¿A que distancia está el horizonte? c = a + b a b c b`

28-02-13
Revisión y Adendum 22-03-13
¿A que distancia está el horizonte?
¿Alguna vez te has preguntado a que distancia está el horizonte que ves en el mar?
Yo me lo pregunté cuando quise saber qué había al final del mar que veo desde las ventanas de mi casa.
Mi casa está situada a 3 km de la playa,
pero desde las ventanas veo una franja de
mar por el que pasan continuamente barcos,
algunos están tan lejanos que surcan justo
por la línea del horizonte.
Intuitivamente siempre había pensado que
en esa zona, mar adentro, se hallaría
Cerdeña, o quizás el sur de Italia.
Un día se me ocurrió utilizar Google Earth
para saberlo con exactitud y me sorprendió
descubrir que en ese pequeño ángulo de
mar (sólo ocupa 6,8º del horizonte), cuya
vista está delimitada por dos pequeñas
colinas, mar adentro se encuentra el norte
de la isla de Mallorca.
El conocimiento popular dice que Mallorca se puede ver en días muy claros desde lo alto de Monserrat
(1.236 m de altura máxima) o desde el Montseny (1.712 m en el Turó del Home), así que me propuse
calcular científicamente si eso era posible.
En el gráfico siguiente que simula la circunferencia de la tierra, “a” es equivalente al radio de la tierra a
nivel del mar; “c” es el radio de la tierra en un punto de tierra firme (B), situado a una altura “h” sobre
el nivel de mar; “b” es la distancia en línea recta desde B hasta el horizonte a nivel del mar (A), y “b’ ”
es el perímetro curvo desde el punto A hasta el punto B.
A
a
b
b'
B
c
Para casos reales, el valor de b y de b’ son
prácticamente iguales.
Utilizando el teorema de Pitágoras tenemos
que:
c2 = a2 + b2
Además, hemos definido que c = a + h
“h” es la altura del observador respecto al nivel
del mar.
b
a
h
c
Si fusionamos las dos ecuaciones anteriores y simplificamos eliminando los factores insignificantes
obtenemos esta relación:
b  2ah
El radio medio de la tierra es a = 6.371 km, por lo que la anterior ecuación aún se simplifica más:
b  2ah  112,88 h km
Es una ecuación bien simple: el horizonte que observamos se encuentra a una distancia proporcional
a la raíz cuadrada de la altura a la que nos encontramos.
Altura "h"
0,01
0,02
0,05
0,075
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,5
2
3
4
5
Horizonte "b"
11
16
25
31
36
50
62
71
80
87
94
101
107
113
138
160
196
226
252
En la tabla de la izquierda tenemos el horizonte (en km) que
corresponde a diversas alturas de punto de visión, desde 10 metros
hasta 5 km de altura.
Mi casa está a una altura sobre el nivel de mar de 90 m y, por tanto, el
horizonte está a 34 km.
Teóricamente podría ver una boya flotando en ese punto del horizonte.
También podría ver las partes más altas de un barco situado algunos
kilómetros más allá del horizonte de 34 km.
Horizonte
(cambio de rasante)
h2
b2
b1 h1
h1: altura de visión en la
montaña 1
h2: altura de visión en la
montaña 2
b1: distancia al horizonte 1
b2: distancia al horizonte 2
La zona más próxima de la isla Mallorca se encuentra 200 km de mi casa. A causa del cambio de rasante
causado por la curvatura de la tierra, no podría ver la costa de la isla desde mi casa, pero ¿podría ver las
cumbres de la Serra de Tramuntana? (“Tramuntana” significa el viento frío y seco del norte, que
procede de detrás de los pirineos).
Desde el pico más alto de esta sierra (el Puig Major) de 1.445 m de altitud se puede ver el horizonte (b2)
situado a 135 km de distancia, que sumados al horizonte desde mi casa (b1) no llegan a 200 km, por
tanto, por muy buena que sea la visibilidad, no es posible ver el Puig Major desde mi casa (h1), ya que
135 km + 31 km < 200 km.
