Práctico Nº 1: "Nociones básicas sobre estática comparativa".

Macroeconomía II
Curso: Dr. Daniel Heymann.
Profesores: Daniel Heymann y Ricardo Martínez.
Ayudantes: Carla Albornoz y Nicolás M. Depetris Chauvin.
Práctico Nº 1: "Nociones básicas sobre estática comparativa".
(PRELIMINAR: Errores y Comentarios a: [email protected])
INTRODUCCION
Vamos a desarrollar los elementos básicos de los métodos del análisis estático
comparativo y su relación con la dinámica aplicado a los modelos económicos de
funciones generales.
Estas son herramientas de análisis fundamental para el economista y, por lo tanto resulta
imprescindible que nos familiaricemos con su utilización. En primer lugar vamos a
presentar el problema en términos genéricos y luego vamos a utilizarlo en el análisis de
algunos de los modelos macroeconómicos que van a ir viendo durante el curso.
MODELO
¿Qué es lo que queremos decir cuando hablamos de un modelo económico?. Basicamente
se trata de una representación simplificada de la realidad económica. Como sabemos, el
mundo real es suficientemente complejo y caótico (en la visión de muchos) de modo que,
cuando queremos abordar el tratamiento de un problema particular debemos realizar un
proceso de abstracción que satisfaga los aspectos escenciales de la custión que queremos
analizar y que aisle las relaciones primordiales que consideramos de interés. Tal vez el
ejemplo más simple sería el de un mapa, el cual no es nada útil si se lo construye en una
escala uno a uno. Los mismos deben tener una escala razonable por lo que se estilizan
algunos elementos de la realidad y se descartan otros elementos que se consideran
irrelevantes. Al igual que en el caso de los modelos, no existe un único tipo de mapa,
estos varían con el uso que se le va a dar y con las convenciones aceptadas por quien
realiza el mapa. En la medida en que nuestra mente no puede reproducir totalmente el
mundo real, siempre que modelizamos estamos, en contrapartida, dando una versión
1
aproximada y, de algún modo simplificada de la realidad. Como toda simplificación esta
tiene costos y beneficios. Los primeros están asociados al hecho ya mencionado de lo que
el modelo representa es solo, algo así como, una caricatura de la realidad. Pero al mismo
tiempo, ellos nos permiten concentrarnos exclusivamente en las relaciones que
consideramos escenciales y analizar el problema en su estado, digamos, más puro.
MODELO MATEMATICO
Por supuesto un modelo económico no tiene porque ser matemático. Sin embargo,
nosotros aquí vamos a tratar con modelos económicos de naturaleza matemática. Los
modelos, con su conjunto de ecuaciones, al relacionar entre sí a un número dado de
variables, dan forma matemática al conjunto de supuestos analíticos adoptados por el
economista. Entonces, un modelo matemático de algún aspecto de la realidad económica
va a consistir en un conjunto de ecuaciones, variables y parámetros. Las variables
económicas son la operacionalización matemática de determinadas categorias
económicas. Puesto que, por definición, una variable es algo que puede cambiar,
adoptando valores distintos, las representamos por un símbolo en lugar de un número
específico. Existen dos tipos de variables económicas: las endógenas y las exógenas.
Dado que como dijimos, un modelo es una representación simplificada de la realidad, el
mismo no puede explicar la totalidad de las variables económicas. Las variables
endógenas son, precisamente, las explicadas por el modelo económico en cuestión,
mientras que las variables exógenas son aquellas que vienen dadas desde afuera del
modelo, es decir, consideramos que son determinadas por leyes exteriores al modelo y,
por lo tanto, tomamos sus magnitudes como dadas, como datos predeterminados.
Asimismo, en un modelo, existen constantes que acompañan a las variables,
particularmente cuando damos forma específica a alguna de las ecuaciones del modelo.
Ej: En forma genérica: C = f(Q)
En forma específica: C = 0,5 Q
podría estar acompañada por un parámetro o constante genérica C = aQ ; a>0.
La elección de que variables son endógenas y cuales exógenas y de las relaciones
funcionales existentes no es un hecho irrelevante. Esto, que surge de los supuestos
previos a la modelización, es lo que va a determinar los resultados y conclusiones que se
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obtengan del modelo. Por lo tanto este es el campo de batalla de las distintas escuelas del
pensamiento macroeconómico. Ya que estamos, hay que mencionar que en los últimos
años ha habido también una revolución en los métodos de modelización (muchos de los
cuales escapan al marco de equilibrio general walrasiano que parece haber dominado el
análisis económico desde principios de siglo) a los cuales no me voy a referir pero que
quiero que sepan que existe y que la discusión hoy.en día no es solo sobre los supuestos
sino también sobre que tipo de modelización es la más indicada para dar una explicación
el fenómeno económico.
Otro punto interesante sobre el uso de modelos matemáticos en economía es el alcance
que se les debe dar. Que se pueda modelar un fenómeno no prueba nada. Esto no hace
que la idea sea correcta o no, importante o irrelevante. En el mejor de los casos es un test
sobre ciertas relaciones lógicas y de consistencia de algunas ideas. La formalización es
muy importante por otro motivo: lleva a que los debates sean mejores y más concisos y
