INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION

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INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION
NOMBRE
ALUMNA:
AREA : MATEMÁTICAS
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO
TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION
PERIODO
GRADO
FECHA
DURACION
2
11
ABRIL 8 DE 2012
9 UNIDADES
INDICADORES DE DESEMPEÑO
 Halla los elementos de la hipérbola, partiendo de su ecuación canónica o estándar.
 Obtiene la ecuación canónica o estándar de la hipérbola, mediante la interpretación de la información
geométrica y analítica dada.
 Obtiene la ecuación canónica de la hipérbola y sus elementos, a partir de su ecuación general.
 Cumple con sus deberes académicos en las clases.
 Participa activamente en las discusiones de clase manifestando respeto por el trabajo de sus
compañeras.
LA HIPÉRBOLA
En el período anterior realizaste el estudio de una de las figuras
cónicas como fue la elipse; de ella reconociste sus elementos,
ecuaciones canónicas y generales y demás parámetros y
descubriste la forma de trabajar y obtener cada uno de ellos. Entras
ahora en la presente guía a realizar un estudio similar al que hiciste
con la elipse pero ya con otra figura cónica como lo es LA
HIPÉRBOLA y sus aplicaciones. Mucho juicio pues con este estudio.
 DEFINICIÖN: Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante
igual a 2a, donde a es la distancia del centro de la hipérbola a cada uno de los
vértices principales de ella. La hipérbola tiene dos partes separadas llamadas ramas.
 ELEMENTOS: Los elementos principales de la hipérbola son:






Centro: Es el punto medio de los dos focos y sus coordenadas se denotan por (h, k).
Focos: Son los dos puntos fijos.
Distancia focal: Es la distancia entre los dos focos; la distancia focal mide 2c, donde c
representa la distancia del centro a cada uno de los focos.
Eje focal: Es la línea que pasa por los dos focos.
Vértices ó vértices principales: Son los puntos donde el eje focal corta a la hipérbola.
Vértices secundarios: Son los puntos extremos del eje conjugado.
2





Eje principal ó eje transversal ó transverso: Es el segmento de recta que une a los vértices
principales de la hipérbola. La longitud del eje mayor es igual a 2a, donde a es la distancia
del centro de la hipérbola a cada uno de estos vértices.
Eje conjugado: Es el segmento de recta que pasa por el centro de la hipérbola y es
perpendicular al eje transversal. Su longitud es 2b, donde b es la distancia del centro a cada
extremo del eje conjugado.
Rectángulo fundamental: Es el rectángulo cuyo centro coincide con el centro de la hipérbola y
sus lados miden 2a y 2b. Los puntos medios de los lados de dicho rectángulos son los vértices de
la hipérbola.
Asíntotas: Son las líneas rectas que contienen a las diagonales del rectángulo fundamental y por
las cuales la hipérbola se desliza sin llegar a tocarlas.
Excentricidad: Es el número que mide el grado de abertura de la hipérbola; su valor es c/a y se
denota por e, es decir, e = c/a y siempre es un valor comprendido entre 0 y 1; dependiendo del
valor de la excentricidad la hipérbola da más abierta ó menos abierta.
 ECUACIONES CANÓNICAS Ó ESTÁNDARES DE LA HIPÉRBOLA:
En el plano cartesiano la hipérbola puede tomar dos posiciones: Cuando el eje principal es
paralelo al eje x o cuando es paralelo al eje y; de aquí que la hipérbola tenga dos ecuaciones
canónicas, así:
( x  h) 2
( y  k)2

