Seminario Universitario - Matemática
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Seminario Universitario – Matemática
Módulo 4
Geometría
La Geometría es la ciencia que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones
que existen entre ellas.
El hombre está rodeado de objetos y mediante una operación mental adquiere las
formas de estos y los idealiza. Así, surgen los triángulos, los cuadriláteros, los
polígonos en general, los poliedros, los cuerpos redondos, etc. En realidad ninguno
de estos entes geométricos tiene existencia real, sólo existen perfectos en la mente
del hombre, y son aproximaciones del mundo real. La abstracción sustituye al objeto
observado por una figura ideal, que se llama figura geométrica.
ENTES GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES
Los entes geométricos fundamentales son: el punto, la recta y el plano.
Ellos son los conceptos primitivos, o sea elementos cuya existencia se acepta sin
definir.
Representación y notación
El punto se representa por el cruce de dos pequeños trazos, o bien por
la señal que deja la punta del lápiz. Los puntos se designan con una
letra mayúscula de imprenta. Los puntos se marcan. Por ejemplo, los
puntos A, B y C de la figura.
La recta se representa por el dibujo de un trozo de recta, suponiendo que se
extiende indefinidamente. Las rectas se denotan con una letra minúscula en cursiva.
Las rectas se trazan. Por ejemplo, las rectas a, b y c en la figura.
El plano se representa por el dibujo de un trozo de plano con la forma de un
paralelogramo, suponiendo que se extiende indefinidamente. A los planos se los
nombra designándolos con una letra griega minúscula. Los planos se dibujan. Por
ejemplo los planos , , y de la figura.
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Módulo 4: Geometría
Espacio geométrico
El conjunto de todos los puntos se llama espacio geométrico.
Es el conjunto universal con que se trabaja en geometría.
Tanto las rectas como los planos son subconjuntos del espacio geométrico.
Las figuras son conjuntos de puntos. Si todos los puntos están en el mismo plano, la
figura se llama plana, pero si la figura pertenece a distintos planos la figura se llama
espacial o más comúnmente cuerpo.
A partir de aquí, las demás figuras geométricas se definen.
Semirrecta
Dada una recta y un punto que pertenece a ella; este punto separa a la recta en dos
figuras, cada una de las cuales se llama semirrecta.
El punto dado se llama origen de la semirrectas.
Cada punto de una recta determina dos semirrectas de las cuales es origen; esas dos
semirrectas se denominan semirrectas opuestas.
Para denotar las semirrectas se utiliza el origen y otro punto que le pertenezca.
Se simboliza OA : que se lee: semirrecta de origen O que contiene al punto A.
Segmento
Dados dos puntos P y Q en una recta, se denomina segmento PQ, y se simboliza
como PQ , a la intersección de las semirrectas PQ y QP .
En símbolos:
PQ = PQ QP
a
P
s
Q
Notación. El segmento PQ se indica: PQ , que se lee: “segmento PQ”; también se
puede denotar como: a , y en este caso se lee: "segmento a”.
Los puntos P y Q son los extremos del segmento.
Cualquier otro punto perteneciente al PQ y distinto de sus extremos se denomina
punto interior al segmento.
Todo punto que no pertenezca al segmento se llama punto exterior a dicho
segmento.
Dos segmentos son consecutivos cuando sólo tienen en común un extremo.
Punto medio de un segmento
Dado un segmento AB y un punto interior M, M es el punto medio del AB si y sólo si
AM = MB .
Analíticamente, las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos A (x1;
x x2 y1 y2
,
y1) y B (x2; y2) son: M 1
2
2
2
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Mediatriz de un segmento
Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento trazada por
su punto medio.
Semiplano
Dado un plano y una recta que está incluida en él; esta recta separa al plano en dos
figuras, cada una de las cuales se llama semiplano.
La recta dada se llama recta de división, de borde, o frontera de los dos semiplanos
que ella determina.
Se comprende que cualquier otra recta de dicho plano determinará otros dos
semiplanos distintos de los primeros.
Para denotar los semiplanos se utiliza la recta frontera y un punto que pertenezca al
semiplano. Así, por ejemplo, se simboliza Spl(a, A), que se lee: Semiplano de
frontera a que contiene al punto A.
