¿Cómo realizar cálculos aproximados de integrales definidas con la

¿Cómo realizar cálculos aproximados de integrales
definidas con la calculadora Casio fx – 9860G?
Cálculo II –Práctica 1
Prof. Robinson Arcos
OBJETIVO GENERAL:
Al culminar esta práctica el estudiante estará en capacidad de realizar cálculos aproximados de una integral
definida con la calculadora CASIO fx – 9860G por las reglas de los rectángulos, trapecios y Simpson.
RESUMEN:
Para evaluar una integral definida
b
∫ a f (x) dx
usando el Teorema Fundamental del Cálculo, es necesario
determinar una primitiva F de f, y en ese caso se tendrá que
b
∫ a f (x) dx = F(b) − F(a) . En ocasiones es difícil,
2
incluso imposible conocer una primitiva de f, como en el caso de la función f (x ) = e − x , que no tiene una
“primitiva elemental”. Esto significa que no existe una función F tal que F′(x ) = f (x ) y cuya regla de
correspondencia pueda representarse por una expresión algebraica construida mediante operaciones de adición,
sustracción, multiplicación, división y composición de funciones elementales.
Por otra parte, al aplicar el teorema fundamental del cálculo en una integral definida, no debe pensarse que
siempre se obtiene el valor exacto de la integral, en realidad lo que se obtiene es el valor exacto expresado en
2 2
40 5 144 3
−
; aquí el
x x + 3 dx =
términos simbólicos, pero no en términos numéricos. Por ejemplo,
7
35
0
resultado está expresado en términos simbólicos. Para obtener el valor numérico de la integral debemos hallar una
40 5 144 3
con la cantidad de decimales que se requiera; digamos
aproximación del número
−
7
35
∫
∫
2 2
x x + 3 dx ≈ 5.65 , que es una aproximación de la integral con dos cifras decimales exactas.
0
En consecuencia, en cualquier caso, la mayoría de las veces debemos realizar una estimación de la integral.
Incluso, si utilizamos el teorema fundamental para hallar una respuesta exacta en términos numéricos, la precisión
puede no tener sentido si el integrando se modela con datos que se han obtenido en forma inexacta en una
situación problemática de aplicación. Es posible que no haya una fórmula o expresión algebraica para la función f.
En la mayor parte de las aplicaciones prácticas no se requieren respuestas exactas. Si el problema es predecir
la cantidad de combustible usado por un trasbordador espacial o la longitud de un cable de acero que soporta un
puente, se puede requerir sólo un cierto número de lugares decimales de precisión.
En esta práctica nuestro interés se enfocará en conocer métodos para calcular en forma aproximada una
integral definida y discutir cuáles resultan “mejores” en el sentido de que arrojan resultados más cercanos al valor
exacto con menos trabajo. Los métodos funcionan también que, en la mayor parte de las situaciones prácticas, las
integrales definidas se evalúan numéricamente y no por antidiferenciación y uso del teorema fundamental del
cálculo.
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
El estudiante debe estar familiarizado con:
•
La notación ∑ y sus propiedades.
•
El concepto de la integral definida y sus propiedades.
•
El concepto de sumas de Riemann y su cálculo.
1
INTRODUCCIÓN:
El problema general se presenta haciendo una estimación del
área de la región R limitada por la gráfica de una función f, el eje
OX y las rectas de ecuación x = a y x = b . Por el momento
supondremos que f (x ) ≥ 0 y continua en [a, b] , como en la
Figura 1. A la región R la llamaremos trapecio curvilíneo.
Para encontrar una estimación del área del trapecio curvilíneo
se siguen los siguientes pasos:
Paso1: Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos. Para ello
se dispone de n + 1 puntos que verifican la siguiente condición:
a = x 0 < x1 < x 2 < L < xk −1 < xk < L < xn−1 < xn = b
Esta colección de puntos se denomina partición del intervalo
[a, b] en n subintervalos o subdivisiones.
Figura 1
Paso 2: En cada subintervalo [x k − 1, x k ] con k = 1,2,L , n , se
elige cualquier punto c k . De manera que tenemos elegidos n
puntos c 1, c 2 ,L , c n donde c 1 se elige en el primer subintervalo
[x 0 , x 1] , c 2 se elige en el segundo subintervalo [x 1, x 2 ] , y así
sucesivamente, observe la Figura 2.
Figura 2
Paso 3: Para cada k = 1,2,L , n se calculan los números:
•
Δx k = x k − x k − 1 (longitud del subintervalo [x k − 1, x k ] ).
•
f (c k ) (valor de la función en x = c k ).
•
f (c k ) ⋅ Δx k .
El producto f (c k ) ⋅ Δx k representa el área del rectángulo que
tiene por base la longitud del subintervalo [x k − 1, x k ] y por altura
la longitud f (c k ) .
Paso 4: Se calcula la suma de los productos encontrados en el
paso 3, esto es,
n
S(n) =
∑ f (ck ) ⋅ Δxk = f (c1) ⋅ Δx1 + f (c 2 ) ⋅ Δx 2 + L + f (cn ) ⋅ Δxn .
Figura 3
k =1
Esta suma se denomina Suma de Riemann de la función f en el intervalo [a, b] con n subintervalos. Lo
importante de esta suma es que la misma nos da una aproximación del área de la región R ( A(R ) ≈ S(n) ).
En la Figura 3 se observa una suma de Riemann de la función f en el intervalo [a, b] con n = 5 subintervalos.
En este caso tenemos la estimación:
A(R ) ≈ S(5) = f (c 1)Δx 1 + f (c 2 )Δx 2 + f (c 3 )Δx 3 + f (c 4 )Δx 4 + f (c 5 )Δx 5
Observe que la elección de los puntos c k para k = 1,2,3,4,5 ha sido arbitraria.
Dado que el área de la región R es precisamente A(R ) =
se aproximada por una suma de Riemann, esto es,
b
∫ a f (x)dx , tenemos que el valor de la integral definida
n
∫ a f (x) dx ≈ ∑ f (ck ) ⋅ Δxk .
b
k =1
precisamente se basa la idea de aproximar una integral definida.
2
En esto hecho es que
¿Cómo calcular una aproximación de la integral indefinida por el método de los rectángulos?
Del cálculo anterior se deduce que una suma de Riemann es una suma de áreas de rectángulos. Cuando
aproximamos el valor de una integral definida por una suma de Riemann, estamos aproximando la integral por el
método de los rectángulos.
A fin de realizar el cálculo de una suma de Riemann de manera práctica y con comodidad de computo, se divide
el intervalo [a, b] en n subintervalos de la misma longitud y los números c k para k = 1,2,L , n no se eligen
arbitrariamente, sino que se toman los extremos derechos o los extremos izquierdos o el punto medio de cada uno
de los subintervalos. Sin embargo, debe tenerse presente que la razón de considerar sumas de Riemann que no
sean sumas por la izquierda y por la derecha, es que existen otras opciones de puntos dentro de cada subintervalo
que pueden producir mejores métodos de cálculo aproximado.
