una aplicación al monopolio español de tabacos

ESTADISTICA ESPAÑOLA
nú m. 101, 1983. p^gs. 103 a 119
La moderna teoría del control óptimo: una
aplicació n al monopolio español de tabacos *
por MARIA ISABEL TOLEDO MUÑ©Z
Facultad de Ciencias Econbmicas
y Empresariales
Universidad Autc, ^oma de Madrid
RESUMEN
Este trabajo constituye un intento de mostrar las amplias posibilidades
de aplicación del Principio de Máximo de Pontryagin a la ciencia económica.
E,n esta linea, se toma como base empírica el monopolio español de
tabacos y como objetivo la determinación de los precios óptimos del
tabaco negro. Para ello se parte de dos conjuntos de supuestos diferentes
que implican la consideración de dos trayectorias óptimas de precios.
Del análisis de los resultados obtenidos, puede señalarse como principal
conclusión que el mantenimiento de unos precios reales por debajo de los
que pueden considerarse óptimos llevaron a unos rendimientos reales del
Monopolio, muy inferiores a los que se hubieran obtenido con la puesta en
práctica de una cualquiera de las dos políticas óptimas.
^^^lcthrus c•!u ^ •e: Principio de Máximo de Pantryagin; variables de estado, de
coestado, de control; trayectorias óptimas; control óptimo.
* Este trabajo constituye un resumen del realiZado para !a obtención del título de doctor en
Ciencias Económicas y presentado a la Universidad Autónoma de Madrid en septiembre de 1981.
ESTA[)ISTlC'A ESFA!'^{)[_A
1(.^4
1.
INTR0 4U CCION
Si bien es cierto que el Principi^ de Máximo hd ^ido c^bjeto de numerosas aplicacio-
nes a ditérentes ramas de la actividad económica, es muy reducida la utilitación de esta
aproximación teórica a jnodelos numéricos específ^cos relativo^; a tipos de mercado
ciescie una concepción microeconómica (monapolio, duopalio, competencia monopolística, etc.).
^xisten, eso sí, aplicaciones de cierto interés relativas al estudio de algunos elementos concretos determinantes del comportamienio de la empresa en un contexto dinámicc^. Comu ejemplo de un trabajo en esta línea de investigación podemos citar aquí el
de Bensoussan, A. (1974) ^ y el de Sethi (1977), entre otros.
Uentro del conjunto de tipos o variedades de mercados de competencia imperfecta el
mercado de organización monopolística parece presentar «a priori» una serie de condicic^nes positivas para la aplicación de la teoría del control óptimo.
La razón es obvia: al ser un sólo agente el que centraliza la oferta del producto,
pasee una influeneia vital en el rnereado, es decir, ^cnu c•upuc•ic^clcl ^nuvc^r cte c•c^rrtrcal
sobre aquél. [^e acuerdo con distintos objetivos, el agente monopolista podrá entonces
controlar en el mercado distintos elementos del mismo; fundamentalmenie, y por centrarnos de forma más clara en e1 mundo real, esta acción se llevará a cabo, bien sobre
el precio del producto, b^en sobre la cantidad del misrno.
Un esquema de carácter muy general, pero ilustrativo, de posibles aplicaciones en
esta línea, se encuentra recogido en Miller R. (1979). También pueden mencionarse,
aunque parten de enfoques distintos ai que aquí nos ocupa, los trabajos de: Takayama
(1967), que utiliza las condiciones de Khun-Tucker en el estudio de un manopolio
regufado y las implicaciones en relación al efecto Avered-Johnson, y Kamien y
Schwartz (197g), que aplican la programacián dinámica al estudio de 1a conducta óptima
del mc^nopolio en relación a la innovación tecnológica.
FI objetivo concreto de nuestro trabajo puede sintetizarse, a partir de lo anteriormente expuesto, en un intento de realizar una aplicación de la teoría del control óptimo
d un caso concreto de organización monopoiística dentro de1 ámbito de la economía
española, y partiendo asimismo de un enfoque microecanómieo diferente a los anteriormente reseñados.
Respecto al campo de investigacián elegido, no parece necesario resaltar aquí la
importancia de los monopolios en la economía española, y en particular de las monopolios que pertenecen a la esfera pública.
