La Serie Continua de Fourier

La Serie Continua de Fourier
(Sistemas Lineales)
Santiago Aja-Fernández
Universidad de Valladolid
S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación)
Sistemas Lineales
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Contenidos
1
2
3
Introducción
¿Qué queremos hacer?
Representación de señales periódicas
Señales peródicas armónicamente relacionadas
Determinación de la Serie de Fourier
Series de Fourier de señales reales
Convergencia de las series de Fourier
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Sistemas Lineales
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Introducción
Idea Previa
Representación de señales en función de señales básicas
Propiedades:
Señales básicas
Respuesta de LTI sencilla
1
2
Ejemplo: exponenciales complejas (autofunciones)
x(t) = est
LTI
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y (t) = H(s)est
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Introducción
Ejemplo
Y
x(t) = a1 es1 t + a2 es2 t
Z
y (t) = a1 H(s1 )es1 t + a2 H(s2 )es2 t
X
x(t) =
j
i
X
ak esk t
k
k
y (t) =
X
ak H(sk )esk t
k
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Señales periódicas
Periódica: x(t) = x(t + T ) ∀t
x (t)
1
Señales periódicas
armónicamente relacionadas
t
ω1
T1
∈ Q,
∈Q
ω2
T2
x2(t)
t
Exponenciales:
jω
t
1
e
t
j (k 2π
T ) →
→
e
jω
t
e 2
x3(t)
t
(
T1=T
T2=T/2
T3
T =T/4
T2
3
T = kT1 = k 2π
k
ω1
→
∈Q
T = mT2 = m 2π
m
ω2
T1
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Señales periódicas
Familia de señales exponenciales armónicamente
relacionadas:
φk (t) = ejk ω0 t = ejk
2π
t
T
k = 0, ±1, ±2, · · ·
Combinación lineal también periódico de periodo T
X
2π
ck ejk T t → Periódico
k
Serie de Fourier: Representación de señal periódica
usando exponenciales armonicamente relacionadas.
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Serie de Fourier
Espacio de señales
Y
Definimos un espacio.
Z
Famila de señales:
φk (t) = ejk
X
2π
t
T
k = 0, ±1, ±2, · · ·
Distancia:
j
i
1
< x(t), y (t) >=
T
k
Z
x(t)y ∗ (t)dt
<T >
φk (t)... ¿base?
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Serie de Fourier
Estudio de las señales
< φk (t), φm (t) > =
1
T
Z
ejk
2π
t
T
2π
e−jm T t dt
<T >
T
e
=
=0
2π T (k − m) T 0
2π 2
< φk (t), φk (t) > = ejk T = 1
j(k −m) 2π
t
T
< φk (t), φm (t) >= 0
||φk (t)|| = 1
Ortogonalidad
→ Ortonormales
Norma 1
Forman una base
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Serie de Fourier
Representación de señales
Proyectamos señal periódica x(t) sobre la base
Z
2π
1
x(t)e−jk T t dt
< x(t), φk (t) > =
T <T >
= Ck
Construimos la serie:
∞
X
x(t) =
Ck φk (t)
k =−∞
∞
X
=
Ck ejk
2π
t
T
k =−∞
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Serie de Fourier
Serie de Fourier
Ecuación de Análisis:
1
Ck =
T
Z
x(t)e−jk
2π
t
T
dt
<T >
Ecuación de Síntesis:
x(t) =
∞
X
Ck ejk
2π
t
T
k =−∞
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Serie de Fourier
Ejemplo 1
Serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares
x(t)
−T/2
T1
−T1
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t
T/2
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Serie de Fourier. Señal Real (1)
Señal real: x(t) = x ∗ (t)
Z
Z
2π
2π
1
1
x(t)e−j(−k ) T t dt = C−k
Ck∗ =
x ∗ (t)ejk T t dt =
T <T >
T <T >
x(t) =
∞
X
Ck e
t
jk 2π
T
= C0 +
= C0 +
Ck e
jk 2π
t
T
k =1
k =−∞
∞ h
X
∞
X
Ck e
jk 2π
t
T
+ C−k e
Ck ejk
2π
t
T
k =−∞
−jk 2π
t
T
i
k =1
= C0 + 2
∞
X
n
o
jk 2π
t
R Ck e T
k =1
Ck =
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+
−1
X
ak + jbk
rk ejθk
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Serie de Fourier. Señal Real (2)
x(t) = C0 + 2
∞
X
k =1
n
o
2π
jk ω0 t
R Ck e
ω0 =
T
Serie de Fourier de señales reales
1
Ck = ak + jbk
x(t) = C0 + 2
∞
X
(ak cos (k ω0 t) − bk sin (k ω0 t))
k =1
2
Ck = rk ejθk
x(t) = C0 + 2
∞
X
rk cos (k ω0 t + θk )
k =1
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Convergencia de las Series de Fourier
Error de aproximación
¿Podemos representar función discontinua usando
funciones continuas?
Aproximación mediante serie finita
x̃N (t) =
N
X
ck ejk
2π
t
T
k =−N
Error: eN (t) = x(t) − x̃N (t).
R
1
Medida: MSEN = T <T > |eN (t)|2 dt
Mejor aproximación: Coef. de la serie de Fourier.
Problema 3.66
En el límite:
lim MSEN = 0
N→∞
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Convergencia de las Series de Fourier
Energía finita en un periodo:
1
T
Z
|x(t)|2 dt < ∞
<T >
Condiciones de Dirichlet
1
Absolutamente integrable en un periodo
Z
1
|x(t)|dt < ∞
T <T >
2
Variación de x(t) en un intervalo finito
acotada. (Num. finito de max y min.)
3
Num finito de discontinuidades en un
perido.
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1
x(t) = 1t ,
c<t ≤1
2π
t
2
x(t) = sin
c<t ≤1
3
Escalón
decreciente
Sistemas Lineales
,
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Convergencia de las Series de Fourier
Tipos de convergencia
1
Periódica sin discontinuidades: Igual punto a punto
2
Numero finito de discontinuidades en T: energía de la
diferencia cero.
Fenómero de Gibbs
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