La estadística inferencial: algunos conceptos previos. - OCW-UV

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T. 10 – La estadística inferencial: algunos conceptos previos.
1. Teoría de la Probabilidad
2. Variables aleatorias
3. Modelos teóricos de distribución de probabilidad
3.1. La distribución binomial
3.2. La distribución o curva normal
4. La selección de la muestra.
• La importancia de la Teoría de la Probabilidad en el ámbito de la estadística se deriva del hecho de
constituir ésta uno de los pilares teóricos fundamentales sobre los que se asienta el desarrollo y
aplicación de la Estadística Inferencial. Así, mientras que si de una o más variables conocemos sus
características (tendencia central, dispersión, asociación...) en la población, la Teoría de la
Probabilidad nos permite establecer predicciones de las características que esas variables adoptarán
en una muestra de sujetos extraída al azar de esa población, la estadística inferencial -basándose en el
conocimiento desarrollado por la Teoría de la Probabilidad en ese camino de la población a la
muestra- ha establecido las bases para trazar el camino opuesto, esto es, inferir a partir de los datos de
una muestra en una o más variables, cómo serán las características (tendencia central, dispersión,
asociación...) de esas variables en la población a la que esa muestra representa. Gráficamente:
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POBLACIÓN
Variables aleatorias
Parámetros: µ X , π X , σ X ...
Teoría de la
Probabilidad
Muestreo
Estadística
Inferencial
MUESTRA
Variables estadísticas
Estadísticos: X , pX,
1. Teoría de la Probabilidad
• Ante un evento de resultado incierto, el campo de conocimientos de la Teoría de la Probabilidad ha
dirigido sus esfuerzos a determinar el grado en qué puede ocurrir cualquiera de los resultados
posibles [sucesos] que se pueden derivar de la realización de tal evento [experimento aleatorio].
Ejemplos de evento incierto: (1) el lanzamiento de una moneda (sucesos posibles: que salga
cara y que salga cruz); mi estado de salud durante el próximo mes (sucesos posibles: bueno;
malo; regular); la práctica religiosa de un estudiante de la Universidad elegido al azar (sucesos
posibles: ninguna; católica; protestante; etc.); el CI de ese mismo estudiante (sucesos posibles:
que sea igual a 120; que sea igual a 85... En este último caso, los sucesos se podrían expresar,
no en forma de sucesos elementales, sino de sucesos compuestos, por ejemplo: que sea menor
de 110; que sea mayor o igual a 110.
• El esfuerzo de la Teoría de la Probabilidad por determinar el grado en qué puede ocurrir uno
cualquiera de los sucesos asociado a un determinado experimento aleatorio se ha concretado en la
asignación de un valor numérico que refleje el grado en que es previsible la ocurrencia de ese suceso.
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A este valor numérico se le conoce como probabilidad (P) y puede, por convención, oscilar entre 0 y
1 (0: probabilidad nula; 1: probabilidad segura). Así, para el suceso i de un experimento aleatorio X:
0 ≤ P( X i ) ≤ 1
Otra propiedad importante de las probabilidades es que, para los distintos (n) sucesos elementales
asociados a un experimento aleatorio, la suma de sus probabilidades será igual a 1:
n
∑ P( X ) = 1
i =1
i
• A continuación se van a describir 3 enfoques en la estimación de las probabilidades asociadas a los
resultados posibles de un evento incierto. Dado que normalmente estos enfoques lo que permiten
obtener son estimaciones, no los verdaderos valores de probabilidad, haremos referencia a estos
valores estimados con el símbolo P’, mientras que para el verdadero valor de probabilidad se reserva
el símbolo P.
(1) Enfoque subjetivo: supone estimar la probabilidad de un suceso en función del grado de confianza
personal que se tiene acerca de la ocurrencia del mismo, ya venga esa confianza determinada por
nuestra experiencia vital, por nuestras convicciones personales o creencias, o por cualquier otra
fuente sobre la que se base el conocimiento que tenemos de nuestro medio. Se trata del
procedimiento más utilizado en la práctica desde siempre a la hora de estimar probabilidades,
especialmente, cuando no se tienen ciertas nociones sobre otras aproximaciones al cálculo de
probabilidades, o bien, cuando aplicar éstas resulta poco operativo. Por ejemplo, cuando me asomo a
la ventana antes de salir de casa y veo el cielo, realizo una estimación de la probabilidad de que
llueva durante el día. Y como consecuencia de esa estimación, y dependiendo de lo que me importe
mojarme, decido qué ponerme o si coger un paraguas. En realidad, hacemos este tipo de estimaciones
subjetivas de probabilidad en muchas ocasiones, aunque no siempre de forma muy consciente,
constituyendo un elemento determinante de las decisiones que finalmente tomamos.
Ejemplos de estimación subjetiva de probabilidad: (1) a la hora de estimar la probabilidad de
que al lanzar dos dados salgan en ambos un seis, muchas personas realizarían una estimación
subjetiva de la misma pues, aunque existen otras aproximaciones más precisas a la hora de
realizar esa estimación, su aplicación es desconocida para muchos; (2) también las personas
suelen realizar estimaciones subjetivas de la probabilidad de que les toque el ‘gordo’ en un
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sorteo de lotería -en general, muy al alza- y, curiosamente, suelen ser estimaciones diferentes
en función del número considerado; (3) también es habitual realizar estimaciones subjetivas de
la probabilidad respecto al resultado de un partido, por ejemplo, de que gane el Valencia CF en
su partido del próximo fin de semana.
(2) Enfoque clásico o a priori: consiste en estimar la probabilidad de un suceso (Xi) como la razón
entre los resultados favorables a ese suceso y el número total de resultados posibles que se pueden
dar en la realización del experimento aleatorio.
P′( X i ) =
n º de resultados favorables
n º de resultados posibles
Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un 5?