C.A MODERNA TEORIA DE CUNTROL 4PTIM0: UNA APLICACION
lUS
El caso concretu elegido es el dei monopolio de tabacos, que, si bien no presenta la
importancia estratégica de atras empresds monopólicas, afrece en cambiv ventajas a la
hora de aplicar las técnicas, sabre tado el hecho de que las variaeiones en el n^ercado
del producto dependen de una serie relativamente linnitada de elementos, y por lo
mismo aumentan las posibilidades de control, al menos desde la perspectiva aproximativa de este trabajo. A estos factores, de índole si se quiere teórica, hay que añadir
como causa determinante de la elección la disponibilidad de las f'ucntes estadísticas
necesarias para el desarrollo dei trabajo t.
Es necesario precisar tambi^n que el estudio se centra exclusivamente sobre una
variedad específica de uno de los productos elabc^rados y comercializados por Tabacalera: concretamente, el praducto es el cigarrillo, en la variedad ^cigarrillo negro^ (que
designaremos esquemáticámente como tabaco negro). La razón de esta elección se
encuentra en tas disponibilidades estadísticas, y, por otro lado, resulta eoherente con la
importancia del tabaco negro dentro del conjunto de productos de Tabacalera.
Desde el punto de vista microeconómico, el objetivo escogido es la maximización de
los ingresos de la empresa; este tipo de objetiva resulta, sin duda, menos usual en la
literatura económica que el de maximización de beneficios como criterio orientador de
la conducta empresarial, pero en nuestro caso, las disponibilidades estadísticas inclinaron definitivamente la balanza hacia el primero.
Teniendo en cuenta que en la definición más clásica de ingresos, éstos siempre
corresponden al producto de ias ventas realizadas del bien por el precio de éste, el fijar
el objetivo de maximizar ingresos impiica, obviamente, determinar cantidades y/o precios respectivos que llevan a lograr el objetivo.
En definitiva, y por plantear el objetivo de este trabajó en términos más formales,
podríamos concretarlo de la siguiente forma: Determinar los precios (y/o cantidades)
óptimos del bien (tabaco negro) que maximizan los ingresos del monopolio de tabacos
en un contexto dinámico.
2.
PLANTEAMIENT4 DEL MODELO
A continuación describiremos las distintas fases y elementos del modeio de aplicación del Principio de Máximo. En prirner lugar hablaremas de la función de demanda,
' A este respecto, queremos manifestar aquí nuestro agradecimiento al Servicio de Estudios de
Tabacalera, que nos ha facilitado toda ta información estadística de base necesaria para la
reatización de este trabajo.
ESTAD1STlCA ESPA!'^1C)1_A
1(^5
para analizar a continuacicín las hipótesis básicas y el planteamiento concreto del
problema. Respecto a este último punto conviene señalar que se ha llevado a cabo el
planteamiento de dos problemas distintos:
-- En primer lugar se analiza un problema de maximización de ingresos (que es el
objetivo ti^ado para la empresa) con precia tinal libre.
-- En segundo lugar, se plantea un problema con idéntico objetivo, pero con
restricciones sobre el precio en el instante final del período.
Como puede verse, ambos planteamientos corresponden a formas de actuación
igualmente factibles para una empresa monopolistica en el mundo real. EI estudio
conjunto de las dos aplicaciones puede proporcionar una vjsión más realista de lo que
se entiende por una política de actuación óptima.
2.1.
FUNCIÓN DE DEMANDA
EI paso previo dentro de la aplicación de las técnicas de control óptima a nuestro
problema, es el de la estimación de la función de demanda. La función planteada
responde a esquemas clásicos dentro de la teoría de la demanda
.
D^, = ,j^{PN, PN, Y)
donde
DN = demanda de cigarrillos negros
PN = precio de los cigarrillos
.
PN = tasa de variación temporal esperada de PN
Y = Variable representativa del nivel de renta o ingresos.
De las tres variables explicativas señaladas, merece un comentario específico la
.
variable PN. Con la misma se trata de esquematizar la influencia que sobre la demanda
de este tipo de bienes tiene la visión de los compradores sobre la trayectoria fuiur•a de
los precios. Este tipo de elementos especulativos resultan de singular importancia en el
caso del mercado español de tabacos 2.