que las preguntas sean más provechosas. Esto hay que tenerlo muy en cuenta porque
muchas veces se pone poco énfasis en calibrar la validez de una teoría por su adecuación
a la economía real (verdad semántica) y mucho en examinar la coherencia y carácter
formalmente determinado del modelo (verdad sintáctica).
ANALISIS DE UN MODELO
Estos son en resumidas cuentas los elementos constitutivos de un modelo económico,
pero veamos que tipo de análisis podemos realizar con un modelo de este tipo.
En primer lugar, existe la posibilidad de realizar lo que denominamos análisis estático.
Por análisis estático lo que queremos significar es el análisis de eventos que asumimos
que ocurren en un punto del tiempo. En efecto, la estática estudia los valores alternativos
de equilibrio momentaneo para un conjunto de variables endógenas asociados con
configuraciones alternativas para las variables exógenas del modelo en el punto particular
del tiempo bajo consideración.
Está también, lo que llamaremos análisis dinámico. La tarea de este es estudiar los
senderos temporales de las variables endógenas asociadas con los posibles senderos
temporales alternativos de las variables exógenas del modelo. Esto es, en el análisis
dinámico se estudia el comportamiento del modelo mientras se permite que el tiempo
3
pase. Por el contrario, en el análisis estático, la atención está concentrada en los eventos
que se asumen que ocurren instantaneamente, esto es, en un momento dado.
Hay un tercer tipo de análisis, relacionado con el dinámico, que es el análisis de los
estados estacionarios, sin embargo, como nosotros por ahora vamos a dirigir nuestra
atención al análisis estático no lo vamos a considerar aquí. Al análisis dinámico vamos a
volver recien cuando consideremos el principio de correspondencia de Samuelson
(próximo práctico).
Ahora nos vamos a centrar, entonces, en el análisis estático. Su característica distintiva es
que nos permite determinar valores alternativos de las variables endógenas, tomando
como dado solo el valor de las variables exógenas en un punto particular del tiempo. Por
supuesto este puede incluir considerar el valos de variables exógenas y endógenas que
fuerron determinadas en el pasado y están, por lo tanto, dadas o predeterminadas en el
momento presente.
EXPECTATIVAS Y LUCAS (1976)
En función de realizar experimentos de estática es necesario estar en condiciones de
divorciar parcialmente los eventos corrientes de los futuros en el sentido de que lo que
ocurra en el futuro no afecte lo que pase ahora. Esto es particularmente importante
porque ustedes deben saber que la mayor parte de los modelos macroeconómicos que se
utilizan en la actualidad suponen que los agentes poseen alguna clase de expectativas
acerca del futuro, en particular se supone que existen RATEX. En este sentido, es
importante tener en cuenta que el análisis estático supone restringir en alguna forma el
modo en que se asume que la gente forma sus expectativas y en particular sugiere que los
agentes no poseen previsión perfecta o que el modelo está formulado de modo tal que al
hacer la estática comparativa esta tenga en cuenta lo cambios que se producen en los
valores de los parámetros producto de la reoptimización que hacen los agentes frente a
cambios en el ambiente .en el que operan (Crítica de Lucas a la Evaluación Econométrica
de las Políticas Públicas).
ECUACIONES ESTRUCTURALES
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Generalmente, estos modelos consisten en un conjunto de "n" ecuaciones estructurales
con "n" variables endógenas yi(t) i=1, 2, ....,n. y "m" variables exógenas xj(t) j=1, 2, ..., m.
Fi (y1 (t); y2 (t); ...; yn (t); x1 (t); x2 (t); ...; xm(t)) = 0
Estas n ecuaciones estructurales pueden ser de tres tipos: ecuaciones de comportamiento
(que resumen una determinada relación económica o función de comportamiento),
identidades contables (es decir, una definición) o condiciones de equilibrio.
Por supuesto no siempre todas las variables endógenas aparecerán en cada una de las
ecuaciones estructurales. Pero perfectamente pueden hacerlo como lo hemos representado
en términos genéricos. Esto va a ser de importancia porque va a determinar los distintos
procedimientos de solución del sistema como vamos a ver más adelante. Como tanto los
variables endógenas com las exógenas son variables en función del tiempo, como aquí lo
hemos representado, lo que nos dice el sistema de ecuaciones que hemos planteado es
que el mismo se cumple en cada punto del tiempo. Vamos a asumir que el tiempo
transcurre de manera continua por lo que "t" puede asumir cualquier valor de la linea de
los números reales (Esto es en oposición a considerar tiempo discreto).
Se supone también que las variables exógenas xj(t) j=1, 2, ..., m son funciones del tiempo
continuas por la derecha. Se suponen que poseen derivadas respecto al tiempo definidas
por la derecha de al menos de primer orden y a veces de orden mayor en todos los puntos
_
lim x j (t ) = x j (t )
−
t →t ,t >t
del tiempo. ¿Qué es lo que quiero decir con continuidad desde la derecha?. Lo siguiente:
por lo que xj(t) se aproxima a xj(t) en la medida que t se aproxima a t desde el futuro. Esto
quiere decir que la función xj(t) puede "saltar" t = t por lo que no requerimos
_
lim x j ( t ) = x j (t )
−
t→ t, t< t
Considerese por ejemplo, la función:
5
_


