Ejercicios tema 7

INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES
PROBLEMAS DEL CURSO CERO DE MATEMATICAS
Elaborados por Domingo Pestana Galván
y José Manuel Rodrı́guez Garcı́a
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Escuela Politécnica Superior
Departamento de Matemáticas
1
5.16. f (x) =
p
7
(ex + log x)13 .
Solución: f 0 (x) =
13 ³ x 1 ´ x
e +
(e + log x)6/7 .
7
x
5.17. Halla la derivada de f (x) = xlog x , calculando primero la derivada de g(x) = log f (x).
Solución: g(x) = (log x)2 , g 0 (x) =
2 log x 0
, f (x) = 2xlog x−1 log x.
x
5.18. Halla la recta tangente a la gráfica de la función G(x) = ex + log(x + 1) en el punto x = 0.
Solución: y = G(0) + G0 (0)(x − 0) = 1 + 2(x − 0) = 2x + 1.
5.19. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones y calcula su derivada en los puntos en que sean
derivables:
1) f (x) = x1/7 .
2) g(x) = arc cos x .
3) h(x) = |x2 − 4| .
1 −6/7
−1
0
0
(−1) = g−
(1) = −∞.
x
si x 6= 0. f 0 (0) = ∞. 2) g 0 (x) = √1−x
si x ∈ (−1, 1). g+
2
7
0
0
0
0
3) h (x) = 2x si x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞); h (x) = −2x si x ∈ (−2, 2). No existen h (−2) ni h (2).
Solución: 1) f 0 (x) =
5.20. Estudia la derivabilidad de las
puntos en que sean derivables:


sen x ,
1) f (x) = x ,

 x
e ,
siguientes funciones definidas a trozos y calcula su derivada en los
si x ≤ 0 ,
si 0 < x < 2 ,
si x ≥ 2 .
(
0,
si x ≤ 0 ,
2) g(x) =
−1/x
e
, si x > 0 .
Solución: 1) f 0 (x) = cos x si x ∈ (−∞, 0); f 0 (x) = 1 si x ∈ (0, 2); f 0 (x) = ex si x ∈ (2, ∞). f 0 (0) = 1 y no
existe f 0 (2). 2) g 0 (x) = x−2 e−1/x si x ∈ (0, ∞); g 0 (x) = 0 si x ∈ (−∞, 0). g 0 (0) = 0.
5.21. Halla las derivadas de las siguientes funciones usando la definición de derivada:
a) 7 ,
Solución: a) 0 ,
6.
b) 3 ,
c) 4x ,
c) 2x2 ,
b) 3x ,
d) x3 .
d) 3x2 .
Representaciones gráficas
6.1. Representa f (x) = x4 − x2 .
√
√
√
√
Solución: Decreciente en (−∞, −1/ 2 ) y en (0, 1/ 2 ), √
creciente en (−1/ 2 , 0) y √
en (1/ 2 , ∞);
√ punto
máximo local x √
= 0, puntos
mı́nimos
absolutos
x
=
±1/
2
;
convexa
en
(−∞,
−1/
6
)
y
en
(1/
6 , ∞),
√
√
cóncava en (−1/ 6 , 1/ 6 ); puntos de inflexión x = ±1/ 6 .
6.2. Representa f (x) =
x+2
.
(x − 1)3
Solución: Ası́ntota horizontal y = 0 para x → ±∞, ası́ntota vertical en x = 1; creciente en (−∞, −7/2),
decreciente en (−7/2, 1) y en (1, ∞); punto máximo local x = −7/2; cóncava en (−5, 1), convexa en (−∞, −5)
y en (1, ∞); punto de inflexión x = −5.
6.3. Representa gráficamente y =
x2 − 1
.
x2 + 1
Solución: Ası́ntota horizontal y = 1 para x →
en (−∞, 0) y creciente
en√(0, ∞); punto
√
√
√ ±∞; decreciente
mı́nimo absoluto x√= 0; cóncava en (−∞, −1/ 3 ) y en (1/ 3 , ∞), convexa en (−1/ 3 , 1/ 3 ); puntos de
inflexión x = ±1/ 3 .
11
6.4. Representa gráficamente y =
1
.
1 + ex
Solución: Ası́ntotas horizontales y = 0 para x → ∞, y = 1 para x → −∞, decreciente en todo R , cóncava
en (−∞, 0), convexa en (0, ∞), punto de inflexión x = 0.
6.5. Representa gráficamente y = x2 ex .
Solución: Ası́ntota horizontal y = 0 para x → −∞; creciente en (−∞, −2) y en (0, ∞), decreciente
en
√
(−2, 0);√punto máximo local x =√−2, punto
mı́nimo
absoluto
x
=
0;
convexa
en
(−∞,
−2
−
2
)
y
en
√
√
(−2 + 2 , ∞), cóncava en (−2 − 2 , −2 + 2 ); puntos de inflexión x = −2 ± 2 .
6.6. Representa gráficamente y = (x − 2)x2/3 .
Solución: No es derivable en x = 0; creciente en (−∞, 0) y en (4/5, ∞), decreciente en (0, 4/5); punto
máximo local x = 0, punto mı́nimo local x = 4/5; convexa en (−2/5, 0) y en (0, ∞), cóncava en (−∞, −2/5);
punto de inflexión x = −2/5.
6.7. Dibuja la gráfica de y = log[(x − 1)(x − 2)].
Solución: Dom(y) = (−∞, 1) ∪ (2, ∞); ası́ntotas verticales x = 1, x = 2; creciente en (2, ∞), decreciente en
(−∞, 1); cóncava en cada intervalo del dominio.
6.8. Dibuja la gráfica de y = 2 sen x + cos 2x.
Solución: Como es una función periódica de periodo 2π, basta con estudiarla en el intervalo [0, 2π]. Es
creciente en (0, π/6), (π/2, 5π/6) y (3π/2, 2π), decreciente en (π/6, π/2) y (5π/6, 3π/2); puntos máximos
locales x = π/6, 5π/6, 2π, puntos máximos absolutos x = π/6, x = 5π/6; puntos mı́nimos locales x = 0,
π/2, 3π/2, punto mı́nimo absoluto x = 3π/2.
6.9. Traza la gráfica de f (x) =
√
x2 + x − 2 .
Solución: Dom(f ) = (−∞, −2] ∪ [1, ∞); decreciente en (−∞, −2), creciente en (1, ∞); puntos mı́nimos
absolutos x = −2 y x = 1; cóncava en (−∞, −2) y en (1, ∞).
7.
Integrales
7.1. Halla las siguientes integrales elementales:
12