EL CAMPO Y EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO

EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA
UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA SIMPLE EN ESTÁTICA,
UTILIZANDO
LAS
ECUACIONES
DE
MAXWELL
EN
FORMA
DIFERENCIAL: NIVEL INTERMEDIO.
Problema 3.
Se tiene un sistema de cargas constituido por una densidad de carga
volumétrica ρv (x) = ρ0 (x / 2) en el volumen x ≤ 2 , y < ∞, z < ∞, y una
densidad de carga superficial constante η0 en la superficie x = 2, y < ∞,
z < ∞.
a) Explicar qué tipo de simetría debe tener el campo producido por la
densidad de carga volumétrica.
b) Explicar qué tipo de simetría debe tener el campo producido por la
densidad de carga superficial.
c) Determinar el campo eléctrico producido por estas cargas en todo el
espacio, aplicando superposición.
Solución.
a) Simetría del campo producido por la densidad de carga volumétrica.
Para determinar esta simetría debe considerarse que la densidad de
carga volumétrica de este problema es una función impar de la coordenada x ,
y que el campo producido por estas cargas es de la forma E = 1x E x (x) , por la
geometría y la variación espacial de las cargas.
Considérense los volúmenes V1 y V2 de la figura 1 de la siguiente
página.
Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003
Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela
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y
V1
−b
−2
−a
a
0
2
V2
b
QV =0
x
QV =0
ρV(x)
Fig. 1: Volúmenes usados para estudiar la simetría del campo eléctrico producido por la
densidad de carga volumétrica.
Estos volúmenes son simétricos respecto a la coordenada x , en ambos
la carga neta encerrada es cero por la simetría impar de la densidad de carga.
Por Ley de Gauss en forma integral para el campo eléctrico, el flujo
eléctrico neto a través de la superficie que limita ambos volúmenes también es
cero, lo que implica que Ex (–b) = Ex (b) y que Ex (–a) = Ex (a), es decir, que
el campo eléctrico tiene simetría par.
b) Simetría del campo producido por la densidad de carga superficial.
Un observador ubicado a cierta distancia X de x = 2 y mirando hacia las
cargas observa el mismo sistema, no importa de qué lado se ubique, por lo
que debería medir el mismo campo con relación a su sistema de referencia.
Como los sistemas de referencia de ambos observadores tienen simetría impar,
el campo eléctrico también tiene simetría impar respecto a x = 2.
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c) Cálculo del campo eléctrico utilizando superposición.
El campo eléctrico se calcula aplicando Ley de Gauss en forma
diferencial para el campo eléctrico, y la condición de frontera correspondiente.
Para aplicar superposición, se calcula por separado el campo eléctrico
producido por cada sistema de cargas, y luego se suman vectorialmente los
resultados.
CAMPO PRODUCIDO POR LA DENSIDAD VOLUMÉTRICA DE CARGAS.
Al aplicar la Ley de Gauss en forma diferencial para el campo eléctrico
dentro del volumen de las cargas, se tiene:
∇ ⋅ ε 0 E(x) = ρ V (x) ⇒ ε 0
∂E x
= ρ0 ( x / 2 )
∂x
Integrando, se tiene:
E x (x) =
∫
ρ0 x 2
ρ0
+ C1
(x / 2) dx + C1 =
ε0
ε0 4
Para x > 2 no hay cargas, por lo que se tiene:
∇ ⋅ ε 0 E(x) = 0 ⇒ E x = C 2
Aplicando la propiedad de simetría, para x < 2 se tiene también que
E x = C2 . Para sitios muy alejados del sistema, como la carga neta del mismo
es nula, el campo eléctrico debe ser nulo, por lo que C 2 = 0 , lo que implica
que el campo eléctrico es nulo fuera del sistema de cargas.
Aplicando la condición de frontera de la Ley de Gauss en forma
diferencial en x = 2 ó en x = −2, dado que no hay cargas superficiales, se
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concluye que el campo eléctrico dentro del sistema de cargas es:
2
ρ0 
ρ0
ρ0
x 
0=
+ C1 ⇒ C1 = −
⇒ Ex ( x ) = −
1 −

4 
ε0
ε0
ε0 
CAMPO PRODUCIDO POR LA DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGAS
Como el campo eléctrico producido por estas cargas es de la forma
E = 1x E x (x) (por la geometría de las cargas) y tiene simetría impar, basta con
calcularlo de un solo lado. Aplicando la Ley de Gauss para el campo eléctrico
en forma diferencial, se tiene, para x > 2:
∇ ⋅ ε 0 E(x) = 0 ⇒ E x = C 3
Por la condición de simetría impar, para x < 2 resulta que E x = −C 3 .
Aplicando la condición de frontera de la Ley de Gauss para el campo
eléctrico en la superficie x = 2, se tiene:
[
]
1x ⋅ ε 0 E
− ε 0 E x=2− = η x=2 = η 0
x=2 +
Sustituyendo los campos, se tiene finalmente que:
C3 =
η0
2ε 0
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CÁLCULO DEL CAMPO TOTAL.
Aplicando superposición, el campo total es:
η0

− 1x 2ε , si x ≤ −2, y < ∞, z < ∞
0

η

ρ 0 
x 2 
 0
E = − 1x 
+
1−
, si -2 ≤ x < 2, y < ∞, z < ∞
4 
 2ε 0 ε 0 


 η
1x 0 , si x > 2, y < ∞, z < ∞
 2ε 0
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