5. Propagación en un cristal fotónico unidimensional

5. Propagación en un cristal fotónico unidimensional
En este capítulo analizamos la evolución de una onda electromagnética al propagarse
a través de un cristal fotónico unidimensional de longitud finita (CF1D) en donde
conocemos de antemano la forma que debe de tener el campo electromagnético. La forma
prevista del campo electromagnético se obtiene a través del análisis de la estructura de
bandas del CF1D. Una vez identificadas las frecuencias en el que es posible la
propagación del campo (frecuencia permitida) y las frecuencias que no permiten la
propagación del campo dentro del cristal (frecuencias prohibidas), se procede a realizar la
simulación de la propagación del campo. En el caso de frecuencias prohibidas,
relacionamos el decaimiento de la onda dentro del cristal con el vector de Bloch
imaginario.
Terminamos este capítulo con un análisis de la transmisión de una onda sinusoidal a
través de un cristal fotónico unidimensional por medio de una variación de la
temperatura. Este fenómeno de sintonización de la respuesta óptica de un CF1D es
relevante para el desarrollo de dispositivos fotónicos con respuesta óptica activa.
5.1 Bandas de energía prohibidas y permitidas.
Los cristales fotónicos son medios periódicos estructurados, que presentan
rangos de frecuencia en los cuales la luz no puede propagarse dentro de la estructura. Esta
periodicidad es del orden de la longitud de onda de la frecuencia prohibida y es un
fenómeno que ocurre similarmente en el campo del estado sólido, en donde los cristales
atómicos actúan como redes de difracción para el electrón.
La periodicidad de un cristal fotónico, en la región de bandas prohibidas da lugar
a una reflexión total. Este fenómeno puede también denominarse como un efecto espejo.
Sin embargo, este espejo no es perfecto. En este capitulo veremos que existe una porción
del campo que penetra en la estructura.
Usualmente la teoría de cristales fotónicos esta basada en la aproximación
estacionaria. Por ejemplo, el Método de Ondas Planas14
propone una solución
estacionaria de los campos y por medio de una expansión de Fourier para el campo
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
58
electromagnético y la función dieléctrica, se encuentran los valores propios de oscilación
en el sistema periódico, es decir, la estructura de bandas de energía del sistema. Por su
parte,
el Método de Matriz de Transferencia unidimensional15 propone la solución
estacionaria de los campos y por medio de condiciones de frontera, se encuentra tanto la
relación de dispersión como la reflexión.
La lógica del MDFDT es diferente. En el MDFDT hacemos evolucionar una onda
electromagnética en una estructura, y solo después de que la onda ha evolucionado será
posible determinar si la frecuencia de oscilación (o las frecuencias de oscilaciones, si es
un pulso) son bandas prohibidas o permitidas.
En este capítulo presentamos nuestros primeros pasos de la utilización del
algoritmo del MDFDT en cristales fotónicos. Nuestro interés es la visualización del
campo EM en una situación física que ya conocemos de antemano, a saber, las bandas
prohibidas y permitidas. El sistema a analizar esta constituido por arreglo periódico de
capas alternadas de TiO2 (medio a) y SiO2 (medio b), las cuales están delimitadas en sus
extremos por aire, las constantes dieléctricas para los materiales son
ε a = 5.5225 y
ε b = 2.1316 . Estos parámetros corresponden a los utilizados en la referencia16 para una
estructura que es ilustrada en la Fig. 5.1. Las capas consideradas son de espesores
d a = 0.66d y db = 0.33d , donde d es el período de la multicapa. El número completo de
medios presentes es de 19.
na
nb
Aire
Aire
a
b
z
Figura 5.1.- Geometría de la multicapa
El comportamiento del campo dentro del cristal lo dicta la estructura de bandas
fotónicas para el cristal infinito que es ilustrada en la Fig. 5.2. Esta estructura de banda
dicta un comportamiento del campo al incidir sobre un cristal finito, el cual esta
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
1,2
59
caracterizado por un aumento en la reflexión en las bandas prohibidas y transmisión total
en las regiones de bandas permitidas (Apéndice 5). Las energías en esta estructura están
presentadas en frecuencia reducida, la cual es obtenida por la relación ω red = ωd / 2πc
1,2
ωred (ωa/2πc)
0,8
0,4
0,0
-0,8
0,0
Reflexión
0,8
Kr
Ki
Figura 5.2.- En el lado izquierdo mostramos la reflexión del campo, en el lado derecho tenemos
la relación de dispersión con la parte imaginaria y real del vector de onda.