Ángulo plano
Es una cualquiera de las dos regiones del plano determinadas por dos semirrectas de
un mismo origen.
Las dos semirrectas que limitan el ángulo reciben el nombre de lados, por ejemplo
OP y OQ , y el punto común de origen, O, se llama vértice.
El ángulo considerado se marca con un arco que abarca la abertura del mismo.
Ángulos consecutivos
Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado
común y ningún otro punto común fuera de los de ese
lado.
Así, los ángulos y son consecutivos.
Semirrecta interior
Se llama semirrecta interior a un ángulo a toda semirrecta
que tiene como origen el vértice del ángulo y sus demás
puntos son interiores al mismo.
ˆ .
Por ejemplo, BM es una semirrecta interior al ABC
3
Módulo 4: Geometría
Bisectriz de un ángulo
Es la semirrecta interior al ángulo que lo divide en dos
ángulos congruentes.
OR es bisectriz del MON
MOR = RON
Ángulo convexo
Es cada una de las regiones de un plano que quedan determinadas por dos rectas
que se cortan.
Ángulo cóncavo
Si a un plano se le suprime un ángulo convexo queda determinado un ángulo
cóncavo.
Ángulo llano
Cuando los dos lados de un ángulo son semirrectas opuestas, el ángulo se denomina
llano. Por tanto, el ángulo llano es un semiplano.
Todo ángulo convexo es menor que un ángulo llano.
Todo ángulo cóncavo es mayor que un ángulo llano.
Ángulos agudos, rectos y obtusos
Cuando dos rectas al cortarse determinan cuatro ángulos congruentes, cada uno de
ellos se llama ángulo recto.
Un ángulo menor que el ángulo recto se llama ángulo agudo.
Un ángulo mayor que el ángulo recto se llama ángulo obtuso.
DBC es un ángulo agudo.
GBC es un ángulo obtuso.
ABC es un ángulo recto.
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si su suma es el ángulo recto.
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Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si su suma es el ángulo llano.
Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y los lados no comunes son
semirrectas opuestas.
̂ y ̂ adyacentes
Consecuencia de la definición: Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos P
en el plano que están a una distancia fija r dada, llamada
radio, de un punto fijo O dado, llamado centro.
La circunferencia de centro O y radio r se denota como: C
(O; r)
Simbólicamente:
C (O; r) = {P a un mismo plano que pasa por O / PO
= r}
Puntos interiores
Todos los puntos del plano de una circunferencia, tales que sus distancias al centro
son menores que el radio, se llaman puntos interiores a dicha circunferencia.
Así, en la figura anterior, F es un punto interior porque el segmento OF , que es la
distancia de F al centro de la circunferencia, es menor que el radio.
Círculo
Se llama círculo de centro O y radio r a la figura
formada por los puntos de la circunferencia de centro
O y radio r, y por los interiores a ella.
El círculo de centro O y radio r
simbólicamente como: C(O; r)
se expresa
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Módulo 4: Geometría
Obsérvese que, el círculo es una parte del plano que tiene por contorno, por borde, o
por frontera, a la circunferencia de igual centro y radio, mientras que la
circunferencia es una curva.
El círculo es la porción de plano interior a la circunferencia, más ésta.
Angulo central
En una circunferencia, o en un círculo, se llama ángulo
central a todo ángulo, perteneciente a su plano, cuyo vértice
es el centro de la circunferencia, o del círculo.
Ejemplo: El ángulo ̂ es un ángulo central, pues su vértice es
el centro de la circunferencia O.
Arco
Se llama arco a la parte de la circunferencia determinada por dos de sus puntos,
denominados extremos del arco.
Notación:
Para distinguir a uno de estos arcos del otro, se elige en
uno de ellos un punto cualquiera, el M por ejemplo; y se
lee: “arco de extremos A y B que contiene al punto M”, o
sólo “arco AB que contiene al punto M”. Esto se indica
como:
AB que contiene a M, o bien AMB
El otro arco de extremos A y B, el de trazo grueso, se dice:
AB que no contiene al punto M
El ángulo central tal que sus lados pasan por los extremos
de un arco y todos los demás puntos del arco son
interiores al ángulo, se dice ángulo central correspondiente
a dicho arco, o que abarca ese arco.
