estructura normal, propiedad del punto fijo, aplicaciones no

Teorema de Kirk y estructura normal en espacios
de Banach
Introducción
En el anterior artículo se comentaron los llamados problemas del milenio de las
matemáticas [8]. Sólo uno de ellos se ha podido resolver hasta la fecha: La conjetura
de Poincaré [9]. Ya hablamos de la hipótesis de Riemann, formulada en 1859, una
conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s) y su
relación con los números primos [10] y de la conjetura de Hodge [11].
Hablemos en este artículo de otro de los seis problemas del milenio no resuelto: La
conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
Se trata de un problema de geometría algebraica muy relacionado con la teoría de
números. En este problema se estudian las curvas algebraicas: conjuntos de
soluciones de un polinomio f(x,y) en dos variables. Además la teoría de números está
presente ya que se pide estudiar las soluciones racionales de las mismas (y los
coeficientes del polinomio son también racionales).
Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de
género cero o curvas racionales. Estas tienen o bien ninguna o bien infinitas
soluciones racionales. El criterio para distinguir unas de otras fue establecido en 1890
por Hilbert y Hurwitz. Por ejemplo, x 2 + y 2 = 1, tiene infinitas soluciones racionales y la
curva x 2 + y 2 = 3 ninguna.
Para las de género dos o más, Faltings demostró en 1983 que el número de
soluciones racionales es siempre finito. Por ejemplo, la ecuación x n + y n = 1, tiene un
número finito de soluciones racionales para cada número natural n>2. (Es éste el
famoso Último Teorema de Fermat, enunciado por el matemático de este nombre en el
margen de un libro, en el siglo XVII y demostrado por A. Wiles en 1994, afirma que
ese número es dos si n es impar y cuatro si n es par...)
¿Qué pasa con las curvas de género 1? Queda por demostrar un criterio que distinga
qué curvas de género 1 (también llamadas elípticas) tienen infinitas soluciones
racionales y cuáles tienen un número finito. Y decimos demostrar, porque "conocerse"
se conoce. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer relaciona el carácter infinito o
finito del número de soluciones racionales de una curva algebraica elíptica C con que
se anule o no en s=1 cierta función C(s) definida de un modo parecido al de la función
zeta de Riemann.
Intentemos conocer brevemente las curvas elípticas: Las curvas elípticas se definen
mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado) y fueron utilizadas para probar el último
teorema de Fermat. Algunas de las curvas reales (que no son funciones) elípticas son:
A principios de la década de1960, Peter
Swinnerton-Dyer
calculó
(computacionalmente) el número de puntos módulo p (denotado por Np) para un
número largo de primos p sobre curvas elípticas cuyo rango era conocido. De esos
resultados numéricos Bryan Birch y Swinnerton-Dyer conjeturaron que Np para una
curva E con rango r obedecía una ley asintótica
La conjetura se podría plantear como la resolución una ecuación diofántica (cálculo
de los ceros naturales (o enteros o racionales) de un polinomio multivariable cuyos
coeficientes también sean números enteros o naturales).
En este caso polinomios en dos variables p(x,y)=0 en los que se sabe que existe al