P′( X i = 5) =
1
= 0,167
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Ejercicio 1: ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un 3?; ¿y de que salga número
par?; ¿y de que al lanzar dos dados, la suma de los puntos dé igual a 7?; ¿y de que en la lotería de
Navidad toque el gordo en el número al que juego?
Este enfoque en la estimación de probabilidades asume el conocido como principio de indiferencia,
esto es, que la probabilidad de ocurrencia de todos los sucesos es la misma. Si se cumple este
supuesto en la realización de un determinado experimento aleatorio, entonces podremos decir que las
estimaciones realizadas de acuerdo a esta aproximación serán los verdaderos valores de probabilidad.
Sin embargo, el cumplimiento de este principio resulta difícil de aceptar en muchas situaciones en la
práctica. Por ejemplo, si aplicamos la aproximación clásica a la hora de estimar la probabilidad de
que un estudiante elegido al azar de la Universidad su estado civil sea viudo/a, nos daría igual a ¼, un
resultado poco creíble pero que ha venido motivado por realizar la estimación no cumpliéndose en
este caso el principio de indiferencia.
En algunos casos sí que se puede asumir el cumplimiento de este principio -por ejemplo, en juegos de
azar-, pero en otros muchos casos puede tenerse serias dudas acerca de la satisfacción del mismo, lo
cual cuestionaría la aplicación de este enfoque.
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(3) Enfoque frecuencialista, a posteriori o estadístico: dado un suceso Xi asociado a la realización de
un determinado experimento aleatorio, la estimación de la probabilidad de Xi a partir de este enfoque
se basa en la repetición de una gran cantidad de veces del experimento aleatorio en las mismas
condiciones, para así obtener la razón entre el nº de veces que ha ocurrido ese suceso (ni) y el nº de
repeticiones del experimento (n):
P′( X i ) =
ni
n
Ejercicio 2: ¿cómo se estimaría la probabilidad, de acuerdo a esta aproximación, de que salga un 3
en el lanzamiento de un dado?, ¿y del resto de sucesos planteados en el ejercicio 1?
De acuerdo al enfoque frecuencialista, cuanto mayor sea el número de repeticiones del experimento
aleatorio, más cercano será el valor de probabilidad estimado (P’(Xi)) al verdadero valor de
probabilidad P(Xi). En términos matemáticos:
ni
n →∞ n
P ( X i ) = lim
Ejemplo: Si lanzamos una moneda 10 veces a fin de estimar la probabilidad de que salga cara,
la probabilidad estimada podría ser, por ejemplo, P’(cara) = 0,6 si nos salieran 6 caras y 4
cruces en esos 10 lanzamientos. Sin embargo, a medida que aumenta el número de
lanzamientos (idealmente, hasta infinito) esta estimación se irá acercando a la probabilidad
verdadera. Se supone que ese valor será igual a 0,5, pero no tiene por qué necesariamente ser
así ya que la moneda podría tener algún tipo de curvatura o ser más pesada por alguno de los
dos lados.
Si nos fijamos en la fórmula de la aproximación frecuencialista, la estimación de la probabilidad de
un suceso se corresponde con la fórmula de la frecuencia relativa o proporción (pi) que vimos al
construir una distribución de frecuencias:
P′( X i ) = pi
En realidad, cualquiera de las variables vistas en los ejemplos de los temas precedentes puede
contemplarse como la repetición de un experimento aleatorio concreto, pues consiste en la medición
de un atributo determinado en múltiples ocasiones -tantas como diferentes sujetos sean medidos-, sin
tener certidumbre a priori de cuál van a ser los valores resultantes (sucesos) de esas mediciones. Y de
acuerdo a la aproximación frecuencialista de la probabilidad, las frecuencias relativas que se
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obtengan al calcular la distribución de frecuencias de esa variable, representarán la estimación de las
probabilidades asociadas a esos valores de la variable (experimento aleatorio).
Ejemplo: Queremos estimar la probabilidad de estar casado (Xi = casado) dentro de los
estudiantes de la UVEG y disponemos de una muestra de 500 estudiantes de dicha universidad:
- Experimento aleatorio: obtener información del estado civil de un estudiante de la UVEG.
- Repeticiones del experimento aleatorio: se pregunta a 500 estudiantes (n = 500).
- Nº de ocurrencias del suceso de interés: nº de estudiantes casados en esa muestra,
supongamos que son 60 (ncasado = 60).
- P’(X = casado) = 60/500 = 0,12. Esta estimación se aproximará a la probabilidad verdadera
cuanto mayor sea el nº de repeticiones, en este caso, el tamaño de la muestra. Se considerarán
como los verdaderos valores de probabilidad en el caso en que se cuente con datos para todos
los elementos de la población.
Ejercicio 3 (adaptado a partir de ejemplo de Barón-López, 2005): Se ha repetido en 1000 ocasiones
el experimento de elegir a una mujer de la población española de mujeres de entre 45 y 55 años,
obteniéndose datos de las variables “Nivel de masa ósea” [NO: normal; OE: Osteopenia; OO:
Osteoporosis (Clasificación de la OMS)] y “Haber pasado la menopausia” [N: No; S: Sí]. Los datos
obtenidos se muestran resumidos en la siguiente tabla de contingencia:
A partir de los datos recogidos, contéstese a las siguientes cuestiones (entre corchetes aparece el
equivalente de la cuestión expresado de forma simbólica):
a) ¿Cuál es la probabilidad (estimada) de que una mujer (extraída al azar de la población española
de mujeres de entre 45 y 55 años) tenga osteoporosis? [P(OO)]
b) ¿y de que no haya pasado la menopausia? [P(N)]
c) ¿y de tenga osteopenia u osteoporosis? [P(OE∪OO)]
d) ¿y de que no haya pasado la menopausia y tenga osteoporosis? [P(N∩OO)]
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e) ¿y de que tenga osteoporosis si sabemos que no ha pasado la menopausia? [P(OO|N)]
f) Conociendo que una mujer tiene osteopenia ¿cuál es la probabilidad estimada de que haya
pasado la menopausia? [P(S|OO)]
En este ejercicio se plantea la aplicación práctica de alguno de los teoremas básicos de la
probabilidad (más detalles sobre los mismos en, por ejemplo, Botella y cols. (2001, tema 12):
o probabilidad de la intersección de dos sucesos: P(A∩B)
o probabilidad de la unión de dos sucesos: P(A∪B)
o probabilidad condicional: P(B|A) o P(A|B)
2. Variables aleatorias
• Frente al concepto de variable estadística, el concepto de variable aleatoria supone contar con
información de la probabilidad asociada a cada una de las modalidades de la variable, lo cual implica
contar con datos para la población pues, en otro caso, lo que tendríamos serían frecuencias relativas,
esto es, estimaciones de las probabilidades, no las probabilidades en sí.