En la figura, ̂ es el ángulo central correspondiente al arco
RS . También se puede decir: RS
es el
correspondiente al ángulo central ̂ (no habitual).
arco
Se llama semicircunferencia al arco cuyo ángulo central correspondiente es un
ángulo llano.
El arco tal que su ángulo central correspondiente es un ángulo recto se llama
cuadrante.
Cuerda
Se llama cuerda al segmento determinado por dos puntos cualesquiera de la
circunferencia.
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Ejemplo: Los segmentos AB y CD , de la figura, son
cuerdas de la circunferencia O.
Los extremos de una cuerda dividen a la circunferencia en
dos arcos que se llaman arcos correspondientes a la
cuerda o arcos subtendidos por la cuerda.
Diámetro
Se llama diámetro a toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Consecuencias de la definición:
Consecuencia 1: El diámetro es igual al duplo del radio.
Designando con D al diámetro RS , resulta:
D=2r
Consecuencia 2:
Todos los diámetros de una circunferencia son congruentes.
Entonces, de acuerdo a esta segunda conclusión se puede decir “el diámetro” de una
circunferencia para referirse a un diámetro cualquiera de la misma.
Polígono
Poligonal: es aquella figura que se compone de dos o más segmentos dados en un
cierto orden de modo que dos consecutivos no estén alineados
Si los extremos coinciden, la poligonal se
denomina cerrada; y si no, abierta.
Se llama polígono a la porción de plano limitada
por una poligonal cerrada.
En todo polígono hay por lo menos tres ángulos,
pues etimológicamente la palabra está formada
por los vocablos: poli = muchos y gonos =
ángulos.
Notación: El polígono se designa por los puntos que lo determinan. Las letras
correspondientes a los vértices se escriben consecutivamente a partir de uno
cualquiera de ellos.
Así, el polígono convexo de la figura anterior se puede designar como:
políg ABCDE, que se lee polígono ABCDE.
Elementos de los polígonos
Los segmentos dados que determinan la poligonal se llaman lados.
Los extremos de los segmentos de la poligonal, se llaman vértices.
Los segmentos determinados por cada par de vértices no consecutivos se llaman
diagonales.
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Módulo 4: Geometría
Los ángulos interiores, o simplemente ángulos, son los ángulos convexos
determinados por cada par de lados consecutivos del polígono.
Los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo se llaman
ángulos exteriores del polígono. Es decir, son los ángulos adyacentes a los ángulos
interiores del polígono.
La quebrada o poligonal constituida por todos los lados del polígono se llama
contorno, y su suma perímetro.
Es evidente que todo polígono tiene tantos lados y ángulos como vértices posee.
Se llaman ángulos consecutivos de un
correspondientes a vértices consecutivos.
polígono
a
los
ángulos
interiores
Nombres de los polígonos
Los polígonos reciben distintos nombres según sea el número de lados que posean.
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Número de diagonales de un polígono
El número de diagonales que se pueden trazar desde cada
vértice de un polígono de n lados es: n – 3. Entonces, el
número total de diagonales que pueden trazarse en un
n (n 3)
polígono de n lados es:
2
Suma de los ángulos interiores de un polígono
La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a (n –
2) veces el ángulo llano.
SINT = 2 R (n – 2)
Suma de los ángulos exteriores de un polígono
La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a cuatro rectos.
SEXT = 4 R
C
TRIÁNGULOS
Todo polígono de tres lados se llama triángulo.
b
a
Clasificación de los triángulos
A
c
B
Se pueden clasificar de acuerdo a dos aspectos, no totalmente excluyentes:
Atendiendo a sus lados
Equilátero: es el triángulo que tiene los tres lados congruentes.
Isósceles: es el triángulo que tiene dos lados congruentes.
Escaleno: es el triángulo que tiene los tres lados desiguales (no congruentes).
Atendiendo a sus ángulos
Rectángulo: es el que tiene un ángulo recto.
Oblicuángulo: es el que no tiene ningún ángulo recto. Este se divide a su vez en
obtusángulo y acutángulo.
Triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso; y triángulo acutángulo es el
que tiene los tres ángulos agudos.
Relaciones que vinculan los ángulos de un triángulo
Suma de los ángulos interiores de un triángulo
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es
igual a dos rectos.
En el ABC :
ˆ ˆ ˆ 2 R
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Módulo 4: Geometría
Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes al mismo.
En el ABC : ˆ ˆ ˆ
Relaciones que vinculan los lados con los ángulos de un triángulo
En un triángulo a lados congruentes se oponen ángulos
congruentes; y a lados desiguales le corresponden ángulos
opuestos desiguales en el mismo sentido.
Recíprocamente, en un triángulo a ángulos congruentes se
oponen lados congruentes; y a ángulos desiguales le
corresponden lados opuestos desiguales en el mismo
sentido.
Relaciones que vinculan los lados de un triángulo
En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la
diferencia entre los mismos, efectuada en el sentido en que ésta sea posible.
Así, en el ABC :
a < b + c a > b – c;…
Alturas de un triángulo
Se llama altura del triángulo correspondiente a un
lado, o a un vértice, al segmento de perpendicular
trazado desde dicho vértice hasta la recta que
contiene al lado opuesto.
Se las representa por una letra h, con un subíndice
igual a la letra del vértice correspondiente, o del lado
correspondiente.
Medianas de un triángulo
Las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por un vértice y el
punto medio del lado opuesto.
Simbólicamente, las medianas se representan por la letra m con un subíndice
coincidente con: la letra del vértice correspondiente, o con el nombre del lado
correspondiente.
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Bisectrices de un triángulo
Se llaman bisectrices de un triángulo a los segmentos de las bisectrices
correspondientes a sus ángulos interiores comprendidos entre el vértice de dicho
ángulo y el lado opuesto.
Simbólicamente, las bisectrices de un triángulo se representan por una letra b con un
subíndice coincidente con la letra del vértice del ángulo correspondiente.
Mediatrices de un triángulo
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices
correspondientes a cada uno de sus lados.
Por lo tanto, de acuerdo a esta definición NO es un
segmento, es una recta.
Triángulos Rectángulos
Dado el BAC , es un triángulo rectángulo, porque el ángulo
 es recto.
Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el
lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
El triángulo rectángulo se denota de modo que el vértice
correspondiente al ángulo recto aparezca en el medio, y que
las dos letras de los extremos indiquen la hipotenusa. Así, al
indicar que el BAC es rectángulo, se da por sobreentendido que el ángulo  es el
ángulo recto, y que BC es la hipotenusa.
Propiedad de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
Dado el BAC rectángulo: B̂ + Ĉ = 1 R
Propiedad de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que
cualquiera de los catetos.
a > b
a > c
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c 2
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Módulo 4: Geometría
Propiedad de los triángulos isósceles
En todo triángulo isósceles la altura correspondiente a la
base es a la vez mediana correspondiente a la base,
bisectriz del ángulo opuesto, y está incluida en la mediatriz
correspondiente a la base.
En el BAC isósceles:
hA = mA
hA = bA
AM mediatriz del BC
CUADRILÁTEROS
Todo polígono de cuatro lados se llama cuadrilátero.
Propiedades de los cuadriláteros por ser polígonos
1º . Un cuadrilátero tiene dos diagonales.
2º . La suma de los ángulos interiores es:
SINT = 2 R (4 – 2) = 2 R · 2 = 4 R
En todo cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es igual a 4 rectos.
3º . La suma de los ángulos exteriores, como en todo polígono, es igual a cuatro
rectos: SEXT = 4 R.
Es decir, que los cuadriláteros son los únicos polígonos para los cuales la suma de los
ángulos exteriores es igual a la suma de los ángulos interiores.
Clasificación de los cuadriláteros
La clasificación de los cuadriláteros se sintetiza en el siguiente cuadro:
Generales
Paralelogramos
Rectángulos
Particulares
Rombos
Cuadrados
Cuadriláteros
Trapecios
No Paralelogramos
Generales
Trapezoides
Particulares
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Romboides
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Paralelogramos
Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.
Se indica: ABCD , se lee: paralelogramo ABCD.
