LA TASA DE INTERÉS COMO VARIABLE ALEATORIA EN EL

UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA
Facultad de Ciencias Económicas y de Administración
LA TASA DE INTERÉS COMO VARIABLE
ALEATORIA EN EL CONTEXTO ACTUARIAL
Prof. Titular Sergio Barszcz
Montevideo, Julio 2014.
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
Distintos métodos para calcular el costo puro de un
seguro vinculado a la vida:
PRIMERO:
Una primera forma de cálculo del costo puro de un seguro vinculado a la vida,
consiste en utilizar el método euleriano. Se trata de un esquema determinístico,
para lo cual consideraremos dos funciones biométricas(lx y dx) y el concepto de
equivalencia financiera.
Ejemplo 1: Una persona de exactamente x años de edad celebra un contrato por
el cual el asegurador se compromete a abonar al o a los beneficiarios $1 en el
aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, cualquiera sea el
momento en que esto ocurra.
Denotaremos $ CPSMx al costo puro de ese seguro de muerte vida entera para
una persona de edad x, de capital $1 y supondremos que lx contratan el seguro y
cada uno paga $ CPSM x .Por otra parte, el asegurador deberá abonar dx dentro
de un año, dx+1 dentro de dos y así sucesivamente.
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
Entonces tendremos para el ejemplo 1
l x .C P S M
C PSM
•
•
x
x
= 1 .d x .v + 1 .d x + 1 .v 2 + ........... + 1 .d w − 1 .v w − x ⇒
1
=
lx
w − x −1
∑
d x + k .v k + 1
k =0
Ejemplo 2: Una persona de exactamente x años de edad celebra un contrato por
el cual el asegurador se compromete a abonar al asegurado $1 al comienzo de
cada año, mientras el asegurado esté con vida.
Denotaremos $ CPRVAx al costo puro de esa renta de vida anual, adelantada,
inmediata de cuotas de $1 para una persona de edad x, y supondremos que lx
contratan la renta y cada uno paga $ CPRVAx. Por otra parte, el asegurador
deberá abonar lx de inmediato, lx+1 dentro de un año, lx+2 dentro de dos años y
así sucesivamente mientras que haya una persona con vida del grupo.
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
y para el ejemplo 2
w−1−x
lx.CPRVAx =1.lx +1.lx+1.v +...........+1.lw−1.v
1 w−x−1
k
CPRVAx = ∑ lx+k .v
lx k=0
⇒
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
SEGUNDO:
Una segunda forma de calcular el costo puro de un seguro vinculado a la vida,
consiste en ponderar cada uno de los pagos que deberá efectuar el asegurador al
asegurado por la probabilidad de tener que hacer ese pago y hacer la actualización
financiera correspondiente. La suma de tales importes ponderados es el costo puro
del seguro.
Si se parte de los ejemplos vistos en el punto anterior, se llegan a los mismos
resultados.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TERCERO:
Se definen valores de conmutación, en particular:
Dx = lx .v , Nx =
x
k =w−1−x
∑
k =0
x+1
Dx+k , Cx = dx .v , Mx =
k =w−1−x
∑
k =0
Cx+k
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
Se puede ver muy fácilmente que:
CPSM x
Mx
Nx
=
; CPRVAx =
Dx
Dx
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CUARTO:
En este esquema se produce un salto de calidad en la naturaleza de los planteos,
efectivamente: mientras antes solo podíamos calcular el costo puro de las operaciones de
seguro, ahora podremos obtener además otros conceptos en base a la definición de tres
variables aleatorias: X (edad de muerte de un recién nacido), T(x) (tiempo de sobrevida de
una persona de edad x) y K(x) (tiempo de sobrevida medida en años enteros de una
persona de edad x).
Las dos primeras son variables aleatorias absolutamente continuas (y por ende tienen una
función de densidad y una función de distribución)mientras que la última es una variable
aleatoria discreta (con función de cuantía y de distribución). Así tendremos:
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
La función de densidad y de distribución de T(x) son respectivamente:
g(t) = t px.µx+t ; G(t) = t qx
Por su parte, la función de densidad y de
v distribución de X son respectivamente:
T
f ( x) = x p0 .µ x ; F ( x) = x q0
Y finalmente la función de cuantía y de distribución de K(x)
P(K ( x) = k ) = k px .qx+k ; P(K ( x) ≤ k ) = k +1 qx
Con estas variables aleatorias, es posible modelizar el valor presente de las
operaciones de seguros vinculados a la vida.
Así pues, en el caso del seguro de muerte que estamos analizando, tendremos que
el valor presente del pago de indemnización a efectuar por el asegurador es VK+1,
mientras que, en el caso de la renta de vida que estamos analizando, el valor
presente de los pagos a efectuar por el asegurador es V(1,K+1,i)
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
Como se determinan los costos puros en estas situaciones?
Calculando los valores presentes esperados (valores presentes actuariales ,vpa) en
cada una de las situaciones.
Así, por ejemplo, tendremos:
CPSMx = E(vK+1); CPRVAx = E[V (1, K +1, i)]
En que aspectos esta forma de encarar el tema presenta ventajas?
• en la posibilidad de calcular distintos momentos (por ejemplo, la varianza) de las
variables aleatorias valor presente
• en la posibilidad de determinar la distribución de las variables aleatorias valor
presente y con ello los percentiles que interesen.
• facilita el cálculo actuarial de seguros sobre varias vidas (noción de estado)
• facilita el trabajo con los modelos de decremento múltiple
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
Que otros aspectos se desarrollaron simultaneamente con este enfoque?
• construir tablas de mortalidad con procedimientos técnicamente superiores
• construir tablas de mortalidad específicas para ciertas poblaciones
• construir la función de cuantía de K(x) en función de los datos de una tabla de
mortalidad
• construir modelos para T(x) en base a la K(x) y los supuestos sobre edades
fraccionarias en cada año de edad.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------QUINTO:
Un aspecto que si bien ha sido planteado en trabajos académicos (algunos hace ya
varias décadas) ha tenido una difusión más acotada, es el tema de un adecuado
tratamiento de la tasa de interés. Efectivamente, es habitual que en textos y trabajos
sobre matemática actuarial relativamente recientes se suponga que la tasa de interés
de largo plazo es no sólo deterministica sino constante. En la práctica, desde una
perspectiva “comercial” se han diseñado productos “flexibles” para atenuar el impacto
de esta situación.
No obstante, el problema conceptual subsiste. El supuesto de tasa de interés
determínistica (e incluso constante), a menos situaciones relativamente
excepcionales, dista mucho de verificarse en la práctica. Para ello basta observar
cualquiera de las series de tasas de largo plazo de diversos instrumentos financieros.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Un primer método que puede ser utilizado para reconocer la variabilidad de la tasa de
interés consiste en construir un conjunto de escenarios pre-establecidos. Este
enfoque se encuentra todavía dentro del campo deterministico.
Los escenarios se construyen con secuencias de tasas de interés futuras, indexadas
por el tiempo, que serán utilizados con otros supuestos y el principio de equivalencia
para determinar el premio y efectuar el cálculo de reservas. En modelos más
completos, cada escenario puede especificar otras variables tales como gastos y tasas
de rescisión unilateral de la póliza por parte del asegurado de forma de ser
consistente con las tasas de interés utilizadas. Más aún, en estos últimos modelos, las
tasas de interés en si mismas tal como las tasas de interés entre escenarios, pueden
ser construidas para satisfacer ciertas necesidades económicas.
Los escenarios pueden ser especificados sin modelizar datos pasados, simplemente
para medir la adecuación de las primas y las reservas en diferentes esquemas de
condiciones económicas futuras plausibles.
De esta forma, un escenario de tasas de interés se plantea como una secuencia de