Para calcular una suma de Riemann por el método de los rectángulos se siguen los siguientes pasos:
Paso1: Se construye una partición del intervalo [a, b] en n
subintervalos de la misma longitud (partición regular), de modo que:
Δx k = x k − x k − 1 =
b−a
para cada k = 1,2,L , n
n
Extremos izquierdos:
c k = x k − 1 para k = 1,2,L , n
Paso 2: Dado que en una partición regular cada x k viene dado por la
k(b − a)
para cada k = 0, 1, 2,L, n , los
progresión aritmética x k = a +
n
puntos c k ∈ [x k − 1, x k ] se eligen de acuerdo a las siguientes reglas:
•
Se selecciona
subintervalo:
ck = x k − 1 = a +
•
el
cada
(k − 1)(b − a)
para cada k = 1,2,L , n .
n
Se selecciona el punto final (derecho) de cada subintervalo:
ck = x k = a +
•
punto inicial (izquierdo) de
k(b − a)
para cada k = 1,2,L , n .
n
Se selecciona el punto medio de cada subintervalo:
ck =
1
(2k − 1)(b − a)
(x k + x k − 1) = a +
para cada k = 1,2,L , n .
2
2n
Figura 4
Extremos derechos: c k = x k − 1 para k = 1,2,L , n
Puntos medios: c k = (x k + x k − 1) / 2 para k = 1,2,L , n
Figura 5
Figura 6
3
Estos tres métodos se llaman, con razón, la regla por la izquierda, la regla por la derecha, y la regla del
punto medio.
n
Paso 3: Se calcula la suma de Riemann S(n) =
n
⎛b−a⎞
f (c k ) ⋅ Δx k = ⎜
f (c k ) .
⎟
n ⎠
⎝
k =1
k =1
∑
∑
Usaremos IZQ(n), DER(n) y MED(n) para denotar los resultados obtenidos al usar las reglas descritas con n
subdivisiones.
La Figura 4 muestra gráficamente la suma de Riemann IZQ(10) para la función continua y definida por
x2
+ 2 en el intervalo cerrado [0, 10] . Observe que en este caso, como la función f es creciente en [0, 10] , la
10
suma IZQ(10) nos da una subestimación o aproximación por defecto del área del trapecio curvilíneo.
La Figura 5 nos muestra gráficamente la suma de Riemann DER(10) de la función f en el mismo intervalo. Por
ser f creciente en [0, 10] , la suma nos da una sobreestimación o aproximación por exceso del área del trapecio
curvilíneo.
La Figura 6 nos muestra el hecho interesante de que evaluar f en el punto medio de cada subintervalo, muchas
veces da una mejor aproximación que la obtenida al evaluar f en los extremos izquierdos o en los extremos
derechos del subintervalo. Para la función f en particular, se puede observar que cada rectángulo rebasa y recorta
el área exacta, y que las cantidades de exceso y recorte son prácticamente iguales.
Es útil saber cuando una regla produce una subestimación y cuando una sobrestimación. Se puede demostrar
que:
f (x) =
Si f es creciente en [a, b] , entonces para cualquier número entero positivo n se tiene:
IZQ(n) ≤
b
∫ a f (x) dx ≤ DER(n) .
Si f es decreciente en [a, b] , entonces para cualquier número entero positivo n se tiene:
DER (n) ≤
b
∫ a f (x) dx ≤ IZQ(n)
¿Cómo se calculan las sumas de Riemann con particiones regulares en la calculadora CASIO fx-9860G?
1. Observaciones: Antes de continuar, es importante señalar que el usuario debe realizar las actividades
propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción.
Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la mera transmisión de información, estás se
,
,
o una barra gris
en el margen izquierdo de la página. El primer
destacarán con los iconos
icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, anunciará al usuario que se
abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora para ejecutar las instrucciones que se
indican. El segundo icono le anunciará que se está planteando una situación problemática que será resuelta o
que está propuesta para que la desarrolle. El último le anunciará que debe reportar por escrito la respuesta a la
situación problemática formulada.
2. Operación con la calculadora: Antes de realizar las actividades presentadas en esta práctica, es
necesario realizar labores de limpieza y configuración en el menú de trabajo de la calculadora.
1.
Presione
2.
3.
Presione
. Seleccione el menú [Run-Mat]
y presione
.
Para configurar la calculadora en el menú [Run-Mat], presione las teclas
para encender la calculadora.
para acceder al cuadro de diálogo de configuración.
Figura 7
4
4.
En el cuadro de diálogo aparece el seleccionador ubicado en [Input Mode].
Presione
(Figura 7).
5.
para configurar el menú [Run-Mat] en el modo [Line]
En la tecla direccional elíptica presione
. El resaltador se ubicará en
[Display]. Presione
una o dos veces hasta elegir el formato
numérico en el modo [Norm1] (Figura 8).
6.
7.
Figura 8
Presione
para salir del menú de configuración.
Presione la secuencia de teclas:
para limpiar las variables de la A hasta la Z (Figura 9).
8.
Para usar el historial de cálculo presione
•
9.
.
Figura 9
Esto configura el menú [Run-Mat] en el modo [Math].
Presione las teclas
(Figura 10).
para borrar el historial de cálculo
Ahora estamos en capacidad de resolver nuestra primera situación
problemática:
Figura 10
3. Situación problemática:
Calcule las sumas de Riemann IZQ(n), DER(n) y MED(n) para n = 10, 20, 50, 100, 200 que aproximen la
integral definida
∫
⎞
+ 2 ⎟ dx . Presente sus resultados en una tabla.
⎟
0 ⎜ 10
⎠
⎝
10 ⎛ x 2
⎜
4. Operación con la calculadora:
•
Comenzaremos asignando valores a las variables A, B y N:
10. Presione
•
11. Presione
•
.
A la variable A le hemos asignado el límite inferior del intervalo de
integración [0,10] .
.
Figura 11
A la variable B le hemos asignado el límite superior del intervalo de
integración [0,10] .
12. Presione
•
A la variable N le hemos asignado el número de subdivisiones ( n = 10 )
con que vamos a calcular la aproximación IZQ(10) (Figura 11).
13. .Presione la secuencia de teclas:
Figura 12
.
5
•
Con esto hemos asignado a la variable D la longitud Δx k =
b−a
de
n
cada subintervalo para k = 1, 2, 3,L , 9, 10 (Figura 12).
•
Calcularemos ahora la suma IZQ(10):
14. Presione
y luego
en pantalla el símbolo ∑.
15. Presione la secuencia de teclas:
•
para que aparezca
Figura 13
Se obtiene el resultado presentado en fracción.
16. Presione
para obtener IZQ(10) en forma decimal.
Figura 14
5. Reporte por escrito.
Presente el resultado obtenido y los subsecuentes en la siguiente tabla:
n
IZQ(n)
MED(n)
DER(n)
10
20
50
100
200
Tabla 1
Para calcular las sumas IZQ(n) para n = 20, 50, 100, 200 hacemos uso del histórico de cálculo de la siguiente
manera:
•
Para calcular IZQ(20) basta cambiar el valor actual de la variable N por
20 en el histórico de cálculo:
17. Presione
para ubicar el cursor en la
instrucción 10 → N en el histórico de cálculo (Figura 15).
Figura 15
18. Presione ahora
para actualizar el nuevo
valor ( n = 20 ) de asignación para la variable N (Figura 16).
19. Presione
•
El histórico actualiza los cálculos a partir de la instrucción modificada y
presenta automáticamente el valor de IZQ(20) como una fracción.
20. Presione
•
.
Figura 16
para obtener IZQ(20) en forma decimal.
Se obtiene IZQ(20) = 50.875 (Figura 17).
De manera análoga, calcule las sumas IZQ(50), IZQ(100) y IZQ(200).
Presente sus resultados en la Tabla 1.