5.1.2 Visualización en frecuencias prohibidas.
En esta sección presentamos una visualización del campo en energía prohibida en un
cristal fotónico. En la Fig. 5.3 ilustramos la posición espectral de la frecuencia reducida
ω red = 0.48 . Una onda sinusoidal con esta frecuencia decae al interior del cristal de la
forma que es ilustrada en la Fig. 5.4. Como se observa en la figura, los resultados de
nuestra simulación están de acuerdo con la descripción de la estructura de bandas. Se
puede observar que el decaimiento de la onda dentro de el cristal [parte (a)] esta de
acuerdo con el comportamiento evanescente predicho por la parte imaginaria del vector
de Bloch. El decaimiento del vector de Poynting es ilustrado en la parte (b). En estas
figuras no aparece el campo incidente, ya que para nosotros es importante observar los
campos transmitidos y reflejados.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
60
0,6
ωred (ωa/2πc)
0,5
ωred = 0,48
0,4
-1,0
-0,5
0,0
Reflexión
Figura 5.3 Ubicación del valor de frecuencia reducida a utilizar en la simulación.
a)
Campo Eléctrico E(z,t)
2
1
Decaimiento de Bloch
0
λ0
-1
-2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-6
z (metros)
x10
b)
Vector de Poynting S(z,t)
2
1
0
-1
-2
0
5
10
15
20
25
30
35
z (metros)
40
-6
x10
Figura 5.4 Resultado de la simulación para una frecuencia de 0.48 (Frecuencia prohibida), la línea
evanescente corresponde a la aportación de la parte imaginaria del vector de Bloch.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
61
5.1.3 Análisis del campo para frecuencias permitidas.
En esta sección presentamos la visualización del campo, para frecuencias que
estén dentro del rango de frecuencias permitidas y que además presenten un mínimo de
reflexión, lo cual indica que el campo es totalmente transmitido. En la Fig. 5.5 escogemos
un valor de frecuencia reducida ω red = 0.355 .
ωred (ωa/2πc)
0,6
0,4
ωred = 0,355
-1,0
-0,5
Reflexión
0,0
Figura 5.5 Ubicación de frecuencia reducida para un mínimo de reflexión.
En la Fig. 5.6 mostramos el resultado de la simulación por medio del MDFDT de la
onda electromagnética.
Para este caso no es necesario omitir el campo incidente, ya que como esperamos un
mínimo de reflexión, esta no va a interferir con el campo.
Como se observa, la onda es completamente transmitida a través del cristal, tal como
se esperaba.
.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
62
Campo Eléctrico E(z,t)
2
1
0
-1
-2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-6
z (metros)
x10
Vector dr Poynting S(z,t)
2
1
0
-1
-2
5
10
15
20
25
30
35
40
-6
z (metros)
x10
Figura 5.6 Resultado de la simulación para frecuencia de 0.355 (Permitida).
5.2. Sintonización por medio de la temperatura
La estrategia de sintonizar por medio de la temperatura es la de alterar la constante
dieléctrica del semiconductor por medio de un agente externo con la idea de proponer
dispositivos que tengan una respuesta óptica regulable. Recientemente se han realizado
varios trabajos relacionados con este fenómeno para un CF unidimensional17,
18, 19
. En
estas referencias se trabaja con la siguiente función dieléctrica para el semiconductor:
⎡
ε (ω ) = ε ∞ ⎢1 +
⎣⎢
2
2
⎤
ω pe
ω ph
ω L2 − ωT2
−
−
⎥
2
2
ωT − ω − iωγ ω (ω + i / τ e ) ω (ω + i / τ h ) ⎦⎥
(5.1)
Aquí ω pe ( ω ph ) es la frecuencia de plasma del electrón apantallado, el cual depende de la
concentración de portadores ne (nh), la masa efectiva de conductividad me (mh), y la
constante
dieléctrica
para
altas
frecuencias
ε∞
como
2
ω pe
= 4πne e 2 / me ε ∞
2
( ω ph
= 4πn h e 2 / m h ε ∞ ). Se incluyen también amortiguamientos de plasmones y fonones.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
63
En la ecuación ωT y ω L son las frecuencias ópticas transversal y longitudinal de fonones
y γ es la constante de amortiguamiento para fonones. Finalmente, τ e ( τ h ) es el tiempo
de colisión de los electrones que puede ser obtenido de la movilidad: τ e = me μ e / e
( τ h = mh μ h / e ). En la referencia17 pueden obtenerse los valores completos de los
parámetros materiales utilizados.
El sistema esta conformado por nueve capas con espesor para cada una de las capas
de 10 micras que es ilustrado en la Fig. 5.7. De izquierda a derecha tenemos un medio
semi-infinito (aire), a continuación una secuencia de capas de InSb y aire que es
terminada con una capa de InSb y finalmente tenemos una capa semi-infinita de aire.
InSb
Aire
Aire
d
d
z
Figura 5.7 Geometría de la multicapa
La variación de la función dieléctrica realista
del InSb [ec (1)] varía con la
temperatura según se indica en la Fig. 5.8. Los datos experimentales para T=298 K son
graficados con círculos llenos y vacíos. Como se observa, la función dieléctrica tiende a
infinito en ωT = 3.5 x1013 s −1 . En el límite de bajas frecuencias y en el rango
3.0 < ω < 4.5(1013 s −1 ) , la absorción que producirá la parte imaginaria de la función
dieléctrica será demasiado grande. Es por ello que definimos un rango de frecuencias
ε i / ε r < 0.1 dentro del cual es posible lograr una sintonización aceptable de la respuesta
óptica.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
64
30
(b)
εi
Dielectric Function
25
εr
200 K
20
260 K
15
298 K
10
5
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
13
3,5
4,0
4,5
-1
Frequency ω (10 s )
Figura 5.8 Función dieléctrica del InSb para distintas temperaturas. En cada temperatura las líneas
gruesas (delgadas) describen la parte real (imaginaria) de la función dieléctrica, Los puntos negros y
blancos corresponden a resultados experimentales11.
