Termodinámica y Mecánica de Fluidos Grados en Ingeniería Marina y Marítima MF. T4.- Flujo de Fluidos en Tuberías Las trasparencias son el material de apoyo del profesor para impartir la clase. No son apuntes de la asignatura. Al alumno le pueden servir como guía para recopilar información (libros, …) y elaborar sus propios apuntes Departamento: Area: Ingeniería Eléctrica y Energética Máquinas y Motores Térmicos CARLOS J RENEDO [email protected] Despachos: ETSN 236 / ETSIIT S-3 28 http://personales.unican.es/renedoc/index.htm Tlfn: ETSN 942 20 13 44 / ETSIIT 942 20 13 82 1 Termodinámica y Mecánica de Fluidos Grados en Ingeniería Marina y Marítima MF. T4.- Flujo de Fluidos en Tuberías Objetivos: En este tema, el más extenso del bloque, se analiza el flujo de un fluido por un conducto, por lo que se estudian las pérdidas de carga continuas y accidentales, aprendiendo a utilizar el ábaco de Moody. Se explica en este tema la forma de resolver los problemas derivados del cálculo de sistemas de tuberías El aprendizaje se completa con una práctica de laboratorio en la que se determinará la pérdida de carga en tuberías y accesorios 2 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 1.- Flujo laminar y turbulento 2.- Pérdidas de energía por fricción 3.- Perfiles de velocidad 4.- Tensiones y fuerzas en la tubería 5.- Sistemas de tuberías en serie 6.- Sistemas de dos tuberías paralelas 7.- Sistemas de ramales de tuberías 8.- Sistemas ramificados y redes de tuberías (Hardy Cross) 9.- Equilibrado hidráulico 10.- Diseño de conductos 1.- Flujo laminar y turbulento (I) Flujo laminar: las partículas se mueven en direcciones paralelas formando capas o láminas, el fluido es uniforme y regular. La viscosidad domina el movimiento del fluido, donde dv τ es el cortante, (=F / A) τ =μ⋅ dy μ es la viscosidad dinámica (Pa s) 3 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 1.- Flujo laminar y turbulento (II) Flujo turbulento las partículas se mueven de forma desordenada en todas las direcciones; es imposible conocer la trayectoria individual de cada partícula La caracterización del movimiento debe considerar los efectos de la viscosidad (µ) y de la turbulencia (η); se hace con: τ = (μ + η) ⋅ dv dy η depende de ρ y del movimiento 0 ≤ η ≤ 10.000 μ = Se determina con resultados experimentales Prandtl Von Karman ⎛ dv ⎞ τ = ρ ⋅ l ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠ 2 2 ⎛ y⎞ (dv / dy )4 τ = τ0 ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ = ρ ⋅ 0,4 2 ⋅ 2 (d v / dy 2 )2 ⎝ r0 ⎠ 4 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 1.