Se llama base a uno cualquiera de sus lados y,
altura a la distancia de la base al lado
opuesto, o a su prolongación.
Por ejemplo, si se considera al lado AB como
h
h
h
la base del ABCD , h es su altura.
Propiedades de los paralelogramos:
En todo paralelogramo:
a) Los lados opuestos son congruentes;
b) Los ángulos opuestos son congruentes; y
c) Las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes.
También son válidos los recíprocos.
Sea el ABCD :
a)
AB = CD
y AD = BC ;
b)
 = Ĉ
c)
AM = MC y DM = MB .
y B̂ = D̂ ;
Rectángulo
Se llama rectángulo al paralelogramo que tiene sus
cuatro ángulos rectos.
El rectángulo es equiángulo, pero no equilátero.
Se indica: ABCD , y se lee: “rectángulo ABCD”.
Siendo el rectángulo un paralelogramo especial, hereda todas las propiedades de los
paralelogramos en general, y además el rectángulo tiene otras propiedades
particulares, entre ellas:
Las diagonales de un rectángulo son congruentes.
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Módulo 4: Geometría
Rombo
Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes.
El rombo es equilátero, pero no equiángulo.
Se indica: ABCD , y se lee: “rombo ABCD”.
Siendo el rombo un paralelogramo especial, hereda todas
las propiedades de los paralelogramos en general y
además el rombo tiene otras propiedades particulares,
entre ellas:
Las diagonales de un rombo son perpendiculares y
bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.
Cuadrado
Se llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro
lados congruentes.
El cuadrado es equiángulo y equilátero.
Se indica: ABCD , y se lee: “cuadrado ABCD”.
Por
ser
el
cuadrado
un
paralelogramo
tiene,
evidentemente, las propiedades de los paralelogramos en
general.
Por ser el cuadrado un caso particular del rectángulo, tiene
las propiedades particulares de éste.
Por ser el cuadrado un caso particular del rombo, tiene las
propiedades particulares de éste.
Los cuadriláteros que no son paralelogramos se clasifican en trapecios y trapezoides.
Trapecio
Se llama trapecio al cuadrilátero que tiene únicamente dos lados opuestos paralelos.
Así, el cuadrilátero de la figura es un trapecio, pues
únicamente tiene paralelos los lados opuestos AB y
CD .
Los lados paralelos se llaman bases del trapecio; los lados oblicuos, o lados no
paralelos, se llaman simplemente lados; y la distancia entre las bases se denomina
altura.
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En el trapecio de la figura, AB es la base mayor del trapecio, por ser el segmento
mayor de los lados paralelos, y CD es la base menor del trapecio.
Se indica: trap ABCD , y se lee: “trapecio ABCD”.
Clasificación de los trapecios
Los trapecios se clasifican en:
Trapecio isósceles: es aquel que tiene los lados (oblicuos) congruentes.
Trapecio escaleno: es aquel que tiene los lados desiguales.
Dentro de los trapecios escalenos, puede ocurrir que uno de los dos ángulos
adyacentes a cada base sea recto, en cuyo caso recibe el nombre de trapecio
rectángulo.
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
propiamente dicho
Trapecio rectángulo
Trapecios escalenos
Propiedades de los trapecios isósceles
En todo trapecio isósceles:
a) Los ángulos opuestos son suplementarios.
b) Los ángulos interiores adyacentes a cada una de las bases son respectivamente
congruentes.
c) Las diagonales son congruentes.
Romboide
Se llama romboide al trapezoide particular que tiene dos lados
consecutivos congruentes y los otros dos lados distintos de los
anteriores, pero también congruentes entre sí.
La diagonal del romboide que une los vértices a los cuales
concurren los pares de lados congruentes se llama diagonal
principal.
Propiedades del romboide
La diagonal principal del romboide es bisectriz de los ángulos
cuyos vértices une, y corta perpendicularmente a la otra
diagonal en el punto medio.
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Módulo 4: Geometría
Polígonos regulares
Un polígono se denomina regular cuando tiene todos sus lados y todos sus ángulos
respectivamente congruentes.
Todo polígono regular es equilátero y equiángulo.
