Las Incertidumbres de las medidas y su propagación

Las Incertidumbres de las medidas y su propagación
Prof. Sergio Guerra Gómez
En las ciencias experimentales, buscar la respuesta a un PROBLEMA pasa casi
necesariamente por una serie de medidas. Ya sea que vaya a hacer un análisis
de tipo cuantitativo o cualitativo, usted generalmente necesitará dar la magnitud
de la “cantidad física” de interés y para ello necesitará “medirla”. Por esa
trascendencia que juega la medición en la respuesta al problema usted debe
dedicar un cierto tiempo a comprender este proceso. El comprender más en
detalle el proceso, le evitará errores en las conclusiones que usted va a hacer al
final del trabajo.
La medición puede verse como el resultado de una operación humana de
observación de el mundo real.
Para una bola que cae de una rampa a una cierta distancia desde la base de la
mesa y que llamaremos X, no debemos decir : el valor de X es 40,2 mm sino más
bien: Yo he medido la distancia X y he obtenido el valor 40,2 mm. El factor
humano está en la última oración. Pero en nuestros días en que la información
fluye muy rápido y necesitamos pasar nuestros datos a otros colegas u otros
laboratorios, para que los comparen o los usen, surge el problema de la
confianza en lo que hacemos, la probidad de nuestro trabajo, en qué grado van
los otros a “CONFIAR” en nuestro trabajo. Mi medida debe ir acompañada
entonces de algo que denote un cierto “nivel de confianza” de la operación de
medición que he usado. Es mejor si escribo la información: 40,2 mm con un
nivel de confianza de 99 % para que la medida caiga entre 40,1 y 40,3 .
Podemos distinguir dos clases de medidas : las que permiten un único número
como es “el número de páginas de un libro”, las personas en un salón, etc. Pero
es que nosotros no subdividimos las páginas, ni las personas. “Un libro con 382,5
páginas ” es un libro maltratado.
Si ahora mido mi altura y nos da 1,70 m, es decir 1metro y 0,70 metros
adicionales. Y es que aquí mi altura no tiene, en este caso un número exacto de
metros (el patrón de unidades ) y debo aproximar la fracción de unidad última.
Pero habrá una cierta incertidumbre en mi lectura al estimar la parte
fraccionaria de la unidad usada.
Pero las incertidumbres en una medición tienen diferentes fuentes, entre las
cuales podemos mencionar a manera de ejemplo:
Incertidumbres o perturbaciones a la medida de tipo
aleatorio. Por ejemplo como en el caso de la bolita si “repetimos” varias veces
el lanzamiento de la bolita, nos dan valores “diferentes”.
Incertidumbres de tipo SISTEMÁTICO: en este caso la
perturbación afecta la medida pero siempre en el mismo sentido. Algunos
cuando hicieron la experiencia de X vs h siendo “h” la altura de la bolita, sobre
la mesa pudieron confundir h con h+H , siendo H la altura de la mesa y sus
variables alturas h hubiesen sido sistemáticamente mayor que las reales. Si un
voltímetro análogo tiene un cierto error de cero (v.g. la aguja no llega a cero) y
usted no toma en cuenta su error del cero, entonces todas las medidas estarán
afectadas de la misma manera (más o menos según el caso). Si su metro está
1
gastado del lado del cero, y lo usa desde el cero ese, todas las medidas estarán
más chicas en cierta cantidad. Aquí cuando uno detecta este tipo de errores, hay
que corregirlos, eliminarlos.
Incertidumbres personales:
El observador, el que lee los aparatos es una persona y tiene sus características.
Imagínese viendo las rayas espectrales del átomo de hidrógeno con un
espectrómetro. Usted debe ver las líneas, poner un cursor sobre la raya de
interés y leer un “vernier”. Pero se necesita de un ambiente adecuado con
luminosidad adecuada, para leer bien. Si usted “observador” tiene problemas de
visión, a lo mejor sus medidas, a pesar que son con un buen instrumento, tienen
mucha incertidumbre. Imagínese viendo el tránsito de Venus en el disco
radiante del sol y que usted debe medir los tiempos de contacto, debe apretar un
botón para “el tiempo” justo cuando Venus toca en la salida, el disco solar. Lo
hará justo??? O habrá cierta incertidumbre.
Podría haber incertidumbres misceláneas, como las vibraciones en
la mesa de medición, que pudiesen afectar la lectura de un medidor análogo, bien
sensible.
También las escalas de los aparatos, tienen un límite de pequeñez, y esto
implicará un cierto número de cifras significativas en la lectura de la cantidad
física. O su PC tiene para el cronómetro un número dado de cifras significativas,
dado por el procesador usado.....
Si leemos la distancia X en mm lo que queremos decir es que la medida estará
con una incertidumbre de +/- 0,5 mm. (debido al aparato)
Pero para que una medida sea significativa debemos dar un límite de la
incertidumbre de la medida. Uno debe ser realista en este aspecto. Lo más
cuidadoso en la actividad. Lo más honesto.
Pero cómo haremos un estimado de la tal PRECISIÓN de la medida.
Veamos primero, el caso de una sola variable en una experiencia :
Para una experiencia de algún valor una sola medida casi no se usa. Así que la
regla que se usará es “repita varias veces la medida” Esto le dirá cuan
reproducible es su experiencia.
Nuestro objetivo ahora es darle a ustedes una idea de cómo se pueden anotar las
incertidumbres y cómo se usan en la propagación de las incertidumbres.
