Trabajo No 2 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Trabajo No 2. Tópicos en Procesos Estocásticos
Norman Giraldo Gómez
Escuela de Estadı́stica - Universidad Nacional de Colombia
[email protected]
Abril, 2011
1.
Introducción
Este trabajo consiste de 2 puntos asignados de la lista siguiente. La asignación de
los puntos está al final del tema. En la Sección 3 hay varios resultados que se utilizan
en la solución de los problemas.
2.
Problemas
1. Suponga un proceso gaussiano (Xj , j = 1, 2, . . .) tal que E(Xj ) = µ exp(−1/j) y
Cov(Xi , Xj ) = R(i, j) = σ 2 exp(−|1/i−1/j|), donde µ y σ se asumen conocidos,
y X0 ∼ N(µ, σ 2).
a) Encuentre E(Xn Xm ).
2
b) Compruebe que se cumple Xn −
→ X cuando n → ∞, para cierta variable
aleatoria X, aplicando la Proposición 3.2 en las Notas.
c) Justifique por qué se cumple X ∼ N(µ, σ 2 ).
d ) Se define el proceso (Yn , n = 0, 1, . . .) como la solución de la ecuación
recursiva siguiente:
Yn = ϕYn−1 + Xn , n = 1, 2, . . .
1
donde ϕ ∈ (−1, 1), y Y0 ∼ N(µ, σ 2 ), es independiente de Xn , n = 1, 2, . . ..
Encuentre una expresión para Yn . Sugerencia: use la fórmula de la solución
de ecuaciones de la forma xn = axn−1 + bn .
e) Encuentre una expresión para V ar(Yn ). Utilice la varianza de variables de
P P
la forma: α0 X, α ∈ Rn , dada por V ar(α0 X) = i j αi αj Ri,j
2
f ) Compruebe que Yn → Y , para cierta variable Y , utilizando la Proposición
3.2, de las Notas.
g) Encuentre Y a partir de la ecuación recursiva Yn = ϕYn−1 +Xn . Sugerencia:
2
utilice el resultado: aXn + bYn → aX + bY .
2. Suponga el proceso estocástico (Xn , n = 0, 1, . . .), definido por las siguientes
condiciones:
√
i) X0 ∼ Exp(1/ 2)
√
ii) Xn |Xn−1 ∼ Exp(Xn−1 / 2), n = 1, 2, . . .
a) Encuentre E(Xn |Xn−1 ). Y luego E(Xn ) en función de E(Xn−1 ). Compruebe
que:
E(Xn ) = 2−(n+1)/2
(1)
b) Encuentre V ar(Xn |Xn−1 ). Y luego V ar(Xn ) en función de V ar(Xn−1 ).
Compruebe que:
V ar(Xn ) = 1 − 2−(n+1)
(2)
c) Defina Yn = 2(n+1)/2 Xn . Compruebe que Yn es una martingala.
P
d ) Defina Sn = nj=1 Yj . Aplique la Proposición 3.1 para comprobar que Sn
converge a una variable S, a.s.
e) Simule una muestra de la variable S y reporte la densidad estimada de
log(S).
()
3. Suponga un proceso AR(2), Xn , definido por
()
()
Xn() = ϕ1 Xn−1 + ϕ2 ()Xn−2 + Zn , n ∈ Z,
(3)
para 0 < < 1, y p > 0, con ϕ1 = 2 cos(2π/p), ϕ2() = −1 + . Desarrolle los
siguientes puntos.
2
a) Para cada encuentre una condición para p tal que el polinomio autoregresivo de (3) tenga las raı́ces fuera del cı́rculo unitario.
()
b) Si R (0) es la varianza de Xn , entonces se cumple que lı́m→+0 R (0) =
+∞, donde
(1 − ϕ2 ())σ 2
R (0) =
.
(4)
(1 + ϕ2())((1 − ϕ2 ())2 − ϕ21 )
c) Si = 0 y ρk es la solución de la ecuación recursiva ρk = ϕ1 ρk−1 +ϕ2 (0)ρk−2 ,
con ρ0 = 1, ρ1 = 2 cos 2π/2 entonces ρk = cos(2πk/p), para todo k ≥
0. Por tanto, si > 0 es pequeño, podrı́a suponerse que la función de
()
autocorrelación de Xn se aproxima a cos(2πk/p).
()
d ) Use = 0.0003, p = 12. Simule n = 12∗50 valores del proceso Xn . Calcule
el periodograma con la función spectrum. Reporte la gráfica de la serie, su
fac estimada y la densidad espectral estimada. Qué se observa de especial
en este proceso?. Use la instrucción siguiente.
spectrum(x, spans=c(5,7), log="dB", ci=0.8)
e) Con base en la función armaimp de la librerı́a timsac, calcule la representación causal ó función de impulso, es decir, los valores ψj tales que
P
Xn = ∞
j=1 ψj Xn−j , la autocovarianza, y el log de la densidad espectral.