Pero mi pueblo está junto a la Serra del Montnegre, (Montnegre significa “monte negro. Desde lejos se
ve de color negro, incluso en días de sol brillante) que tiene una torre de vigilancia en la cúspide, a una
altura de 760 m, y con una visón perfecta a los 360º. Desde esa altura el horizonte está a 98 km (b1).
Si sumamos los 135 km con los 98 km obtenemos 233 km, que es mayor que los 210 km que hay entre
la cumbre del Puig Major (“pico mayor”) y la torre del Montnegre, por lo tanto, teóricamente es posible
ver ambas cumbres desde cualquiera de ellas. Pero, la verdad, dudo que se pueda ver ese minúsculo
punto oscuro sobre la línea del horizonte del mar.
Desde el punto más alto de la Serra del Montserrat (literalmente: “monte aserrado, con dientes de
sierra”) el horizonte del mar está situado a 125 km y desde el Montseny (literalmente: “monte
sensatez”) el horizonte está a 147 km. Ambas cumbres están separadas del Puig Major por 210 km (±5
km), por lo tanto se pueden ver mutuamente, pero también sería difícil de percibir.
20
0k
m
La altura media de la Serra de Tramuntana es de unos 1.000 m (excepto en los extremos). ¿Se podría ver
desde las sierras de la costa catalana las alturas de la sierra de Tramuntana? A una altura de 1.000 m le
corresponde un horizonte situado a 112 km, que sumados a cualquiera de los horizontes máximos del
Montseny (147 km), Montserrat (125 km) o Montnegre (98 km) superan los 200 o 210 km que los
separa. Pero la franja de montaña sería tan estrecha que sería imperceptible.
Ya puestos en ello, en la provincia de Tarragona está la Serra del Montsant (literalmente: “monte
santo”) que tiene una altura media de 1.000 m y que está a unos 220 km de la Serra de Tramuntana.
También se podrían ver la una a la otra ya que 113 km + 113 km = 226 km > 220 km (sería
imperceptible).
El Pirineo de Andorra, situado a unos 300 km de la Serra de Tramuntana tiene cumbres de una altura
media de 2.800 m, por lo que su horizonte está a 188 km, que sumados a los 135 km de horizonte del
Puig Major suman 322 km. Pero, aparte del Puig Major, la mayor parte de la Sierra de Tramuntana
(1.000 m) no se podría ver desde el Pirineo, y viceversa ya que 188 + 112 suman precisamente 300 km
(habría que subir a picos más altos de 2.800 m para ver con un buen catalejo algo de la longitud de la
sierra de Tramuntana).
Por tanto la idea popular que desde cualquiera de las sierras cercanas a la costa catalana se puede ver la
isla de Mallorca es posible, pero poco probable .
¿Qué ángulo de visión ocuparía la
sierra de Tramuntana vista desde
cualquiera de las sierras de la costa
catalana?
La distancia media entre ambas es
de unos 200 km.
El perímetro del círculo descrito
por un radio de 200 km es de 1.256
km.
La parte de la sierra de Tramuntana
con altura superior a 1000 m mide
unos 70 km de longitud.
Esta sencilla ecuación indica el
20º
ángulo de visión de la isla de
Mallorca desde, por ejemplo
Montserrat:
70
Ángulo 
 360º  20º
1256
20º es el ángulo de visión que
ocupa una mano abierta (palmo)
vista con el brazo extendido y un
ojo tapado. Son unos 21 cm de
anchura vistos desde un ojo situado
a 60 cm. Haz la prueba y te
sorprenderá ver la anchura de
horizonte que ocupa una isla tan
mar adentro.
Con visión perfecta, desde la roca
más alta de Montserrat veríamos en
el horizonte una línea oscura de
tierra sobre un mar azul oscuro y un cielo azul claro. Se trata de una línea de 70 km de anchura por 0,55
km de altura (por la redondez de la tierra nos perderíamos los primeros 450 m de altura, que incluyen las
playas, aunque en realidad en el norte de Mallorca no hay playas, solo unas pocas calas). Además
podríamos ver dos pequeños bultos que son los picos de mayor altura (Puig Major de 1.445 m y Puig de
Massanella de 1.364 m).