- Flujo laminar y turbulento (III) ¿Flujo laminar o turbulento? Reynolds, Re Re = v es la velocidad (m/s) ν es la viscosidad cinemática (m2/s) DH = Cuadrado lado L: Sección circular ri y re En conductos: R π ⋅ R2 = 2⋅ π ⋅R 2 LC = 4 ⋅ L2 L = 4 ⋅L 4 a⋅b DH = 2 ⋅ (a + b ) DH = ( 2 2 ) ( R = 2 ⋅R = D 2 LC = 4 ⋅ DH = Rectángulo lados a y b ⎡m / s m ⎤ ⎢ m2 / s ⎥ ⎣ ⎦ Para el interior de una tubería circular es el diámetro Para una sección que no es circular LC = 4.DH [DH = Area del flujo / Perímetro mojado] Lc es la longitud característica Circular radio R V ⋅ Lc ν 2 2 ) π ⋅ re − ri r − ri = e 2 ⋅ π ⋅ (ri + re ) 2 ⋅ (ri + re ) Si Re < 2.000 flujo laminar Si Re > 4.000 flujo turbulento L =L 4 LC = 2⋅a⋅b (a + b ) LC = 2 ⋅ re − ri (ri + re ) ( 2 2 ) Re Critico = 2.000 ⇒ VCrítica 5 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS Determinar la velocidad crítica en una tubería de 20 mm de diámetro para: a) gasolina a 20ºC, ν = 6,48 10-7 m2/s b) agua a 20ºC, ν = 1,02 10-6 m2/s 6 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (I) La ecuación de Darcy marca las pérdidas por fricción, HL, tanto en régimen laminar como turbulento f (λ) el factor de fricción HL = f ⋅ Flujo laminar: L v2 ⋅ (m) D 2⋅g f= L v D g es la longitud de una tubería la velocidad el diámetro de la tubería la gravedad 64 Re HL = Conducto no circular: LC 32 ⋅ μ ⋅ L ⋅ v (m ) γ ⋅ D2 ⎡ ε 2,51 ⎤ = −2 ⋅ log ⎢ + ⎥ f ⎣ 3,7 ⋅ D Re⋅ f ⎦ 1 Flujo turbulento: ε la rugosidad de la tubería Diagrama de Moody 7 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (I) La ecuación de Darcy marca las pérdidas por fricción, HL, tanto en régimen En tuberias laminar como turbulento f (λ) el factor circulares de fricción: HL = f ⋅ Flujo laminar: Flujo turbulento: L v2 ⋅ (m) D 2⋅g f= 2 L es la longitud de una⎞tubería ⎛ Q ⎜ ⎟ v la velocidad 2 no L ⎜ π ⋅ (D / 2) ⎟⎠ L 8 ⋅Conducto Q2 D Hel=diámetro f ⋅ ⋅ ⎝ de la tubería = f ⋅ 5 ⋅ 2circular: LC g la gravedad D 2⋅g D π ⋅g 64 Re HL = 32 ⋅ μ ⋅ L ⋅ v (m ) γ ⋅ D2 ⎡ ε 2,51 ⎤ = −2 ⋅ log ⎢ + ⎥ f ⎣ 3,7 ⋅ D Re⋅ f ⎦ 1 ε la rugosidad de la tubería Diagrama de Moody 8 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (II) f (λ) ε/D Diagrama de Moody f= = unidades 64 Re 0,025 Re < 2.000 LAMINAR 103 104 40.000 105 Re 106 9 107 Turbulencia desarrollada ε/D = 0,003 ε/D = 0,0006 10 Turbulencia desarrollada ε/D = 0,003 ε/D = 0,0006 11 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (III) 12 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (IV) HL = K ⋅ V2 (m) 2⋅g K = ftubo ⋅ Le D 13 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS Nº de veces que el accesorio equivale en longitud a su diámetro 2.