Ejemplo: Si medimos la variable “estado civil” en toda la población de estudiantes de la
UVEG (n = 45000) y obtenemos que 350 son viudos, entonces la frecuencia relativa
correspondiente a la modalidad ‘ser viudo’ (pviudo= 350/45000 = 0,008) será precisamente la
probabilidad de ‘ser viudo’ (Pviudo) en la población de estudiantes de la UVEG, y no una
estimación de la misma. Análogamente, si obtenemos las probabilidades asociadas a las otras
modalidades (sucesos) de la variable estado civil, tendremos la distribución de probabilidades
asociada a esta variable en la citada población:
Xi
soltero/a
P(Xi)
0,884
casado/a
0,105
separado/a
0,009
viudo/a
0,002
1,00
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• La distribución de probabilidad de una variable aleatoria -de forma análoga a la distribución de
frecuencias de una variable estadística- consiste en la correspondencia entre los distintos valores que
toma la variable y las probabilidades asociadas a esos valores.
- A esa correspondencia entre las modalidades de una variable y sus probabilidades se le suele llamar
función de probabilidad en el caso de tratarse de una variable aleatoria discreta (variables categóricas,
ordinales o cuantitativas discretas) y función de densidad de probabilidad en el caso de que sea
continua (variables cuantitativas continuas).
Ejemplo: función de probabilidad correspondiente a la variable ‘Nº de contratos laborales en
los 2 últimos años’ para la población de personas en edad laboral de la comarca del Camp de
Morvedre:
Xi
0
1
2
3
4
5
P(Xi)
0,08
0,31
0,35
0,18
0,07
0,01
1
- Y se llama función de distribución, ya sea la variable ordinal o cuantitativa, a la que hace
corresponder a cada valor de la variable, la probabilidad de que se dé un valor como ese o inferior
(concepto análogo al de frecuencia relativa acumulada). Este concepto no es aplicable si la variable
es categórica.
Ejemplo: función de distribución para el ejemplo anterior:
Xi
0
1
2
3
4
5
Pa(Xi)
0,08
0,39
0,74
0,92
0,99
1
• La distribución de probabilidad de una variable no suele ser conocida dado que, normalmente, no es
factible contar con los datos de todas las entidades de la población de interés para una determinada
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variable- Una aproximación a la misma consiste en estimar las probabilidades correspondientes a
partir de los datos recogidos para una muestra de esa población y la aplicación de la aproximación
frecuencialista al cálculo de probabilidades presentada antes. Otra vía de aproximación a la
distribución de probabilidad de una variable supone asumir, atendiendo a razones sustantivas o a la
experiencia práctica acumulada, que dicha variable se distribuye de acuerdo a algún modelo teórico
de características conocidas, tal como algunos de los que se presentarán en la siguiente sección.
• Cuando se obtiene un índice cualquiera -por ejemplo, la media- a partir de la distribución de
probabilidad de una variable, al valor resultante se le denomina parámetro (mientras que si fuera a
partir de una distribución de frecuencias, sería un estadístico).
• Se suelen utilizar letras griegas minúsculas para representar a los parámetros. Así, por ejemplo,
dada una variable X, se utiliza µX para representar la media, σX para la desviación típica, πX para la
proporción... Es lo mismo para el caso de los índices estadísticos bivariados, por ejemplo, σXY para la
covarianza, ρXY para el coeficiente de correlación de Pearson, α para la constante de la ecuación de
regresión... Hay algún caso especial, siendo el más notable el de la media aritmética que, como
parámetro, aparece también representada como E(X) y denominada, de forma alternativa, como
‘valor esperado’ y también ‘esperanza matemática’. Por último, para algunos índices no existe doble
asignación simbólica en función de que se traten de parámetros o de estadísticos, sea el caso de la
mediana (Md) o el coeficiente de variación (CV), entre otros muchos.
• La aplicación sobre la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de los índices de
tendencia central, dispersión, etc. presentados en temas previos, así como los que se van a presentar
en temas sucesivos, implica ciertas adaptaciones en las fórmulas presentadas para los mismos. A
título ilustrativo, se muestran a continuación las de la media (valor esperado) y la varianza para el
caso en que la variable sea ordinal o cuantitativa discreta:
E ( X ) = µ X = ∑ X i ⋅ P( X i )
σ X2 = ∑ ( X i − µ X )2 ⋅ P( X i )
Ejercicio 4: Obtener a partir del ejemplo presentado antes de la distribución de probabilidad de la
variable “Nº de contratos laborales en los 2 últimos años”:
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1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de la población anterior haya
tenido 3 contratos en los 2 últimos años?
2. ¿Y de que haya tenido más de 2 contratos?