Comente los resultados. En particular si se cumple que la función de auto()
correlación de Xn se aproxima a cos(2πk/p). Use los comandos siguientes.
e = 0.0003
p=12
f1 = 2*cos(2*pi/p)
f2 = -1 + e
# con timsac
armaimp( arcoef=c(f1,f2), macoef=NULL, v=1.0, n=1000, lag=20 )
4. Defina un proceso (Xn , n ∈ Z) de la manera siguiente. Suponga que (Un ) es
una sucesión de variables iid Uniformes(0,1). Suponga dos números, a > 0,
0 < b < 1. Defina
Xn+1 = −(a + bXn ) ln(Un ),
(5)
Desarrollar las propiedades de (Xn ) siguientes.
a) Compruebe que Xn+1 |Xn ∼ Exp(a + bXn ), donde X ∼ Exp(θ) significa
E(X) = θ.
3
b) Itere m veces la ecuación (5) y compruebe que se obtiene la ecuación
Xn = −a
m
X
j=0
(−b)
j
j
Y
ln(Un−s ) + b
m+1
Xn−m
s=0
m
Y
ln(Un−s ).
(6)
s=0
c) Justifique por qué a partir de (6) se debe tener en L2
j
∞
X
Y
j
Xn = −a
(−b)
ln(Un−s ).
j=0
(7)
s=0
d ) Justifique por qué a partir de (7) se puede concluı́r que (Xn ) es estacionario
estricto y ergódico.
e) A partir de (7) compruebe que E(Xn ) = a/(1 − b).
√
2a2 (1+b)
f ) Compruebe que si 0 < b < 2/2 entonces E(Xn2 ) = 1−2b
2 (1−b) .
√
g) Compruebe que si 0 < b < 2/2 y m ≥ 0 entonces Cov(Xn , Xn+m ) =
bm V ar(Xn ). Como el proceso debe ser estacionario en covarianza entonces
R(m) = Cov(Xn , Xn+m ) = b|m| V ar(Xn ).
5. Suponga que (Yn , n ∈ Z) es un proceso AR(p), con media µ > 0, tal que si
φ(z) es el polinomio autorregresivo se cumple φ(z) 6= 0 para todo z tal que
|z| ≤ 1. Además, φ(L)(Yn ) = Zn , con Zn ∼ RB(0, σ 2), ruido blanco. Suponga
adicionalmente que se escogen los coeficientes autorregresivos φj y la varianza
σ 2 de tal forma que P(Yn ∈ (−1, 1)) = 1, ∀n ∈ Z, y además se cumple la
aproximación log(1 + Yn ) = Yn con error despreciable. Considere las variables
Qk
asociadas Xk = j=1 (1 + Yj )−1 .
La interpretación de estas variables es: Yk es la tasa de rendimiento en el dı́a k
de un fondo de fiducia y Xk es el valor presente de $1 para un perı́odo de k dı́as.
P
Por tanto, la variable Sn = nk=1 Xk es el valor presente de pagos diarios de
P
$1 durante un perı́odo de n dı́as. Es necesario definir la variable S = nk=1 Xk ,
denominada “perpetuidad”. Es el valor presente de una perpetuidad, es decir,
un tipo de bono sin vencimiento, similar en ese sentido a una acción. Comprobar
ó desarrollar lo siguiente.
a) Comprobar que las variables Xk tienden a cero en probabilidad. Es decir,
se cumple que para todo > 0, P(|Xk | > ) tiende a cero cuando k → ∞.
Para esto, desarrolle los puntos siguientes.
4
1) Explique por qué se cumplen las siguientes igualdades:
P(|Xk | > ) = P(Xk > ) = P(e−
P(e−
Pk
j=1
Yj
> ) = P(e−
Pk
j=1
Yj
Pk
j=1
ln(1+Yj )
> ) =
(8)
> ) = P(e−kȲk > ) =
P(e−kȲk > ) = P(Ȳk < − ln()/k).
(9)
(10)
as
2) Compruebe que Sn −
→ S para una cierta variable S. Para esto desarP
rolle los siguientes puntos. Como Sn = nj=1 Xj entonces aplicando la
Proposición 3.1 de la Notas, una condición suficiente para que exista el
P∞
as
lı́mite Sn −
→ S es que se cumpla j=1 E(|Xj |) < ∞. Para comprobar
esta última condición desarrolle los siguientes puntos.
(a) Explique por qué se cumple
n
Y
Pn
E(|Xn |) = E( (1 + Yj )−1 ) = E(e− j=1 log(1+Yj ) )
j=1
P
− n
j=1 Yj
= E(e
)
(b) Suponga que la representación causal de Yn está dada por Yn =
P∞
P∞
j=0 ψj Zn−j . Denote M =
j=0 ψj . Entonces por el Teorema de
Lı́mite Central para procesos estacionarios se cumple que
√
d
n(Ȳn − µ) −
→ N(0, σ 2 M 2 ),
(11)
P
donde Ȳn = (1/n) nj=1 Yj . Justifique por qué se debe tener que,
para n grande
−
n
X
j=1
a
Yj ∼ N(−nµ, nσ 2 M 2 ).
(c) Explique por qué se cumple que si n es grande entonces E(e−
2
2
se puede aproximar por e−k(µ−σ M /2).