- Pérdidas de energía por fricción (V) Accesorio Longitud equivalente Leq (en Tablas y ábacos) L eq _ tub = L tub + L eq _ accesorios HL = f ⋅ L eq _ Tub D ⋅ 2 v (m) 2⋅g Leq / D Codo 45º 15 Codo 90º (radio standar) 32 Codo 90º (radio mediano) 26 Codo 90º (radio grande) 20 Angulo 90º (escuadra) 60 Codo 180º 75 Codo 180º (radio mediano) 50 TE (usada como codo, entrada por parte recta) 60 TE (usada como codo, entrada por derivación) 90 Válvula de compuerta (abierta) 7 Válvula de asiento (abierta) 300 Válvula angular (abierta) 170 Válvula de esfera (abierta) 14 3 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (VI) Longitud equivalente Leq (en Tablas y ábacos) L eq _ tub = L tub + L eq _ accesorios HL = f ⋅ L eq _ Tub D ⋅ v2 (m) 2⋅g Tablas del coeficiente de pérdida en: Redes Industriales de Tubería, A. Luszczewski, Ed Reverté 15 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (VII) Longitud equivalente Leq (en Tablas y ábacos) L eq _ tub = L tub + L eq _ accesorios HL = f ⋅ L eq _ Tub D ⋅ v2 (m) 2⋅g Ej: Codo 180º, Øi = 30 mm Tablas del coeficiente de pérdida en: Redes Industriales de Tubería, A. Luszczewski, Ed Reverté 16 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (VIII) Longitud equivalente Leq (en Tablas y ábacos) L eq _ tub = L tub + L eq _ accesorios HL = f ⋅ L eq _ Tub ⋅ D v2 (m) 2⋅g 5m 11,4 m Øi = 30 mm Tubería de Øi = 30 mm, 10 m y un codo de 180º tiene las mísmas pérdidas de carga (HL) que otra tubería de Øi = 30 mm y 11,4 m 17 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 2.- Pérdidas de energía por fricción (IX) L eq _ tub = L tub + L eq _ accesorios HL = f ⋅ L eq _ Tub D ⋅ v2 (m ) 2⋅g cte = f ⋅ HL = cte ⋅ v 2 (m) L eq _ Tub D ⋅ 1 L eq _ Tub cte 2 = f ⋅ 2⋅g D cte = cte 2 ⋅ 1 2⋅g 2 • Ec. Tubería en circuito cerrado o tubería sin cota de elevación: HL = cte ⋅ v (m) • Ec. Tubería de elevación: HL = Helevación + cte ⋅ v 2 (m) HL = cte 2 ⋅ v2 (m ) 2⋅g • Ec. Tubería de evacuación: HL = cte ⋅ v 2 − Hevacuación (m) 18 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS Un caudal de 44 l/s de aceite de viscosidad absoluta 0,101 N s/m2 y densidad relativa 0,850 está circulando por una tubería de fundición de 30 cm de diámetro, rugosidad de 0,05 mm y 3.000 m de longitud. ¿Cuál es la pérdida de carga? 19 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS Un caudal de 440 l/s de aceite de viscosidad absoluta 0,101 N s/m2 y densidad relativa 0,850 está circulando por una tubería de fundición de 30 cm de diámetro, rugosidad de 0,05 mm y 3.000 m de longitud. ¿Cuál es la pérdida de carga? 20 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 3.- Perfiles de velocidad (I) Laminar: parabólico ⎛ ⎡ r ⎤2 ⎞ U = 2 ⋅ v ⋅ ⎜1 − ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ r ⎝ ⎣ 0⎦ ⎠ U es la velocidad local r el radio local r0 el radio máximo v la velocidad promedio Turbulento: más homogéneo ⇒ mayor V en pared ⎡ ⎛ r ⎞⎤ U = v ⋅ ⎢1 + 1,43 ⋅ f + 2,15 ⋅ f ⋅ log⎜⎜1 − ⎟⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ r0 ⎠⎥⎦ Agua: Hazen-Williams : hL = p1 − p 2 γ v = 0,85 ⋅ Ch ⋅ DH 0,63 ⎛h ⎞ ⋅⎜ L ⎟ ⎝L ⎠ 0,54 DH = Diámetro hidráulico 21 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 3.