menos una solución con grado 3. Si dicha solución es conocida, ¿cuántas
soluciones adicionales existen? En el caso de un polinomio cuadrático (grado d=2.
Pero no se sabe lo que pasa en el caso cúbico (d=3), puede haber un número
finito de soluciones adicionales o puede haber un número infinito de ellas.
Como todo polinomio cúbico de dos variables puede transformarse en la curva
elíptica de la forma y² = x³ + A x + B, donde A y B son números racionales, basta
considerar este caso particular para demostrar la conjetura BSD.
¿Será éste el siguiente problema del milenio en resolverse? ¿Está Andrew Wiles
trabajando en la conjetura BSD? Nadie lo sabe con seguridad, pero este problema
del milenio es el que está más próximo a su línea de trabajo.
Pasemos a lo que nos ocupa en este artículo. Aunque el primer teorema métrico del
punto fijo fue dado por Stefan Banach en 1922, podemos decir que la Teoría (métrica)
del Punto Fijo se inicia en 1965 cuando Browder, Göhde y Kirk prueban la existencia
de puntos fijos (fpp) para aplicaciones no expansivas en espacios de Banach que
verifican ciertas propiedades geométricas.
En Análisis matemático, una aplicación es no expansiva, entre dos espacios
métricos(X,dx) y (Y,dy) es una función f de X en Y, para la cual existe un número real
positivo k inferior a uno tal que, para cualesquiera elementos x1 y x2 de X,
dy(f(x1),f(x2))
dx(x1,x2).
A partir de este momento muchos investigadores se preocupan por explotar esta
conexión, esencialmente considerando otras propiedades geométricas de los espacios
de Banach (convexidad uniforme, suavidad uniforme, condiciones de tipo Opial, casi
convexidad uniforme, casi suavidad, etc.) que puedan ser aplicadas para probar la
existencia de puntos fijos para distintos tipos de operadores no lineales.
En este artículo veremos con detalle el resultado dado por Kirk en 1965. ” Sea K un
subconjunto no vacío, débil compacto, y convexo de un espacio de Banach. Si K tiene
estructura normal entonces K tiene la propiedad del punto fijo para aplicaciones no
expansivas.”
1. Definiciones y resultados previos.
Para hacer entendible al lector esta parte tan específica de las matemáticas
daremos unas definiciones previas y resultados sin demostrar, así como las
referencias del mismo autor donde poder verlo con detalle
Definición 1.1 (Espacio de Banach) Un espacio de Banach es un espacio vectorial
sobre el cuerpo de los números reales (complejos) con una norma ||·|| tal que toda
sucesión de Cauchy en
tiene un límite en éste.
Definición 1.2 (Diámetro de un conjunto) Sea X un espacio de Banach y K un
subconjunto acotado de X. Definimos el diámetro de K por:
Definición 1.3 (Estructura normal) Un subconjunto convexo, acotado K de un
espacio de Banach X tiene estructura normal (n.s.) si cualquier subconjunto suyo
convexo H con más de un punto, contiene un punto no diametral, es decir, H contiene
un punto x 0 tal que
Para más detalle, ver [1]
Definición 1.4 La envolvente convexa de un conjunto A como:
Definición 1.5 (Sucesión diametral) Una sucesión
(x n )
no constante se dice
diametral si verifica:
Toda subsucesión de una sucesión diametral es diametral.
Teorema (Caracterizaciones de estructura normal) Sea K un subconjunto convexo,
acotado y cerrado de un espacio de Banach X. Son equivalentes:



