Diapositivas de análisis espectral

Introducción a la Teoría de la Información
Introducción a la Transformada de Fourier
Facultad de Ingeniería, UdelaR
Año 2015
(Facultad de Ingeniería, UdelaR)
Teoría de la Información
Año 2015
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Señales sinusoidales
x(t) = A.cos(2πf0 t) = A.
ej2πf0 t + e−j2πf0 t
2
con

 2πf0 = ω0 , frecuencia angular
1

= T0 , período de la señal
f0
Potencia
1
T0
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Z
|x(t)|2 dt =
T0
Teoría de la Información
A2
2
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Señales periódicas y series de Fourier
v(t) periódica de período T0 si para n entero, v(t ± nT0 ) = v(t)
Expansión en serie de Fourier
v(t)
=
+∞
X
c(nf0 )ej2πnf0 t
−∞
v(t)
=
+∞
X
(a(nf0 )cos(2πnf0 t) + b(nf0 )sen(2πnf0 t))
0
Líneas espectrales. Armónicos. Teorema de la potencia
(Facultad de Ingeniería, UdelaR)
Teoría de la Información
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Fórmulas directa e inversa
Fórmulas directa e inversa
v(t)
=
+∞
X
c(nf0 )ej2πnf0 t
−∞
c(nf0 )
(Facultad de Ingeniería, UdelaR)
=
1
T0
Z
v(t)e−j2πnf0 t dt
T0
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Ejemplo: señal periódica. Tren de pulsos
c(nf0 )
=
=
1
T0
Z
T0
2
T
− 20
v(t).e−j2πnf0 t dt =
1
T0
Z
τ
2
A.e−j2πnf0 t
−τ
2
A
sen(πnf0 τ ) = Aτ f0 sinc(f0 τ )
πn
Observar el valor de continua
Aτ
T0
Líneas espectrales cada f0 de amplitud dada por una función sinc
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Líneas espectrales y Teorema de Parseval
Líneas espectrales
En los múltiplos de f0
Si v(t) es real, c(−nf0 ) = c∗ (nf0 )
Teorema (de la potencia o de Parseval)
P
1
T0
Z
=
Z
=
1
T0
=
+∞
X
−∞
=
+∞
X
|v(t)|2 dt =
T0
v(t).
"+∞
X
T0
1
T0
v(t).v ∗ (t)dt
T0
#
∗
c (nf0 )e
−j2πnf0 t
dt
−∞
c∗ (nf0 )
1
T0
Z
v(t).e−j2πnf0 t dt
T0
c∗ (nf0 ).c(nf0 ) =
−∞
(Facultad de Ingeniería, UdelaR)
Z
+∞
X
|c(nf0 )|2
−∞
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Señales no periódicas y transformada de Fourier
Aproximaciones o modelos: no hay señales periódicas ni anchos de banda netamente
limitados
v(t) ahora limitada en tiempo y energía, E =
+∞
R
|v(t)|2 dt
−∞
Transformada:
+∞
Z
V (f ) =
v(t)e−j2πf t dt
−∞
Inversa:
v(t) =
+∞
Z
V (f )ej2πf t df
−∞
V (f ) en general compleja. Si v(t) real, V (−f ) = V ∗ (f )
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Ejemplo: pulso rectangular
Teorema (de la energía)
+∞
+∞
Z
Z
∗
v(t).w (t)dt =
V (f ).W ∗ (f )df
−∞
(Facultad de Ingeniería, UdelaR)
−∞
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Algunas propiedades
v(t) ←→ V (f )
Desplazamiento en frecuencia: v(t)ej2πfc t ←→ V (f − fc )
Desplazamiento en tiempo: v(t − td ) ←→ V (f )e−j2πf td
R∞
Convolución. Definición: v ∗ w(t) =
v(τ )w(t − τ )dτ
−∞
I
I
I
v(t) ←→ V (f )
w(t) ←→ W (f )
v(t) ∗ w(t) ←→ V (f ).W (f )
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Modulación o translación en frecuencia
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Muestreo
P
Tren de pulsos s(t) =
δ(t − kT s)
P
s(t) =
c(nfs )ej2πnfs t
v(t) = V (f )
vs (t) = v(t).s(t) =
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P
c(nfs )V (f − fs )
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Reconstrucción
Se recupera la señal original con un filtro pasabajos de ancho de banda W
Señal reconstruída
g(t) =
X
v(kTs )
sen [2πw(t − kTs )]
2πw(t − kTs )
Una función limitada en banda W tiene 2W grados de libertad por unidad de tiempo.
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Teorema del muestreo
Teorema (del muestreo)
Una señal de ancho de banda W puede ser reconstruida si se muestrea a fs > 2W
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