La respuesta óptica del sistema para T= 260, 280 y 300 K es ilustrada en las Figs. 5.9,
5.10 y 5.11. En cada una de estas figuras presentamos, de arriba abajo la reflexión,
transmisión, absorción, la estructura de bandas y la función dieléctrica contra la
frecuencia.
Para el caso de la función dieléctrica la línea punteada corresponde a la parte
imaginaria de la función, en la estructura de bandas la línea punteada corresponde a la
parte imaginaria del vector de Bloch.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
65
La siguiente figura nos da información de las propiedades ópticas a una temperatura
de 260K
Temperatura = 260K
Reflexion
1
0.5
Transmision
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
1
0.5
0
Absorcion
1
0.5
0
Banda
1
0
Función
dieléctrica
-1
30
20
10
0
-10
Frecuencia ω (1x1014)
Figura 5.9 Propiedades ópticas de la multicapa InSb-aire para T = 260 K.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
66
A continuación presentamos la respuesta de las propiedades ópticas para una
temperatura de 280K.
Temperatura = 280K
Reflexion
1
0.5
Transmision
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
1
0.5
0
Absorcion
1
0.5
0
Banda
1
0
Función
dieléctrica
-1
30
20
10
0
-10
14
Frecuencia ω (1x10 )
Figura 5.10 Propiedades ópticas de la multicapa InSb-aire para T = 280 K.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
67
Finalmente obtenemos la respuesta de las propiedades ópticas para una temperatura
de 300K.
Temperatura = 300K
Reflexion
1
0.5
Transmision
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
1
0.5
0
Absorcion
1
0.5
0
Banda
1
0
Función
dieléctrica
-1
30
20
10
0
-10
Frecuencia ω (1x1014)
Figura 5.11 Propiedades ópticas de la multicapa InSb-aire para T = 300 K.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
68
La variación de la reflexión en función de la temperatura puede ser condensada en la
Figura 5.12 en donde presentamos la comparación de la reflexión para las temperaturas
T= 260, 280 y 300 K. Se observa que la reflexión varía hacia altas energías a medida que
la temperatura aumenta.
Reflectancia
0,8
0,4
T=260K
T=280K
T=300K
0,0
0,0
0,2
0,23
−1
Frecuencia ω (s )
0,4
14
(1x10 )
Figura 5.12 Comparación de la reflexión en para T= 260, 280 y 300 K.17
A continuación vamos a realizar una simulación para el campo electromagnético
utilizando el MDFDT y observar la respuesta del cristal a diferentes temperaturas.
Elegimos un valor de frecuencia ω = 0.23x1014 s -1 para comparar la forma del campo
para T= 260, 280 y 300 K, la cual es ilustrada en las Figs. 5.13, 5.14 y 5.15. En cada una
de estas figuras presentamos en la parte (a) el campo eléctrico y en la parte (b) el vector
de Poynting. Los valores de la reflexión en función de la temperatura obtenida por el
método de la matriz de transferencia son R(260K)=0.1, R(280 K)= 0.6 y R(300 K)=0.9.
Estos valores coinciden con el comportamiento obtenido por el MDFDT.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
69
De lo anterior podemos ver que existe una fuerte dependencia de las propiedades
ópticas del material con la temperatura y que es posible la sintonización de estos cristales,
ya que con 40K de diferencia en la temperatura, una banda prohibida pasa a ser banda
permitida.
La siguiente figura corresponde a simulación del campo a una temperatura de 260K:
Campo electrico E(z,t)
2
1
0
-1
-2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-6
z ( metros)
x10
Vector de Poynting S(z,t)
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-6
z ( metros)
x10
Figura 5.13 Resultado de la simulación, temperatura de 260K.
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
70
La siguiente figura corresponde al resultado de la simulación para una temperatura de
280K
Campo eléctrico E(z,t)
2
1
0
-1
-2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-6
z (metros)
x10
Vector de Poynting S(z,t)
2
1
0
-1
-2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-6
z (metros)
x10
Figura 5.14 Resultado de la simulación temperatura de 280K
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
71
Finalmente tenemos el resultado de la simulación para una temperatura de 300K
Campo electrico E(z,t)
2
1
0
-1
-2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-6
z (metros)
x10
Vector de Poynting S(z,t)
2
1
0
-1
-2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-6
z (metros)
x10
Figura 5.15 Resultado de la simulación temperatura de 300K
Como se observa en las figuras anteriores los resultados del MDFDT, están de acuerdo a
lo esperado, observándose como cambia la propagación del campo desde una temperatura
de 260K (R = 0.1) hasta una temperatura de 300K (R = 0.9).
Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
a la simulación del Campo Electromagnético.
72