(NS) K tiene estructura normal.
(NS1) No existen sucesiones diametrales contenidas en K
(NS2) No existen sucesiones contenidas en K tales que

(NS3) No existen sucesiones contenidas en K tales que

(NS4) No existen sucesiones no constantes contenidas en K tales que

(NS5) Para cada sucesión no constante contenida en K

(NS6) No existen sucesiones no constantes contenidas en K tales que

(NS7) Si para cada sucesión no constante contenida en K tenemos que:
La demostración seguirá este esquema y su desarrollo se encuentra en [1].
2. Teorema de Kirk.
Demostremos el teorema de Kirk. Para ello daremos dos resultados, con
demostraciones constructivas, que nos permitirán alcanzar nuestro objetivo.
Definición 2.1 Un subconjunto no vacío, convexo, acotado K de un espacio de
Banach X y T: K → K una aplicación no expansiva, decimos que una sucesión
contenida en K es aproximadamente T-fija si la diferencia, en norma, entre los
términos de la sucesión y sus imágenes tiende a cero.
Definición 2.2 Un subconjunto no vacío, cerrado y convexo D de un conjunto dado K,
es minimal invariante para T : K → K si T (D) ⊂ D y si D no tiene subconjuntos propios
que sean cerrados, convexos y T -invariantes.
La siguiente proposición garantiza la existencia de un conjunto minimal T -invariante
bajo ciertas condiciones.
Proposición 2.3 Sea K un subconjunto no vacío débil compacto y convexo de un
espacio de Banach. Entonces, para toda aplicación T : K → K existe un subconjunto W
de K no vacio, cerrado, convexo y minimal T -invariante.
D) Sea ξ la familia de subconjuntos de K que son no vacíos cerrados, convexos ( y en
consecuencia débil-compactos) y T -invariantes.
Dados dos subconjuntos ordenados parcialmente para ξ y ζ una cadena en ξ.
Puesto que cada C ∈ ζ es cerrado, convexo y T -invariante, entonces C es cerrado,
convexo y T -invariante. Además, como ζ es una cadena de débil-compactos, con
intersección no vacía, acotada superiormente.
En consecuencia, por el Lema de Zorn existe W ∈ ξ, elemento maximal de ξ por lo
que, W es un subconjunto de K no vacío, cerrado, convexo y minimal T -invariante.
c.q.d.
Como consecuencia inmediata tenemos que si K es un subconjunto no vacío, cerrado,
convexo y minimal T -invariante de un espacio de Banach X, entonces el conjunto K es
igual al cierre de su imagen.
Los conjuntos minimales T-invariantes tienen la propiedad fundamental que todo
subconjunto, no vacío, cerrado y minimal T-invariante de un espacio de Banach
entonces el conjunto coincide con el cierre convexo de su imagen.
Proposición 2.4 Un espacio de Banach X no tiene estructura normal si y sólo si existe
una sucesión acotada no constante que verifica:
A tales sucesiones se las denomina diametrales[1]
D) Veamos primero la condición suficiente.
Partamos de una sucesión cuyo diámetro es d. Veamos que su cierre convexo
también es d. Por su definición es mayor o igual que d. Demostremos que es menor o
igual. Sean
Luego
Como
resulta que
entonces
Demostrada que el cierre convexo es d, por ser diametral la sucesión para N>m se
verifica
Por tanto se tiene que
De lo que se deduce que el cierre convexo es diametral. Como, además, es un
subconjunto de X acotado, cerrado y convexo, con diámetro mayor que cero, se tiene
que X no tiene estructura normal.
Veamos la condición necesaria.
Partamos de un subconjunto S de X acotado, cerrado y convexo, diametral, con
diámetro d mayor que cero,
Notemos que
En consecuencia
De lo que se deduce
De lo que se sigue que la sucesión es diametral.
Veamos el resultado fundamental de nuestro artículo cuya demostración se cimenta en
las dos proposiciones anteriores.
Teorema 2.5 (de Kirk) Sea K un subconjunto no vacío, débil compacto, y convexo de
un espacio de Banach. Si K tiene estructura normal entonces K tiene la propiedad del
punto fijo para aplicaciones no expansivas.
D) Supongamos que K tiene estructura normal y sea T: K → K una aplicación no
expansiva.
En virtud de la proposición 2.3, podemos suponer que K es minimal T –invariante y por
la proposición 2.4 tenemos que K es diametral.
Como K es acotado, cerrado, convexo y tiene estructura normal, necesariamente
diam(K)=0. Como K es no vacío entonces K consta de un solo punto, el cual es fijo
bajo T.
De este resultado se deduce:
Corolario 2.6 Si X es un espacio de Banach reflexivo con estructura normal, entonces
X tiene la fpp.
Bibliografía

Web: http://www.google.com

Libros y artículos de consulta:
[1] Rivera, Juan Antonio “Estructura Normal en Espacios de Banach”. Catálogo Fama
de la Universidad de Sevilla.
Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
[3] Rivera, Juan Antonio “¿Qué espacios de Banach tienen estructura normal?”
publicado el 17/05/2010 en la revista digital “Temas para la educación nº7”.
[8] Rivera, Juan Antonio Relación entre los coeficientes de estructura normal de N(X)
y WCS(X) y el módulo de convexidad publicado el 17/05/2013 en la revista digital
“Temas para la educación nº24”.
[9] Rivera, Juan Antonio Estructura normal uniforme publicado el 18/11/2013 en la
revista digital “Temas para la educación nº25”.
[10] Rivera, Juan Antonio Relación entre el coeficiente de estructura normal WCS(X) y
el módulo de suavidad en espacios de Banach publicado el 18/11/2013 en la revista
digital “Temas para la educación nº25”.
[11] Rivera, Juan Antonio Espacios de Banach uniformemente no cuadrados.
Estructura normal publicado el 19/05/2014 en la revista digital “Temas para la
educación nº28”.