P: Ciclo 3 etapas

FÍSICA
PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA
Gas ideal
monoatómico
Gas ideal
diatómico
5
nRT
2
5
cV = R
2
7
cP = R
2
3
U = nRT
2
3
cV = R
2
5
cP = R
2
γ=
Relación
de Mayer
cP
cV
cP − cV = R
pV = nRT
Ecuación del gas ideal
piViγ = p f V fγ
Proceso adiabático i → f
U=
Vf
Wisot =
∫
Vf
pdV =
Vi
Wadiab =
T
e
r
m
o
d
i
n
á
m
i
c
a
∫
Vf
nRT
= nRT ln
Vi
V
Vi
piVi − p f V f
γ −1
QV = n cV ∆T
PRIMER PRINCIPIO
QP = n cP ∆T
∆U = Q − W
1
PROBLEMA
Un mol de gas diatómico está inicialmente a una temperatura de 300 K, ocupando un volumen de
3 litros. Partiendo de este estado se expansiona isotérmicamente hasta doblar su volumen. A
continuación sufre un enfriamiento a presión constante alcanzando cierto estado, a partir del cual
un proceso adiabático lo conduce al estado inicial. Todos los procesos descritos se suponen
reversibles. Se pide:
a) Presión, temperatura y volumen del gas en los dos estados intermedios citados.
b) El calor intercambiado y el trabajo realizado en cada uno de los tres procesos
del ciclo térmico, señalando los correspondientes signos e indicando en cada
caso su significado físico.
c) El rendimiento del ciclo.
R = 8,314 J ⋅ K -1 ⋅ mol-1 = 0,082 atm ⋅ l ⋅ K -1 ⋅ mol-1
d) La variación de energía interna del gas al volver
1 J = 0,24 cal
al estado de partida tras recorrer el ciclo.
Esquema del proceso en diagrama
p-V (diagrama de Clapeyron)
Punto 1: estado inicial, conocemos T1, V1 (datos
enunciado) y podemos por tanto determinar P1
usando la ecuación del gas ideal.
Proceso 1→2: isotermo, conocemos T2 = T1,
V2 (dato) y podemos también determinar P2
usando la ecuación del gas ideal.
Proceso 2→3: isobaro, conocemos P2 = P3,
pero no V3 ni T3, así que necesitamos una
condición más puesto que tenemos dos
incógnitas.
p3V3 = nRT3
Ecuación del gas ideal
P
P1
1
pV = nRT
Proceso 3→1: adiabático, conocemos el
estado del punto 1, que se puede relacionar
con el del punto 3 por la ecuación adiabática.
p1V1γ = p3V3γ
2
P2 = P3
3
Nótese que es preciso
conocer el coeficiente
adiabático γ.
V
V1
V3
V2
2
T
e
r
m
o
d
i
n
á
m
i
c
a
a) Presión, temperatura y volumen del gas en los dos estados intermedios citados.
Haremos un cuadro con P, V, T de los tres puntos notables del ciclo
Coeficiente adiabático
(gas diatómico)
7
R
2
5
cV = R
2
cP =
γ=
Para obtener las cantidades desconocidas, a partir de los datos del
enunciado vamos aplicando sucesivamente las siguientes ecuaciones
cP 7
= = 1.40
cV 5
p1 =
nRT1
V1
T2 = T1
p2 =
1→2 isotermo
nRT2
V2
P3 = P2
2→3 isobaro
1/ γ
3→1 adiabático
⎛p ⎞
V3 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ p3 ⎠
p1V1γ = p3V3γ
T3 =
p3V3 = nRT3
P
P1
1
1
2
3
P (Pa)
8,31E+05
4,16E+05
4,16E+05
T (K)
300,0
300,0
246,1
1
2
3
p3V3
nR
P (Pa)
8,31E+05
4,16E+05
4,16E+05
V (m3)
3,00E-03
6,00E-03
4,92E-03
T (K)
300,0
300,0
246,1
(Pueden cambiarse los datos numéricos de entrada en las casillas en azul)
2
P2 = P3
V (l)
3,00
6,00
4,92
V1
3
V
V1
V3
V2
3
T
e
r
m
o
d
i
n
á
m
i
c
a
REPRESENTACIÓN GRÁFICA (ESCALA REAL)
9,0E+05
1
T
e
r
m
o
d
i
n
á
m
i
c
a
8,0E+05
Isotermo
P (Pa)
7,0E+05
6,0E+05
Ciclo de potencia
5,0E+05
Adiabático
2
3
4,0E+05
Isobaro
3,0E+05
2
3
4
5
6
7
V (litros)
4
b) El calor intercambiado y el trabajo realizado en cada uno de los tres procesos del ciclo
térmico, señalando los correspondientes signos e indicando en cada caso su significado físico.
