Tema 3: Potencial eléctrico Índice
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23/02/2011 Tema 3: Potencial eléctrico Física II Grado en Ingeniería Aeroespacial Grupo 2 (Prof.Dr. Emilio Gómez González) Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 1 Tema 3 Índice Introducción: energía potencial electrostática Dif Diferencia i de d potencial t i l Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 2 Tema 3 1 23/02/2011 Introducción La fuerza asociada a campos eléctricos estáticos (o electrostáticos) es conservativa El trabajo realizado por la fuerza cuando actúa en una determinada trayectoria solamente depende del punto inicial y final, no del camino recorrido. El trabajo realizado en un camino cerrado es nulo. Puede definirse una función energía potencial. Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 3 Tema 3 Introducción El trabajo t b j realizado li d por el campo gravitatorio sobre una masa m equivale a la disminución de energía potencial gravitatoria El trabajo realizado por el campo electrostático sobre la carga +q es igual a la disminución de energía potencial electrostática Tierra Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 Carga negativa 4 Tema 3 2 23/02/2011 Energía potencial Sea una carga q0 en un campo externo Trabajo realizado por la fuerza conservativa r r dW = F ⋅ dl Variación de energía potencial r r r r dU = − F ⋅ dl = − q0 E ⋅ dl r E r v r r r dl F = q0 E q0 Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 5 Tema 3 Diferencia de potencial La variación de U es proporcional a q0 Diferencia de potencial: dV = r r dU = − E ⋅ dl q0 Incremento entre dos puntos: integral de línea r r ΔV = VB − VA = − ∫ E ⋅ dl A r Menos circulación de E ¡No depende del camino! B Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 B A 6 Tema 3 3 23/02/2011 Diferencia de potencial La diferencia de p potencial (V ( B-VA) es el menos trabajo j realizado por el campo electrostático cuando desplazamos la unidad de carga positiva desde A hasta B La diferencia de potencial (VB-VA) es el trabajo que debe realizarse para desplazar la unidad de carga positiva desde A hasta B en el seno de un campo electrostático El proceso tiene que ser cuasi cuasi-estático estático Para que no aparezca un término de variación de energía cinética Para que no exista pérdida de energía en forma de radiación electromagnética, que aparece cuando hay cargas aceleradas Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 7 Propiedades de V r Es un campo escalar: función de la posición V ( r ) La diferencia de potencial entre dos puntos tiene significado i ifi d físico, fí i pero no ell valor l concreto t de d V en cada punto Tema 3 El “origen de potencial” es arbitrario La función V es continua en todos los puntos, excepto donde el campo eléctrico sea infinito Demostración: r r dV = − E ⋅ dl = − Edl cos θ Entonces si E es finito dV es infinitesimal V disminuye en la dirección indicada por las líneas de campo Unidades: voltio (V); 1V=1J/C=1Nm/C → 1V/m=1N/C dU = q0 dV Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 r r dV = − E ⋅ dl 8 Tema 3 4 23/02/2011 Campo eléctrico uniforme: superficies equipotenciales r r E = Ei y r r dV = − E ⋅ dl = − Edx ∫ x B A B dV = VB − VA = − ∫ E dx A B V1 V2 V3 ΔV = VB − VA = − E ∫ dx = − E Δx A Superficies S fi i equipotenciales: i t i l superficies fi i tales t l que en todos t d sus puntos V=cte. En este ejemplo son todos los planos de x=cte V1 > V2 > V3 El trabajo para desplazar una carga de un punto a otro de una superficie equipotencial es nulo Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 Tema 3 9 Aplicación ¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de un conductor en equilibrio electrostático? r B r ΔV = VB − VA = − ∫ E ⋅ dl = 0 B A Se puede hablar del potencial de un conductor en equilibrio electrostático. Su superficie es una superficie equipotencial Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 A 10 Tema 3 5 23/02/2011 Índice Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencial Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo p eléctrico a partir p del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 11 Tema 3 Potencial de una carga puntual Sea una carga q calculamos dV en r: r r r q dV = − E ⋅ dl = −k 2 rˆ ⋅ dl r r r Donde: rˆ ⋅ dl = dl cos φ = dr q dV = −k 2 dr r Punto