3. Obtener la mediana y la moda de la variable.
4. Obtener el valor esperado (media) y la varianza de la variable.
Ejercicio 5: Sea el caso que contamos con datos de dos variables aleatorias en la población de
trabajadores del sector de la construcción de Gandía (n = 1000): “Nº accidentes laborales en el último
año” (X) y “Tipo de contrato” (Y) [Fijo; Temporal]:
0
1
2
3
Fijo
250
90
50
40
430
Temporal
150 160 160 100
570
400 250 210 140
1000
Yj
Xi
1. Obtener la distribución de probabilidad (función de probabilidad) de la variable X [P(Xi)]
2. Obtener la función de distribución de X [Pa(Xi)]
3. Obtener la distribución de probabilidad conjunta de ambas variables [P(Xi, Yj)]
4. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador (extraído al azar de dicha población)…
a. haya tenido 1 o más accidentes? [P(X ≥1)]
b. tenga contrato fijo y haya tenido 0 accidentes? [P(Fijo∩0)]
c. haya tenido 2 o 3 accidentes? [P(2∪3)]
d. tenga un contrato fijo? [P(Fijo)]
e. haya tenido 0 accidentes, sabiendo que tiene un contrato fijo? [P(0/Fijo)]
5. Obtener la moda, la mediana, la esperanza matemática y la varianza de la variable X.
• La siguiente tabla resume algunos de los conceptos planteados hasta ahora en función de que hagan
referencia a una muestra o a una población:
MUESTRA
1. Variable estadística
2. Frecuencia relativa (pi)
3. Distribución de frecuencias relativas
4. Frecuencia relativa acumulada (pa)
5. Distribución de frec. relativas acumuladas
6. Estadísticos
POBLACIÓN
1. Variable aleatoria
2. Probabilidad [P(X i)]
3. Distribución de probabilidad - Dos tipos:
Función de probabilidad
Función de densidad de probabilidad
4. Probabilidad acumulada [Pa(X i)]
5. Función de distribución
6. Parámetros
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3. Modelos teóricos de distribución de probabilidad
• El conocimiento acumulado en Psicología ha permitido evidenciar como algunas variables de
interés en este campo se distribuyen de un modo característico, esto es, tienen una distribución de
probabilidad particular que se repite a lo largo del tiempo y para diferentes muestras. De muchos de
estos patrones regulares de distribución de probabilidad han sido planteados los modelos teóricos que
representan matemáticamente a esas distribuciones y que, por tanto, permiten obtener fácilmente, a
partir de una función matemática, cuál será la probabilidad (o probabilidad acumulada) asociada a un
valor cualquiera de la variable.
• Dos de los modelos más relevantes en el contexto de la Psicología son el de la distribución
binomial, para variables ordinales y cuantitativas discretas, y el de la distribución normal, para
variables cuantitativas continuas. En los siguientes apartados se describen las características de estos
dos modelos teóricos de distribución de probabilidad y se muestra su aplicación en la práctica.
• Otros modelos teóricos de distribución de probabilidad como la distribución t de Student, la
distribución ji-cuadrado y la distribución F de Snedecor son también especialmente importantes en el
campo de la Estadística, ello debido a que la ‘distribución muestral’ de algunos estadísticos se ajusta
a estos modelos teóricos de distribución de probabilidad. La distribución muestral de un estadístico es
un concepto clave en la estadística inferencial que será introducido en un capítulo posterior.
3.1. La distribución binomial
• Comencemos con un ejemplo: supongamos que se elige al azar una muestra de 6 personas para
formar parte de un jurado popular que ha de juzgar a una persona inmigrante y sabemos que en la
población de la que se ha extraído esa muestra un 30% de las personas son racistas. A partir de estos
datos, ¿cuál es la probabilidad de que la mitad o más de los miembros del tribunal sean racistas?
• La respuesta a la pregunta anterior se puede resolver fácilmente sabiendo que la distribución de
probabilidad de la variable que nos ocupa se corresponde con la de la distribución binomial. Veamos
más formalmente las condiciones para que la distribución de probabilidad de una variable se ajuste al
modelo teórico de la distribución binomial:
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1. Partimos de una variable categórica dicotómica de la que conocemos su distribución de
probabilidad en una determinada población.
Sea la variable X [X1; X2], entonces en esa variable dicotómica se debe decidir cuál de las dos
modalidades de la misma es la que nos interesa a fin de poder buscar la respuesta a aquello que
nos interese saber (sea, por ejemplo, X1), pues es la probabilidad asociada a esa modalidad a la que
se conoce simbólicamente como π (y, complementariamente, a la de X2 como 1-π):
Xi
X1
X2
P(Xi)
π
1-π
1
Ejemplo: Variable “ser racista” [Si; No] => modalidad de interés para contestar a la pregunta
planteada en el ejemplo: ‘Si’ => P(X1) = π = 0,30 => P(X2) = 1-π = 0,70
Señalar que en la práctica del análisis de datos es bastante habitual contar con datos de variables
dicotómicas (o dicotomizadas), por ejemplo, variables en que se han recogida datos del tipo
correcto/incorrecto, a favor/en contra, de acuerdo/en desacuerdo, bien/mal, si/no, curado/no
curado, tratamiento/no tratamiento, etc. Es frecuente en la literatura de la distribución binomial
considerar a esas dos modalidades, de forma genérica, como ‘Acierto’ y ‘Error’, de modo que
P(Acierto) = π y P(Error) = 1-π
2. Se realiza n veces esa variable aleatoria (por ejemplo, se extrae una muestra de n casos de una
población en los que no sabemos a priori que va a ocurrir con la variable X), debiéndose satisfacer la
condición de que se mantenga π constante para todas las realizaciones.
Ejemplo: n = 6 (tamaño de la muestra, pues cada extracción de un miembro del jurado representa
una realización de la variable aleatoria “Ser racista”) y en cada extracción se asume que se
mantiene constante π (= 0,30)
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3. Si se cumplen las dos condiciones anteriores, la variable aleatoria “número de experimentos
(casos) en los que se verifica la condición X1” se distribuye según el modelo teórico de la distribución
binomial. Si la distribución de probabilidad de una variable X se ajusta al modelo binomial se expresa
simbólicamente como: X → B(n;π)
Ejemplo. Variable número de miembros del tribunal que son racistas → B(6; 0,30)
• La distribución de probabilidad (función de probabilidad) de una variable binomial X viene definida
por la siguiente función matemática, donde Xi puede oscilar entre 0 y n:
P( X i ) =
n!