0 t < t 
x j (t ) = 
_
1 t ≥ t 
La función es continua por la derecha pero "salta". La derivada por la derecha de xj(t) con
respecto al tiempo, que se supone que existe en todos los puntos, se define como:
_
∂x j ( t )
∂t
_
= lim
_
_
t→ t , t> t
x j (t) − x j (t )
_
t −t
Para la función que hemos presentado recien la derivada temporal "desde la derecha" es
cero en cualquier punto, aún cuando la función salta y, estrictamente, no es diferenciable
en el punto de la discontinuidad. Esta distinción es importante porque nos permite
introducir la posibilidad de saltos instantaneos en cualquiera de las variables exógenas del
modelo, si bien es distinto a lo que ustedes están acostumbrados porque hasta ahora
seguramente trabajaron con funciones continuas como condición necesaria pero no
suficiente para calcular las derivadas.
EQUILIBRIO ESTATICO
Se dice que un modelo está en equilibrio estático en un momento particular del tiempo si
sus variables endógenas asumen valores que aseguren que todas las ecuaciones
estructurales se satisfacen. Notese que esta definición no implica que el valor de las
variables endógenas no varía a lo largo del tiempo. Por el contrario, dado que el valor de
las variables exógenas está cambiando, en general a una tasa no nula a lo largo del
tiempo, las variables endógenas también estarían cambiando a lo largo del tiempo.
Uno de los problemas del análisis estático será, entonces, el computo de los valores de
equilibrio de las variables endógenas del modelo para valores dados de las exógenas.
Pero además, existe un tipo particular de análisis estático que es el análisis estático
comparativo, que como su nombre lo sugiere, se dedica a comparar diferentes estados de
equilibrio asociados con diferentes conjuntos de valores de parámetros y variables
exógenas.
6
Es decir, la estática esta dirigida a responder a cuestiones del siguiente tipo: dado un
euilibrio estático del modelo, Qué ocurrirá con los valores de quilibrio de las variables
endógenas si se produce una perturbación en el valor de alguna de las variables exógenas
del modelo?. Esto es, ¿Cómo es el nuevo equilibrio comparado con el anterior?.
PROBLEMAS DINAMICOS QUE SE IGNORAN
Por supuesto que hay problemas que el análisis estático comparativo deja de lado y de los
que se ocupa la dinámica, tema que repito vamos a ver en la próxima clase. El más
importante de los problemas ignorados por la estática comparativa se refiere al proceso
de ajuste de las variables cuando se produce la perturbación. Es decir que asumimos que
el proceso de ajuste no es inestable y que se llega efectivamente al nuevo punto de
equilibrio. Perfectamente puede ocurrir que el modelo sea dinamicamente inestable y la
introducción de una perturbación nos aleja indefinidamente del nuevo punto de
equilibrio. Con la estática comparativa nos limitamos entonces a comparar el estado de
equilibrio de partida (antes de la perturbación) y el equilibrio final (posterior al salto de
alguna de las variables exógenas).
AJUSTE INSTANTANEO
Fijense que ignorar la posible inestabilidad del equilibrio es lo mismo que asumir que una
variable endógena es capaz de saltar discretamente en cualquier punto del tiempo a fin de
garantizar que el sistema de ecuaciones estructurales se satisfaga ante un cambio en las
xj(t); esto es que se alcanzaría un nuevo equilibrio estático en forma instantánea.
Entonces, cuando hacemos estática comparada estamos suponiendo que las variables