campo Punto de referencia Integrando: rP VP − Vref = − ∫ k rref q q q dr = k − k 2 r rP rref Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 12 Tema 3 6 23/02/2011 Potencial de una carga puntual La referencia de potencial es arbitraria Tomamos: rref = ∞ y V (∞) = 0 Punto campo Punto de referencia Entonces: 0 0 q q V ( r ) − V (∞ ) = k − k r ∞ q V (r ) = k r POTENCIAL DE COULOMB: Potencial de una carga puntual Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 13 Tema 3 Potencial de una carga puntual Superficies equipotenciales: esferas centradas en la carga q Vi = k ri r r2 r r3 V1 r r1 V2 V3 V1 > V2 > V3 Relación con la energía potencial Energía potencial electrostática de un sistema de dos cargas tomando U(∞)=0 : Trabajo para llevar q U (r ) = q0V (r ) = k Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 qq0 r desde ∞ hasta r en presencia de q 14 0 Tema 3 7 23/02/2011 Sistema de cargas puntuales El potencial de un sistema de cargas puntuales en un punto P es la suma de los potenciales de cada carga en ese punto VP = ∑ k i q3 qi ri r r3 q2 P r r2 r r1 q1 Esto es una consecuencia del principio de superposición para el campo eléctrico La suma es escalar, no vectorial: a veces resulta más fácil calcular V como paso previo para obtener el campo eléctrico ¿Cómo se determina el campo eléctrico a partir del potencial? Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 15 Tema 3 Determinación del campo eléctrico a partir del potencial r dl r r dV = − E ⋅ dl = − E cos θdl = − Et dl θ dV Et Et = − dl r r Si dlr ⊥rE ⇒ cos θ = 0 ⇒ dV = 0 Si dl E ⇒ cos θ = ±1 ⇒ dV es máximo r E El campo eléctrico indica la dirección de máxima variación de V El módulo del campo eléctrico en ese punto es la derivada direccional máxima E = Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 dV dl max 16 Tema 3 8 23/02/2011 Determinación del campo eléctrico a partir el potencial El gradiente de una función escalar es un vector cuya dirección es la de máxima variación de esa función y cuyo módulo es la derivada en esa dirección r ∂f r ∂f r ∂f r j+ k Cálculo del gradiente: ∇f = i + ∂x ∂y ∂z En consecuencia: r r E = −∇ ∇V Ejemplo: campo uniforme paralelo al eje x r r dV r V ( x) = Ax → E = − i = − Ai dx Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 17 Tema 3 Ejemplo: sistema de dos cargas puntuales • Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies fi i equipotenciales i i l • Suficientemente cerca de cada carga las superficies equipotenciales son esferas • Lejos de ambas cargas la superficie equipotenciales son también esféricas ¿Por qué? Líneas equipotenciales y líneas de campo eléctrico (discontinuas) para dos cargas eléctricas de 3 C y -1 C Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 • Existen puntos donde el potencial es nulo ¿Es nulo el campo eléctrico en esos puntos? 18 Tema 3 9 23/02/2011 Índice Introducción: energía potencial electrostática Dif Diferencia i de d potencial t i l Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 19 Tema 3 Potencial de distribuciones continuas de carga q Para una carga g puntual: p z V =k r Entonces, dV creado por dq en P: dq x dV = k Potencial en P: r dq ρd τ = k∫ τ r τ r V = k∫ τ dq = ρd τ r P r y Integro en el volumen τ Esta ecuación supone V(∞)=0 y por tanto no puede usarse para distribuciones de carga que se extiendan hasta el infinito. En estos casos suele poder calcularse V a partir del campo eléctrico, obtenido a su vez mediante Ley de Gauss Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 20 Tema 3 10 23/02/2011 Potencial de distribuciones continuas de carga Distribución superficial de carga: z dq = σdS σdS V = k∫ r s r r x P y Distribución lineal de carga: P rr dl λdl z V = k∫ l r dq = λdl x y Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 21 Tema 3 Cálculo del potencial Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje de un anillo con carga uniforme Q V =∫k l Q dq k = ∫ dq = k r l r x2 + a2 r = x2 + a2 r r dV r E = −∇V = − i dx Ex = − Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 Es el mismo dq dV Qx =k 2 3 dx ( x + a2 ) 2 22 Tema 3 11 23/02/2011 Cálculo del potencial Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje de un anillo con carga uniforme Q Q V =k r r E = Ex i Si x>>a (puntos alejados del anillo): En el centro del anillo (x=0): x2 + a2 Qx Ex = k 2 3 (x + a2 ) 2 V ≈k Q x Ex = 0 V (0) = k Potencial de una carga puntual Q a Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 Máximo en el eje x 23 Tema 3 Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica Q S r1 En principio se puede calcular V por integración directa R Sr 2 r>R r<R Alta simetría: es más fácil calcular primero el campo eléctrico mediante Ley de Gauss r r 2 E ∫ sr1 ⋅ dA = Er 4πr = 4πkQ r r 2 E ∫ ⋅ dA = Er 4πr = 4πkQint = 0 sr 2 Er = k Q r2 Er = 0 El campo eléctrico en el exterior de la esfera coincide con el campo creado por una carga puntual de valor Q situada en su centro Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 24 Tema 3 12 23/02/2011 Cálculo del potencial Q Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica R r r<R R Q r r>R 0 r r r dr r Q V (r ) − V (∞) = − ∫ E ⋅ dr = − kQ ∫ 2 = k ∞ ∞ r r Q V (r ) = k r ∞ r r R dr r 0 r V (r ) = − ∫ E ⋅ dr = − kQ ∫ 2 − ∫ Edr ∞ ∞ r R Q V ( r ) = k ∞ R Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 25/31 25 Tema 3 Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica El potencial y el campo fuera de la esfera son iguales que los que crearía una carga puntual Q en su centro El potencial es continuo al atravesar la corteza esférica En el interior de la esfera el campo eléctrico es nulo y el potencial es constante Si E=0 en una región, no implica V=0 sino V constante Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 26 Tema 3 13 23/02/2011 Índice Introducción: energía potencial electrostática Dif Diferencia i de d potencial t i l Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 27 Tema 3 Energía potencial electrostática Para traer una carga q2 desde el infinito a las proximidades de otra q1 necesitamos realizar un trabajo: qq q2 q1 d Wext = U = q2V1 (d ) = k 1 2 + + d Donde hemos tomado U (∞) = q2V1 (∞) = 0 En general, para un sistema de n cargas puntuales: U= 1 n ∑ qiVi 2 i=1 ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES La ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA de un sistema de cargas puntuales es el trabajo necesario para transportar las cargas desde una distancia infinita hasta sus posiciones finales Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 28 Tema 3 14 23/02/2011 Energía potencial de conductores en equilibrio q Para un conductor esférico con carga q: V = k R + T b j para añadir Trabajo ñ di una carga dq d : + + R q + + dU = Vdq = k dq + + R + La energía potencial electrostática del conductor en equilibrio electrostático se obtiene integrando: Válida aunque el k Q kQ 2 1 U = ∫ qdq = = QV conductor no sea esférico R 0 2R 2 Si se tiene un sistema de n conductores: U= 1 n ∑ QV i i 2 i=1 ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN SISTEMA DE CONDUCTORES Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 29 Tema 3 Energía potencial de conductores (visión alternativa) El conductor puede considerarse un sistema de cargas puntuales infinitesimales dq situadas todas al mismo potencial V : U= 1 n ∑ qiVi 2 i =1 U= 1 1 dQ V = QV ∫ 2 2 La “suma” de todas las cargas infinitesimales es una integral No es necesario asumir que el conductor es esférico Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 30 Tema 3 15 23/02/2011 Resumen Las fuerzas electrostáticas son conservativas y, por tanto, puede definirse una función energía potencial como el menos trabajo realizado por la fuerza conservativa L variación La i ió del d l potencial t i l electrostático l t táti es ell incremento i t de d energía í potencial electrostática por unidad de carga Se calcula como una integral de línea del campo eléctrico. Significado físico de ΔV: trabajo que hay que realizar para desplazar la unidad de carga positiva entre dos puntos El origen de potencial es arbitrario Representación gráfica: superficies equipotenciales r r Conocido V es posible calcular el campo: E = −∇V Cálculo del potencial: Distribuciones finitas de carga: integración (distribuciones continuas) o sumatorio (distribuciones discretas) Distribuciones con alta simetría: puede resultar más sencillo calcular previamente el campo eléctrico mediante Ley de Gauss Distribuciones infinitas: debe calcularse primero el campo eléctrico La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que hay que realizar para crear la distribución Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11 31 Tema 3 16