6
Figura 17
Para calcular ahora las sumas DER(n) para n = 20, 50, 100, 200
modificaciones en el histórico de cálculo:
realizaremos primeramente algunas
21. Para calcular las sumas por la derecha, ubique el cursor en la instrucción
donde aparece la sumatoria como en la Figura 18.
22. Presione la tecla direccional derecha
cursor antes de la letra K.
23. Ahora presione la secuencia de teclas:
nueve veces hasta ubicar el
Figura 18
•
Con esto tenemos la sumatoria que corresponde a las sumas por la
derecha, observe la Figura 19.
•
Ahora calcularemos DER(10):
24. En el histórico de cálculo, ubique el cursor en la instrucción 200 → N y
actualice el valor (n = 10) de asignación de la variable N. (Figura 20).
25. Presione
•
El histórico actualiza los cálculos a partir de la instrucción modificada y
presenta automáticamente el valor de DER(10) como una fracción.
26. Presione
•
Figura 19
.
para obtener DER(10) en forma decimal.
Figura 20
Se obtiene DER(10) = 58.5 (Figura 21).
Calcule las sumas DER(20), DER(50), DER(100) y DER(200) actualizando
en cada caso el valor de la variable N. Presente los resultados en la
Tabla 1.
Figura 21
Para calcular finalmente las sumas MED(n) para n = 20, 50, 100, 200 , hacemos uso nuevamente del histórico de
cálculo:
27. Para calcular las sumas por la regla del punto medio, ubique el cursor
en la instrucción donde aparece la sumatoria como en la Figura 22.
28. Presione la tecla direccional derecha
cursor antes de la letra K.
29. Ahora presione la secuencia de teclas:
ocho veces hasta ubicar el
.
•
Con esto hemos insertado algunos caracteres para obtener la sumatoria
que corresponde a las sumas por la regla del punto medio, como en la
Figura 23.
•
Calculemos MED(10):
30. En el histórico de cálculo, ubique el cursor en la instrucción 200 → N y
actualice el valor (n = 10) de asignación de la variable N.
31. Presione
•
Figura 22
Figura 23
.
El histórico actualiza los cálculos a partir de la instrucción modificada y
presenta automáticamente el valor MED(10) = 53.25 (Figura 24).
Calcule las sumas MED(n) para n = 20,50,100,200 y presente los
resultados en la Tabla 1.
Figura 24
7
Podemos encontrar en la calculadora fx-9860G la integral definida de f y comparar el valor obtenido con los
resultados presentados en la Tabla 1:
• Limpiemos primeramente la pantalla de la calculadora:
32. Presione la secuencia de teclas:
Calculemos ahora
10 ⎛ x 2
⎜
∫0
33. Presione
⎞
+ 2 ⎟ dx :
⎜ 10
⎟
⎝
⎠
Figura 25
.
• Aparece la plantilla del símbolo integral.
34. Presione la siguiente secuencia de teclas para editar la función:
.
•
Con esto tenemos editado el integrando. Para colocar los límites de
integración y calcular la integral procedemos como sigue:
35. Presione
Se obtiene
Figura 26
.
10 ⎛ x 2
∫0
⎞
⎜
+ 2 ⎟ dx = 53.33333333 .
⎜ 10
⎟
⎝
⎠
Figura 27
6. Observaciones: al visualizar los resultados presentados en la Tabla 1 y compararlos con el valor de la
integral definida, podemos hacer las siguientes observaciones:
•
•
Al usar el método de los rectángulos con cualquiera de sus tres reglas se obtienen aproximaciones más
exactas cuando se incrementa el valor de n.
Cuando la función f es creciente en el intervalo [a, b] , como en el caso que hemos tratado, se tiene:
IZQ(n) ≤ MED(n) ≤ DER(n) para cada entero positivo n.
De manera análoga, si f es decreciente en [a, b] se tendrá que:
DER (n) ≤ MED(n) ≤ IZQ(n) para cada entero positivo n.
•
El uso de la regla del punto medio da un mejor cálculo aproximado al valor de la integral definida. Por
ejemplo, en el caso que hemos tratado, observe que los valores aproximados que se obtuvieron de la
integral para n = 200 : IZQ(200) = 53.08375 , MED(200) = 53.333125 y DER(200) = 53.58375 el valor
obtenido por la regla del punto medio aproxima la integral con tres cifras decimales exactas, lo que no
sucede con las otras sumas que solo son exactas en la parte entera. Si observamos el caso para n = 50 :
IZQ(50) = 52.34 , MED(50) = 53.33 y DER(50) = 54.34 , la aproximación por la regla del punto medio es
exacta hasta la segunda cifra decimal, las aproximaciones con las otras dos reglas sólo son exactas en la
primera cifra entera.
¿Puede usarse las sumas de Riemann para aproximar la integral definida de una función que toma valores
positivos y negativos en el intervalo de integración?
Cuando presentamos las sumas de Riemann de una función continua en el intervalo [a, b] como
aproximaciones de la integral definida, supusimos que f era no negativa en [a, b] . Esta condición se impuso
momentáneamente con la idea de observar que las sumas de Riemann eran sumas de áreas de rectángulos que
aproximaban el trapecio curvilíneo definido por la función. En realidad no existe tal restricción, las sumas de
Riemann aproximan la integral definida de una función que toma valores positivos, nulos y negativos en el intervalo
de integración.
8
Cuando calculamos sumas de Riemann
para este tipo de funciones, debe tenerse
presente que en el subintervalo [x k − 1, x k ]
donde f (ck ) es negativo, el rectángulo
correspondiente se encontrará por debajo del
eje OX, mientras que en el subintervalo donde
f (ck ) es positivo, el rectángulo se encontrará,
como hemos visto, por encima del eje OX. En
particular, en el subintervalo donde f (ck ) es
nulo el rectángulo degenera en un segmento.
Una suma de Riemann de una función que
toma valores positivos y negativos es una suma
algebraica de áreas de rectángulos
Figura 28
En la Figura 28 se presenta la gráfica de la función definida por f (x ) = sen x en el intervalo [ 0, 2π ] . El intervalo
se ha subdividido en n = 20 subintervalos. La suma de Riemann presentada corresponde a la regla por la derecha,
esto es, DER(20). Si observa con detenimiento podrá darse cuenta que DER(20) = 0, dado que la misma, es la
suma algebraica de áreas positivas y negativas con valores iguales y de signo contrario. Esta suma corresponde a
una aproximación exacta de la integral
2π
∫0
senx dx , la cual es nula como puede apreciarse en la gráfica.
¿Cómo calcular una aproximación de la integral definida por el método de los trapecios?
Hemos visto que la regla del punto medio puede tener el efecto de equilibrar los errores de las reglas por la
izquierda y por la derecha. Existe otra manera de equilibrar estos errores: ¿por qué no promediar los resultados
de las reglas por la izquierda y por la derecha? Esta aproximación se llama regla del trapecio:
TRAP(n) =
IZQ(n) + DER(n)
2
Para cada k = 1, 2, 3,L , n , la regla del trapecio promedia en cada subintervalo [x k − 1, x k ] de la partición
regular, los valores de f en los puntos extremos izquierdo y derecho, y multiplica este valor por la longitud Δx k del
subintervalo. Esto es lo mismo que calcular en forma aproximada el área del trapecio curvilíneo de f en cada
subintervalo [x k − 1, x k ] por el área de un trapecio (Figura 29). De acuerdo a esto, tenemos la fórmula:
n
TRAP(n) =
(b − a)
⎛ f ( x k − 1) + f ( x k ) ⎞
(f (x 0 ) + 2f (x 1) + 2f (x 2 ) + L + 2f (x n − 1) + f (x n ))
⎟ Δx k =
2n
2
⎠
∑ ⎜⎝
k =1
Figura 29
Figura 30
9
La Figura 28 nos indica Intuitivamente que aproximar el área del trapecio curvilíneo correspondiente a cada
subintervalo [x k − 1, x k ] para cada k = 1, 2, 3,L , n , por el área de un trapecio, nos brinda un resultado más cercano
al valor exacto del área bajo la curva que el que nos brinda el área de un rectángulo cuya altura se ha calculado en
los extremos del subintervalo. El la Figura 30 se observa que con unas pocas subdivisiones regulares del intervalo
de integración, se obtiene una excelente aproximación al área dada por
6
∫ 0 f (x) dx .