Un polígono está inscripto en una circunferencia cuando sus vértices están sobre la
circunferencia y los lados son cuerdas de la misma; también se dice que la
circunferencia está circunscripta al polígono.
Un polígono está circunscripto a una circunferencia cuando sus lados son tangentes a
la circunferencia y los lados son cuerdas de la misma; también se dice que la
circunferencia está inscripta en el polígono.
En un polígono regular el centro de la circunferencia inscripta y el centro de la
circunferencia circunscripta coinciden.
Centro, radio y apotema de un polígono regular
Se llama centro del polígono regular el centro común de la circunferencia inscripta y
circunscripta.
Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscripta al
polígono.
Se llama apotema de un polígono regular al radio de la circunferencia inscripta en el
polígono.
O sea, la apotema es la distancia del centro a uno cualquiera de los lados del
polígono regular.
O también, la apotema de un polígono regular es el segmento de perpendicular
trazado por su centro a uno de sus lados; y por consiguiente es el segmento
determinado por su centro y el punto medio de dicho lado.
La apotema de un polígono regular de n lados se designa con la letra a seguida de un
subíndice igual al número de lados del polígono regular, an, al que pertenece.
Medida de los ángulos de los polígonos regulares
El ángulo que tiene por vértice el centro del polígono regular y que abarca un lado
del mismo se llama ángulo central del polígono regular.
En todo polígono regular de n lados la suma de los n ángulos en el centro es igual a
2 llanos, y como todos ellos son congruentes, el valor del ángulo central es:
=
360º
3
16
120º
360º
4
90º
2 llanos
n
=
4R
n
360º
5
72º
360º
6
60º
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Perímetro de figuras geométricas
El perímetro de una figura geométrica plana es la longitud de su contorno.
En las figuras poligonales el perímetro se calcula sumando la longitud de todos sus
lados.
La longitud de la circunferencia es igual al duplo del producto del número por el
valor del radio de la misma.
Área de figuras geométricas planas
La medida de la región o superficie encerrada por una figura geométrica plana.es el
área de la misma.
A continuación se presenta un resumen de fórmulas de cálculo de área y perímetro
de las figuras geométricas más utilizadas.
Triángulo
Triángulo rectángulo
b ·h
A=
2
P=a+b+c
b ·c
A=
2
P=a+b+c
Rectángulo
Rombo
Paralelogramo
A=bh
P = 2 (a + b)
Cuadrado
A=bh
A=l
P = 2 (b + h)
D .d
2
P=4a
A=
2
P=4l
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Módulo 4: Geometría
Trapecio
A=
B+b
h
2
P=B+b+c+d
Polígono regular
A=
Romboide
P .a
2
D .d
2
P = 2 (a + b)
Cuadrilátero
A = suma de las áreas de
los dos triángulos
A=
Circunferencia
P=a+b+c+d
Círculo
L=2r
A = r2
P=nl
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Figuras geométricas en el espacio
La geometría del espacio estudia los cuerpos que tienen tres dimensiones: largo,
ancho y alto.
Un cuerpo es “un objeto” que ocupa un lugar en el espacio.
La cantidad de espacio que ocupa un cuerpo es el volumen del mismo.
La suma de las superficies de sus “caras externas” es la superficie de un cuerpo.
Poliedros
Se llama poliedro a un cuerpo delimitado por polígonos Estos polígonos se
denominan caras, y sus lados aristas.
Estos se clasifican en:
Prismas: son aquellos poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas
bases y las caras laterales son paralelogramos.
La altura de un prisma es la distancia entre las
bases. Los lados de las bases constituyen las
aristas básicas, y los lados de las caras laterales
aristas laterales; estas son respectivamente
iguales y paralelas entre sí.
las
El área lateral AL de un prisma es igual al perímetro de la base PB por la altura h. En
símbolos: AL = PB · h.
El área total de un prisma AT es el área lateral del mismo AL más el duplo del área de
la base AB. En símbolos: AT = AL + 2 AB.
El volumen V es igual al producto del área de la base AB por la altura h. En símbolos:
V = AB · h.
Pirámides: son aquellos poliedros cuya base es
un polígono cualquiera y cuyas caras laterales
son triángulos con un vértice común llamado
vértice de la pirámide.