- Perfiles de velocidad (II) 22 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 3.- Perfiles de velocidad (III) Velocidades medias más usuales Succión 0,5 a 1 m/s Expulsión 1 a 2 m/s Succión 0,5 a 2,5 m/s Expulsión 1,5 a 4,5 m/s Alimentación 30 a 80 m/s Succión 16 a 20 m/s Expulsión 25 a 30 m/s Turbocompresor Suc. y exp. 20 a 25 m/s Motores combust. Alimentación 10 a 20 m/s B. Embolos Agua B. Centrífugas Vapor Turbinas Comp. alternativo Aire Gases Conductos aire acondicionado 1,5 a 5 m/s Motor combust. Escape 10 a 40 m/s Tuberías 0,5 a 1,5 m/s Aceite lubricación 23 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 3.- Perfiles de velocidad (IV) Velocidad máxima recomendada (m/s) Vapor de agua Presión (Bar) Saturado Recalentado <2 30 35 2a5 35 45 5 a 10 40 50 10 a 25 50 60 25 a 100 60 75 24 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 4.- Tensiones y fuerzas en la tubería (I) La tensión cortante, τ, en una sección recta de tuberías es: p1 ⋅ A Frontal − p 2 ⋅ A Frontal − τ ⋅ A Lateral = 0 (p1 − p2 ) ⋅ (π ⋅ r 2 ) − τ ⋅ (2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L ) = 0 ⇒ τ= p1 − p 2 ⋅r 2 ⋅L • γ γ ⎡ p −p ⎤ ⇒ τ = ⋅ r ⋅ HL γ ⎢HL = 1 2 ⎥ 2 ⋅ L γ ⎦ ⎣ ∗ Si r = r0 ⇒ τ en la pared = τ 0 τ= ⎡ L v 2 ⎤ γ r0 ⋅ λ v 2 γ γ γ v2 L v2 ⇒ τ = ⋅ r0 ⋅ ⎢λ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = λ ⋅ ⋅ r0 ⋅ HL ⎥ HL = λ ⋅ ⋅ 2L 2⋅L D 2 ⋅ g ⎦ 2 2 ⋅ r0 2 ⋅ g g 8 ⎣ D 2⋅g τ0 = λ ⋅ ρ ⋅ V2 8 25 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 4.- Tensiones y fuerzas en la tubería (II) Fuerza de una corriente: F = m ⋅ d a = m ⋅ dv ⇒ [Impulso ] F ⋅ dt = m ⋅ dv dt 2 F = m [kg] ⋅ a [m / s ] = m [kg] ⋅ v [m / s] m [kg] = ⋅v t [ s] t [s] ⎡ m3 ⎤ ⎡ m ⎤ ⎛⎜ ⎡ kg ⎤ ⎢ s ⎥ = ⎜ ρ ⎢ m3 ⎥ ⋅ Q ⎢ s ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎣ ⎣ ⎦ ⎞ ⎟⋅v ⎟ ⎠ ⎡m ⎤ ⎢ s ⎥ = ρ⋅Q⋅ v ⎣ ⎦ Fuerza de un chorro de líquido sobre un objeto en reposo: (I) • Si tiene un giro de 90º ∑F X ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 X − v1X ) + RX = 0 =0 RX = − ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 X − v1X ) = ρ ⋅ Q ⋅ v1X = −ρ ⋅ Q ⋅ v1 ∑F Y =0 ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 Y − v1Y ) + RY = 0 RY = − ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 Y − v1Y ) = −ρ ⋅ Q ⋅ v 2 Y = −ρ ⋅ Q ⋅ v 2 R= 2 RX + RY 2 ⎧v1 = − v1X ⎨ ⎩v 2 = v 2 Y 26 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 4.