tasas de interés de un único período (i1, i2, i3,DD.) que ha sido determinado por el
actuario para su uso en un cálculo actuarial. Los elementos de la secuencia se
seleccionan sobre la base de que representan tasas prospectivas futuras plausibles de
acuerdo a la visión del actuario.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Un único escenario puede ser suficiente si el actuario está seguro de los retornos de
futuras inversiones como resultado de colocaciones pasadas o algún conocimiento
especial. Alternativamente, varios escenarios pueden ser especificados de manera que
la sensibilidad de los valores presentes actuariales a cambios del contexto económico
puedan ser estudiados.
Si se usan varios escenarios, a efectos de analizar la situación, podemos indexar los
escenarios por j = 1,2, D., m donde m es el número de escenarios y (ji1, ji2, ji3D..)
denota el escenario j-ésimo de tasas de interés. En este contexto denotaremos,
j
v 0 = 1, j v k =
k
Π
r =1
(1 +
j
ir )
−1
y
V (1, n , v * ) =
j
n −1
∑
j
vk
k=0
y usando la notación que venimos utilizando:
CPSM x = E [ j v K +1 ] y
j
CPRVAx = E [ jV (1, K + 1, v *)]
Nota: V(t,n,i) indica el valor presente en el momento t de una renta cierta de $1 ,con n
pagos, a una tasa de interés efectiva del periodo (intervalo de tiempo entre dos pagos
o cobros consecutivos).Cuando en este trabajo el parámetro i se sustituye por v* ello
indica la presencia de una secuencia de tasas de interés.
ESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICAS
Al construir un modelo de tasas de interés asuma que el actuario ha formulado m
escenarios plausibles de tasa de interés. Como paso siguiente, se puede especificar
distribuciones de probabilidad usando métodos para explicitar probabilidades
asignadas de acuerdo a la definición de la probabilidad subjetiva.El símbolo p(j) denota
la probabilidad del escenario j.
Las asignaciones de probabilidad deberían reflejar el punto de vista del actuario sobre
los rendimientos de las futuras inversiones. El proceso de explicitación de las
probabilidades de los escenarios es similar al proceso de explicitación de las funciones
de utilidad.
Los valores presentes actuariales son definidos usando la distribución conjunta del
tiempo de sobrevida medido en años enteros (K) y el escenario de tasa de interés (J).
Asumiremos que K y J son variables aleatorias independientes. El presubíndice
asterisco ha sido agregado para reflejar que los valores presentes actuariales han sido
tomados en relación a K y J.
ESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICAS
m
K +1
CPSM
=
E
E
[
v
] = EJ [ j CPSM x ] = ∑ j CPSM x . p( j)
*
x
J K/J J
j =1
*
C P RVAx = E J E K / J [ JV (1, K + 1, vɶ ] =
m
= ∑ j CPRVAx . p ( j )
j =1
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES
En el desarrollo precedente escenarios aleatorios de tasas de interés deterministicas
fueron presentados. La asignación de probabilidad fue realizada usando el
conocimiento económico del actuario. Consideremos un modelo estadístico para las
tasas de interés en el cual la selección del modelo y las estimaciones del parámetro
dependen de los datos.
log(1+ Ik ) = δ + εk
k=1,2,3,........
Suponga que el actuario ha decidido modelizar las fuerzas del interés y ha adoptado
el siguiente modelo: donde δ es una constante no negativa y εk son variables
aleatorias i.i.d. con distribuciones N(0,σ2).Este modelo puede ser visto como una
fuerza del interés media de largo plazo, sujeta a shocks randómicos. Dado el supuesto
hecho sobre la distribución de los shocks, fuerzas negativas de interés son posibles.
Algunos actuarios ven esta posibilidad como invalidante del modelo. Otros actuarios
adoptan el modelo porque parece natural modelizar la fuerza del interés y en las
operaciones de inversión a veces se dan valores negativos. Por lo tanto las variables
aleatorias log(1+IK) tienen idénticas distribuciones N(δ,σ2) y las variables aleatorias
(1+IK) tienen distribuciones log normales
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES

σ2 
E (1 + I K ) = exp  δ +
 ≥1
2 

•
De esta forma,
•
El logaritmo de la variable aleatoria correspondiente a la versión deterministica de la
función de acumulación (1+i)n es la variable aleatoria:
n
n
k =1
k =1
log ∏ (1 + I k ) = ∑ log(1 + I k )
•
Considerando la fórmula de la transparencia anterior,esta variable aleatoria tiene
una distribución N(nδ,nσ2). Como consecuencia, la función de acumulación de
intereses tiene una distribución lognormal con:
 n

n (δ +σ 2 / 2 )
E ∏ I k  = e
 k =1 
•
Es instructivo observar que si σ2=0, la acumulación de intereses esperada es enδ
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES
•El logaritmo del factor de descuento:
log[(1 + I k )−1 ] = − log(1 + I k ) = −δ − ε k
•tiene una distribución normal N(-δ,σ2) y (1+IK)-1 tiene una
distribución lognormal con
−1
E  (1 + I k )  = e − ( δ − σ / 2 ) > 0 y


−1
σ 2
−2δ +σ 2


V a r (1 + I k )
= e −1 e
≥ 0


•Definimos la función de descuento, como la variable aleatoria
2
(
vɶ
n
=
n
∏
k = 1
vɶ
0
= 1
)(
)
− 1
(1 +
I
k
)
y
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES
•La elección del símbolo ṽn se fundamenta en el uso de la expresión vn
en el campo determínistico. Entonces n
l o g ( vɶ n ) = − ∑ l o g (1 + I k )
k =1
tiene una distribución N(-nδ,nσ2) y ṽn tiene una distribución lognormal
con
E  ( vɶ n )  = e − n ( δ − σ
(
2
/2)
y
V a r  ( vɶ n )  = e nσ − 1
2
)(
e n ( −2δ +σ
2
)
)
•Nuevamente, si σ2=0, volvemos a la situación determinística
•Asumiremos que Ik, k =1,2,3, DD., K (tiempo de sobrevida en años
enteros) son mutuamente independientes. Consideremos en este
contexto algunas operaciones de seguros:
*
Ax
∞
∑
k =0
= E ( vɶ K
e − (δ
−σ
2
+1
) = E vɶ E
/ 2 )( k + 1 )
∞
K / vɶ
( vɶ K
. k p x .q x + k
+1
) = E vɶ ( ∑ vɶ k + 1 . k p x . q x + k ) =
k =0
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES
•Para medir el riesgo, determinamos la varianza (y haciendo cuentas) se llega a :
∞
Var (vɶK +1 ) = ∑ e
(
)
−( k +1)  2 δ −σ 2 


k
px .qx + k −
k =0
(
*
Ax
)
2
•Las fórmulas para el valor presente actuarial de una renta, suponiendo que Ik,
k=1,2,D..,K son mutuamente independientes, requieren definir primero
V
K
∑
( 1 , K , vɶ ) =
− 1
vɶ
s
s = 0
•Entonces
E vɶ / K [V (1, K + 1, vɶ )] =
•Y
s=K
∑
e s ( −δ +σ
2
/2)
= V (1, K + 1, δ − σ
2
/ 2)
s=0
2
ɺɺ
ɶ
ɶ
a
=
E
[
V
(1,
K
+
1,
v
)
=
E
E
[
V
(1,
K
+
1,
v
)]
=
E
[
V
(1,
K
+
1,
δ
−
σ
/ 2)]
* x
K Vɶ / K
K
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES
•Entonces:
∞
2
ɺɺ
a
=
[
V
(1,
K
+
1,
δ
−
σ
/ 2)]. k px .qx + k
∑
* x
k =0
•Si quisiéramos calcular Var[(1,K+1,ṽ)] deberíamos hacer un desarrollo que
excede el alcance de este trabajo. El resultado final que se obtiene es:
V a r (V (1 , K
d o n d e
α
aɺɺ x
+ 1 , vɶ ) =
α
aɺɺ x + 2
*
aɺɺ x −
α
aɺɺ x
− (
*
aɺɺ x )
2
1 − e − [δ − ( 3 σ / 2 )]
e s e v a lu a d a a la f u e r z a d e l in te r é s 2 (δ -σ
2
2
)
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES
•En el campo de la economía financiera ha habido una discusión
continua sobre si las tasas de interés efectivas para varias clases de
inversiones pueden ser modelizadas como v.a. i.i.d.
•El actuario puede alterar estos métodos.Por ejemplo, la distribución
de los shocks aleatorios εk puede suponerse distinta a la N(0,σ2)
•Si el actuario rechaza la hipótesis de que las tasas efectivas son v.a.
i.i.d. entonces puede utilizar, por ejemplo, como modelo el que
desarrollaremos a continuación:
•MODELO DE MEDIAS MOVILES
•Desarrollaremos a continuación únicamente el siguiente modelo:
log(1 + I k ) = δ + ε k − θε k −1
k=1,2,3,......
•donde δ > 0, y εk, k=1,2,3,D.. son v.a. mutuamente independientes,
cada una con distribución N(0,σ2). Adicionalmente supondremos que el
valor absoluto de θ≤1 y ε0 es conocido. Este modelo se llama modelo
de medias móviles de orden 1 y se denota MA(1)
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES
•La idea del modelo es que la fuerza del interés tiene una media de
largo plazo denotada por δ, pero que shocks económicos randómicos
crean desviaciones respecto a la media. El shock para el período k, εk,
tiene un impacto moderado y retardado sobre la fuerza del interés en
el período k+1 de tamaño –θεk.
•Denotando ṽn
k = n
vɶ n =
k = n
∏
(1 + I
k
)
−1
−
= e
∑
(δ + ε
k
−θε
k −1
)
k =1
k =1
•Entonces
n
n −1
k =1
k =1
log vɶn = − ∑ (δ + ε k − θε k −1 ) = − nδ + ε n − θε 0 + (1 − θ ) ∑ ε k y
E ( vɶn ) = E ( e
n −1