Para la estimación de la función se contaba con los datos proporcionados por el
Servicio de Estudios de Tabacalera, consistentes en un total de K4 observaciones sobre
precios y cantidades vendidas mensuales referentes al período 1972-197^.
a Véase Toledo Muñoz (1981), p. ^63.
10?
LA MODERNA TEORU DE CONTROL OP'TIMO: L1NA APLICACION
Ante la imposibilidad de contar con datos análogos para las variables Y y PN, fue
preciso proceder a las siguientes especificaciones:
.
-- PN.
A. pesar de no contar con datos mensuales, se disponia de una serie de
informaciones referentes al momento temporal en que se habian producido expectativas
alcistas y que se veían corroboradas por fluctuaciones de la demanda. E1 supuesto
utilizado fue el de identificar la expectativa de subida con su cuantia efectiva.
-- Y. Esta variable se sustituye p^or una sencilla variable tendencial Kt^ ^ , por razones análogas a las de la variable anterior; esto es, la carencia de datos mensuales de
renta.
La ecuación finalmente estimada, rnediante minimos cuadrados ordinarios, responde
a la forma siguiente
.
D^, _-- 5,53 P^ + 0,77 t+ 12,7 PN + 254,68
De la observación de la ecuación se desprende que, a lo largo del período muestral,
las ventas de cigarrillos negros han tenido uri comportamiento ligeramente expansivo,
^ con un crecimiento mensual inferior a las 80Q.004 c^jetillas, y que la subida de precios
ejerce un impacta sobre la demanda con sigr^o teóricamente correcta.
La ecuación así obtenida explica el S7 por 100 de la varianza de las ventas de
cigarrillos negros, con un error medio de 10 millones de cajetillas mensuales, lo que
répresenta, aproximadamente, un 4,S por 10(} del nivel de ventas de 1978.
El test basado en el análisis de los errores standard de los ccefcientes
Caeficiente . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . .
Error de! coeficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-- S,S
1,ó8
G',77
0,16
12,73
2,86
254,68
14,93
indica que, efectivamente, los coeficientes son significativos desde el punto de vista
estadístico (ya que todos elloc son superiores a dos veces el error standar correspondiente).
La comparación de la F{3,80) = 24,02 de nuestra muestra con la F de las tablas al .
nivel de confianza del S por 100, quc es F= 2,b8, nos conduce a concluir que la '
regresión es significativa.
ES'TAi.IISTIC'A ESPAIVOLA
2.2.
H I P(.^TESIS
Aparte cie la^ hipcítesis que subyacen al pldntedmiento anterior de la función de
demandd y al criterio de actudción del monopolio ', es conveniente explicitar una
hip^ótesis básica del planteamiento del problema de control y que se refiere d las
.
restricciones de 1d variable PN.
Ld retitricción bd1ada en las ^^eries de datos disponibles es
.
0< P N^ 0, 25
E1 re^to de las hipótesis que constituyen lo que en el lenguaje de la teoña del control
son lo^ «elementos del problemd» pueden ^intetizar^;e en lo^ siguientes puntos:
-- t._r^ vdridble de e4ta^lo es el precio del tabdco negro ( P^, ) en cadu instante.
Esta v^ridble estará condicionada, aunque de formd implícit^, d la re:^tricción de
positividad. Además, la variable de estacio, en nuestro caso, el precio, ha de satisfacer
I^ conciición de contorno inicidl:
P N (11 - 9, 75
con el tiempo tinal (t^) e^^ pecit^cado e igual d K4, en el prirner problema, y las condicione s
PN(1) = 9,75
PN(K4) < 2b
en el prcabiema 2.
-- La ecuación de transición del sistema vendrá expresada por
.
PN = U
donde U ser^ la variable de cantrol que permitirá ^1 monopolista controlar el precio a
trdvé^ de la ecuación mencion^da. Esto es, a través de la variación esperada del precio.
-- El conjunto de controles admi^ibles en nuestro modelo lo constituyen todas las
funciones U(t) continuas a trozos definidas sobre el intervalo (1, H4), que sdtisfacen
0 ^ U _< 0,25
i Una descripción más detdllada de este punto puede verse en Toledo Muñoz (19R1), pp.