⋅ π X i ⋅ (1 − π ) n − X i
X i !(n − X i )!
Ejemplo: si queremos obtener la probabilidad de que 2 miembros del tribunal sean racistas:
P(2) =
6!
720
⋅ 0,302 ⋅ (1 − 0,30)6− 2 =
⋅ 0,302 ⋅ 0, 704 = 0,324
2!(6 − 2)!
2 ⋅ 24
Si sustituyéramos en la fórmula del modelo binomial para los distintos valores que puede tomar X
en este ejemplo, obtendríamos la distribución de probabilidad de X (nº de miembros del tribunal
que son racistas):
Xi
0
1
2
3
4
5
6
P(Xi)
0,118
0,303
0,324
0,185
0,060
0,010
0,001
1
• Otro procedimiento alternativo para obtener la distribución de probabilidad de una variable que se
ajuste al modelo binomial es acudir a la tabla de la distribución de probabilidad de este modelo, la
cual se puede encontrar en el apéndice de tablas de muchos libros de estadística. En la misma se
pueden encontrar tabuladas las distribuciones de probabilidad de una variable binomial para
diferentes valores de π y de n.
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Fragmento de la tabla de la distribución binomial
Ejemplo: Observar el fragmento adjunto de la tabla de la distribución binomial. Buscando en la
misma podríamos obtener fácilmente, por ejemplo, la distribución de probabilidad de una variable
X que se distribuya según el modelo binomial con parámetros n = 4 y π = 0,50: X → B(4;0,50)
Xi
0
1
2
3
4
P(Xi)
0,062
0,250
0,375
0,250
0,062
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Otro ejemplo de variable que se distribuye según ésta distribución de probabilidad es el “nº de
veces que sale cara al lanzar una moneda al aire 4 veces”. Tras comprobar que se cumplen los
requisitos para que se pueda decir que esta variable se distribuye según el modelo binomial,
obtener la distribución de probabilidad correspondiente a la misma.
Ejercicio 6: Para la variable “Nº de miembros del tribunal que son racistas” presentada antes, obtener
las siguientes probabilidades: (1) de que 4 miembros del tribunal sean racistas; (2) de que, como
máximo, 5 sean racistas; (3) de que más de la mitad sean racistas; (4) obtener la esperanza
matemática y la varianza de esta variable aleatoria.
Ejercicio 7: Sabiendo que en la población española la proporción de mujeres es de 0,60, (1) ¿cuál es
la probabilidad de que al extraer una muestra aleatoria de 7 personas de esa población, ninguna de
ellas sea mujer? (2) ¿y cuál la de que todas fuesen mujeres? (3) construir la distribución de
probabilidad correspondiente a la variable “nº de mujeres al extraer al azar una muestra de 7 personas
de la población española” (X); (4) obtener la media (o valor esperado), la mediana y la moda de la
variable aleatoria X; (5) representar gráficamente la función de probabilidad de X; (6) ídem de la
función de distribución de X; (7) obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
complementaria, esto es, la de la variable “nº de hombres al extraer al azar una muestra de 7 personas
de la población española”.
• Es una propiedad de cualquier variable que se distribuye según la distribución binomial que su
esperanza matemática y su varianza se pueden obtener según las siguientes fórmulas:
E(X) = µ = n·π
σ2X = n·π·(1-π)
Ejercicio 8: Obtener con las anteriores fórmulas la esperanza matemática y la varianza de la variable
“Nº de miembros del tribunal que son racistas”. Comprobar que coincide con los valores ya obtenidos
anteriormente para estos dos índices.
Ejercicio 9: Suponiendo que se contesta completamente al azar a un examen de 10 preguntas de
verdadero/falso y de que se corrige puntuando con un 1 los aciertos y con un 0 los errores, obtener la
probabilidad de que se saque un 5 en el examen; ¿y cuál es la probabilidad de sacar un 10?; ¿y la de
sacar un 5 o más? Obtener el valor esperado de la variable “puntuación en el examen” e interpretarla.
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3.2. La distribución o curva normal
• Se trata de un modelo teórico de distribución de probabilidad para variables aleatorias cuantitativas
continuas que se caracteriza, gráficamente, por tener forma similar a la de una campana. Por ello, y
por haber sido estudiada inicialmente por el matemático Karl Gauss, se le denomine también como
curva o campana de Gauss.
• La importancia de esta distribución reside en el hecho de que diversas variables, como los
caracteres fisiológicos y morfológicos de individuos —altura, peso o longevidad—, atributos
sociológicos, psicológicos y, en general, variables que vienen determinados por muchos factores, se
distribuyen según el modelo de la curva normal.
• Abajo se muestra la representación gráfica de una variable aleatoria que se distribuye según el
modelo teórico de la distribución normal (más usualmente dicho, “que se distribuye normalmente”)
Como puede observarse, algunas de las características distintivas de este tipo de distribución son:
(1) que es unimodal;
(2) que es simétrica, situándose el eje de simetría sobre el valor de la media (mediana, moda) de la
distribución de la variable;
(3) que es asintótica;
(4) que -hace corresponder valores de probabilidad altos para los valores centrales de la variable,
mientras que esas probabilidades decaen de forma progresiva a medida que nos alejamos del
centro de la distribución, más aceleradamente en la zona central, menos en los extremos.