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Módulo 4: Geometría
La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con
el vértice. Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren
en el vértice, aristas laterales. La apotema lateral de una pirámide regular es la
altura de cualquiera de sus caras laterales.
Es importante distinguir entre la apotema lateral de la
pirámide y la apotema de su base. Calculamos la apotema
lateral AP, conociendo la altura h y la apotema de la base aP,
aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo
sombreado.
Calculamos la arista lateral de la pirámide, conociendo la altura
y el radio de la base o radio de la circunferencia circunscripta,
aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado.
El área lateral AL de una pirámide es igual al semiproducto del perímetro de la base
P A
PB por la apotema lateral AP. En símbolos: AL = B P .
2
El área total de una pirámide AT es el área lateral de la misma AL más el área de la
base AB. En símbolos: AT = AL + AB.
El volumen V es la tercera parte del producto del área de la base AB por la altura h.
A h
En símbolos: V = B
.
3
Cuerpos redondos o de revolución
Son los cuerpos geométricos que se generan al girar una recta o curva llamada
generatriz alrededor de otra llamada eje de revolución.
Se clasifican en:
Cilindro: Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que
gira alrededor de uno de sus lados.
El eje del cilindro es el lado fijo alrededor del cual
gira el rectángulo. Las bases son los círculos que
engendran los lados perpendiculares al eje. La altura
la distancia entre las dos bases. La generatriz es el
lado opuesto al eje, es el lado que engendra el
cilindro, la cual es igual a su altura.
es
El área lateral AL del cilindro es igual al producto entre la longitud de la base por la
altura. En símbolos: AL = 2 · r · h.
El área total del cilindro AT es igual a la suma entre el área lateral del mismo y el
duplo del área de la base En símbolos: AT = AL + 2 AB = 2 · r · (h + r).
20
U.T.N. F.R.C.U.
Seminario Universitario – Matemática
El volumen V es el producto del área de la base AB por la altura h. En símbolos: V =
AB · h = · r2 · h.
Cono: El cono es el cuerpo de revolución obtenido al
hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de
sus catetos.
El eje del cono es el cateto fijo alrededor del cual gira el
triángulo. La base es el círculo que forma el otro cateto. La
altura es la distancia del vértice a la base. La generatriz es
la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado se
relacionan la generatriz, la altura y el radio de la base.
El área lateral AL del cono es igual al producto entre por el radio por la generatriz.
En símbolos: AL = · r · g.
El área total del cono AT es igual a la suma entre el área lateral del mismo y el área
de la base En símbolos: AT = AL + AB = · r · (g + r).
El volumen V del cono es un tercio del área de la base AB por la altura h. En
AB h
r2 h
símbolos: V =
=
.
3
3
Esfera:
Superficie esférica: Una superficie esférica es la superficie engendrada por una
circunferencia que gira sobre su diámetro.
Esfera: Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una
superficie esférica.
El centro de la esfera es el punto interior que
equidista de cualquier punto de la superficie de
la esfera. El radio es la distancia del centro a un
punto de la superficie de la esfera. Una cuerda
es un segmento que une dos puntos de la
superficie esférica. El diámetro es una cuerda
que pasa por el centro. Los polos son los puntos
del eje de giro que quedan sobre la superficie
esférica.
El área de la superficie esférica es A = 4 · r2.
El volumen de la esfera es V = =
4
3
· r 3.
21
Módulo 4: Geometría
Resumen de fórmulas de los cuerpos:
Figura
Esquema
Área
Volumen
AL = PB · h
Prisma
V = AB · h
AT = AL + 2 AB.
AL = 4 a2
V = a3
Cubo
AT = 6 a2
a
AP
Pirámide
AL =
PB AP
2
V=
AB h
3
AT = AL + AB.
AL = 2 · r · h
Cilindro
AT = AL + 2 AB =
2 · r · (h + r)
AL = · r · g
Cono
Esfera
22
AT = AL + AB =
· r · (g + r)
A = 4 · r2
V = AB · h =
· r2 · h
V=
AB h
3
=
r2 h
3
V==
4
3
· r 3.