Los dos siguientes esquemas nos dan una idea de lo que veríamos. La anchura de cada esquema
representa unos 150 km de línea de horizonte de mar, que equivalen a 43º de amplitud de miras, visto
desde 1.000 m de altura (Montserrat). En medio del horizonte se encuentra una línea negra que
representa 70 km de sierra de Tramuntana, vistos parcialmente (550 m de altura de montaña).
¿Distingues la línea negra entre el mar y el cielo? Apenas se intuye algo, pero está ahí, lo que pasa es
que la definición la pantalla y nuestra limitada visión impiden verla, pero si amplias el gráfico un 300%
empezarás a verla.
Pero, ¿y si el mar no fuera tan oscuro, al estar iluminado por reflejos del sol? Entonces, el mismo
gráfico, con solo cambiar el color del mar, queda así:
Ahora ya se distingue la tenue línea de la sierra de Tramuntana. (Si usas el botón de ampliar incluso
podrás ver los dos picos principales de la sierra).
El grosor de la línea negra indica la escala real de anchura respecto a altura de la isla de Mallorca.
Esta es la máxima nitidez que podríamos llegar a ver a simple vista. Probablemente la imagen estaría
distorsionada por la bruma y por la difracción de la luz.
¿Te esperabas que la isla de Mallorca vista desde 200 km fuera algo tan soso? Yo tampoco me lo
esperaba. Ni siquiera de noche podríamos ver los lugares iluminados, puesto que los pueblos están
situados a alturas inferiores a los 450 m, y por culpa del “cambio de rasante” están tapados por el
horizonte del propio mar. La porción de tierra que veríamos es la que por su altura sobresale por encima
del horizonte.
A una distancia de 200 km para ver todo el perfil de la isla deberíamos elevarnos a una altura de más de
3.000 metros (ver tabla previa).
Con unos prismáticos podríamos incluso distinguir los dos picos más altos de la sierra. El gráfico
siguiente es una ampliación X10 donde se pueden distinguir bien los dos picos. En los otros gráficos los
picos también están, pero no se ven, aunque aparecerán si aumentas al menos X5 el tamaño de
visualización.
El tamaño de los picos más altos del gráfico es relativo al resto de cadena montañosa.
h
b

a
Un último detalle.
En este gráfico, que ya hemos visto antes, la vertical a tierra (“c”) y la línea que
va desde el horizonte hasta el lugar donde nos encontramos ("b") forman un
ángulo entre sí inferior a 90º.
c
Este ángulo cumple la siguiente igualdad:
Antes hemos deducido que:
tan  
a
b
b  2ah , por tanto:
b2
b
a
h


2a 2 tan  2 tan 2 
Altura "h" Horizonte "b"
(km)
(km)
Ángulo " "
0,1
35,7
89,682
0,2
50,5
89,549
0,4
71,4
89,361
0,6
87,4
89,216
0,8
101,0
89,095
1
112,9
88,988
2
159,6
88,567
3
195,5
88,245
4
225,8
87,973
5
252,4
87,734
6
276,5
87,518
7
298,7
87,319
8
319,3
87,134
Por lo tanto, si somos capaces de medir el ángulo “”
podremos calcular la altura “h” a la que nos encontramos y la
distancia al horizonte “b”.
Como se indica en la tabla siguiente, los valores de “” para
cualquier valor de “h” racional (que se corresponda a una altura
de montaña inferior a 8.000 m) son muy cercanos a 90º, por lo
que, por este método, pequeños cambios de altura “h” han de
ser difíciles de medir con precisión.
Adendum 20-03-13
Se me ha ocurrido buscar en Wikipedia la palabra “horizonte”.
Por lo que leo en wikipedia la fórmula que deduje es bastante
correcta, pero sólo se cumple en circunstancias atmosféricas
adecuadas.
Resulta que la difracción del aire es tan importante que provoca
un error medio del +8% en la formula
b  2ah  112,88 h (km) , así que la ecuación anterior debería ser:
b  1,08  2ah  121,9 h (km) , y sólo es válida en cierta condiciones atmosféricas.
