§ 1.1 d) Cuadro de operaciones vectoriales en componentes ]

Teoría de Campos 2012-13
Resumen de álgebra vectorial en componentes (2)
1
§ 1.1 d) Cuadro de operaciones vectoriales en componentes
Operación
intrínseca 
Desarrollo en componentes canónicas de base {ei} Desarrollo en componentes generales de base {_
gi} y base recíproca {_
gi} (indicial
(indicial y matricial)
y matricial)
SUMA VECTORIAL
 S1   A1   B1 
     
s := a + b  Si = Ai + Bi  S 2  A2  B2
     
 S3   A3   B3 
 s1   a1   b1 
 s1   a1   b1 
     
 2  2  2
i
i
i
s := a + b  s = a + b  si = ai + bi   s    a   b    s 2    a 2   b2 
 s 3   a3  b3 
 s 3   a 3   b3 
     
     
MÚLTIPLO
ESCALAR
U 1 
V1 


u := v  Ui =  Vi  U 2    V2  
U 3 
V3 
 v1 
 u1 
 v1 
 u1 
 
 2
 2


i
i
u := v  u = v  u     v   u2    v 2 
 v3 
u 3 
 v3 
 u3 
 
 
 
PRODUCTO
ESCALAR
a·b = AiBi =   A1 A2
 B1 
A3 · B2 
 
 B3 
 e1
a  b = ijk Ai Bj ek = det  A1
 B1
PRODUCTO
VECTORIAL
a · b = aib
=
 a·b =  a
1
a
2
 b1 
a ·b2  =  a1
 b3 
3
a2
1
desarrollo contravariante de ab
TRIPLE PRODUCTO
ESCALAR o PR.
MIXTO
[a, b, c] := a·(b×c)
 A1 A2
[a, b, c] = ijk Ai Bj Ck = det  B1 B2
C1 C2
TRIPLE PRODUCTO
VECTORIAL
a×(b×c) = b(a·c)–c(a·b)
 B1 
 C1 


a × (b × c) =  B2   a·c   C2   a·b 
 B3 
C3 
b1 
 
a 3 ·b 2 
b 3 
 
g 1 g 2 g 3 
g 1 g 2 g 3 




a  b = eijk ai bj _gk = eijk ai bj g
det  a1 a2 a3    g det  a 1 a 2 a 3 
_k =
 g
 b1 b 2 b 3 
b
b2 b3 
1
 






e3 
A3  
B3 
e2
A2
B2
i
a ib i
 a1

[a, b, c] =  g det  b1
 c1

A3 
B3 
C3 


a2
b2
c2
a3 
 a1
1
3
b 
det  b1
 g
3
 c1
c 
fórmula “todo arriba”
a2
b2
c2
desarrollo covariante de ab
a3 
b3 
c3 
fórmula “todo abajo”
b 
c 
 b1 
 c1 
 
 
a × (b × c) = b 2   a·c   c 2   a·b  ; a  ( b  c )  b2   a·c   c2   a·b 
 b3 
 c3 
b3 
 c3 
 
 
1
1
RELACIÓN ENTRE LAS COMPONENTES GENERALES DE UN VECTOR:
v
 v1 
 v1 
 v1 
1  1 
2
g ·v = _
g ·(vj_
g = vj g  v = g vj   v   G · v2  ; análogo:  v2   G ·  v2  (a deducir de modo parecido: ejercicio)
"vÎ: v = v _
gi  v = _
g ) = vj _
g ·_
 v3 
 v3 
 v3 
 v3 
i
i
i
i
j
i
j
ij
i
ij