−  nδ + ε n −θε 0 + (1−θ )
εk 
k =1


∑
)
TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES
•Se había supuesto que los términos de shock εk eran mutuamente independientes y
cada uno tenía una distribución N(0,σ2). La correspondiente función generatriz de
momentos es:
tεk
t 2σ 2 /2
E(e ) = e
= M (t)
•Este resultado nos permite escribir:
E[vɶn ] = e − nδ M (−1)eθε 0 M (θ − 1) n −1 = C1e− nδ ′ n = 1, 2,3
donde C1 = M (−1)eθε 0 M (θ − 1) −1 y δ ′ = δ − log M (θ − 1)
•Con estos resultados preliminares calcularemos valores presentes actuariales:
∞
∞

−(k+1)δ ′
ɶ
ɶ
ɶ
A
=
E
[
v
]
=
E
E
[
v
]
=
E
v
p
q
=
C
e
* x
K+1
vɶ K/vɶ K+1
vɶ ∑ k+1 k x x+k 
1∑
k px qx+k
K=0
k=0

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES
k
∞ 


•Similarmente , * aɺɺx = E[V (1, K + 1, vɶ )] = Evɶ EK / vɶ [V (1, K + 1, vɶ )] = Evɶ  ∑ 1 + ∑ vɶs  k px qx + k  =
 k =0  s =1 

∞
k
∞

− sδ ′ 
= ∑ 1 + ∑C1e  k px qx + k = ∑ (1 + C1 V ( 0, k , δ ′ ) ) k px qx + k
k =0 
s =1
k =0