endógenas son capaces de pegar saltos discretos.
FORMA REDUCIDA
Para responder a la primera de las cuestiones de las que se ocupa el análisi estático (esto
es, el cómputo del equilibrio estático del modelo) debe ser posible hallar lo que se
denominan las ecuaciones de la forma reducida del modelo. Esto es un conjunto de
ecuaciones que expresan a cada variable endógena yi(t) como función exclusiva de las
variables exógenas del modelo, xj(t). Esto es:
7
yi (t) = hi (x1 (t); x2 (t); ...; xm(t))
i=1; 2; ...; m.
Obviamente si uno halla tales ecuaciones de la forma reducida es efectivamente muy fácil
no sólo computar el equilibrio estático del modelo (valores de equilibrio de las variables
endógenas) sino también averiguar que es lo que ocurre cuando se produce un salto en
alguna de las variables exógenas del modelo. En efecto, al computar las derivadas
parciales de la forma reducida estaríamos en condiciones de verificar que es lo que ocurre
con cada una de las endógenas ante las variaciones de las exógenas:
Tendríamos:
∂y i (t ) ∂hi ( x1 (t );... xm ( t ))
=
∂x j (t )
∂x j ( t )
i = 1; 2;...; n
j = 1; 2;...; m
FUNCION IMPLICITA
Pero ocurre que, en la mayor parte de las situaciones, no es sencillo pasar de las
ecuaciones de la forma estructural del modelo a las de la forma reducida, y ello es así
porque ¿Qué tipo de funciones son las de la forma estructural?. Exactamente, son
funciones implícitas. Así especificadas puede ser muy complicado despejar las variables
endógenas del modelo en función de las exógenas.
Ej: F(x;y) = 2x3 - xy2 + y3 + 12 = 0
Entonces, la forma reducida es muy complicada o imposible de obtener.
TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA
Sin embargo, a pesar de que sea muy difícil despejar y en función de x existen
condiciones que nos permiten asegurar que dada una ecuación en forma implícita, existe
una relación funcional que vincula a y con x. Estas condiciones son las establecidas por el
teorema de la función implícita. Aunque no vamos a ahondar en detalles, nosotros aquí
vamos a plantear tales condiciones. Al mismo tiempo ello nos permitirá desarrollar un
método para responder a nuestro problema, es decir, cuando no tengamos las ecuaciones
de la forma reducida (yi = hi (xj)) y, entonces, vamos a poder operar con modelos
genéricos como el planteado.
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El teorema de la función implícita establece las condiciones bajo las cuales este sistema
de "n" ecuaciones estructurales definen precisamente un conjunto de funciones implícitas
entre variables endógenas y las exógenas.
F 1 ( y1 (t ); y 2 (t ); K y n (t ); x1 (t ); x 2 (t ); K x m (t )) = 0
F 2 ( y1 (t ); y 2 (t ); K y n (t ); x1 (t ); x 2 (t ); K x m (t )) = 0
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
F n ( y1 (t ); y 2 (t ); K y n (t ); x1 (t ); x 2 (t ); K x m (t )) = 0
y1 = h1 ( x1 (t ); x2 ( t ); K x m (t )) = 0
y 2 = h2 ( x1 (t ); x 2 (t ); K x m (t )) = 0
LLLLLLLLLLLLLL
y n = hn ( x1 (t ); x2 (t ); K xm (t )) = 0
En otras palabras, lo que estas condiciones nos aseguran es que el sistema definido por
las "n" ecuaciones estructurales tiene solución (esto es, que es posible computar el
equilibrio estático del sistema). Si tiene solución quiere decir que las "n" ecuaciones
estructurales pueden resolverse en principio para las "n" variables endógenas incluso
aunque no seamos capaces de expresar algebraicamente su forma reducida. Nótese,
entonces que para que el sistema de la forma estructural tenga solución no basta con la