271-276.
I_A MC)UERNA TEORIA DF CONTROL 4PTIM0: 111VA APt..[CACION
-- P^^r lo que se ret'iere a las canclicioneti extremas, conviene centrarnos en cada
i^nc^ de Ic^s problemas a resalver. Para el primero, las condicic^nes de contorna son
PN^ ^ ) = s,7s
t, = Ka
PN(^4) no especiticado
La no especiticación del precio en ei tiempo tinal hace que las condiciones de
cvntcarno na sean suficientes, y que sea preciso acudír a la condición de trdnsversalidad,
yue para este problema es
i^ (K4} = 0
Respecto ai segundo, la existencia de restricciones terminales obliga desde la perspectiva de la transversalidad a que:
< 0
i^ ( ^34 ) _
sienda
^. (^4) • [ PN(ti4) - 2óJ = U
-- Par último, el •j^rnc•iun^r! ^^hj^ti^•^^. Si nuestro objetivv se centra en determinar los
precios óptimos que maximiZan los ingre^os, y dado que la variacicin del precio y del
output se suponen cóntinuas, el funcional objetivo responderá, en nuestro caso, a
s^
rnáx I=
,
.
(- S,S3 PÑ + 0,77 t- PN + 12,73 PN •^PN + 254,6K PN }ctt
^
2.3.
PROBLEMA 1
El objetivo marcado para el problema i puede expresarse de la siguiente forma:
84
.
máx
1=
(- 5,53 P^ + U,77 P^, + 12,73 PN • P^, + 254,bK PN)clt
[ 1. l)
,
sujeto a las condiciones
PN = U
siendo PN(1) = 9,75
( 1.2)
_ 0, 2S
0_< U<
[ 1. 3)
^. (l^4) = 0
[ 1.4]
ESTAC}ISTICA ESPAÑOL.A
110
La prirr^era condición necesaria para que un control admisible { U) maximice [ 1.1]
mientras se satisf'acen [ 1.2) y[ 1.3] es que exista una función de coestado ^(t ) continua
en el intervalo, que satisface [ i.4], que s^ea solución diferencial conjunta ^
^t
!
- H pN
[ 1 .5]
y ta1 que dicha variable haga máxima, en cada instante t, la función hamiltoniana
N{ t, P,v , U, ^. )_-- 5,53 PÑ + 0,77 t PN + 12,73 U PN + 254,óg PN +^, U[ 1.6]
cuando h( t) es la función auxiliar solución a[ 1.5] , y PN{t ), la función de estado.
AI ser la función hamiltoniana [ l.b] una función lineal en la variable de control, nos
encontramos ante un problema de control, denominado «control bang-bang». Y, por
tanto, ante el hecho de que ia variable de control sólo puede, dependiendo del objetivo
y del signo de1 coeficiente en [ l.ój , tomar los valores extremas de su cegión de
admisibilidad.
Una vez observada esta particularidad, pasemos a determinar las trayectorias óptimas. Particularizando en [ 1.5] tendremos que
.
^, = 11,Oó PN - 0,77 t-- 12,73 U -- 254,58
[ 1.7j
La solución de esta ecuación, con la única información dada por [ 1.4] requiere de
algún supuesto adicianal. En este sentido, si nuestro objetivo es maximizar los ingresas,
y para conseguir dicho objetivo nuestro interés se centra en maximizar [ 1.ó] en cada
instante, es abvio que lo deseable será que la variable de controt tome el valor máxima
cuando su coeficiente en [ l.b] sea positivo, y el mínimo, cuando dicho coeficiente sea
negativo. A pactir de este supuesto podremos determinar la solución de [ 1.7] .
Así, si suponemos que { 12,73 PM +^) es positivo, lo cual es coherente desde el
punto de vista económico, ya que PN es e! precio por cajetilla y^. es el seudoprecio,
entonces el control óptimo será
U* i 0,25
[ 1. 8]
y de [ 1.2] la variación esperada del precio óptimo es
PN = U,25
[ 1.9]
° Suponemas la constante 3^ = l y, por tanto, la condición [^, ^(t )] * 0, tJt se satisface.
Véase Pontryagin (19b2).