- Tensiones y fuerzas en la tubería (III) Fuerza de un chorro de líquido sobre un objeto en reposo: (II) • Si tiene un giro de ∝º ∑F X =0 ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 X − v1X ) + R X = 0 RX = − ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 X − v1X ) = ρ ⋅ Q ⋅ v1X = −ρ ⋅ Q ⋅ v1 ⋅ senα ∑F Y =0 ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 Y − v1Y ) + RY = 0 RY = − ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 Y − v1Y ) = −ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 − v1 ⋅ cos α ) R= 2 RX + RY 2 ⎧v1 = − v1X − v1Y ⎪ ⎪v1X = − v1 ⋅ senα ⎨ ⎪v1Y = − v1 ⋅ cos α ⎪v 2 = v 2 Y ⎩ 27 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 4.- Tensiones y fuerzas en la tubería (III) Fuerza a soportar por un codo: (I) • Si tiene un giro de 90º ∑F ∑F X Y =0 =0 R X = p1 ⋅ A 1 + ρ ⋅ Q ⋅ v1X = p1 ⋅ A 1 + ρ ⋅ Q ⋅ v 1 R Y + ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 Y − v 1Y ) = p 2 ⋅ A 2 R Y = p2 ⋅ A 2 − ρ ⋅ Q ⋅ v 2Y = p2 ⋅ A 2 − ρ ⋅ Q ⋅ v 2 • Si tiene un giro de ∝ º ∑F X ∑F Y =0 R X = p1 ⋅ A1 ⋅ senα + ρ ⋅ Q ⋅ v1X = (p1 ⋅ A 1 + ρ ⋅ Q ⋅ v 1 ) ⋅ senα =0 R Y + ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 Y − v 1Y ) = p1 ⋅ A 1 ⋅ cos α + p 2 ⋅ A 2 R Y = p1 ⋅ A 1 ⋅ cos α + p 2 ⋅ A 2 − ρ ⋅ Q ⋅ ( v 2 Y − v 1Y ) = = p1 ⋅ A 1 ⋅ cos α + p 2 ⋅ A 2 + ρ ⋅ Q ⋅ ( v 1 ⋅ cos α − v 2 ) Fuerza a soportar por un cuerpo en movimiento: Considerar velocidades relativas, ej: álabe de turbina … 28 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 5.- Sistemas de tuberías en serie (I) Tuberías con igual caudal y diferente sección (Ec Bernoulli) 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ z1 + V1 + p1 ⎟ + Haña − Hext − Hper = ⎜ z 2 + V2 + p 2 ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⋅ g γ ⎟⎠ 2 ⋅ g γ ⎟⎠ ⎝ ⎝ Q1 = Q 2 A 1 ⋅ V1 = A 2 ⋅ V2 V ⋅ Lc Re = ν HL = f ⋅ L v2 (m) ⋅ D 2⋅g Tres tipos de problemas: 1. Calcular una bomba: conocidas las tuberías (D, ε) hay que determinar la energía requerida para el bombeo de un determinado Q • Se calculan Lequ_tubA y Lequ_tubB • Se calcula HL (= HLA + HLB) (v, Re, [ε/D], f, …)A B • La energía añadir es la disponible menos la perdida 29 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 5.- Sistemas de tuberías en serie (II) 2. Calcular el caudal: conocidas las tuberías (D, ε) y la energía disponible (HLD) determinar el caudal (iteración) (2a) • Se presupone un caudal Q1 (recomendado v entre 1 a 3 m/s) • Se determinan las velocidades vA y vB; y Reynolds ReA1 y ReB1 • Se calculan fA1 y fB2 (Moddy) L v2 • Se calcula HL1 (=HLA1 + HLB1) H =f⋅ ⋅ (m) (incluidos accesorios, Leq_tub) L • Si HLD = HL1 ⇒ Q = Q1 (◄═) • Si HLD > HL1 ⇒ Q > Q1 , (v > v1) • Si HLD < HL1 ⇒ Q < Q1 , (v < v1) D 2⋅g ε/D • Se presuponen nuevos valores Q2 … 30 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 5.