Primero veremos cómo lo hacemos en los cursos elementales de física y más
tarde en cursos superiores se entrará más en detalle del manejo de las
incertidumbres.
Suponga la medida de X de la caida de la bola. Si escribimos 402 mm lo que
querremos decir es: nuestra medida estará en el medio del intervalo que va
de 401,5mm a 402,5mm. Estamos dando el rango del intervalo donde caerá la
medida. Esta es una convención que se usa muy frecuentemente y también
denota que hemos leído al mm más cercano de la escala del aparato, en este caso
el metro graduado en mm. Esta convención permite escribir nuestra medida en
una forma más compacta:
( valor de la medida de X) = Xmejor estimado  X (1)
La ecuación (1) nos indica que el mejor estimado de la cantidad física X es :
2
Xmejor estimado y que se tiene un grado razonable de confianza para que dicho valor
caiga entre los valores:
Xmejor estimado - X y Xmejor estimado + X.
Al valor X se le suele llamar la INCERTIDUMBRE o a veces el “error de X”.
Nos gusta más el nombre de INCERTIDUMBRE pues el otro a veces da margen
a pensar que “las cosas están mal hechas”. Pero no olvide que en los cursos
superiores se estudiará la “teoría de errores” en detalle, pero en el sentido de
incertidumbre. Se acostumbra a definir la incertidumbre X siempre positiva
De manera que :
Xmejor estimadso + X sea el mayor valor
(2a)
Y
Xmejor
estimado
- X sea el menor valor
(2b)
Al valor X se le llama incertidumbre absoluta o error absoluto (2c)
Al valor
X/ Xmejor estimado = incertidumbre relativa = error relativo
(2d)
multiplicada por 100 nos da el % de error de la medida.
Una regla para dar las incertidumbres en nuestro curso de física experimental I:
Regla No 1:
Redondee las incertidumbres a una cifra significativa.
Si su medida le da:
X = 402,50  0,037 mm
Entonces déjela como:
X= 402,50  0,04
mm
Regla No 2:
La última cifra significativa de su valor Xmejor estimado debe estar en la misma
posición decimal que la incertidumbre
En trabajos de alta precisión las incertidumbres se pueden llevar hasta dos cifras
Significativas. Pero puede usar la regla No 2 todavía.
Ejemplo:
3
La medida :
40,56 s con incertidumbre 0,3s debe escribirse:
40,6  0,3 s
y cumplimos con las dos reglas.
No olviden que es una convención del laboratorio de Física experimental I y que
se usa en los laboratorios tradicionalmente. Las excepciones las discutiremos
más adelante.
La Discrepancia: diferencia entre dos valores medidos de la misma cantidad
física:
Si dos estudiantes han medido una misma resistencia eléctrica y obtienen:
47  1 ohms
y
52  2 ohms
Entonces la diferencia de los mejores estimados de la resistencia es mayor que
las incertidumbres y diremos que la discrepancia es significativa ( 5 ohms) y se
debe averiguar qué ha estado equivocado en las experiencias.
Generalmente estaremos interesados en COMPARAR nuestra medida con algún
otro valor: un valor aceptado, con el de una teoría, o cuando comparamos datos
buscando una correlación entre las medidas para establecer regularidades en los
datos...
Incertidumbres en el caso de suma o resta de dos medidas independientes:
Suma o resta:
Si
X= Xmejor estimada  X
Y= Ymejor estimada  Y
Entonces : (X  Y) = (Xmejor estimada  Ymejor estimada) (X+Y)
(3)
Funciones de una variable:
Si asumimos que z = f(x)
dz/dx = f¨(x)
(4)
y reemplazando los diferenciales por las incertidumbres tenemos:
z = f ´(x)x
(5)
4
que podemos aplicar a:
potencias: z= xn
y (5) queda:
z = nxn-1x
(6)
y z/z= n (x/x)
(7)
que valen tanto para las potencias como los radicales
Nótese que entre más grande es la potencia mayor debe ser la precisión inicial
requerida.
A Funciones trigonométricas:
Por ejemplo si
z=cosx
z= cosxx (8)
dejamos de tarea las otras funciones trigonométricas senx y tanx. (ojo!!!!)
A Funciones logarítmicas y exponenciales:
z = logx
y
z = x/x
(9)
si
z= ex
z=exx
(10)
incertidumbre en el caso de dos o más variables:
Veamos el caso de dos variables
Si
z= f(x,y)
entonces:
dz  (f / x )dx  (f / y)dy
y pasando a incertidumbres los diferenciales
 z  (f / x)x  (f / y)y
(11)
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y en el caso del producto tenemos:
z=xy
y nos lleva
z/z = x/x + y/y
Si tiene el caso
z=xayb
(12)
primero use logaritmos en ambos miembros luego aplique los diferenciales y
luego pase los diferenciales a incertidumbres.
Encontrará:
z/z = ax/x + by/y
(13)
Cocientes
z=x/y
z/z =x/x +y/y
(14)
nótese que el error relativo de productos o cocientes siempre es la suma de los
errores relativos de cada medida en el producto o cociente.
Una constante por una variable:
z=ax
z= ax
(15)
estas aproximaciones nos darán por lo menos una cota superior del error en
nuestras medidas en los laboratorios.
Estas reglas las usaremos en los laboratorios....
Vea los ejemplos aquí: Ejemplos
También vea la pequeña experiencia a realizar: Experiencia de Propagación de
incertidumbres
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