LA MODERI^A 'fFORIA DE CfJNTROL tJPTIMO^ LTNA APLICAC[ON
llI
EI valor obtenido para PN y las condiciones de contorno nos perrniten determinar la
trayectoria de precic^s óptima, que en este caso resp^onde a la forma
*
r
PN(r ^ = 9,75 +
0,25 c!t = 9,50 + 0,25 r
( 1.10^
Las funciones cíptimas de precios y de control [ 1.9j y[ 1.lOj consideradas en ( 1.7j
nos conducen a
.
-)^ _-- 1.99 r+ t 52, 79
[ 1.7')
que, junto a[ i.4j , expresa !a trayectoria óptima para las variables auxiliares
ti*(r) = 0,99 t^ -- 152,79 r+ S.i^43,92
[ 1.11]
Dando vaiores a esta función para cada t se observa que las ^. (t ) son positivas,
aunque con valores cada vez más pequeños, confirmándose de esta forma nuestro
supuesto adicional; esto es, si nuestrc^ objetivo era determinar !a trayectoria óptima de
precios que maximizará los ingresos totales de1 monopolio de Tabacos, el supuesto
hecho sobre el comportamiento de la variabie de control, según el signo de su cceficiente en la función hamiltoniana, se ha confirmado.
La interpretación económica elemental de los resultados nos dice que, si ei monopolio de Tabacos se propone un programa de optimación de ingresos con ias únicas
restricciones del precio en el tiempa inicia! y de la duración del programa, la aplicación
dei Principio de Máximo de Pontryagin a la consecución de este objetivo nos dice que ta
función óptima de precios que debería aplicarse para maximizar los ingresos sería una
función tineal y creciente
*
PN( t)= 9,50 + 0,25 t
que corresponde a una variacíón del precio constante e igual a 0,25.
2.4.
PRUBLEMA 2
La variación respecto al problema 1 se encuentra en que se ímpone al precio en el
instante f^ina! una restricción de la forma
[2.1)
P^v(^4) ^ ^x
_
donde PN seria el valor determinado que consideramos no debe ser; ^obrepasado por el
precio del tabaco negro en el instante final.
l l2
ESTADIS?ICA ESPA]VOLA
Como hipótesis fijamos e1 límite en base a suponer que no se puede sobreprasar un 15
por 100 de crecimiento rnedio acumulativo. Según esta hipcítesis [ 2.1] , en nuestro caso
,
se r^ a
PN(84) < 2b
[ 2.2]
Ctt. PN) = PN(84) -- 26 _< 0
[ 2.2' J
o bien
Este tipo de restricciones conduce, como sabemos, a que o bien PN(K4) < 26, lo que
equivale a una solución interior, o bien PN = 26, una solución frontera. En el primer
caso, las condiciones necesarias de optirnalidad son idénticas a las de un problema sin
restricciones. Y en el segundo, la condición de transversalidad exigirá condiciones
adicionales sobre el signo de la variable auxiliar correspondiente ^. Esto se expresaría
a^(K4)( PN84) -- 26] = 0
con
h(84) <
_ 0
[2.3)
La importancia de las condiciones terminales sobre las variables auxiliares radica en
que suponen una fuente de información importante, por un lado, para resolver la ecuación
adjunta y, por otro, en que tal como se interpretan estas variables, desde el punto de
visia económico, su valor nos determina el sentido de la variación del funcional óptimo
dnte un cambio en la constante de la restricción sobre la variable de estado ó.
A la hora de planiear la expresión que corresponde a la función de control óptimo se
nos presentan dos alternativas:
-- Bien que la función de control óptimo tenga un punto de discontinuidad en un
tiempo t* anterior al instante final.
-- O bien que la discontinuidad se dé en el momento final, esto es t* = 84.
Supongamos que se da la primera de estas dos alternativas, entonces la función de
control pasaría desde su valor máximo (0,25) a su valor mínimo {0) en un instante t* <
< K4. En este orden de cosas, el control óptimo sería de la forma
_
U*^t^
0,2^
0
(^ ^t^t*
t* < r< 84
` Véase Hadley y Kempt (1971).
6 Para un análisis exhaustivo del papel que desemper^an las variables auxiliares remitimos al
lector a Peterson D. (1973) .