Una manera de establecer qué tan buena es una aproximación en relación con otra, es calculando el error que
se comete al aproximar una cantidad dada por el valor que la aproxima, esto es,
Error cometido = Valor exacto – Valor Aproximado
Mientras más pequeño es el error, mejor es la aproximación. Tomemos el ejemplo precedente donde hemos
⎞
10 ⎛ x 2
⎜
+ 2 ⎟ dx por el método de los rectángulos. Definamos los siguientes
calculado aproximaciones a la integral
⎟
0 ⎜ 10
⎝
⎠
errores para cada una de las reglas tratadas hasta el momento:
∫
EIzq (n) =
EMed (n) =
∫
∫
10 ⎛ x 2
⎜
⎞
⎞
10 ⎛ x 2
⎜
+ 2 ⎟ dx − IZQ(n) , EDer (n) =
+ 2 ⎟ dx − DER(n)
⎟
⎟
0 ⎜ 10
0 ⎜ 10
⎝
⎝
⎠
⎠
∫
10 ⎛ x 2
⎜
⎞
⎞
10 ⎛ x 2
⎜
+ 2 ⎟ dx − MED(n) y E Trap (n) =
+ 2 ⎟ dx − TRAP(n)
⎟
⎟
0 ⎜ 10
0 ⎜ 10
⎝
⎝
⎠
⎠
∫
Asumamos que el valor exacto de la integral es
⎞
+ 2 ⎟ dx = 53.33333333 , las siguientes tablas
⎟
⎜ 10
⎠
⎝
10 ⎛ x 2
⎜
∫0
presentan los errores cometidos en cada aproximación:
n
IZQ(n)
ERROR
DER(n)
ERROR
10
48.500000000
4.833333333
58.500000000
– 5.166666667
20
50.875000000
2.458333333
55.875000000
– 2.541666667
50
52.340000000
0.993333334
54.340000000
– 1.006666667
100
52.835000000
0.498333333
53.835000000
– 0.501666667
200
53.083750000
0.249583333
53.583750000
– 0.250416667
TABLA 2
n
MED(n)
ERROR
TRAP(n)
ERROR
10
53.250000000
0.083333333
53.500000000
– 0.166666667
20
53.312500000
0.020833333
53.375000000
– 0.041666667
50
53.330000000
0.003333333
53.340000000
– 0.006666667
100
53.332500000
0.000833333
53.335000000
– 0.001666667
200
53.333125000
0.000208333
53.333750000
– 0.000416667
TABLA 3
7. Observaciones: partir de los resultados presentados en estas tablas podemos hacer varias observaciones:
•
Los errores en las aproximaciones con los puntos extremos de la izquierda y la derecha tienen signos
opuestos. Un error positivo indica que la aproximación se realiza por defecto. Cuando el error es negativo la
aproximación se realiza por exceso.
10
•
Los errores en las aproximaciones con los puntos extremos parecen disminuir un factor de más o menos 2
cuando duplicamos el valor de n.
•
Las reglas trapezoidal y del punto medio son mucho más exactas que las aproximaciones con los puntos
extremos.
•
Los errores en las reglas trapezoidal y del punto medio tienen signos opuestos y parecen disminuir un factor
de 4 cuando duplicamos el valor de n.
•
La magnitud del error en la regla del punto medio es alrededor de la mitad de la magnitud del error en la
regla trapezoidal.
Veamos en este momento cuándo las reglas del punto medio y del trapecio producen subestimaciones y
sobrestimaciones:
Para la regla del trapecio: si la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo, entonces cada trapecio estará
por debajo de la gráfica de f (Figura 31) y la regla del trapecio dará una subestimación (aproximación por defecto).
Si la gráfica de f es cóncava hacia arriba (Figura 32), la regla del trapecio dará una sobrestimación (aproximación
por exceso).
Figura 31
Figura 32
Para la regla del punto medio: debemos comprender previamente la relación entre la regla del punto medio y
la concavidad de la curva, tomemos un rectángulo cuya parte superior intersecta la curva en el punto medio del
intervalo. Dibujemos además, una tangente a la curva en el punto medio; esto dará un trapecio (éste no es el mismo
trapecio que el de la regla del trapecio, ya que no toca la curva en los puntos extremos del intervalo). El rectángulo
del punto medio y el nuevo trapecio tienen la misma área, porque los triángulos sombreados en las Figuras 33 y 34
son congruentes y en consecuencia, tienen la misma área.
Figura 33
Figura 34
11
Por lo tanto, si la gráfica de la función es cóncava hacia abajo, la regla del punto medio sobrestima (vea la
Figura 35); si la gráfica es cóncava hacia arriba, la regla del punto medio subestima (vea la Figura 36).
Figura 35
Figura 36
Como producto de este estudio, se obtiene el siguiente resultado:
•
Si la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo en el intervalo [a, b] , se tiene:
TRAP(n) ≤
•
b
∫ a f (x) dx ≤ MID(n) para cada entero positivo n.
Si la gráfica de la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo [a, b] , se tiene:
MID(n) ≤
b
∫ a f (x) dx ≤ TRAP(n) para cada entero positivo n.
¿Cómo calcular una cota de error para las reglas del punto medio y el trapecio?
Cuando se calcula una aproximación siempre nos preocupa el error cometido, es decir, la diferencia entre el
valor exacto y el valor aproximado. Pero esto solo tiene un valor teórico, nunca se sabe el error exacto; si se
supiera, ¡también se conocería la respuesta exacta!. Lo que se busca en realidad es alguna cota del error y alguna
idea de cuanto trabajo se necesitará para hacer más pequeño el error. El siguiente resultado nos permite establecer
cotas para el error cometido al usar las reglas trapezoidal y del punto medio:
•
Supongamos que existe M > 0 tal que f ′′(x ) ≤ M para cada a ≤ x ≤ b , entonces
EMed (n) ≤
M(b − a)3
24n2
y
E Trap (n) ≤
M(b − a)3
12n2
donde EMed (n) y E Trap (n) son los errores cometidos al aproximar la integral
b
∫ a f (x) dx
por las
reglas del punto medio y trapezoidal para una partición regular de n subdivisiones.
En la siguiente situación problemática hacemos uso de estas fórmulas:
8. Situación problemática:
Calcule en forma estimativa el valor de
2 dx
∫1
con 3 cifras decimales exactas, usando la regla del
x
trapecio. Indique si la suma es una subestimación o sobreestimación.
12
Solución a la situación problemática planteada:
Encontremos una cota para el error en función del número de subdivisiones:
1
2
tenemos que f ′′(x ) =
. Ahora podemos establecer lo siguiente:
x
x3
•
Si f (x ) =
•
Dado que 1 ≤ x ≤ 2 tenemos que f ′′(x ) > 0 , de manera que la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el
intervalo [1, 2] . Por el resultado anterior, tenemos que la regla del trapecio genera aproximaciones por
exceso para cualquier entero positivo n (sobrestimaciones).