(12)
Pn
j=1
Yj
)
(d) Explique por qué se cumple que si n es grande entonces E(|Xn |)
2
2
se puede aproximar por e−k(µ−σ M /2) y por tanto se cumple que
∞
X
e
−k(µ−σ2 M 2 /2)
j=1
5
<∞⇒
∞
X
j=1
E(|Xj |) < ∞
(13)
(e) Finalmente explique por qué si se cumple que µ > σ 2M 2 /2 enP∞
tonces se cumple la condición j=1 E(|Xj |) < ∞, y por la Proposición 3.1, Sn converge a.s. a una variable S.
6. Considere un proceso (Yj , j = 0, 1, . . .), la solución positiva de la ecuación recursiva no-lineal siguiente
Uj−1 Uj−1
+γ −µ ,
(14)
ln Yj = ω + β ln Yj−1 + α
Yj−1
Yj−1 donde Uj ∼ iid N(0, 1), Y ∼ N(6, 1), independiente de las (Uj ).
a) Reemplazando Xj = ln Yj la ecuación (14) se transforma en la (15)
Xj = ω + βXj−1 + e−Xj−1 (αUj−1 + γ(|Uj−1 | − µ)),
(15)
b) Simule Yj con µ = 0.6893, η = (ω, β, α, γ) = (1.2000, 0.8000, −0.2400, 0.1800).
Compruebe que, empı́ricamente, la recursión en (15) define un proceso
estacionario en covarianza.
3.
Notas
Esta sección contiene algunas fórmulas y resultados para resolver algunos de los
problemas.
Proposición 3.1. (Condición suficiente para convergencia as de una suma de va,
ver [4], Lema 2.2.1, pag. 31). Suponga que (Xn , n ∈ N) es una sucesión de variables
P
P
aleatorias. Y defina Sn = nj=1 Xj . Si se cumple que ∞
j=1 E(|Xj |) < ∞ entonces
as
existe una variable aleatoria S con P(|S| < ∞) = 1 tal que Sn −
→ S cuando n → ∞.
Proposición 3.2. (Condición necesaria y suficiente para convergencia en L2 ) Un
2
proceso Xn converge en media cuadrática a una variable X, Xn → X, si y solo si
E(Xn Xm ) converge a una constante c cuando n, m → ∞.
Proposición 3.3. (Ley Fuerte de Grandes Números) Si Xn , n = 1, 2, . . . es una
Pn
sucesión de variables aletarias i.i.d. con varianza finita entonces (1/n) j=1 Xj →
E(X1 ), n → ∞ con probabilidad 1.
6
Proposición 3.4. (ver [5], Proposición 7.2.3, p. 563). Si Xn es una marcha aleatoria
y E(X1 ) > 0 entonces Xn → ∞, n → ∞ con probabilidad 1. Si E(X1 ) < 0 entonces
Xn → −∞, n → ∞ con probabilidad 1.
Proposición 3.5. (ver [1], Theorem 1, p. 212). Se define el proceso (Yn , n ∈ Z) como
la solución de la ecuación recursiva
Yn+1 = An Yn + Bn ,
(16)
donde ((An , Bn ), n ∈ Z) una sucesión bidimensional estacionaria y ergódica con valores en R2 . Suponga que se cumplen las condiciones: E(log |A0|) < 0 y E(log(|B0|)+ ) <
∞. Entonces Yn existe, es único y se puede representar de la forma
!
∞
n−1
X
Y
Yn =
Ak Bn−j−1 .
(17)
j=0
k=n−j
donde la serie en la parte de la derecha de (17) converge absolutamente a.s.
4.
Presentación y Valor del trabajo
La presentación se sugiere que sea con formato de artı́culo, es decir, tı́tulo, autores
(nombre, carnet, carrera, resumen, en la primera página y luego: desarrollo, conclusiones, bibliografı́a, con páginas numeradas. Elaborado en lo posible en world o latex.
Se solicita no empastar (las pastas son un desperdicio de papel). El valor de este
trabajo es 33 %. La fecha de entrega es 15 dı́as después de la colocación del trabajo.
Asignación de Puntos
Grupos Estudiantes
1
David Arango Sampaio
2
Fabio Andrés Gómez de los Rios
3
Diego Fernando Lemus Polania
4
Ledwing Gabriel Osorio Cárdenas
5
Johana Osorno Gómez
6
Edison Hernan Ruiz Osorno
7
Diego Alejandro Salazar Blandón
7
P.1
2
1
1
2
3
2
3
P.2
4
5
3
4
5
4
5
Referencias
[1] Brandt, A. (1986) The Stochastic Equation Yn+1 = An Yn + Bn with stationary
coefficients. Adv. Appl. Prob. 18, 211–220.
[2] Grimmett, G.R. and Stirzaker, D. R. (1992) Probability and Random Processes.
Oxford Science Publications.
[3] Serfling, R. J. (1990) Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John
Wiley and Sons.
[4] Fuller, W. (1996) Introduction to Statistical Theory of Time Series. John Wiley
and Sons.
[5] Resnick, S.I. (1992). Adventures in Stochastic Processes Birkhauser, Boston.
8