LA MODERNA TEORIA DE CONTROL OPTIMO: UNA APLICACION
113
Según está implícito en el problema 1, un salto en la función de control se da en un
instante t* cuando
^,(t*^ _ -- 12,73 PN^t*^
Dado que la restricción de estado nos está indicando un cambio en la trayectoria de
estado, es factible suponer un salto en fa función de control que nos conduzca a la conseeucitín de tal objetivo. Ahora bien, el estado puede satisfacer la restrícción como una
igualdad, es decir, alcanzar el límite de la resiricción en un tiempo t que puede, desde el
punto de vista matemático, ser igual o inferior al tiempo final t= ^34. Lo deseable, desde
el punto de vista ecanómico, es que esta restricción lleve a una función de precios óptima, tal como 1a obtenida en el problema i hasta justarnente el instante t, en que el
precio alcance el valor límite y Iuego permanezca constante hasta et tiempo final. El
caliFcar de deseable a esta situación tiene com^ fundamento, como más tarde veremos,
el valor del límite inferior de la función de control '.
Consiguienternente, la trayectoria óptima de precios que se obtendría por ese razonamiento sería una funeión linea! con coeficiente positivo en t hasta un determinado instante, que corresponde al límite de la restricción, y a partir de ese momento la funci^in
óptima de precios sería una canstante.
Volvamos ahora al problema numérico, y al estudio de las condiciones necesarias de
optimalidad.
La primera condición necesaria para que un control admisibie U maximice el funcional objeti vo
'84
,
(- 5,53 P^, + 0,?7 t PN + 12,73 PN P^ + 254,bK PN ] dt
II
mientras se satisface [ 1.2] y[ 2.1 ] es que existe una función de coestado ^.t^, continua en
el intervalo en estudio que sea solución de la ecuación diferencial adjunt ^i
.
^. = -HPN
[2.5]
y tal que dicha variable maximice en cada instante la función hamiltoniana, correspondiente (idéntica a la del problema l, ya que ni la ecuación de transición ni el funcional
objetivo han variado) cuando ^.(t^ es la función auxiliar solución a la ecuacián diferencial
adjunta y PN(t^ es la función de estado obtenida desde la ecuación dinámica carrespondiente con Ia restricción ( 2. I' ]
' Si la región de control hubiese venido definida por 0,1 5 U^ 0,25 la calificac ión «a priori»
de deseable no tendría tanto sentido.
ESTADISTICA ESPAÑOLA
114
Por tanto, la ecuación [ 2.5^ es equivalente a
.
i^ = 11 PN - 0,77 r-- t 2,7 U-- 254,7
de donde se obtiene que para el control U sea óptimo, sujeto a la restricción 0^ U^
^ U,2S, es necesarío que optimice el valor de H para cada t cuando H está evaluada en
los óptimos de PN(t ) y^. (t ) deducídos a partir de !as ecuaciones de transición y adjunta
con las condiciones extremas
^. (84)[ Px(84) -?bJ = o
PK(1) i 9,?SO
Utilizando los mismos razonamientos que en el problema l, los valores óptimos de
PN(t^ y de U nos permitirán expresar 7^ como una función del tiempo. En este sentido, si
_ t* es
_ t<
el control óptimo para ei intervalo 1<
u * = a,2s
entonces, desde la ecuación de iransicián se obtiene que la variación esperada del precio
es
.
PN = 0,25
Consiguientemente, la trayectoria óptima de precios en 1 5 t^ t* responderá a la
forma
^
PÑ(t^ = 9,75 +
0,25 cit = 9,50 + 0,25 t
[ 2.6J
4
Sustituyendo estos valores óptimos de PN(t^ y de U(t) en la ecuación adjunta, podremos ya expresar la ecuación de las variables auxiliares como
^•
(- 1,99 ^r + 152,79) dz = - 12,73 PN(t*) - 0,99 t*x +
^,(t^ _ ^.(t*^ +
^
+ 152,79 t* + 0,99 t2 - 152,79 t
A partir del supuesto hecho sobre el valor de t*, esto es, t* < 84, tendremos que en
ese instante la función óptima de precios tendrá una esquina antes de la observación
final que corresponde, por tanto. a un instante anterior al tiempo final, por lo que 1^ (84)
deberá ser negativa, y desde la condición de transversalidad se seguirá que
PN(84} - 2b = o
Por tanto, la trayectoria óptima de precios para el intervalo t* S t S 84 podrá ser
LA MODERNA TEORIA DE CONTROL QPTIMO: UNA APLICACION
115
determinada a partir de: por un lado, la expresión para el control óptimo en el intervalo
pertinente ( U* = 0, dt / t* < t^ )34> y, por otro lado, desde la ecuación de transición
,
( U= PN ). Así pues, tendremos que
s^
PÑ(t ) ^= PN(t*) +
PNCIt = P^,(t*)
r^
para f* < t< K4, ya que PN = 0 en ese intervalo.