igualdad del número de ecuaciones y de incógnitas. Esta es una necesaria aunque no
suficiente.
TEOREMA
El teorema de la función implícita dice entonces que:
Dado el sistema de ecuaciones estructurales,
1) si las funciones F1 ,F2 , ..., Fn son todas continuas y tienen todas derivadas parciales
respecto a las variables endógenas y exógenas,
2) si las "n" ecuaciones estructurales del modelo alcanzaron un equilibrio los momentos
anteriores al estudiado y
3) si el determinante jacobiano es distinto de cero
9
∂F 1 ∂F 1
∂y1
∂y2
2
∂F
∂F 2
∂F
= ∂y
∂y2
1
∂y
LL LL
∂F n ∂F n
∂y1
∂y2
∂F 1
∂y n
∂F 2
LLL
∂y n ≠ 0
LLL LL
∂F n
LLL
∂y n
LLL
Bajo estas hipótesis existirán un conjunto de funciones continuamente diferenciables de
la forma reducida que se verifican para las xj(t) suficientemente cercanos a los valores
iniciales de xj (t).
Entonces, para saltos suficientemente pequeños de las xj (t), esto es en la vecindad o en el
entorno identificado por el teorema de la función implícita, las ecuaciones de la forma
reducida se verifican y pueden ser usadas para responder a la cuestión de la estática
comparada. Esto es poder hallar:
∂y i ∂hi
=
∂x j ∂x j
y estas nos darán las respuestas de las variables endógenas frente al salto o la variación
incurrida en alguna de las exógenas xj(t). Pero cuando está planteado el problema en
forma genérica, como es nuestro caso, no podemos hallar las ecuaciones de la forma
reducida por lo que podemos recurrir a una técnica alternativa que nos dará la respuesta
buscada ya que el cumplimiento del teorema de la función implícita nos garantiza la
existencia de una relación funcional entre las x y las y.
Como nuestro modelo va a estar generalmente planteados en forma genérica, nosotros
vamos a estar interesado en el análisis cualitativo, esto es, en conocer el signo de las
derivadas parciales de la forma reducida antes que su magnitud.
Justamente, dado que en el entorno que hemos definido se satisface el sistema de
ecuaciones estructurales, podemos hallar el diferencial total del sistema
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∂F 1
∂F 1
∂F 1
∂F 1
∂F 1
dy1 +
dy2 + L +
dyn +
dx1 + L +
dxm = 0
∂y1
∂y2
∂yn
∂x1
∂xm
∂F 2
∂F 2
∂F 2
∂F 2
∂F 2
dy1 +
dy2 + L +
dyn +
dx1 + L +
dxm = 0
∂y1
∂y2
∂yn
∂x1
∂xm
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
∂F n
∂F n
∂F n
∂F n
∂F n
dy +
dy + L +
dy +
dx + L +
dx = 0
∂y1 1 ∂y2 2
∂y n n ∂x1 1
∂xm m
Dado que todas las derivadas parciales que aparecen en el sistema están evaluadas en el
punto de equilibrio inicial, lo que tenemos aquí es un sistema de “n” ecuaciones lineales
(al diferenciar totalmente hemos aproximado linealmente, por eso el procedimiento es
solo válido para un entorno suficientemente pequeño) donde los dyi pueden expresarse en
función de los dxj.
Si suponemos que solo ha variado una exógena, pongamos por caso dx1 , sabiendo que dxj
= 0 ∀ j ≥ 2, el sistema queda:
∂F 1
∂F 1
∂F 1
∂F 1
dy1 +
dy2 + L +
dyn = −
dx1
∂y1
∂y2
∂yn
∂x1
∂F 2
∂F 2
∂F 2
∂F 2
dy1 +
dy2 + L +
dyn = −
dx1
∂y1
∂y2
∂yn
∂x1
LLLLLLLLLLLLLLL
∂F n
∂F n
∂F n
∂F n
dy1 +
dy2 + L +
dyn = −
dx1
∂y1
∂y2
∂yn
∂x1
∂F 1 dy1
∂F 1 dy 2
∂F 1 dy n
∂F 1
+
+L+
=−
∂y1 dx1
∂y2 dx1
∂yn dx1
∂x1
∂F 2 dy1 ∂F 2 dy2
∂F 2 dy n
∂F 2
+
+L +
=−
∂y1 dx1 ∂y2 dx1
∂yn dx1
∂x1
LLLLLLLLLLLLLLL
∂F n dy1 ∂F n dy2
∂F n dyn
∂F n
+
+L+
=−
∂y1 dx1 ∂y2 dx1
∂y n dx1
∂x1 1
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Lo que matricialmente puede exponerse como:
 ∂F 1 ∂F 1