•
Por otra parte, si 1 ≤ x ≤ 2 se tiene que
•
El error cometido satisface: E Trap (n) ≤
•
Cuando queremos obtener una aproximación con k cifras decimales exactas, el error cometido en valor
2
1
1
≤ x ≤ 1 . Por lo tanto, f ′′(x ) =
=2
3
2
x
x
M(b − a)3
12n2
=
2(2 − 1)3
12n2
=
1
6n2
3
≤ 2 ⋅ 13 = 2 = M .
. Lo que nos da una cota de error en
función del número n de subdivisiones.
absoluto, debe ser menor o igual a 10 − (k + 1) . Para tener una aproximación con tres cifras decimales
1
1
≤ 10 − 4 . Al resolver la inecuación
≤ 10 − 4 en términos de n
exactas debe tenerse E Trap (n) ≤
2
2
6n
6n
10 4
≈ 40.82 . En consecuencia, para hallar una aproximación por la regla trapezoidal
6
basta calcular TRAP(n) con n = 41 subdivisiones.
se obtiene n ≥
9. Operación con la calculadora:
36. Presione las teclas
•
para limpiar la pantalla.
Comenzaremos asignando valores a las variables A, B, N y D:
37. Presione
.
38. Presione
.
Figura 37
39. Presione
40. Presione la secuencia de teclas:
.
•
Calcularemos ahora la suma DER(41):
41. Presione
.
Figura 38
• Aparece el símbolo ∑.
42. Presione ahora:
•
Se obtiene DER(41).
•
Guardaremos este valor en la variable G.
43. Presione
.
Figura 39
13
•
Los pasos que siguen permiten calcular IZQ(41). Copiaremos la suma
DER(41) en la siguiente línea de edición:
44. Presione
para situar el cursor en la línea de edición
donde se encuentra la suma DER(41) en notación ∑.
•
La suma aparecerá resaltada como en la Figura 40.
45. Presione
DER(41) en notación ∑.
para copiar en el portapapeles la suma
para situar el cursor en la línea de edición.
46. Presione
47. Presione
•
para pegar la suma en la línea de edición.
Modificaremos ahora esta suma para calcular IZQ(41).
48. Presione
nueve veces para situar el cursor delante de la variable K.
49. Presione
.
•
Con esto hemos calculado la suma IZQ(41).
•
Para calcular TRAP(41) debemos promediar DER(41) e IZQ(41).
50. Presione
•
Figura 40
Figura 41
.
2 dx
∫1
≈ 0.693184358 con al
x
menos tres cifras decimales exactas. Para corroborar esto calcularemos
2 dx
= ln 2 en la calculadora:
1 x
Se obtiene el cálculo aproximado de
Figura 42
∫
51. Presione
•
.
Si se acepta este último resultado como el más preciso, compare las
cifras decimales de TRAP(41) y ln 2 .
Figura 43
¿Cómo calcular una aproximación de la integral definida por el método de Simpson?
Aún es posible mejorar más. Si se observa que el error que se comete al aplicar la regla del trapecio tiene signo
contrario, y como el doble de magnitud del error que se comete al aplicar la regla del punto medio, es razonable
pensar en que un promedio ponderado de las sumas de las dos reglas, con la suma del punto medio ponderada al
doble de la suma de la regla del trapecio, tendrá un error mucho más pequeño. Este cálculo aproximado se llama
Regla de Simpson:
2 ⋅ MID(n) + TRAP(n)
3
Para comparar la eficiencia de la regla de Simpson con las reglas previas, debe tenerse presente que la regla
de Simpson calcula los valores de f, tanto en el punto medio, como en los puntos extremos de cada subintervalo.
Si usamos la regla de Simpson con n = 50 , para comparar su precisión con las demás reglas debemos calcular
éstas con n = 100 .
SIMP(2n) =
La regla de Simpson aproxima la integral definida a partir del uso de parábolas, en lugar de segmentos
rectilíneos.
Para entender en qué se basa esta aproximación por parábolas, consideremos los Intervalos de la forma
x 2(k − 1) , x 2k , para k = 1, 2, 3, 4,L, n / 2 con n par, constituidos por la unión de dos subintervalos consecutivos de la
[
]
partición regular de intervalo de integración [a, b] . Sean yk = f (x k ) para cada k = 0, 1, 2,L, n los valores que toma f
en los n+1 puntos de la partición. En cada intervalo x 2(k − 1) , x 2k consideremos el arco de parábola Pk que pasa
[
]
por los tres puntos (x 2(k − 1) , y 2(k − 1) ) , (x 2k − 1, y 2k − 1) , (x 2k , y 2k ) de la gráfica de f.
14
[
]
Entonces el arco Pk aproxima la gráfica de f en el intervalo x 2(k − 1) , x 2k . Más aún, el área debajo de la
gráfica de f en este intervalo (ver Figura 44) se aproxima por el área debajo del arco de parábola (ver Figura 45).
[
]
Para el caso mostrado en la Figura 45, observe que en el primer subintervalo x 2(k − 1) , x 2k − 1 se presenta una
sobrestimación en la aproximación, pero en el siguiente subintervalo [x 2k − 1, x 2k ] se presenta una
subestimación. Esto tiene el efecto de que los errores cometidos en cada uno de los dos subintervalos (Figura 46)
se compensen produciendo una aproximación más precisa del área bajo la gráfica de f en x 2(k − 1) , x 2k .
[
Figura 44
]
Figura 46
Figura 45
Se puede demostrar que el área bajo la parábola mostrada en la Figura 45 viene dada por:
Δk
(b − a)
( y 2(k − 1) + 4 y 2k − 1 + y 2k ) , donde Δ k =
con n par.
n
3
Entonces tenemos la fórmula de aproximación:
n/2
SIMP(n) =
∑
k =1
O bien,
b
∫ a f (x) dx ≈
Δk
(b − a)
( y 2(k − 1) + 4 y 2k − 1 + y 2k ) =
3
3n
n/2
∑ (y2(k − 1) + 4 y2k − 1 + y2k )
k =1
(b − a)
(f (x 0 ) + 4 f (x 1) + 2f (x 2 ) + 4 f (x 3 ) + L + 2f (x n − 2 ) + 4 f (x n − 1) + f (x n )) con n par.
3n
La Figura 47 muestra la aproximación de la
integral definida por la suma de Simpson con
n = 8 subdivisiones
4
∫ 0 (3e
− x sen( 4 x ) + 1) dx
Observe los arcos de parábola en cada uno
de los intervalos [0, 1] , [1, 2] , [2, 3] y [3, 4 ] .
El área total sombreada debajo de los
cuatro arcos es la suma SIMP(8), la cual
aproxima el área debajo de la gráfica de f en el
intervalo [0, 4 ] .
Observe las compensaciones de los errores
(sobrestimaciones y subestimaciones) en cada
uno de estos intervalos.
Figura 47
15
¿Cómo calcular una cota de error para la regla de Simpson?
Existe un resultado para estimar una cota de error para la regla de Simpson análogo a las estimaciones dadas
para las reglas trapezoidal y del punto medio, pero se utiliza la cuarta derivada de f:
•
Supongamos que existe M > 0 tal que f ( 4) (x ) ≤ M para cada a ≤ x ≤ b , entonces
E Simp (n) ≤
M(b − a) 5
180n2
donde E Simp (n) es el error cometido al aproximar la integral
b
∫ a f (x) dx
por la regla de Simpson
para una partición regular de n subdivisiones, donde n es un entero positivo par.
