La forma real.

La forma real.
Sea A una matriz real 4 × 4 con un autovalor doble c = a + bi, siendo b > 0. Como el polinomio
caracterı́stico p(λ) es real, el conjugado c = a − bi también es una raı́z doble de p(λ).
Utilizamos A para definir dos endomorfismos. Uno es f : R4 → R4 dado por f (x) = Ax y el otro es
g : C4 → C4 dado por g(z) = Az. Vamos a explicar aquı́ cómo hallar una base de R4 en la cual la matriz
de f quede en una forma especialmente conveniente, que llamamos forma real de f .
Hay bases de C4 que son de Jordan para g (no las hay para f ). Sean z1 , z2 los vectores de una tal base
correspondientes al autovalor doble c. Hay dos posibilidades:
1. z1 y z2 son ambos autovectores de g, con autovalor asociado c.
2. Forman una cadena de Jordan de longitud 2 y autovalor asociado c :
z2
↓ g−c
z1
↓ g−c
0
Que c no sea real equivale a c 6= c. Que A sea real equivale a A = A.
En el caso 1 se tiene:
Azj = Azj = c zj = c zj , para j = 1, 2 ,
luego z1 , z2 son autovectores de g asociados al autovalor conjugado c. Al ser {z1 , z2 } y {z1 , z2 } listas de
autovectores asociadas a autovalores diferentes, y cada una de ellas linealmente independiente, sabemos
que la lista conjunta z1 , z2 , z1 , z2 es linealmente independiente (y, para esta dimensión, una base del
espacio total). Esto significa que si las cajas de Jordan de g para el autovalor c son 1 × 1 entonces
también las asociadas al autovalor conjugado c son 1 × 1.
En el caso 2, un cálculo muy parecido muestra que {z1 , z2 } es una cadena de Jordan de longitud 2 para
g asociada al autovalor c. Al ser {z1 , z2 } y {z1 , z2 } cadenas de Jordan para g asociadas a autovalores
diferentes, sabemos que la lista conjunta z1 , z2 , z1 , z2 es linealmente
independiente
(y, para esta dimensión,
"
#
una base del espacio total). Es decir, si g tiene una caja de Jordan c 1c entonces el autovalor conjugado
"
c lleva forzosamente asociada la caja
c
1
c
#
en el endomorfismo g.
¡Atención! Insistimos
en que
esto se debe a que A es matriz real. Endomorfismos h : C4 → C4 con


forma canónica




c
1
c




c
ciertamente existen, pero
no tienen matriz real en ninguna base de C4 .
c
El que la lista conjunta z1 , z2 , z1 , z2 sea linealmente independiente equivale a que la siguiente lista de
vectores de R4
©
ª
B0 = Re(z1 ) , Im(z1 ) , Re(z2 ) , Im(z2 )
sea linealmente independiente.
Entonces B0 es una base de R4 , y también lo es la siguiente lista:
B =
©
Re(z1 ) , −Im(z1 ) , Re(z2 ) , −Im(z2 )
1
ª
,
formada por las partes reales e imaginarias de la cadena {z1 , z2 } asociada
al autovalor c = a − ib con

parte imaginaria negativa. En el caso 1, la matriz de f en la base B es

forma real de f . En el caso 2, la matriz de f en la base B es
a
 b



−b
a
en ese caso.
1
0
a
b
a
 b



0
1
−b
a
−b
a





a
b



−b 
a
y ésta es la
que es la forma real de f
Consideramos brevemente el caso de A real q × q. De nuevo le asociamos el endomorfismo f de Rq y el
endomorfismo g de Cq . Por cada autovalor imaginario c = a + ib que tenga A, también tiene el autovalor
conjugado c y con la misma multiplicidad algebraica. Por ser A real, si una cadena de Jordan (de
longitud k) para g está asociada al autovalor c entonces la lista de vectores conjugados es una cadena de
Jordan para el mismo g asociada a c. La lista de las partes reales e imaginarias de esta última cadena es
linealmente independiente (luego base de un subespacio vectorial W ⊂ Rq invariante por f ) y contribuye

a la forma real de f una caja
"
matriz C =
a
b
−b
a
C
















I2
C
I2
..
.
..
.
C












I2 


C
#
formada por una diagonal de copias de la
(2k)×(2k)
, una “sobre-diagonal” de copias de la identidad 2 × 2 y todo lo demás ceros.
La forma real completa de f está formada por estas cajas (2k) × (2k), procedentes de las cadenas
de Jordan de g con autovalor imaginario, más cajas de Jordan reales procedentes de cadenas de Jordan
formadas por vectores reales y asociadas a autovalores reales.


Por ejemplo, si A es real 3×3 entonces hay un autovalor real a0 y la forma real de f es J0 =
a0
a
b
,

−b 
a
que es la matriz de f en una base {v0 , Re(z), −Im(z)} formada por un autovector real v0 , asociado al
autovalor a0 , y las partes real e imaginaria de un autovector complejo z asociado a a − ib.
"
Por analogı́a con
c
1
c
#n
"
=
cn
"
ncn−1
cn
C
I2
C
#
, las potencias sucesivas de la caja real 4 × 4 son:
#n
"
=
Cn
4×4
y poniendo a + ib = r cos θ + i r sen θ se tiene C m = rm
n C n−1
Cn
"
cos(mθ)
sen (mθ)
#
,
4×4
− sen (mθ)
cos(mθ)
#
para todo m.
Análogamente sacamos una fórmula para las potencias sucesivas de una caja real 6 × 6, etc. Luego
tenemos una fórmula para las potencias sucesivas de cualquier forma real J0 .
Si P es una matriz invertible q × q, la igualdad AP = P J0 expresa matricialmente el hecho de que el
endomorfismo x 7→ Ax tenga matriz J0 en la base de Rq formada por las columnas de P . Entonces
deducimos que A = P J0 P −1 y que An = P J0n P −1 para todo n.
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