•El calculo de la varianza excede el alcance del trabajo
IMPLEMENTACIÓN
•Se pueden definir otros modelos estadísticos para calcular los momentos de los
valores presentes actuariales incorporando las tasas de interés como variables
aleatorias.
•Otros modelos estadísticos para Xk=log(1+lk) (ejemplos)
•A)Autorregresivo de orden 1 (AR1):
(Xk −δ) =Φ(Xk−1 −δ) +εk
•. B)AR(1) y MA(1)
( Xk −δ ) −Φ( Xk −1 −δ ) = εk −θεk −1
IMPLEMENTACIÓN
• c. AR(1) en primeras diferencias
( X k − X K −1 ) = Φ ( X k −1 − X k − 2 ) = ε k
•pueden ser objeto de similares desarrollos.
•Cuando las únicas variables aleatorias son las de tiempo futuro de sobrevida, y se
asume que son mutuamente independientes, se pueden desarrollar aproximaciones
para un portafolio de pólizas que se basan en un tipo de teorema central del límite que
se usa para justificar una aproximación normal.
•Cuando uno de los componentes de las variables aleatorias valor presente es función
del propio proceso aleatorio las variables aleatorias valor presente ya no son mas
independientes .
•Consecuentemente la distribución de las pérdidas totales de un portafolio de variables
aleatorioas valor presente ya no se pueden aproximar usanado simplemente una
distribución normal cuando las tasas de interés son tambien variables aleatorias.
IMPLEMENTACIÓN
Hay enfoques basados en la simulación para estimar los momentos de las variables
aleatorias valor presente o para aproximar la función de distribución o de densidad de
tales variables aleatorias.
• Si { IK } , denota la secuencia de tasas de interés efectivas aleatorias futuras y K los
años de vida completados se asumen independientes, una función de distribución
empírica podría usarse como aproximación de la función de distribución de la variable
aleatoria perdida individual , de una manera rutinaria.
•Para ilustrar suponga 100 secuencias de tasas de interés futuras generadas usando el
modelo MA(1) visto antes . Para cada una de estas secuencias una observación de las
v.a.K (años de vida completados) podría ser determinada usando la función de
supervivencia que ha sido asumida.Estos resultados pueden ser utilizados para obtener
100 valores muestrales de ṽ k+1. Estos valores pueden ser tratados como una muestra
derivada de la distribucion conjunta de { IK } y K y la media y la varianza de estas 100
simulaciones serian la estimacion de la media y varianza de la distribucion de ṽ k+1.La
funcion de distribucion empírica estimaria la funcion de distribucion de ṽ k+1.
•El proceso de simulación puede ser usado para aproximar la función de distribución del
valor presente las perdidas totales de un portafolio con n riesgo individuales. En este
caso hay un set de variables aleatorias de años completados de vida Ki, I=1,2,D,n .Si
estas v.a se asumen independientes un conjunto de observaciones para cada v.a Ki,
podia ser combinado con un escenario de intereses generados aleatoriamente para
producir una muestra de los resultados del valor presente de las perdidas .
IMPLEMENTACIÓN
•Debería quedar claro porque la simulación usando observaciones generadas por el
computador de variables aleatorias valor presente que pueden ser función de varias
variables aleatorias ha sido ampliamente utilizado para construir funciones de
distribución empíricas. Estas aplicaciones han hecho de la simulación una importante
herramienta en la ciencia actuarial
Si hay evidencias de que las v.a. tiempo hasta el decremento y causa de decremento
no son independientes de {ik },entonces la generación de v.a. valor presente se torna
más complicada. Por ejemplo acto y tiempo de retiro de un seguro de vida o de un plan
de pensiones pueden no ser independientes de {Ik}.
•MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS
•En los modelos desarrollados antes se podía seleccionar uno y estimar los parámetros
usando datos de operaciones de inversión del sistema financiero que está siendo
modelizado. Las críticas a este procedimiento afirman que ignoran importante
información disponible en los mercados de capital en ese momento.
•Para ilustrar la variabilidad en el tiempo de los rendimientos al vencimiento de un tipo