10. Situación problemática:
4
∫ 0 (3e
− x sen( 4 x ) + 1) dx usando la Regla de Simpson con
a)
Calcule en forma estimativa el valor de
b)
n = 8 subdivisiones.
Calcule la integral anterior con 3 cifras decimales exactas, usando la regla de Simpson.
Solución a la situación problemática planteada en a):
n/2
⎛b−a⎞
Tengamos presente que SIMP(n) = ⎜
(f (x 2(k − 1) + 4 f (x 2k − 1) + f (x 2k )) con n par. Para establecer esta
⎟
⎝ 3n ⎠k = 1
∑
suma en la calculadora podemos calcular previamente cada una de las sumas:
n/2
E(n) =
∑
n/2
f (x 2(k − 1) ) , F(n) =
k =1
∑
n/2
f (x 2k − 1) y G(n) =
k =1
∑ f (x 2k )
k =1
y luego calcular:
⎛b−a⎞
SIMP(n) = ⎜
⎟(E(n) + 4F(n) + G(n)) .
⎝ 3n ⎠
11. Operación con la calculadora:
52. Presione las teclas
•
para limpiar la pantalla.
Comenzaremos asignando valores a las variables A, B, N y D:
53. Presione
.
54. Presione
.
Figura 48
55. Presione
56. Presione la secuencia de teclas:
.
Figura 49
16
•
Calcularemos ahora la suma E(8):
para obtener la plantilla de la notación ∑.
57. Presione
58. Presione la secuencia de teclas:
Figura 50
•
Tenemos editado el término general de la suma E(8).
59. Presione
.
•
Se obtiene E(8).
•
Guardamos el resultado de esta suma en la variable E (Figura 51):
Figura 51
60. Presione
•
.
Copiaremos esta suma y luego la modificaremos para calcular F(n):
61. Presione
.
62. Presione
.
para ubicar el cursor en
63. En esta nueva suma presione sucesivamente
los espacios respectivos para borrar y/o insertar los caracteres
correspondientes para realizar las modificaciones respectivas a fin de
obtener la suma:
Figura 52
∑ ( 3e − (A + (2K − 1)D) sin(4(A + (2K − 1)D)) + 1).
N/2
K =1
64. Presione luego
•
para obtener F(n) (Figura 52).
Guardamos esta suma en la variable F (Figura 53):
65. Presione
•
Figura 53
.
En los siguientes pasos calcularemos G(n):
66. Presione
para pegar de nuevo la suma.
67. De manera análoga, realice en esta
correspondientes a fin de obtener la suma:
suma
las
modificaciones
Figura 54
para guardar la suma en la
Figura 55
∑ ( 3e − (A + 2KD) sin(4(A + 2KD)) + 1).
N/2
K =1
68. Presione
para obtener G(n) (Figura 54).
69. Presione
variable G.
•
Calculemos ahora SIMP(8):
70. Presione la secuencia de teclas:
•
Se obtiene la aproximación SIMP(8) = 4.774989083.
17
Figura 56
Compare este resultado con el que se deduce aproximadamente de la Figura 47.
Solución a la situación problemática planteada en b):
Encontremos una cota para el error en función del número de subdivisiones:
•
Si f (x ) = 3e − x sen(4 x ) + 1 tenemos que f (4) (x ) = (720 cos( 4 x ) + 483sen(4 x )) e − x .
•
Dado que 0 ≤ x ≤ 4 tenemos que 720 cos( 4 x ) + 483 sen(4 x ) ≤ 720 + 483 = 1203 y e − x ≤ 1 , de manera
que f ( 4) (x ) ≤ 1203 = M .
•
El error cometido satisface: E Simp (n) ≤
M(b − a) 5
180n 4
=
1203(4 − 0) 5
180n 4
=
102.656
15n 4
. Lo que nos da una cota de
error en función del número n de subdivisiones.
Para obtener una aproximación con tres cifras decimales exactas debe tenerse:
E Simp (n) ≤
Al resolver la inecuación
102.656
102.656
15n 4
≤ 10 − 4 .
10 4 ⋅ 102.656
≈ 90,95 .
≤ 10 − 4 en términos de n se obtiene n ≥ 4
15
15n 4
En consecuencia, para hallar una aproximación, con al menos tres cifras decimales exactas, por la regla de
Simpson basta calcular SIMP(n) con n = 92 subdivisiones.
•
Para calcular SIMP(92) basta cambiar en el histórico de cálculo el valor
asignado a la variable N por 92.
71. Utilice la tecla direccional elíptica
para ubicar el cursor en la línea
donde aparece la asignación N → 8, observe la Figura 57.
72. Borre el número 8 y sustitúyalo por 92, luego presione
•
.
Figura 57
Se obtiene SIMP(92) = 4.719197327 que es una aproximación del valor
de la integral
4
∫ 0 (3e
− x sen(4 x ) + 1) dx
con al menos tres cifras
decimales exactas. En realidad el resultado obtenido tiene al menos 5
cifras decimales exactas.
Figura 58
Resumen sobre de los errores que se cometen al aplicar las diversas reglas.
El siguiente resumen pretende, de manera general, orientar al usuario acerca de “qué tan eficiente” resulta
aplicar cada una de las reglas en el problema de encontrar una aproximación a la integral definida
b
∫ a f (x) dx
con
un determinado grado de error permisible y con menos trabajo de cómputo:
Reglas por la izquierda y por la derecha:
•
Los errores son aproximadamente proporcionales a 1/n, donde n es el número de divisiones de la partición
regular del intervalo de integración [a, b] . Por ejemplo, duplicar n hace decrecer el error en un factor de
1 / 2 , e incrementar n en un factor de 10 da un dígito más de precisión.
•
Para un entero positivo n dado, los errores para las reglas por la izquierda y por la derecha son
aproximadamente iguales en valor absoluto y opuestos en signo.
Para un entero positivo n dado, la magnitud del error depende de f ′ .
•
18
Reglas del punto medio y del trapecio:
•
Los errores son aproximadamente proporcionales a 1 / n2 . Por ejemplo, duplicar n hace decrecer el error
en un factor de 1 / 4 , e incrementar n en un factor de 10 da dos dígitos más de precisión.
•
Para un entero positivo n dado, el error cometido en la regla del punto medio tiene casi la mitad de la
magnitud del error que se comete en la regla del trapecio y es de signo opuesto.
Para un entero positivo n dado, la magnitud del error depende de la magnitud de f ′′ .
•
Regla de Simpson:
•
Los errores son aproximadamente proporcionales a 1/ n 4 . Por ejemplo, duplicar n hace decrecer el error
en un factor 1/16, e incrementar n en un factor de 10 da cuatro dígitos más de precisión.
•
Para un entero positivo n dado, la magnitud del error depende de la magnitud de f (4) .
Conclusión:
Las integrales definidas
b
∫ a f (x) dx
pueden calcularse de manera estimativa en forma rápida y precisa, en la
mayoría de los casos, con la regla de Simpson. La única dificultad se presenta cuando f ′ , o una derivada de orden
más alto que f no existe o en valor absoluto tiene un máximo muy grande en el intervalo [a, b] .
En general, la regla de Simpson alcanza un grado razonable de precisión cuando utiliza valores de n
relativamente pequeños, y resulta una buena elección para un método de aproximación general.