9,0E+05
Proceso isotermo 1→2
1
P (Pa)
8,31E+05
4,16E+05
4,16E+05
8,0E+05
1
2
P (Pa)
7,0E+05
3
V (m3)
3,00E-03
6,00E-03
4,92E-03
La energía interna de un gas
ideal depende sólo de su
temperatura, por lo que en un
proceso isotermo se verifica
∆U = 0.
T (K)
300,0
300,0
246,1
6,0E+05
3
2
3,0E+05
2
3
4
5
6
V (litros)
Proceso adiabático 3→1
Wadiab
Qadiab = 0
p V − p1V1 nR(T3 − T1 )
=
= 3 3
γ −1
γ −1
∆U adiab = −Wadiab
Signo trabajo: negativo, T3 < T1,el gas se
comprime a medida que se calienta, los
alrededores realizan trabajo sobre el gas. En
el diagrama p-V el valor del trabajo es el
área bajo la curva adiabática (verde).
V2
V1
∆U isot = Qisot − Wisot = 0
Qisot = Wisot
Signo trabajo: positivo, V2 > V1, proceso expansión, el gas
realiza trabajo contra el exterior. En el diagrama p-V el
valor del trabajo es el área bajo la curva isoterma (azul).
5,0E+05
4,0E+05
Wisot = nRT ln
7
Signo calor: positivo, Qisot = Wisot, el gas recibe energía a
medida que se expande (por eso T se mantiene constante).
Proceso isobaro 2→3
Qisobaro = QP = n cP (T3 − T2 )
Wisobaro = p2 (V3 − V2 )
∆U isobaro = Qisobaro − Wisobaro
Signo trabajo: negativo, V3 < V2,el gas se comprime a
medida que se enfría, los alrededores realizan trabajo sobre
el gas. En el diagrama p-V el valor del trabajo es el área
bajo la recta isobara (naranja).
Signo calor: negativo, T3 < T2, el gas cede energía a
medida que se enfría
5
T
e
r
m
o
d
i
n
á
m
i
c
a
b) El calor intercambiado y el trabajo
realizado en cada uno de los tres
procesos del ciclo térmico, señalando
los correspondientes signos e
indicando en cada caso su significado
físico (solución numérica).
1
2
3
Isot 1→2
Isob 2→3
Adiab 3→1
Σ=
P (Pa)
8,31E+05
4,16E+05
4,16E+05
W (J)
1728,8
-448,1
-1120,3
160,4
V (l)
3,00
6,00
4,92
T (K)
300,0
300,0
246,1
Q (J)
∆U (J)
1728,8
0,0
-1568,4 -1120,3
0,0
1120,3
160,4
0,0
c) El rendimiento del ciclo.
η=
Wneto = 160.4 = 0.0928 (9.28%)
1728.8
Qin
Wneto = Wisot + Wisobaro + Wadiab
Qin = Qisot
d) La variación de energía interna
del gas al volver al estado de
partida tras recorrer el ciclo.
Se trata de un ciclo, y la energía interna es
una propiedad (función de estado). Por lo
tanto, su incremento al volver al mismo
punto de partida es cero.
∆U ciclo = 0
6
T
e
r
m
o
d
i
n
á
m
i
c
a