Ejemplo para una variable con las puntuaciones en un test de inteligencia (escala CI):
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• La distribución de probabilidad (función de densidad de probabilidad) de la curva normal viene
definida matemáticamente por la siguiente función matemática, originalmente planteada por
Abraham de Moivre en 1733:
−0,5⋅
1
P( X i ) =
⋅e
2,507 ⋅ σ X
( X i − µ X )2
σX2
donde Xi es un valor concreto de la variable X, e es una constante matemática (=2,72), y µ y σ son dos
parámetros de la función que se corresponden, precisamente, con la media y la desviación típica de X.
• Teniendo en cuenta la fórmula presentada, la distribución normal puede adoptar diferentes formas,
tantas como distintos valores de µ y σ se consideren (o sea, infinitas). Cada uno de estos posibles
modelos integran la conocida como familia de la distribución normal y para representar, a nivel
simbólico, a cada uno de los miembros de esa familia se utiliza la expresión N(µ; σ). A continuación
se muestra la representación gráfica de diversos modelos de la familia de la distribución normal en
los que se han considerado distintos valores de µ y σ:
- Modelos de distribución normal con distinto valor de µ pero el mismo de σ:
- Modelos de distribución normal con el mismo valor de µ pero distinto de σ:
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• Entre los modelos de la familia de la distribución normal, el más relevante en la práctica es el
denominado como distribución normal estándar o unitaria , esto es, el modelo de la familia de la
distribución normal que tiene µ = 0 y σ = 1 [N(0; 1)]. Así, es común que en los libros de estadística
se incluya en un apéndice final de tablas estadísticas, la correspondiente a la curva normal estándar o
unitaria. Aunque hay variaciones en la forma de presentar esta tabla en los libros, en la misma nos
será posible consultar para un rango de valores comprendido habitualmente entre -3 y 3, cuál es el
valor de probabilidad y de probabilidad acumulada correspondiente a esos valores. En suma, se trata
de una representación tabular de la función de probabilidad o de la función de distribución (o de
ambas, como en el fragmento que se muestra más abajo) de la curva normal con media 0 y desviación
típica 1. Así, si se tiene una variable X que se distribuye según la distribución normal estándar [X →
N(0; 1)], en esta tabla podemos consultar para distintos valores de X, cuál es el valor de probabilidad
(“y ordenada”) [P(X=Xi)] y de probabilidad acumulada (“Area”) [P(X≤Xi)] correspondiente a los
mismos.
• Una vez conocida la probabilidad asociada a un determinado valor, de forma inmediata se puede
dar respuesta fácilmente a diferentes tipos de preguntas, por ejemplo, el porcentaje acumulado o
percentil correspondiente a ese valor, el nº de sujetos que es de esperar que tengan un valor inferior o
igual a ése, o superior a ése, o entre dos valores determinados, etc. (ver preguntas del ejercicio
siguiente).
Ejercicio 10: Dada una variable X que para un determinado grupo de sujetos se distribuye según
N(0;1): (a) ¿cuál es la probabilidad acumulada correspondiente a un valor de 1,18 [P(X≤1,18) =
Pa(X=1,18)]?; (b) ¿qué porcentaje de sujetos tendrán una puntuación inferior o igual a 1,18?; (c)
sabiendo que el grupo de sujetos era de 1000 personas (n =1000), ¿cuántos tendrán una puntuación
inferior o igual a 1,18?; (d) ¿cuál es la probabilidad de que al extraer un sujeto al azar, éste tenga una
puntuación inferior o igual a 1 [P(X≤1)]?; (e) ¿y de que sea superior a 1 [P(X>1)]?; (f) ¿y de qué esté
entre 1 y 2 [P(1≤X≤2)], sabiendo que P(X≤2) = 0,9772? ; (g) ¿y de qué esté entre la media de la
distribución y 1 [P(0 ≤ X ≤ 1)]?; (h) ¿a qué valor de la variable X le corresponde una probabilidad
acumulada de 0,75 (esto es, el 75% de los sujetos obtienen una puntuación inferior o igual a ese valor
en la variable = Q3)?; (i) ¿qué valor de la variable X será sólo superado por el 25% de los sujetos? (j)
¿qué valor corresponde al percentil 25?; (k) ¿cuál es la probabilidad de que al extraer un sujeto al
azar, éste tenga una puntuación inferior o igual a -1 [P(X≤-1)]?; (l) ¿y de que la puntuación sea
superior a -1 [P(X>-1)]?
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Fragmento de la tabla de la curva normal estándar
• Una consecuencia práctica derivada de la aplicación del modelo teórico de la distribución normal y,
en general, de cualquier modelo teórico de distribución de probabilidad es que, si sabemos o
podemos asumir que una variable se distribuye según un modelo teórico, entonces se pueden obtener
las probabilidades asociadas a cualquier valor de esa variable y, en consecuencia, la correspondiente
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distribución de probabilidad. Será suficiente para ello con aplicar la fórmula matemática del modelo
de probabilidad correspondiente o, más sencillo, recurrir a una tabla estadística de ese modelo y
consultar en la misma los valores que nos interesen.
• Ahora bien, ¿cómo aprovechar la tabla de la curva normal unitaria si tengo una variable que,
aunque se pueda asumir que se distribuye normalmente, su media y su desviación típica no son
precisamente 0 y 1? La respuesta está en transformar los valores de la variable a puntuaciones típicas
(Z), con lo que la variable se seguirá distribuyendo según la curva normal, si bien, pasa a tener media
0 y desviación típica 1, haciendo así factible la utilización de la tabla de la curva normal unitaria.
Ejercicio 11: Supongamos que un conocido nos dice que ha obtenido en un test de inteligencia una
puntuación CI igual a 95. Asumiendo que las puntuaciones en un test de inteligencia se distribuyen
normalmente y sabiendo que las puntuaciones CI tienen media 100 y desviación típica 15, ¿qué le
podemos decir acerca de su puntuación?, más concretamente, (a) ¿qué porcentaje de sujetos es de
esperar que obtengan un valor inferior o igual a 95?, o (b) ¿qué porcentaje de sujetos es de esperar
que obtengan un valor superior a 95?; (c) Supongamos también que nos pregunta qué puntuación CI
habría que sacar en el test de inteligencia para estar en el 30% inferior (puntuación de CI que deja el
30% de sujetos por debajo); (d) ¿y para estar en el 10% superior? (puntuación de CI que es superada
solo por el 10% de los sujetos) (e) ¿entre qué valores de CI se encuentra el 50% central de los
sujetos?