E1 valor del precio en el momento t* será igual al valor de la función óptima de
precios en el intervalo l^ t<_ t* tomado en t*.
Esto es
PN(t* ) = 9,50 + U.25 t*
Además, si desde la restriccián terminal sobre el precio se ha de satísfacer que
h(84) < 4
ya que PN(84} - 2b = 0, entonces
9, 54 + 0, 25 t*= 26
t* = 6b
Dado que este valor de t* está a la izquierda del instante final, el supuesto utilizado
se acepta como válido, y la segunda alternativa con t* = 84 se rechaza.
Los resultados obtenidos en este segundo problema nos llevan a concluir que si el
monopolio de tabacos considera conveniente poner tope al precio máximo alcanzable en
el tiempo final, entonces su trayectoria ó ptima de precios tendrá una sección que es una
función creciente hasta el instante t= 66, y desde este momento será constante e igual
a 26.
La peculiaridad de este segundo problema está en que la restricción impuesta se
satisface no sólo en t= 84, sino desde t= 6ó hasta t= 84. Esto es, nos encontramos
ante un segmento limite de la trayectoria óptima de precios, donde el punto de discontinuidad de la derivada tiene lugar en t= t*. En este punto se habrá de satisfacer que
}^ ( t ) sea continua.
La ecuación de las variables auxiliares correspondiente a esta sección de ia irayectoria óptima será
^
h. ( t ) = 1^ (84) +
(0,77 T - 34,77)dt
l
11 fi
ESTADISTICA ESPAr10LA
siendo el integrando del segundo sumando ia función HpN evaluada en lo^ óptimos de
PN y P, y^. (H4} un valar desconocido que debe ser negativo para satisfacer la condición
de transversalidad
^. (}34)[ PN(84) - 26] = 0
Si l tt ) debe ser continua en la esquina, entonces s^e habrá de cumplir que el límite
de la primera sección cuando t-^ 6ó- y el límite de la segunda para t--^ óó ♦ tienen que
ser iguales al h. ( t) de la segunda en el tiempo t= 6ó.
Por tanto, si la ecuacián dinámica de !as variables auxiliares en el intervalo t* <
< t S K4 nos da la soluci©n
^. ( t)= K+ 2.681,28 -- 2.920,ó8 - 0,38 t2 - 34,77 t=
= K+ 34 , 77 r- 0, 38 t 2- 2 39, 4
entonces, para t = 66 el vator de la constante K podrá ser determinado igualando
-- 12,73 • PN en t=+66 a esta ecuación
- 330,20 = K + 400,14
K = - 730, 34
donde el valor de K es el carrespondiente a ta variable auxiliar (h ) en el instante final
(t =^4}. Este valor también podría haber sido calculado planteando ]a ecuación
r
1^dT
^. (t ) _ ^. (t*) +
^•
donde el valor de la condición inicial ^. (t*} es calculado en la ecuación auxiliar del
intervalo 1 < t^ t* una vez determinado t* = ó6. E1 valor de A{84), calculado
mediante esta ecuación, resultó ser idéntico, tal como se esperaba, al determinado
ante riorme nte .
E1 valor de la variable auxiliar ^. {t ) en t= 84 tiene una importancia singular en este
tipo de problemas. La razón está en la interpretación econámica de estas variables
como tasas marginales de cambio del funcional óptimo ante una variación unitaria de la
constante de la restricción sobre el precio. Es decir, ^. (84} _-730,34 nos expresa el
valor medi^o de la variación de los ingresos totales óptimos del monopolio de tabacos
ante una variación unitaria del precio final.