En la versión en inglés de Wikipedia de la palabra “horizonte” podemos leer que en ciertas
circunstancias, la luz puede recorrer distancias “ilimitadas” sobre la curvatura de la tierra. Por tanto, la
luz proveniente de la isla de Mallorca se podría ver desde Cataluña a cualquier altura (y viceversa), por
lo que además de las montañas, se podrían ver las ciudades iluminadas de la costa (pero sólo hay unos
pocos pueblos en el norte de Mallorca, al contrario que en la costa catalana).
Pero me temo que esa luz transmitida con difracción puede estar distorsionada y, por tanto, hacer
irreconocible lo que se vea en el horizonte. Sería luz dispersa.
Precisamente yo realicé el servicio militar en el puerto de Sóller, que es un pueblo marinero del norte de
la isla de Mallorca (justo ahí, en lo que veis en primer plano en la foto).
En una ocasión, estando de guardia nocturna en la cima de un acantilado (en el pequeño rellano justo
sobre el faro de la foto), vi que una gran zona central del mar estaba tenuemente iluminada. No estaban
iluminadas ni la zona más cercana a la costa, ni la zona cercana al horizonte, ni los laterales: sólo estaba
iluminada la zona central del mar. La forma de la zona iluminada era ovalada y bastante simétrica. No
recuerdo que tuviera ramificaciones ni protuberancias. Me pareció algo de fantasía. Creo recordar que el
color de la luz era amarillo claro (como las luces de las autopistas vistas desde lejos) homogénea y
persistente (sin parpadeos). Parecía como si la luz surgiera del fondo del mar, y se distinguía
perfectamente la superficie. La atmósfera era clara, sin brumas. No era en absoluto como una plaga de
microalgas fosforescentes.
¿Cómo era posible que el mar se iluminara por si solo? Este fenómeno era conocido por los pescadores
del lugar y por los soldados del acuartelamiento. En Sóller se hablaba de ovnis que surgían del fondo del
mar.
La iluminación del mar sólo la vi una vez (tal vez porque no era algo habitual ir a ver el mar desde el
puesto de guardia, por la oscuridad, por los arbustos que había en esa zona y por la posibilidad de caer al
mar.
Otro misterio era que en el silencio de la noche, cuando estábamos de guardia en el rellano del
acantilado, podíamos oír un sonido que procedía del interior de la tierra. Era un sonido industrial,
metálico y repetitivo. Se podía oír siempre que hubiera silencio absoluto, lo cual ocurría en las noches
sin viento.
Los soldados pensábamos que ese ruido era producido por las olas que al chocar contra el acantilado
comprimían el aire en pequeñas oquedades o grutas de la roca, donde habría algo metálico que golpearía
contra las paredes. El sonido parecía surgir de las entrañas de la tierra, como si estuviera hueca. Era una
mezcla de sonidos de agua que entrase por galerías y de ruidos industriales repetitivos
En la foto de satélite (en la página siguiente) el acantilado en su cara norte tiene un desnivel de 20
metros. Si prolongáramos la vista desde ese punto hacia el norte, desviándonos unos grados al oeste, nos
encontraríamos con la ciudad de Barcelona.
Mi hipótesis es que esa luz que aparentemente provenía del fondo del mar, en realidad era la luz difusa
de la ciudad de Barcelona, situada 200 km más allá. Esa luz llegaba tan lejos gracias a la difracción que
encajona y conduce la luz por la capa de aire frío que se crea entre la superficie del mar y el aire caliente
proveniente de áfrica (de la misma forma que la luz láser se trasmite por los cables de fibra óptica). Este
fenómeno ocurre principalmente en primavera y es el efecto contrario a los espejismos, que reflejan el
cielo. Les podríamos llamar “espejismos inversos”.