12. Problemas y ejercicios.
1. Calcule en forma aproximada el valor de
2
∫1 e
− x 2 dx con las reglas del punto medio, del trapecio y de
Simpson para n = 10 y en cada caso estime el error cometido e indique cuántas cifras decimales
exactas se han calculado en la aproximación.
2. Considere los cálculos aproximados de la regla de Simpson de
2
∫ 0 (x
3 + 3x 2 ) dx .
a) ¿Cuál es el valor exacto de esta integral?
b) Encuentre SIMP(n) para n = 4, 6 y 100 . ¿Qué observa? ¿Puede explicar este hecho?
3. Para cada una de las siguientes integrales, use la regla de Simpson con varios valores de n para
evaluar las integrales definidas con un error menor a 0.001. Explique por qué piensa que ha alcanzado
un valor suficientemente grande de n.
a)
e)
1
dx
∫ 0 x2 + 4
3
∫0
b)
cos( x 2 ) dx
f)
3
∫ 0 sen
1
∫0
2 x dx
c)
x 8 + 1 dx
g)
2 sen x
dx
∫0 e
2 senx
∫1
x
dx
d)
h)
π/4
∫0
∫
sen(πx 2 ) dx
1 cos x
dx
0 x3 + 1
4. Calcule aproximaciones del número π mediante las reglas del punto medio, del trapecio y de Simpson
1 4dx
estimado la integral
con n = 10, 20, 50 y 100. Incorpore los resultados en una tabla y compare
0 x2 + 1
estos valores con el valor π ≈ 3,141592653 que es sumamente exacto. Observe que la regla del punto
medio tiende a estar ligeramente más cerca de π que la del trapecio, pero ninguna tan cercana, incluso
para n = 100, como la regla de Simpson, con n = 10.
∫
19
13. Comentario.
La mayor parte de las calculadoras graficadoras y de los sistemas algebraicos computarizados CAS incluyen
programas para el cálculo numérico de integrales definidas. En general, estos programas son muy rápidos y
precisos Algunos piden al usuario especificar una tolerancia y luego calculan un valor aproximado adecuado a esa
tolerancia. Sin embargo, si la integral que está aproximando es parte crítica de un trabajo importante, es necesario
verificar el resultado usando la regla de Simpson para una sucesión de valores de n. Por otra parte, si lo único que
se conoce de una función es una tabla de valores calculados en un número regular de puntos, la mayoría de las
calculadoras y programas CAS no resultan útiles, sino los tres últimos métodos que se han tratado aquí.
¿Cómo realizar un cálculo estimativo de una integral a partir de una tabla de valores de la función?
Supongamos que queremos hacer una estimación de
b
∫ a f (x) dx , a partir de de algunos valores de una función
desconocida f. Es decir, sólo se conocen los valores de f en n + 1 puntos. Estos valores se representan
comúnmente en una tabla:
x
x0
x1
x2
…
…
xn− 2
xn−1
xn
f (x )
y0
y1
y2
…
…
yn − 2
yn − 1
yn
Desde el punto de vista gráfico, sólo se tienen la gráfica de n + 1 pares ordenados. ¿Cómo hacer la
estimación del área debajo de la curva a partir de estos puntos?
Consideremos la siguiente situación problemática:
14. Situación problemática.
Los datos de la tabla provienen de un pneumotacógrafo, que mide en cada instante regular de tiempo
(en segundos) el flujo de aire a través de la garganta (en litros por segundo). La integral
2 .4
∫0
f (x ) dx de
este flujo de aire es igual al volumen de aire exhalado (en litros). Estime este volumen.
x ( s)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y (l / s)
0.0
0.1
0.4
0.8
1.4
1.8
2.0
2.0
1.6
1.0
0.6
0.2
0.0
TABLA 4
Para hacer un estimativo del área bajo de la curva a partir de estos 13 puntos, necesitamos una manera
razonable de conectar estos puntos. La manera más simple es conectar los puntos con segmentos de recta, como
en la siguiente figura:
Figura 59: conexión de puntos por doce segmentos rectilíneos
20
Estos segmentos, como puede observase, definen para la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el
intervalo [0.0, 2.4 ] , doce trapecios; que como hemos visto, estiman en buena medida la integral de la función
desconocida
2 .4
∫0
f (x ) dx . La Figura 60 muestra esta aproximación:
Figura 60: doce trapecios
Recuérdese que en la regla del trapecio se toma una partición regular del intervalo [a, b] y para cada
subintervalo [x k − 1, x k ] con k = 0, 1, 2,L , n se conectan los puntos (x k − 1, f (x k − 1)) y (x k , f (x k )) con un segmento
de recta.
De manera que si conocemos los valores de una función f en forma tabular:
x
x0
x1
x2
…
…
xn− 2
xn−1
xn
y
y0
y1
y2
…
…
yn − 2
yn − 1
yn
tendremos que:
b
∫ a f (x) dx ≈ TRAP(n) =
(b − a)
(y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + L + 2 y n − 2 + 2 y n − 1 + y n )
2n
siempre que los valores x k para cada k = 0, 1, 2,L , n , constituyan una partición regular del intervalo [a, b] .
Para calcular TRAP(n) debemos realizar, para cada k = 0, 1, 2,L , n , los n + 1 productos entre el valor yk dado
en la tabla por cada coeficiente multiplicador correspondiente c k : 1, 2, 2,L , 2, 2, 1 (ver la siguiente tabla):
k
0
1
2
…
…
n−2
n−1
n
yk
y0
y1
y2
…
…
yn − 2
yn − 1
yn
ck
1
2
2
2
2
2
2
1
c k yk
y0
2 y1
2y2
…
…
2 yn − 2
2 yn − 1
yn
n
Luego debemos realizar la suma de estos productos
∑ c k yk
k =1
De este modo obtenemos TRAP(n) =
(b − a)
2n
y multiplicarla por el factor
(b − a)
.
2n
n
∑ c k yk .
k =1
Con el auxilio del Menú Estadístico podemos utilizar la Función de Lista que provee la Calculadora
fx − 9860G para calcular, para un número n de subdivisiones del intervalo [a, b] , la suma TRAP(n) como
veremos enseguida:
21
14. Operación con la calculadora:
73. Presione
.
74. Seleccione
para acceder al menú estadístico [STAT].
75. Presione
•
.
Aparecen un arreglo rectangular en filas y columnas. Las filas están
numeradas desde 1 hasta 999 y las columnas está identificadas como
List 1, List 2, hasta List 26.
Figura 61
76. Para borrar el contenido de una columna (lista) utilice la tecla direccional elíptica para desplazar el cursor en
cualquier fila de la lista y presione las teclas
77. Borre todas las listas presionando
Figura 61.
•
.
. Al terminar su calculadora debe mostrar la pantalla de la
En la lista 1 ingresaremos los datos yk de la Tabla 4 que se reproduce a continuación:
x ( s)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y (l / s)
0.0
0.1
0.4
0.8
1.4
1.8
2.0
2.0
1.6
1.0
0.6
0.2
0.0
78. Con el cursor el la primera fila de la lista List1 (ver Figura 61) presione
.
•
Con esto queda editado el primer valor en la primera fila de List1 y el
cursor se ubica en la segunda fila de la List1.
79. Presione
.
80. Edite de la misma manera cada uno de los 11 datos restantes. Si se
equivoca ubique el cursor al dato erróneo y sobrescriba el nuevo dato.
Figura 62
81. Desplace el cursor a la fila 14 de List2.
•
Este se ubicará en la primera fila de List2.
