Guía 5

Mecánica Cuántica II
Guı́a 5 – Octubre de 2014
Problema 1. Si el espacio de estados H de una partı́cula es de dimensión D finita, la dimensión
N
del espacio HN = H
| ⊗H⊗
{z· · · ⊗ H} será D .
N
(s)
a) Muestre que la dimensión del subespacio totalmente simétrico HN y la del subespacio total(a)
mente antisimétrico HN son

D + N − 1
0,
D < N,
(s)
(a)
dim HN =
,
dim HN =
D

N
, D ≥ N.
N
(s) b) Muestre que dim HN
(a) + dim HN
< dim(HN ) si N ≥ 3.
c) Particularice al caso N = 3 (y D ≥ 3): sean |αi, |βi y |γi estados mutuamente
ortogonales de
una partı́cula; muestre que el estado |ψi = 21 |αγβi − |βγαi + |γαβi − |γβαi tiene componentes
totalmente simétrica y totalmente antisimétrica ambas nulas, y encuentre otro estado con esa
caracterı́stica.
Problema 2.
Suponga que el Hamiltoniano H0 de una partı́cula actúa solamente sobre
variables orbitales, y suponga además que H0 posee sólo tres niveles no degenerados de energı́as 0,
~ω0 y 2~ω0 con autoestados ψ0 , ψ1 y ψ2 respectivamente. Considere un sistema de dos de tales
partı́culas no interactuantes, es decir descripto por el Hamiltoniano H = H0 (1) + H0 (2). Calcule
los niveles de energı́a, sus degeneraciones y sus correspondientes autoestados para el caso de:
a) partı́culas distinguibles;
b) electrones;
c) Bosones de spin 0.
Repita los tres puntos anteriores para el caso de un sistema de tres partı́culas no interactuantes
descripto por el Hamiltoniano H = H0 (1) + H0 (2) + H0 (3).
Problema 3. Considere tres partı́culas idénticas con dos distintos tipos de grados de libertad,
de modo que el espacio de Hilbert de cada una sea H = K ⊗ L (por ejemplo, el espacio K podrı́a
estar asociado a grados de libertad espaciales y el espacio L a grados de libertad de spin). Tome
el caso (caracterı́stico para grados de libertad espaciales) más simple donde K ∼
= C3 , y L ∼
= C2 .
(s)
(a)
(r)
(s)
(a)
(r)
a) Construya los subespacios H3 , H3 y H3 de H3 = H ⊗ H ⊗ H en términos de K3 , K3 , K3 ,
(s)
(a)
(r)
L3 , L3 y L3 , y complete la siguiente tabla con las dimensiones de cada uno:
esp
dim
(s)
K
3
L
2
(s)
H
6
K3
(s)
(s)
K3
(a)
K3
(r)
K3
L3
(s)
L3
(a)
L3
(s)
(r)
L3
(r)
H3
(a)
(s)
H3
(r)
(a)
H3
(r)
H3
(r)
(s)
¿Es H3 = K3 ⊗ L3 ? Muestre que los tres subespacios K3 ⊗ L3 , K3 ⊗ L3 , y K3 ⊗ L3
(r)
están contenidos en H3 y, por lo tanto, no contienen estados fisicamente relevantes. ¿Dónde
están los estados totalmente simétricos o totalmente antisimétricos que faltan?
b) Considere ahora el caso en que las partı́culas son fermiones de spin 21 , de modo que L = C2
(a)
y el espacio de estados es H3 . Sea {α, β, γ} una base ortonormal de K y {µ, ν} una base
(a)
ortonormal de L. Verifique que en K3 hay un único estado totalmente antisimétrico
1
φ = √ (α ⊗ β ⊗ γ + γ ⊗ α ⊗ β + β ⊗ γ ⊗ α − β ⊗ α ⊗ γ − γ ⊗ β ⊗ α − α ⊗ γ ⊗ β) ,
6
(a)
(s)
y que K3 ⊗ L3 tiene dimensión 4 y está formado por combinaciones lineales de φ ⊗ [µ ⊗ µ ⊗ µ],
φ ⊗ [ν ⊗ ν ⊗ ν], √13 φ ⊗ [µ ⊗ ν ⊗ µ + ν ⊗ µ ⊗ µ + µ ⊗ µ ⊗ ν] y √13 φ ⊗ [ν ⊗ ν ⊗ µ + ν ⊗ µ ⊗ ν + µ ⊗ ν ⊗ ν],
donde usamos la notación abreviada
1
φ ⊗ [µ ⊗ µ ⊗ µ] = √ ([α ⊗ µ] ⊗ [β ⊗ µ] ⊗ [γ ⊗ µ] + [β ⊗ µ] ⊗ [α ⊗ µ] ⊗ [γ ⊗ µ]
6
+[β ⊗ µ] ⊗ [γ ⊗ µ] ⊗ [α ⊗ µ] + etc.) .
(a)
Complete una base ortonormal de H3 .
Problema 4. Considere el potencial del oscilador armónico unidimensional
V (x) =
1
mω 2 x2
2
a) Se colocan en este potencial dos fermiones de spin 12 y masa m no interactuantes. Escriba explı́citamente el estado fundamental y el primer estado excitado de este sistema de dos
partı́culas, teniendo en cuenta su estadı́stica de spin, y dé sus energı́as y degeneraciones.
b) Considere ahora que las dos partı́culas interactúan mediante la interacción armónica
W (x1 , x2 ) = λ(x1 − x2 )2 .
Escriba el Hamiltoniano para las dos partı́culas en el potencial V (x) considerando la interacción
repulsiva λ > 0. Encuentre las energı́as y autofunciones del estado fundamental y primer
2
2
, x = x1√−x
. Para
y segundo estado excitado utilizando el cambio de variables X = x1√+x
2
2
determinar los estados tenga en cuenta los casos ω ≪ λ y ω ≫ λ.