Yo empecé a hacer guardias en esa zona hacía la fecha del intento del golpe de estado del 23-F del 81 y
terminé el servicio militar en abril del mismo año, por lo que la época del año concuerda con la época en
que son posibles los “espejismos inversos”. Casi todas las noches hacía frío, así que de noche no me
aventuraba a salir de la garita para ver el mar, pero hubo alguna noche de calma y con agradable
temperatura, en las que apetecía salir, pero eso tenía su riesgo, ya que había zonas sin vallar ni
protección alguna, por lo que habría sido fácil caer por el precipicio de 20 m.
Por lo que veo en estas imágenes, desde 1981 el puerto de Sóller ha cambiado bastante.
Los acantilados de la costa norte de Mallorca son peligrosos.
El primer día en el cuartel de la base naval de Sóller fui testigo de algo muy triste. Ya dentro del cuartel,
mientras caminábamos con los petates a la espalda desde el camión que nos trajo de Palma, vimos como
de un camión militar unos soldados como nosotros descargaban unas figuras humanas, como de yeso y
de tamaño natural. A medida que nos acercábamos aquello se volvía más macabro. Se iban
amontonando en el patio “estatuas” de adolescentes en estrafalarias posturas. Cuando pasamos junto a
ellas vimos que estaban empapadas de agua. En ese momento caí en la cuenta de que se trataba de
cadáveres. Al nerviosismo habitual de llegar a un lugar nuevo, y en el que esperas sufrir novatadas, se
sumó la trágica imagen de ver tantos adolescentes muertos.
Los que sacaban del camión a esos niños eran los soldados más veteranos, que se iban a licenciar pronto.
Era habitual que en el servicio militar algunos soldados se suicidasen. Nos dijeron que dos marinos
habían muerto o se habían suicidado un par de meses antes de nuestra llegada. Eso, unido a la
desagradable experiencia de ver esos cadáveres de niños, no presagiaba nada bueno.
Me quedaban 17 meses de mili.
Afortunadamente pasé la mili bastante bien, a excepción del día del intento de golpe de estado (un joven
de mi pueblo se tuvo que pasear por las calles de Valencia conduciendo un tanque. Parece que no le
sentó bien, pues en la mili adquirió el hábito de beber en exceso y desde entonces que es alcohólico).
No se publicó nada en los periódicos ni se comentó por televisión. Tampoco hubo nota oficial dentro del
cuartel. Los que estuvieron colaborando en ese trágico trabajo nos contaron que habían muerto 14
adolescentes, que eran sacados del agua por los buzos de la armada a medida que los encontraban, cosa
que no fue fácil porque el temporal de mar los había dispersado.
Eso ocurrió a finales de noviembre de 1979. He buscado en las hemerotecas de periódicos y esa noticia
no se publicó jamás. Probablemente se censuró.
Según contaron algunos, se trataba de escolares de diversas regiones de la península, que viajaban en
grupo de vacaciones a Mallorca. Algunos cometieron el error de hacer una incursión por los escollos que
hay en los acantilados de la zona de Deià. Las gentes del lugar saben que esos escollos son una trampa
mortal, ya que aun estando la mar calmada se puede producir inesperadamente olas que se puede tragar
a los incautos que se aventuran.
Me temo que ahí perecieron los niños más atrevidos (valientes o incautos) y se salvaron los precavidos
(miedosos o cautos).
Yo caminé por unos escollos similares en la zona del Port de Sóller (que tienen fácil escape) y al pensar
en ello sentí un escalofrío por empatía, al sentir la trágica experiencia que sufrieron esos chicos.
Cada año el mar se traga a curiosos que se acercan a los acantilados a observar y fotografiar los
temporales. El problema es que siempre puede haber una ola mayor que las demás. Es lo que se llama un
“cisne negro”, que se sale de las estadísticas. Si el hombre del tiempo dice que puede haber olas de hasta
7 metros, eso no significa que no pueda haber alguna de 10 metros. Lo imprevisto, lo que se sale de los
límites de la campana de Gauss, es lo que suele tener mayores consecuencias, y a pesar de ello, todo lo
que se aparta de la media es obviado. ¡Así nos va! ¡Las personal que han experimentado cisnes negros
mortales jamás podrán explicar su experiencia, pues están muertos!
Esto es todo.
Saludos.