•
En List2 editaremos los coeficientes c k : 1,2,2,..,2,2,1 de manera que la
fila 1 y la fila 13 de List2 contengan un 1 y las demás el número 2.
82. Edite en List2 los coeficientes c k .
•
Figura 63
Calcularemos ahora los productos c k yk .
83. Desplace el cursor a la fila 14 de List3.
84. Presione
Figura 64).
para ubicar el cursor sobre nombre de lista List3 (vea la
Figura 64
85. Presione
.
•
Aparecerán en List3 los productos c k yk para k = 0, 1, 2,L ,12 .
•
Calcularemos ahora TRAP(12).
86. Presione
87. Presione
, seleccione el menú [RUN-MAT]
y presione
para borrar la pantalla.
22
.
Figura 65
•
Comencemos asignando valores a las variables A, B, N y D:
88. Presione
.
89. Presione
.
90. Presione
Figura 66
91. Presione la secuencia de teclas:
92. Para calcular TRAP(12) presione primeramente la siguiente secuencia de
botones:
.
•
•
Con esto, se está multiplicando por
Se obtiene
2 .4
∫0
(b − a)
la suma
2n
Figura 67
n
∑ c k yk
de los productos que se encuentran en List3.
k =1
f (x ) dx ≈ TRAP(12) = 2.38 , esto es, el volumen de aire exhalado es aproximadamente
2.38 litros.
•
Compare este resultado con el que se deduce por estimación gráfica del área bajo la curva en la Figura 60.
Otra alternativa para hallar el área bajo la curva de la función desconocida f a partir de estos 13 puntos, es
hacer uso de la Regla de Simpson, que como sabemos es más precisa. En este caso sustituimos la poligonal que
conecta los puntos y da origen a los trapecios, por arcos de parábola que conecten estos puntos, esto es, en cada
uno de los subintervalos x 2(k − 1) , x 2k para cada k = 1, 2, 3,L , n / 2 el arco de parábola debe pasar por los tres
[
]
puntos (x 2(k − 1) , y 2(k − 1) ) , (x 2k − 1, y 2k − 1) , (x 2k , y 2k ) de la gráfica de f. Aquí la exigencia es que el número n de
subdivisiones del intervalo [a, b] debe ser par.
La siguiente figura muestra esta conexión de puntos:
Figura 68: conexión de puntos por seis arcos de parábola
Esta curva que aproxima a la gráfica de la curva desconocida f en el sentido de que la misma conecta los 13
puntos y nos permite encontrar una mejor aproximación al área bajo la curva de f que la encontrada con la Regla
del Trapecio. La suma de las áreas debajo de cada uno de los seis arcos de parábola nos da, para este caso, la
aproximación para la integral
2 .4
∫0
f (x ) dx ≈ SIMP(12) del volumen de aire exhalado.
La Figura 69 nos presenta el área aproximante:
23
Figura 69: áreas bajo seis arcos de parábola
Si conocemos los valores de una función f en forma tabular:
x
x0
x1
x2
…
…
xn− 2
xn−1
xn
y
y0
y1
y2
…
…
yn − 2
yn − 1
yn
tendremos que:
b
∫ a f (x) dx ≈ SIMP(n) =
(b − a)
(y 0 + 4 y1 + 2y 2 + 4 y 3 L + 2yn − 2 + 4 yn − 1 + yn )
3n
siempre que los valores x k para cada k = 0, 1, 2,L , n , constituyan una partición regular del intervalo [a, b] y el
número de subdivisiones n es par.
Observe en este caso el patrón de los coeficientes c k : 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2 L, 4, 2, 4, 1 .
Para calcular SIMP(n) debemos realizar, para cada k = 0, 1, 2,L , n , los n + 1 productos entre el valor yk dado
en la tabla por cada coeficiente multiplicador correspondiente c k : 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2 L, 4, 2, 4, 1 (ver la siguiente tabla):
k
0
1
2
…
…
n−2
n−1
n
yk
y0
y1
y2
…
…
yn − 2
yn − 1
yn
ck
1
4
2
…
…
2
4
1
c k yk
y0
4 y1
2y2
…
…
2 yn − 2
4 yn − 1
yn
n
Luego debemos realizar la suma de estos productos
∑ c k yk
y multiplicarla por el factor
k =1
De este modo obtenemos SIMP(n) =
(b − a)
3n
(b − a)
.
3n
n
∑ c k yk .
k =1
Vamos como calculamos esta suma con la calculadora:
93. Presione
y seleccione
[STAT], presione
para acceder al menú estadístico
.
94. Desplace el cursor con la tecla direccional elíptica y ubique el cursor en la
primera fila de List2.
95. Presione
para borrar List2.
96. Edite los 13 coeficientes 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2 L, 4, 2, 4, 1 en List2 (observe las
Figuras 70 y 71).
24
Figura 70
97. Desplace el cursor a la fila 14 de List3.
98. Presione
Figura 72).
para ubicar el cursor sobre nombre de lista List3 (vea la
99. Presione
•
.
Aparecerán actualizados
k = 0, 1, 2,L ,12 .
en
List3
100. Para calcular SIMP(12) presione
y presione
los
productos
c k yk
para
Figura 71
, seleccione el menú [RUN-MAT]
.
101. Ubique el cursor en la instrucción (D ÷ 2) × SumList 3 .
102. Use la tecla
para ubicar el cursor delante del número 2. Presione
para borrar el número 2 y presione
•
Hemos actualizado el factor
103. Presione desde allí
.
Figura 72
(b − a)
.
3n
.
2 .4
∫0
•
Se obtiene que
•
Al comparar con el resultado anterior se observa que éste es
ligeramente distinto.
f (x ) dx ≈ SIMP(12) = 2.373333333
Figura 73
15. Problemas y ejercicios.
5. La siguiente tabla indica las medidas (en metros) del ancho de un lote de terreno a intervalos de 10
metros. Estime el área del terreno usando tanto la regla de los trapecios como la regla de Simpson:
x (m)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
y (m)
56
54
58
62
58
58
62
56
52
48
40
32
22
6. En la siguiente tabla se presentan datos de la rapidez de un objeto a intervalos regulares de tiempo.
Use estos datos para estimar la distancia recorrida por el objeto.
t ( s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
v (m / s)
40
42
40
44
48
50
46
46
42
44
40
42
7. En la tabla aparece el consumo de energía eléctrica (potencia) en megawatts de una ciudad, desde la
media noche hasta el medio día. Utilice la regla de Simpson para estimar la energía usada durante ese
período. (Aplique el hecho de que la potencia es la derivada de la energía.)
t
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
4182
3856
3640
3558
3547
3679
4112
4699
5151
5514
5751
6044
6206
25
8. El la siguiente figura se presenta una suela colocada en un sistema rectangular.
Si la escala unitaria en cada eje representa un centímetro, se pide:
a) Estimar gráficamente el área que ocupa la suela.
b) Estimar gráficamente para cada centímetro “x” representado en el eje OX, el ancho “y”
correspondiente de la suela. Represente los valores encontrados en una tabla.
c) Aplique la regla de Simpson a los datos de la tabla para estimar el área de la suela.
BIBLIOGRAFÍA:
Hughes D. Gleason A. (1995). Cálculo. México. Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V.
Smith R. Minton R. (2000). Cálculo. Tomo 1. Colombia. Mc Graw Hill.
Stewat J. (1998). Cálculo Diferencial e Integral. México. International Thomsom Editores.
26