- Sistemas de tuberías en serie (III) 2. Calcular el caudal: conocidas las tuberías (D, ε) y la energía disponible (HLD) determinar el caudal (iteración) (2b) • Se presuponen valores para los coef. fric. (fA1 y fB1= 0,02 - 0,025) • Se determinan ReA1 y ReB1 (Moody), y con ellos vA1 y vB1 • Se calcula HL1 (= HLA1 + HLB1) L v2 HL = f ⋅ (incluidos accesorios, Leq_tub) ⋅ (m) D 2⋅g • Si HLD = HL1 se determina Q con v1 (◄═) • Si HLD > HL1 ⇒ v > v1 ⇒ Re > Re1 ⇒ f =< f1 • Si HLD < HL1 ⇒ v < v1 ⇒ Re < Re1 ⇒ f >= f1 ε/D • Se suponen nuevos valores fA2 y fB2 o (v2 caso =) … Este método no sirve si en el ábaco de Moody se cae en la parte horizontal de las curvas 31 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 5.- Sistemas de tuberías en serie (IV) 3. Calcular la tubería: determinar el diámetro necesario en las tuberías para un Q y una pérdida de presión admisible máxima, HLD, (iteración) • Se presuponen valores de vA1 y vB1 (con v1 = 1 a 3 m/s) • Se calculan los diámetros DA1 y DB1 • Se determinan ReA1 ReB1 y con Moody fA1 y fB1 • Se calcula HL1 (= HLA1+HLB1) (incluidos accesorios. Leq_tub) HL = f ⋅ • Si HLD = HL1 ⇒ D = D1 (◄═) • Si HLD > HL1 ⇒ D < D1 ⇒ v > v1 • Si HLD < HL1 ⇒ D > D1 ⇒ v < v1 L v2 ⋅ (m) D 2⋅g ε/D • Se suponen nuevos valores de v2 … En función de HL1 y HL2 se puede aumentar una velocidad y disminuir la otra 32 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS Una bomba centrífuga aspira 300 l/s de agua desde un depósito abierto por una tubería de 10 m de longitud y 500 mm de diámetro. El eje de la bomba se encuentra 4 m por encima del nivel del agua en el depósito. La bomba impulsa por una tubería de 150 m de longitud y 250 mm de diámetro a otro depósito cuyo nivel superior está 16 m por encima del nivel de la bomba. La tubería entra a este segundo depósito 6 m por debajo de su nivel. La rugosidad de ambas tuberías es 0,5 mm. ν = 10 −6 m2 / s Calcular la potencia de bombeo requerida 6m 12m 16m Q 300 l/s Ø 250mm ε 0,5 mm 150m 4m Ø 500mm ε 0,5 mm 10m 12m 33 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS Calcular el caudal que envía una bomba centrífuga de 50 kWe y rendimiento 80% si bombea agua de un depósito abierto por una tubería de 10 m de longitud y 500 mm de diámetro. El eje de la bomba se encuentra 4 m por encima del nivel del agua en el depósito. La bomba impulsa por una tubería de 150 m de longitud y 250 mm de diámetro a otro depósito cuyo nivel superior está 16 m por encima del nivel de la bomba. La tubería entra a este segundo depósito 6 m por debajo de su nivel. La rugosidad de ν = 10 −6 m2 / s ambas tuberías es 0,5 mm. 6m 12m 16m 50 kWe η 80% Ø 250mm ε 0,5 mm 150m 4m 12m Ø 500mm ε 0,5 mm 10m 34 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 6.- Sistemas de tuberías en paralelo (I) A 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ z1 + V1 + p1 ⎟ + Haña − Hext − Hper = ⎜ z 2 + V2 + p 2 ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⋅ g γ ⎟⎠ 2 ⋅ g γ ⎟⎠ ⎝ ⎝ B PRINCIPIOS: – En un nudo la suma de caudales es nula Q1 = Q A + QB + Q C + ... = Q 2 – La pérdida de carga entre dos nudos es idéntica por todas las tuberías (codos, Tes, …) [tubería equivalente] HLA = HLB = ... = fA ⋅ HLA = HLB = HLC = ... 