Métodos Estadísticos de la Ingeniería

DEPARTAMENTO DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
EUITI
Métodos Estadísticos de la Ingeniería
Ingeniería Técnica Industrial, especialidad Mecánica
Primera convocatoria, 4 de febrero de 2004
Examen Teórico-práctico.
Lee atentamente los enunciados de los problemas.
1. (0.75 puntos) El salario medio anual en una empresa es de 35600 euros. Los de hombres y
mujeres fueron, respectivamente, de 33400 euros y 37100 euros en media. Se sabe además que
las desviaciones típicas de los salarios fueron para los hombres 5300 euros y para las mujeres
7600 euros.
(a) Halla el porcentaje de mujeres empleadas en la empresa.
(b) ¿Para cuál de los dos sexos son más homogéneos los salarios?, es decir, en términos
relativos, ¿qué grupo presenta menor variabilidad?
2. (0.75 puntos) Se toman muestras de la pintura proporcionada por tres proveedores y se
clasifican según se adecuen o no a las especificaciones. En la siguiente tabla se resume la
información obtenida para 57 muestras:
¿Cumple las especificaciones?
Sí
No
18
2
17
3
9
8
Proveedor
Proveedor A
Proveedor B
Proveedor C
(a) Calcula el porcentaje de muestras que provienen del proveedor B o que cumplen las
especificaciones.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra cumpla con las especificaciones si proviene del
proveedor A?
3. (0.75 puntos) Para controlar el proceso de fabricación de piezas metálicas se establece un
control para la variable resistencia a la tensión mediante gráficos de medias y de rangos. Para
calcular los gráficos de control se han tomado 30 muestras de tamaño n = 6 con los siguientes
resultados:
30
30
i =1
i =1
∑ xi = 6000 y ∑ Ri
= 150 donde xi y Ri son la media y el rango de cada muestra.
(a) Calcula los límites de control para la media y el rango.
(b) Estima los parámetros del proceso y calcula la probabilidad de que la resistencia a la
tensión sea menor que 195 suponiendo normalidad.
4. (1.5 puntos) Todos los miércoles por la tarde voy a clase de fitness en el gimnasio de la
Universidad. Miguel, el profesor, nos controla el tiempo que pasamos en cada una de las
máquinas del gimnasio. Este tiempo está distribuido según una variable aleatoria exponencial
de media 45 segundos. En el gimnasio hay 10 máquinas para ejercitar la parte superior del
cuerpo y 15 para la parte inferior. De ellas selecciona algunas para hacer un circuito.
(a) Si Miguel selecciona para el circuito 13 máquinas distintas, ¿qué distribución tiene la
variable “número de máquinas de parte superior del cuerpo seleccionadas para el circuito”?
(b) Si llevo 15 segundos en la primera máquina, ¿qué probabilidad hay de que tenga que
seguir en ella durante al menos 20 segundos más hasta que Miguel nos de la señal de
cambio de máquina?
(c) ¿Qué probabilidad hay de que durante los primeros cinco minutos de clase Miguel nos diga
que tenemos que cambiar de máquina por lo menos 6 veces?
5. (2 puntos) La empresa FODAVONE está tratando de implantar unas nuevas antenas de
telefonía móvil en un área determinada de la ciudad. Para saber si el cambio va a mejorar las
comunicaciones, recogió datos del tiempo que cuesta realizar la conexión a las antenas que
utilizan actualmente para 20 móviles y a las antenas nuevas para 26 móviles. Los datos
obtenidos, en milisegundos, son los siguientes:
Antenas actuales
Antenas nuevas
x = 9.3
y = 7.6
sˆ X = 2.1
sˆY = 2.5
Suponiendo que las varianzas son iguales y que los tiempos de conexión siguen una
distribución normal:
(a) Obtén un intervalo de confianza para la desviación típica del tiempo invertido por las
nuevas antenas. Toma α=0.1.
(b) Obtén un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales con α=0.05. A
la vista del resultado, ¿qué puedes concluir acerca de las medias?
(c) Utilizando la información del apartado anterior, ¿recomendarías el cambio de antena?
Justifica tu respuesta.
(d) ¿Cuál es la mejor estimación puntual del tiempo medio de conexión a las antenas nuevas?
¿Y la mejor estimación puntual de la varianza del tiempo de conexión a las antenas
nuevas?
(e) Con las estimaciones calculadas en el apartado anterior, ¿qué proporción de móviles tarda
más de 9 milisegundos en conectarse?
6. (1.75 puntos) En la segunda parte de la trilogía de “El señor de los anillos”, hay una escena en
la que Aragorn, Legolas y Gimli están persiguiendo a los orcos. Supongamos que Aragorn y
Legolas recorren cada hora una distancia aleatoria que se puede considerar normal de media
12 Km y desviación típica 1 Km; y que Gimli recorre cada hora otra distancia aleatoria,
independiente de la anterior, normal de media 11 Km y desviación típica 1 Km.
(a) ¿Qué probabilidad hay de que Gimli recorra exactamente 12 Km en una hora?
(b) Después de una hora corriendo, ¿cuál es la probabilidad de que Aragorn y Legolas tengan
que esperar a Gimli?
(c) Si están corriendo 12 horas en un día, ¿cuál es la distancia mínima que recorrerán con una
probabilidad del 80% suponiendo que su ritmo es el de Gimli?
(d) Si están tres días corriendo 12 horas diarias al ritmo de Gimli, ¿qué probabilidad tienen de
recorrer más de 450 Km?