Unidad1 Parte 1a

Física de Fluidos
UNIDAD 1
Fluidos newtonianos. Descripción del fluido: campos vectoriales y
escalares. Ecuación de continuidad. Ecuaciones del movimiento para
un fluido ideal. Vorticidad y circulación. Las ecuaciones del flujo
viscoso. Flujos viscosos simples. Convección y difusión de la
vorticidad. La capa límite.
Fluidos en rotación. Flujos en fluidos en rotación. Teorema de
Taylor-Proudman. Flujo geostrófico.
Ondas y olas. Olas gravitatorias en aguas profundas. Efectos de
tensión superficial: ondas capilares. Olas en aguas someras. Ondas
sonoras. Ondas de choque.
Fluido Newtoniano: fluido normal (agua, aire, aceite, miel)
Fluido ideal: fluido sin viscosidad
Viscosidad:
viscosidad baja: agua
viscosidad alta: miel
Descripción Lagrangiana
u1, u2 , u3 ,....
Descripción Euleriana
u( x1, y1, z1, t ), u( x2 , y2 , z2 , t ),....
partículas
campo
Descripción Lagrangiana
u1, u2 , u3 ,....
partículas
Descripción Euleriana
u( x1, y1, z1, t ), u( x2 , y2 , z2 , t ),....
campo
Campo escalar: Temperatura
Partícula de fluido
Porción de fluido de
tamaño infinitesimal
Partícula de fluido
moléculas
Flujo (flow)
u  u( x, y , z, t )

u  u ( x , y , z , t ) v  v ( x , y , z , t )
w  w( x, y, z, t )

Estacionario (steady)
u  u( x, y, z )

u  u ( x , y , z ) v  v ( x , y , z )
w  w( x, y , z )

u
0
t
Bidimensional (2d)
u  u( x, y , t )

u  u ( x , y , t ) v  v ( x , y , t )
w  0

u
 0, w  0
z
Visualización de un flujo
NACA airfoil
Visualización de un flujo
Línea de flujo (streamline) :
curva tangente instantánea a
la velocidad
dx dy dz


u
v
w
Traza (streakline) :
curva que describe una traza
de tinta o humo
Trayectoria (pathline) :
trayectoria de luna partícula
Streamlines and streamtube
La derivada material
f ( x, y , z , t )
Df
Dt
Df
Dt
Df
Dt
Df
Dt
Temperatura, presión, etc
d
f ( x (t ), y (t ), z (t ), t )
dt
f dx f dy f dz f




x dt y dt z dt t
f
f
f f
u v w 
x
y
z t
f

 ( u  ) f
t

Derivada material
-variación de una magnitud
siguiendo el fluido
- Variación de una magnitude
en una partícula de fluido
Derivada material de la velocidad
u  u( x, y, z, t )
Du u

 ( u  ) u
Dt t
Du u

 ( u   )u
Dt t
Dv v

 ( u  ) v
Dt t
Dw w

 ( u  ) w
Dt
t
f
f
f
(u  ) f  u  v  w
x
y
z
Aceleración = derivada
material de la velocidad
Variación a lo largo de una línea de flujo
Para un flujo estacionario
f2
f1
u   f
0
Df
0
Dt
f
f
f 
s 
u t  u  f  t
s
s
u   f
0
f no varía a para una
partícula de fluido
f no varía a lo largo
de la línea de flujo
Ejemplos
Movimiento uniforme
Rotación uniforme
Vórtice
u  constante
u   y
ur  0
v  x
A
u 
r
w0
uz  0
Fluido ideal
• Incompresible: densidad de partícula de fluido no varía
• Densidad uniforme en todo el fluido
• La viscosidad es nula (o las fuerzas entre partículas de fluido
son normales, es decir no hay fuerzas tangenciales)
Fuerzas normales
Fuerzas tangenciales
Conservación de la masa (Ecuación de cotinuidad)
M = masa dentro de S
M
C

    u   0
t
Ecuación de continuidad
M
 flujo entrada - flujo de salida
t

 dV     u  n dS       u dV

t V
S
V
u  0
Para fluido ideal
Ecuación del movimiento de Euler (fluido ideal)
M x aceleración = fuerzas superficiales + gravedad
Fuerzas superficiales (fluido ideal)
  p n dS    p dV
Mg
Du
1
  p  g
Dt

Ecuación de Euler
S
V
u  0
Ecuación de continuidad
Fluido ideal: las fuerzas se
pueden expresar a partir de
un campo escalar p que
denominamos presión y que
para un fluido en reposo
coincide con la presión
termodinámica
4 ecuaciones
4 incógnitas:
u, v, w, p
Ecuación del movimiento de Euler (fluido ideal)
u
u
u
u
1 p
u v w  
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
u v w  
t
x
y
z
 y
w
w
w
w
1 p
u v w

g
t
x
y
z
 z
u v w
 
0
x y z
Ecuación del movimiento de Euler (fluido ideal)
Podemos escribir la ecuación de Euler de una forma alternativa. Esto será
útil para el teorema de Bernouilli para la teoría de olas.
Teniendo en cuenta
g  
Fuerza conservativa
Du
1
  p  g
Dt

u  u  (  u)  u    1 u2 
2

Identidad
vectorial
p
u
1 2
 (  u)  u       u 
t
2 

Forma alternativa de la ecuación de Euler
Teorema de Bernouilli
Definimos
p
1 2
H   u

2
En un flujo estacionario
Y como
(  u)  u  H
u  (  u)  u  0
(usando la forma alternativa de
la ecuación de Euler)
u  H  0
Teorema de Bernouilli I
En un flujo estacionario H es constante en una línea de flujo
Si
u  0
H  0
Flujo irrotacional
Teorema de Bernouilli II
En un flujo estacionario irrotacional H es constante en todo el fluido
Peli
La Vorticidad
ω  u
La vorticidad es el rotacional de la velocidad
La vorticidad representa la rotación local del fluido
En un flujo bidimensional
 w v   u w   v u   v u 
ω    u    i     j    k    k  (0,0,  )
 y z   z x   x y   x y 
En 2d y coordenadas polares
1 
u 
ω    u   ( ru )  r e z
r  r
 
Flujos bidimensionales
Rotación rígida
ur  0
u  r
 2
Flujo de cizalla
u  Ay
v0
A
ω  u
Vórtice ideal
ur  0
A
u 
r
 0
Peli
Flujos bidimensionales
Rotación rígida
Flujo de cizalla
Vórtice
Velocidad
absoluta
Velocidad
relativa
 2
  A
 0
Ecuación de la Vorticidad
u
 (  u)  u  H
t
Tomamos el rotacional
Ecuación de Euler
ω
   ( ω  u)  0
t
ω
 (u  )ω  (ω  )u  ω   u  u   ω  0
t
incompresible
Si es bidimensional
Si es bidimensional
y estacionario
ω  (0,0, )
ω
 (u  )ω  (ω  )u
t
div rot = 0
D
0
Dt
Vorticidad de un partícula de
fluido es constante
D 

 (u  ) ω  (u  ) ω  0
Dt t
Vorticidad constante en
línea de corriente
La Circulación
   u  dl
circulación
C
u
C
dl
C
La Circulación
Por el teorema de Stokes
   u  dl   (  u)  n dS
C
S
u
ω
dl
n
C
Peli
Flujos bidimensionales
Rotación rígida
Flujo de cizalla
Vórtice
Velocidad
relativa
 2
  2S
A
   AS
 0
 2A