∂y2
 ∂y1
 ∂F 2 ∂F 2

∂y2
 ∂y1
LL LL
 ∂F n ∂F n
 ∂y
∂y2
 1
LLL
LLL
LLL
LLL
 ∂F 1 
∂y

∂F1   1   −
 ∂x
∂x1 


1 
∂yn 
2 

 
∂F 2   ∂y 2   − ∂F 

∂yn  *  ∂x1  =  ∂x1 


LL  L   LL 
∂F n   ∂y  
∂F n 
n

∂yn   ∂x   −
 1   ∂x1 
Puesto que el determinante de la matriz de coeficientes es el determinante jacobiano que
por el teorema de la función implícita debe ser no nulo, sabemos que habrá una solución
única.
 ∂y1   ∂F 1 ∂F 1

 
 ∂x1   ∂y
∂y2
 ∂y   12
2
∂F 2

  ∂F
 ∂x1  =  ∂y1 ∂y2
L   LL LL

  n ∂F n
 ∂yn   ∂F
 ∂x   ∂y1 ∂y2
 1
LLL
LLL
LLL
LLL
−1 
∂F 1 

∂F 1   −
  ∂x1 
∂y n  
2 
∂F 2   − ∂F 

∂y n  *  ∂x1 


LL  LL 
n
∂F  
∂F n 



−
∂y n  
 ∂x1 
Que también puede ser resuelta por la regla de Cramer:
J
∂y1
= i
∂x j
J
EJEMPLO:
Para ilustrar lo visto hasta ahora, vamos a recurrir a un modelo muy simple sobre la
determinación de la renta que pueden consultar en el libro de Chiang. El modelo es el
siguiente:
Y=C+I+G
C = a + b (Y-T)
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T = d + eY
¿Cuántas y que tipo de ecuaciones tenemos aquí? ¿Cuáles son a su juicio las variables
endógenas que determina el modelo?.
Hay tres ecuaciones, dos funciones de comportamiento y una identidad contables. Hay
tres variables endógenas Y, C, T que son función de las exógenas G e I y los restantes
parámetros a, b, d, e.
Nótese que por la sencillez del modelo propuesto sería muy fácil operar por sustitución y
reducir el modelo a una sola ecuación en una sola endógena Y.
Y = a + b(Y-d-eY) + I + G
Despejando Y podemos obtener la forma reducida del modelo:
Y – bY +beY = a – bd + I + G
Y (1 – b – be) = a – bd + I + G
Y = (a – bd + I + G) / (1 – b + be), de donde es muy fácil averiguar cuál es el efecto sobre
Y de por ejemplo una variación en G.
∂Y
1
=
∂G 1 − b + be
Para operar con el sistema de ecuaciones simultaneas pasamos a diferenciar totalmente al
sistema:
dY = dC + dI + dG
dC = b * dY − b * dT
dT = e * dY
dY − dC = dI + dG
dC − b * dY + b * dT = 0
dT − e * dY = 0
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 ∂Y 


 1 − 1 0   ∂G   1 

  ∂C   
= 0
−b 1 b*
  
 − e 0 1   ∂G   0 

 ∂T
 


 ∂G 
∂Y
1
=
>0
∂G 1 + eb − b
∂Y b * (1 − e)
=
>0
∂G 1 + eb − b
∂Y
e
=
>0
∂G 1 + eb − b
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