1
a2
b2
( y  k)2
( x  h) 2

1
2
2
a
b
Ecuación canónica de
transversal horizontal.
la
hipérbola
con
eje
Ecuación canónica de la
transversal vertical al eje Y.
hipérbola
con
eje
3
 ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS:
¡ MUY
y k 
b
( x h)
a
yk
a
( x  h)
b
, cuando el eje transversal es horizontal.
, cuando el eje transversal es vertical.
IMPORTANTE!: Siempre en la hipérbola se cumple que:
c 2 = a 2 + b2
NOTA: Cuando el centro de la hipérbola está en el origen de coordenadas, significa que h = 0 y k = 0, por
lo tanto las dos ecuaciones canónicas anteriores toman las siguientes formas:
y2
x2
 2 1
a2
b
Ecuación canónica de la hipérbola
transversal horizontal y centro (0, 0).
con
eje
y2
x2
 2 1
a2
b
Ecuación canónica de la hipérbola
transversal vertical y centro (0, 0)
con
eje
ACTIVIDADES
1. EL APORTE DE MI PROFE EN CLASE...
Presto toda mi atención a la solución de los siguiente ejercicios que desarrolla mi profesor en la clase.
a. Dadas las siguientes ecuaciones canónicas de una hipérbola determino todos sus elementos (centro,
vértices principales y secundarios, extremos del eje conjugado, focos, longitud del eje transversal,
longitud del eje conjugado, la distancia focal, las ecuaciones de las asíntotas así como su
excentricidad).
1.
y2
x2

 1
36
5
2.
( x  4) 2
( y  3) 2

 1
25
9
3.
( y  5) 2  4( x  4) 2  64
b. En cada uno de los siguientes ejercicios encuentro la ecuación canónica de la hipérbola de acuerdo a
las condiciones dadas y encuentro además su ecuación general:
1. Halle la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los
puntos F(0, 5) y F’(0, -5), además uno de sus vértices es el punto (0, 3).
2. Focos en (0, ± 4); longitud del eje conjugado 6.
3. Centro en (- 2, 2), vértice en (5, 2); foco en (8, 2).
4. Focos en (1, 5) y (1, -1); longitud del eje transversal es 4.
5. Centro (4, - 3), distancia focal 10 y longitud del eje conjugado 8, eje transversal paralelo al eje x.
4
c.
Dadas las siguientes ecuaciones generales de una hipérbola obtengo su ecuación canónica, así
como las coordenadas del centro y de sus vértices (principales):
1. 25x - 4y = 100
3. x 2  18 x  4 y 2  8 y  23  0
2.
4. y 2  9 x 2  6 y 18 x  9
2
2
y 2  2 y  25 x 2  24
5. 9 y 2  x 2  36 y  6 x 18  0
2. Y AHORA MI APORTE INDIVIDUAL EN CLASE
Dadas las siguientes ecuaciones canónicas de una hipérbola determino todos sus elementos (centro,
vértices principales y secundarios, extremos del eje conjugado, focos, longitud del eje transversal,
longitud del eje conjugado, la distancia focal, las ecuaciones de las asíntotas así como su excentricidad).
a.
( x  3) 2
( y  1) 2

1
4
9
b.
( y  4) 2 x 2

1
16
9
c.
( x  4) 2
( y  2) 2

 1
25
169
3. ¡QUE BUENO! EN MI CASA PRACTICO Y AFIANZO MÁS...
1. En cada uno de los siguientes ejercicios que se me proponen del texto Matemática Experimental
10º que encuentro en la biblioteca del colegio, hallo la ecuación canónica de la hipérbola de acuerdo
a las condiciones dadas y bosquejo la gráfica:
-
Pág. 403 numerales 13 y 14.
Pág. 412 numeral 6.
2. Para cada uno de los siguientes ejercicios encuentro la ecuación canónica de la hipérbola de acuerdo
con la condición dada:
a.
b.
c.
d.
e.
Centro (0, 0), Foco (- 5, 0), Vértice (3, 0)
Centro (0, 0), distancia focal 12, Vértice (0, - 3)
Centro (3, 2), Foco (10, 2) Vértice (6, 2).
Centro en el origen, un foco en el punto (0, - 8) y eje transverso 10.
Centro en (3, 5), un vértice en el punto (-2, 5) y semieje conjugado 3.
4. MI TRABAJO EN CLASE CON OTRAS DOS COMPAÑERAS...
Dadas las siguientes ecuaciones generales de una hipérbola obtengo su ecuación canónica, así como las
coordenadas del centro y de sus vértices (principales):
1. x 2  2 x  25 y 2  24
4. y 2  4 x 2  8
2. y 2 18 y  4 x 2  8 x  23  0
5. 9 x 2  4 y 2  36
3. x 2  9 y 2  6 x 18 y  9
6. 25 x 2  9 y 2  50 x  36 y  164  0
“PORTAOS DE TAL MANERA QUE MAÑANA
NO TENGÁIS QUE AVERGONZAROS”