1783)
La fuerza en la dirección del flujo (F x ) se denomina fuerza de arrastre
y la fuerza en la dirección normal (Fy) es la fuerza de sustentación.
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FLUJO ALREDEDOR DE UN CILINDRO CON CIRCULACIÓN
Impongamos ahora una circulación Γ al flujo alrededor de un cilindro. Esto resulta de
agregar un vórtice a la superposición del flujo uniforme más el dipolo. La superposición de
funciones de corriente es:
ψ = V∞ rsen θ +
K sen θ Γ
+
ln r
2π r
2π
Con el objeto de definir la función de corriente nula en r = R restamos la constante
la expresión anterior, resultando:

R2
ψ = V∞ rsenθ 1 − 2
r

Γ
2π
ln R a
 Γ r
+
 2 π ln R 

de donde se determina el campo de velocidades:
ur =

1 ∂ψ
R2
= V∞ cos θ 1 − 2

r ∂θ
r





uθ = −

∂ψ
R2 
Γ
= − V∞ sen θ 1 + 2  −


∂r
r  2 πr

La velocidad en la superficie del cilindro es:
ur = 0
u θ = − 2V∞ sen θ −
Γ
2 πR
Es interesante estudiar la existencia de puntos de estancamiento. Imponiendo ur = uθ = 0, se
encuentra los siguientes casos:
-Γ =0
Dos puntos de estancamiento, en r = R y θ = 0, θ = π (caso del cilindro
sin circulación).
- 0 < Γ < 4πRV ∞
 −Γ
Dos puntos de estancamiento, en r = R y θ = arcsen 
 4πRV∞
- Γ = 4πRV ∞
Un punto de estancamiento en r = R y θ = 32 π .
- 11 -

 .

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- Γ > 4πRV ∞
Dos puntos de estancamiento, uno dentro del cilindro y otro fuera,
ubicados en θ = 23 π y r =
Γ
4π V∞
±
(
) −R
Γ 2
4 πV∞
2
.
Al igual que en el caso del cilindro sin circulación, la fuerza de arrastre (F x) es nula, pero sí
existe una fuerza de sustentación hidrodinámica (F y):
Fy = ∫
2π
0
− p cilRsenθdθ
La distribución de presiones sobre la superficie del cilindro se calcula igualando Bernoulli,
al igual que en el caso anterior, resultando:
p cil V∞2
=
γ
2g

Γ
 1 − 4sen θ − 2 Γsen θ − 


πRV∞  2 πRV∞

pudiendo así
sustentación:



2




evaluarse
la
fuerza
de
Fy = ρV∞ Γ
El resultado anterior puede generalizarse a
cualquier geometría (en particular, por
ejemplo, el ala de un avión) y corresponde al
Teorema de Kutta-Joukowski.
Martin Wilhelm Kutta
Nikolai Egorovich
Joukowski
- 12 -