de acciones, se puede considerar la serie que muestra dichos datos para un
instrumento cualquiera .Los cambios en el precio de los bonos y en los rendimientos
reflejan las variaciones en la evolución del mercado.
•Hay por supuesto muchas otras inversiones que pueden haber tenido diferentes
esquemas de rendimiento en un mismo periodo. Las noticias económicas no afectan los
rendimientos de las acciones de la misma forma . Mas aún los bonos del gobierno con
vencimientos diferentes pueden exhibir evoluciones distintas de los rendimientos en
diversos momentos del tiempo .
MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS
•Informacion de precios y vencimientos
•Para extraer la información acerca de la relación del interés y los vencimientos, sin considerar
factores tales como default (imposibilidad de pago ) y call (vencimiento anticipado como opción del
que recibió el préstamo),es usual analizar acciones emitidas por gobiernos centrales. En EEUU se
llaman obligaciones del tesoro. Los otros bonos son analizados comparándolos con los bonos del
tesoro.
•Para ilustrar los métodos usados para resumir las relaciones entre las tasas de interés y las
fechas de vencimiento se requiere hacer una revisión de las ideas básicas de las matemáticas de
las finanzas . Consideremos en primer lugar los bonos de descuento puro que pagan uno al
vencimiento y son negociados en el mercado sin costo de transacción. Estos bonos no pueden
caer en default. El numero s denota el tiempo actual y hay disponibles bonos de descuento con
vencimientos en los momentos s, s+1DD Los precios de un bono en el tiempo s que vence t
periodos en un futuro se denotan como P(s,s+t) . Asumiremos que :
•
P
( s , s )
=
1 ,
l í m
P
( s , t )
=
t
•
→
+
∞
0
MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS
y si u > t ,
P (s, t ) > P (s, u )
El tercer supuesto equivale a asignarle un mayor valor a cobrar el mismo importe
antes. La tasa de rendimiento para t periodos se denota como i(s,s+t) que se define
como :
P ( s , s + t ) = [1 + i ( s , s + t ) ]
−t
El numero i(s,s+t) se llama tasa de posición en el tiempo s de un bono de periodo t. El
nombre deriva del hecho que las tasas pueden ser determinadas en base a la situación
del mercado y se relacionan con un único pago en una fecha futura . Las tasas de
posición i(s,s+t) vistas como una función de t se llama estructura temporal de las tasas
de interés en el tiempo s.
`
Las tasas a futuro son una forma alternativa de estudiar la relación entre vencimientos y
tasas de interés. Como el nombre lo sugiere las tasas a futuro son las tasas de interés
que serian utilizadas para contratos que concluyen en ese periodo futuro. Se requiere
que esas tasas sean consistentes con un conjunto de tasas de posición que se
observan en el mercado en ese momento .
MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS
•La consistencia que se requiere es la no existencia de oportunidades de arbitraje. Una
oportunidad de arbitraje existe en un mercado de capitales si hay dos estrategias
disponibles para el mismo periodo de inversión de forma que una estrategia resulte en
condiciones de certidumbre en una mayor riqueza al final del periodo que la estrategia
alternativa.
Para ilustrar el requerimiento de no arbitraje suponga que un inversor paga uno por
un bono que vence en el momento s+u por un monto [1+i(s,s+u)]u . Alternativamente el
inversor puede comprar un bono de periodo t, t<u, y en el tiempo s+t invertir el valor
nominal de la primera inversión en un segundo bono que vencerá en el momento s+u
por un importe :
1+ i ( s, s + t )  1+ j ( s, s + t, s + u ) 
t
u −t
•Donde j (s,s+t,s+u) es la tasa a futuro del tiempo s para un futura transacción con flujos
de fondos en s +t y en s+u . Si no existe oportunidad de arbitraje los dos montos finales
de riqueza deben ser iguales :
1 + i ( s, s + u )  = 1 + i ( s, s + t )  1 + j ( s, s + t, s + u ) 
u
t
u −t
MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS
1 + j ( s , s + t , s + u ) 
u −t
•En el caso especial en que u=t+1
1 + i ( s , s + u ) 