LA MODERNA TEORIA DE CONTROL OP7IM0: UNA APLiCACION
3.
117
EVALUACION F1NAL
Del análisis de las cifras concretas obtenidas, puede señalarse como principat con-
clusión que el mantenimiento de unos precios reales muy pflr debajo de los que pueden
considerarse óptimos Ilevaron a unos rendimientas reales del monopolio muy inferiores
a los que se hubieran obtenida con la puesta en práctica de una cualquiera de las dos
poiíticas óptimas. Así, la cifra de precio medio correspondiente al instante final , según
las trayectorias óptimas, resultó ser 30,5 y 26,0 ptas./cajetiila para los problemas 1 y 2,
respectivamente; mientras que la cifra correspandiente a dicho instante, según la serie
real, era de 17,4 ptas./cajetilla. Y que, en consecuencia, a pesar de que el mantenimiento de los precios por debajo del óptimo ha permitido expansionar la actividad, al
producirse una tendencia al alza de las cantidades vendidas, la empresa ha dejado de
percibir una sustancial cifra de ingresos durante dicho período.
Pero más importante que hacer comparaciones sobre eifras finales de precias es
realzar que las aplicaciones planteadas, dado el carácter dinámico de las rnismas,
suponen una evolución gradual de los precios, que posee indudables ventajas para la
empresa de cara a la consecución de objetivos determinados, a medio y largo plazo.
Planteado en términos de la teoría de control óptimo, si la empresa hubiera podido
fijar, al principio del^ período, los controles adecuados para guiar la trayectoña de
evolución de precios en las sendas obtenidas en nuestros ejercicios, sus ingresos se
habrían aproximado a lo que puede considerarse en términos generales un óptimo (en
este caso, un máximo).
En la realidad, un modelo de control óptirno alcanza verdadero significado en la
planificación de cara al futuro, trazanda las líneas de evolución por las que ha de
transcurrir el sistema; sin embargo, nuestro modelo se encuentra a un nive! previo,
aunque necesario, de dicha planificación: la observación de las conductas real y óptima
en el pasado, como base de las prospecciones futuras.
En resumen, se intentaba aquí resaltar la aplicación de esta técnica, no circunscribiendo su validez al ejemplo; éste sólo tiene por objeto ilustrar dos posibilidades de
aplicación de una técnica susceptible de una utilización mucho más general para afrontar una serie de problemas de orden práctico.
La importancia de estos esquemas dentro de la economía española es re^levante, en
especial, desde la perspectiva de la futura integración en la Comunidad Económica
Europea; en efecto, empresas y sectores de distintos campos de actividad se encuentran, al igual que el caso que nas ocupa (monapolio de tabacos), sometida a restricciones y limitaciones en sus políticas de precios. La integración, con unas exigencias de
creación de un marco económico general más competitiva, supondrá la necesidad de
118
ESTADISTIGA ESPAÑOLA
reestructurdciones para dichas empresas, sobre todo derivadas del hecho de que desaparecerán, en gran medida, las restricciones de precias que el sector público actualme nte i m pone .
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S^,JMMARY
THE MODERN THEORY OF OPTIMUM CONTROL: AN APLICATION
TO THE SPANISH TOBACCi^ MONOPOLY
^
This work endeavours to show the wide range of possible applications
of Maximo de Pontryagin's Principle to economic sciences.
!n this line, the Spanish Tobacco Monopoly has been used as an
empirical basis white the aim has been to determine the optimum prices of
LA MODERNa ?EOR1A DE CONTROL ©PTIMO: UNA APLiCACION
119
black tobacco. To do this, two series of different hypotheses have been
used as starting points as they take into account two optimum price tendencies.
After analyzing. the results, the main conclusion is that keeping the
actual prices below those which may be considered optimum, has led the
actual returns of the Monopoly to be much lower than those which would
have been obtained if any of the two optimum policies had been irnplemented .
Key w^^rds: Maximo de Pontryagin's Principle; State, co-state, control
variables; ^ptimurr tendencies: Optimum Control.
AMS 1980. Subject classification: 93E2o.