4. La selección de la muestra
• Condición para que a partir de la información contenida en una muestra se puedan describir las
propiedades de la población:
Æ Que la muestra sea representativa de esa población.
• Pero, ¿qué significa en la práctica que una muestra sea representativa de una población?
Que las propiedades que caracterizan a la población se distribuyan de forma análoga en la
muestra. Por ejemplo, sea la población los estudiantes de la Facultad: si el 25% son de primero
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(y así...), que en la muestra ídem; si en la población la mitad son varones y la otra mitad
mujeres, pues en la muestra ídem.; etc.
• Factores que van a determinar la representatividad de una muestra:
(1) El procedimiento de selección de los elementos de la población.
(2) El tamaño de la muestra.
(3) El contenido de la investigación.
4.1. Respecto al procedimiento de selección de los elementos de la población.
• Muestreo: conjunto de técnicas asociadas a la selección de una muestra de una población.
• Subrayar que el muestreo no es algo exclusivo de la estadística; es, en realidad, una estrategia muy
utilizada en la vida cotidiana. El conocimiento que nos formamos del mundo está con frecuencia
basado en el muestreo, y es razonable que así lo hagamos por economía de recursos. A modo de
ejemplo, la cata de una cucharada de un guiso que estamos realizando es una forma de muestreo del
guiso. Ello nos va a permitir tener una idea del sabor del mismo sin tener que probarlo todo.
• Existen diferentes procedimientos o técnicas que satisfacen -con mayor o menor éxito- los dos
objetivos que podemos considerar básicos del muestreo: (1) obtener una muestra que sea tan
representativa de la población como sea posible; y (2) plantear una forma de recogida de datos que se
ajuste a los recursos (económicos, temporales…) con que se cuente.
• A las distintas estrategias que se puede seguir en la selección de los elementos de una población se
les conoce como técnicas de muestreo, existiendo un extenso repertorio de ellas, algunas de gran
sofisticación. Entorno a su estudio y aplicación se ha desarrollado un área de conocimiento conocida
como Teoría del Muestreo.
• En términos matemáticos, ¿la satisfacción de qué criterio va a determinar la selección de una
muestra representativa?
Æ El que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de formar parte
de la muestra o, si no la misma, que sea conocida esa probabilidad para todos los elementos
de la población.
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• A las técnicas de muestreo que satisfacen el criterio anteriormente planteado se les conoce como
técnicas de muestreo probabilístico, siendo la más conocida por su sencillez y eficacia, el muestreo
aleatorio simple. Algunas variantes de la anterior de mayor utilización en la práctica son el muestreo
aleatorio estratificado y el muestreo por conglomerados.
El muestreo aleatorio simple (m.a.s.)
− Los elementos de la muestra son elegidos al azar de de entre todos los de la población.
Utilizando este procedimiento, todos los elementos de la población tienen la misma
probabilidad de formar parte de la muestra.
− Requiere la identificación y listado de todos los elementos de la población, algo no siempre
factible, por lo que su utilización resulta limitada en la práctica.
El muestreo aleatorio estratificado
− Supone forzar que, para una determinada variable(s), se mantenga en la muestra la misma
distribución que la misma tiene en la población. Por ejemplo, si en la población de estudiantes
de la UVEG hay un 60% de mujeres y un 40% de varones, en una muestra de la misma se
forzaría para que se mantuviesen esos porcentajes. Se llaman estratos a las categorías de la
variable en función de la que se estratifique el muestreo –mujeres y varones para la variable
sexo, en nuestro ejemplo. Por supuesto, cada elemento de la población debe pertenecer a un
único estrato.
− Pasos principales: determinar la proporción de cada estrato en la población para la variable de
estratificación; fijar el número de elementos que se deben seleccionar de cada estrato en la
muestra (afijación); extraer mediante m.a.s. de cada estrato de la población el nº de casos
establecido en el paso anterior.
Ejemplo de aplicación del muestreo aleatorio estratificado en la obtención de una muestra (n
= 1000) de la población de estudiantes de la ESO en la Comunitat Valenciana (CV) a fin de
realizar un estudio sobre la incidencia de la violencia en este tipo de centros:
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El muestreo por conglomerados
− Se trata de una forma de m.a.s. en que la unidad de muestreo no son los elementos de la
población, sino agrupaciones de éstos que de forma natural existan en aquélla
(conglomerados), por ejemplo, colegios, hospitales, distritos postales, calles de una población,
secciones del censo electoral...
− Supone seleccionar al azar uno o más conglomerados, recogiéndose datos de todos los
elementos de esos conglomerados.
− Suele resultar mucho más fácil acceder a las unidades de los conglomerados, normalmente
próximos entre sí, que a elementos individuales dispersos geográficamente.
• Existen algunas técnicas de muestreo no probabilístico, como es el caso del muestreo accidental (o
casual), el muestreo intencional y el muestreo por cuotas que, aunque no cumplen los requisitos del
muestreo probabilístico, son utilizadas con frecuencia en la práctica debido a la mayor facilidad de
aplicación de las mismas.
• Los diferentes procedimientos de muestreo anteriores no son excluyentes, se puede secuenciar la
utilización de diferentes técnicas de muestreo dando lugar a lo que se conoce como un muestreo
polietápico. Un ejemplo típico es el muestreo polietápico conglomerados/m.a.s., esto es, en primer
lugar se aplica un muestreo por conglomerados y, a continuación, se lleva a cabo un m.a.s. de los
elementos dentro de cada conglomerado. Por supuesto, otras combinaciones son posibles, así como la
consideración de más de dos etapas.