= 
t
1 + i ( s , s + t ) 


u
1 + i ( s , s + t + 1 ) 
1 + j ( s , s + t , s + t + 1 )  =
t
1 + i ( s , s + t ) 
0≤t≤u
t +1
0≤t ≤u
•Y si t=0
j
(s ,
s, s + 1
)=
i
(s ,
s + 1
)
MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS
•Aplicaciones repetidas de la relación anterior, empezando con t=0, da por resultado:
[1 + i(s, s + t )]
t
= [1 + j (s, s, s + 1)].[1 + j (s, s + 1, s + 2)]....
[1+j(s,s+t-1,s+t)]
•El precio actual de un bono que paga cupones de importe c al final de cada uno de los
n períodos y que luego paga un valor al vencimiento de F puede ser expresado de
forma consistente usando tasas de descuento de bonos, tasas de posición o tasas
futuras como se muestra a continuación:
•Usando tasas de descuento de bonos,
n
c ∑ P ( s , s + k ) + F .P ( s , s + n )
k =1
•Usando tasas de posición
n
c ∑ [1 + i ( s , s + k ) ] − k + F [ (1 + i ( s , s + n ) ] − n
k =1
MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS
•Usando tasas a futuro:
n
k −1
n −1
c ∑ ∏ [1 + j ( s , s + w, s + w + 1)] + F ∏ [1 + j ( s ,s + w , s + w + 1)]−1
k =1 w = 0
−1
w=0
•La igualdad de estas tres fórmulas para el precio de un bono descansa en el supuesto
de inexistencia de arbitraje.
MANEJO DEL RIESGO DE LA TASA DE INTERES
•Es acertado construir modelos actuariales para contar con sistemas de seguridad
financiera para evaluar las promesas hechas, para reportar el status financiero del
sistema y para manejar los riesgos inherentes de los sistemas de este tipo.
•En una primera aproximación (inmunización) presentaremos un conjunto de reglas
simples para manejar el riesgo de la tasa de interés desde una perspectiva
deterministica. Luego un conjunto de condiciones más generales referidas al tiempo e
importe del flujo de caja para minimizar el riesgo de la tasa de interés se desarrolla en
un modelo estocástico.
•INMUNIZACIÓN
INMUNIZACIÓN..
•Nuestro modelo plantea:
R e s e rv a s o P a s iv o s = L (i)= n (A
∞
A c tiv o = A (i)=
∑
v
j
a ( j)
j = 0
S u p e rá v it= S (i) = A (i)-L (i)
x + t
− P x aɺɺ x + t )
INMUNIZACIÓN
•Donde:
•n = número de pólizas vida entera idénticas contempladas en el modelo.
•t = número de años desde que las pólizas supervivientes fueran emitidas. Los activos,
pasivos y superavits son medidos en ese momento.
•PX= prima pura al momento de emisión de las pólizas, pero no necesariamente apropiada en el momento t para cubrir los pasivos. Esta prima se usa en el cálculo de
los flujos de caja bajo el supuesto simplificador de que la carga de gastos es
suficiente para atenderlos.
•{a(j)} = una secuencia de flujos de caja, cupones, dividendos y valores al vencimiento
provenientes de activos existentes, pagaderos al final de los años futuros de las
pólizas. En este contexto simplificado se asume que son deterministicos.
•i= tasa de valoración en el tiempo t . Se asume , de forma poco realista que i no
depende del cronograma de flujos de caja futuros y que cualquier cambio inmediato
en i no cambiara la curva implícita de rendimiento nivelado , considerada en
nuestros supuestos acerca de i .
INMUNIZACIÓN
•Claramente este modelo simplificado de decremento único ignora los beneficios
garantizados , los gastos y su incidencia en las primas fijadas en el contrato. Se asume
que los flujos de caja de entrada y salida son conocidos e independientes de la tasa de
interés . Algunas de las características poco realistas pueden ser cambiadas en un
modelo más amplio. Otros ajustes tales como hacer que los flujos de entrada y salida
de caja dependan de situaciones más realistas para el calculo de la tasa de interés de
valuación, son más complejos.
•En nuestro modelo simple podemos elegir pensar que la secuencia de flujos futuros de
caja {a(j)} sea una variable de control. La administración puede elegir entrar en
mercados de capitales que le permitan obtener {a(j)} tal que :
d S
(i )
d i
d S
2
d i
=
(i )
2
d
 A
d i
d 2
=

d i 2 
(i )
A
−
L
(i )
−
( i ) 
L
=
( i ) 
0
>
y
0
•Estas dos condiciones nos dan un valor mínimo de S(i) .Si una secuencia de flujo de
caja {a(j)} puede ser encontrada para que satisfaga las dos relaciones ,cualquier cambio
en la tasa de interés de valuación generaría un superavit incrementado
INMUNIZACIÓN
•Las reglas de selección implícitas en las dos relaciones de la transparencia anterior
han sido llamadas reglas de inmunización porque su implementación inmunizaría o
protegería al valor de S(i) de cambios en i .
MODELO ESTOCASTICO GENERAL
•Extenderemos las ideas y los símbolos usados en la sección anterior para introducir
elementos estocásticos . Tendremos
( )
( )
S vɶ, Kɶ = A( vɶ ) − L vɶ, Kɶ
• donde ṽ es una secuencia {ṽj } de factores de descuentos aleatorios y
Kɶ
=
(K
1
, K
2
, K
3
...., K
n
)
es un vector de n variables aleatorias independientes tiempo de sobrevida en años
enteros
Se continuará suponiendo que la secuencia de flujos de caja {aj } es deterministico.
MODELO ESTOCASTICO GENERAL
•La inmunización implica minimizar
Var ( S (vɶ, Kɶ ))
lo que se logra si
V a r vɶ  Aɶ

( vɶ ) −
E  L
( vɶ ,
Kɶ
)|
vɶ   = 0