• Si en una investigación la muestra es representativa de la población, es lícito generalizar los
resultados obtenidos en la muestra a la población origen y se dice entonces, en términos
metodológicos, que la investigación tiene validez externa.
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Ejercicio 12: ¿Qué técnica de muestreo fue aplicada en los siguientes ejemplos?
1. Se solicita a las personas que entran y salen a un centro comercial que contestan a una serie de
cuestiones relativas a un estudio sobre comunicación social.
2. De entre los asegurados de una compañía de seguros se selecciona al azar a 500 de ellos, a los que
se envía una carta con un cuestionario para evaluar una campaña de seguridad promovida por esa
compañía entre sus asegurados.
3. Un estudiante realiza una encuesta con el fin de explorar las actitudes solidarias de los alumnos de
psicología de su facultad. Sabe a partir de un estudio previo que, de los estudiantes de su facultad, el
25% está comprometido con alguna ONG, mientras que el 75% restante no lo está. Así, decide
seleccionar al azar a 200 estudiantes, 50 de entre los comprometidos con una ONG y 150 de entre los
que no.
4. En un estudio que pretende poner de manifiesto la influencia de la deseabilidad social al contestar
tests psicológicos, el investigador pasa a sus conocidos y familiares una serie de cuestionarios.
5. Un psicólogo está interesado en explorar los hábitos de sociabilidad de las personas de la tercera
edad que viven en residencias. Para ello, obtiene una muestra aleatoria de diez residencias de su
comunidad autónoma y en cada una de ellas selecciona al azar a 30 personas.
6. En un estudio a nivel nacional sobre las estrategias de aprendizaje de estudiantes de la ESO se
seleccionan al azar a 30 centros y dentro de éstos a 4 grupos de cada centro, realizándose una
entrevista a todos los estudiantes de los grupos seleccionados.
7. En la realización del censo en España.
4.2. Respecto al tamaño de la muestra
• Obviamente, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra mayor será la probabilidad de que ésta sea
representativa de la población, sin embargo, no hay que olvidar que también será mayor el esfuerzo
implicado en la recogida de los datos y, por lo tanto, se perderá la principal ventaja inherente al
muestreo: la economía de recursos a la hora de obtener los datos.
• Criterios orientativos a la hora de definir el tamaño muestral:
1) Un primer criterio determinante en la práctica es el de la cantidad de recursos con que se
cuenta para llevar a cabo la recogida de los datos.
2) Un segundo criterio viene determinado por el margen de error que estamos dispuestos a
asumir en nuestras inferencias (el error muestral) y por el nivel de confianza con que se
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establecerán esas inferencias.
Este segundo criterio puede concretarse a través de fórmulas específicas que permiten obtener
el tamaño muestral en función de esos dos criterios, si bien, otros aspectos suelen aparecer
implicados en la aplicación de esas fórmulas:
a) el tamaño de la población;
b) el índice estadístico que vaya a aplicarse (pero, ¿cuál de todos?);
c) el valor del índice estadístico en la población para la variable objeto de interés (- “¿en la
población?, pero si eso es precisamente lo que queremos conocer...”) (¿variable objeto de
interés?, en mi estudio no tengo una única varia variable objeto de interés...”).
• A fin de facilitar los cálculos en la aplicación de la citada fórmula, diversos autores han elaborado
tablas que, para un índice estadístico concreto, para un valor concreto del mismo en la población, y
para un nivel de confianza determinado (habitualmente, el 95 o el 99%), permiten obtener el valor del
tamaño muestral a considerar en función de los dos criterios restantes: el tamaño de la población y el
valor de error muestral que se está dispuesto a asumir.
Ejemplo: La tabla que aparece a continuación permite obtener el tamaño de la muestra que
deberemos considerar en la recogida de datos para el caso en que se vaya a aplicar el estadístico
de la proporción y que, además, se asuma que el valor de ese estadístico en la población para la
variable objeto de interés es 0,5 (π = 0,5) y un nivel de confianza del 95%.
Un caso concreto:, ¿cuál sería el tamaño de la muestra a considerar en un estudio en que se
quiere conocer la proporción (porcentaje) de la población española que está a favor de algún
tipo de selectividad para acceder a la Universidad, asumiendo un nivel de confianza del 95% y
un error muestral del 2%?
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4.3. Respecto al contenido de la investigación
• Una premisa básica cuando se trabaja con una muestra a fin de hacer inferencias acerca de una
población es que la muestra sea representativa de esa población. Ahora bien, ¿esa representatividad
debe darse para todas y cada una de las variables que caracterizan a la población?
• Una condición menos exigente de representatividad, que puede ser considerada razonable en la
práctica, es que la representatividad de la muestra lo sea para aquellas variables realmente relevantes
en el estudio que se plantee, pero no necesariamente para aquéllas que se considere que no tengan
ningún tipo de influencia sobre aquello que se vaya a estudiar.
• La contestación a las dos siguientes cuestiones va a ayudarnos a contrastar si se satisface esta
condición en el caso de un muestreo no probabilístico:
- ¿En qué es diferente mi muestra de lo que sería una muestra representativa?
- En caso de considerarse la existencia de diferencias, ¿pueden éstas tener repercusión sobre
la(s) variable(s) que se va a medir en mi estudio?
Por ejemplo, la investigación de procesos psicológicos básicos (atención, percepción,...) puede
en algunos estudios no verse muy influida por el tipo de participantes en la misma.
Referencias:
Barón-López, J. (2005). Bioestadística: métodos y aplicaciones. Apuntes y material disponible en
http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/
Botella, J., León, O. G., San Martín, R. y Barriopedro, M. I. (2001). Análisis de datos en psicología I:
teoría y ejercicios. Madrid: Pirámide.
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