2 2 LA vA L v ⋅ = fB ⋅ B ⋅ B = ... (m) DA 2 ⋅ g DB 2 ⋅ g – El porcentaje de caudal por cada rama es QA QB independiente del caudal total = cte ; Q1 ∀ HLA Q1 = cte ; ... 35 ∀ HLB T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 6.- Sistemas de tuberías en paralelo (II) Sistemas con 2 ramas, existen dos tipos de problemas: A B 1.- Calcular la caída de presión y los caudales por rama conocidos el caudal total y las tuberías (D, ε) • Se presupone un caudal en cada rama, QA y QB … • Comprobar que la HLA = HLB, e iterar modificando los caudales 2.- Calcular los caudales conocidos la caída de presión y las tuberías (D, ε) • Como tuberías individuales 36 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS Un grupo contraincendios se alimenta de un depósito elevado 10 m. La distribución de la tubería es anillo de 20 cm de diámetro y rugosidad de 0,2 mm. Si se abre una boca que necesita para funcionar 1 mca en punto cuya longitud equivalente por el ramal 1 es de 100 m, y por el ramal 2 de 300 m; calcular el caudal por cada rama. (ν = 10-6 m2/s), despreciar la pérdida de carga en la bajante 10m 1 Ra 3 Ra ma 1 m a2 2 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 6.- Sistemas de tuberías en paralelo (III) Determinar la distribución del flujo. ν = 10-6 m2/s si el QTotal = 0,02 m3/s Tubería L (m) D (m) e (mm) 1 100 0,05 0,1 2 150 0,075 0,2 3 200 0,085 0,1 38 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 7.- Sistemas de ramales de tuberías (I) Sistemas con 3 ramas (I) ¿QA ? ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ¿ QB ? ¿ entra o sale de 2 ? ¿ QC ? 2 2 ⎡ ⎡ p1 V1 ⎤ p 2 V2 ⎤ + + ⎢ z1 + ⎥ − HL1−2 = ⎢z 2 + ⎥ γ 2 ⋅ g ⎦⎥ γ 2 ⋅ g ⎦⎥ ⎢⎣ ⎣⎢ 2 2 ⎡ ⎡ p 3 V3 ⎤ p1 V1 ⎤ + + ⎥ ⎢ z1 + ⎥ − HL1−3 = ⎢z 3 + γ 2 ⋅ g ⎦⎥ γ 2 ⋅ g ⎦⎥ ⎣⎢ ⎣⎢ [v1 = v 2 = v 3 = 0] [p1 = p2 = p3 = 0] 2 2 ⎡ ⎡ p 3 V3 ⎤ p 2 V2 ⎤ + + ⎥ ⎢z 2 + ⎥ − HL 2−3 = ⎢z 3 + γ 2 ⋅ g ⎦⎥ γ 2 ⋅ g ⎦⎥ ⎢⎣ ⎣⎢ ⎧ [z1 ] − HL 1−2 = [z 2 ] ⎪ ⎨ [z1 ] − HL 1−3 = [z 3 ] ⎪ ⎪⎩ [z 2 ] − HL 2−3 = [z 3 ] 39 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 7.- Sistemas de ramales de tuberías (II) Sistemas con 3 ramas (II) • Suponer caudales (Q ⇒ v) y direcciones (balance de continuidad de las masas) [v1 = v 2 = v 3 = 0] [p1 = p 2 = p3 = 0] • v ⇒ Re ⇒ λ ⇒ HL • Iterar … ⎧ [z1 ] − HL 1−2 = [z 2 ] ⎪ ⎨ [z1 ] − HL 1−3 = [z 3 ] ⎪ ⎩⎪ [z 2 ] − HL 2−3 = [z 3 ] ⎧ HL 1−2 = HL 1− 4 + HL 4 −2 = HLA m HLB ⎪⎪ ⎨ HL 1−3 = HL 1− 4 + HL 4 −3 = HLA + HLC ⎪ ⎩⎪ HL 2−3 = HL 2− 4 + HL 4 −3 = ± HLB + HLC 2 ⎧ LA v A = ⋅ ⋅ H f ⎪ LA A DA 2 ⋅ g ⎪ ⎪ 2 LB v B ⎪ = ⋅ ⋅ H f ⎨ LB B DB 2 ⋅ g ⎪ 2 ⎪ ⎪ HLC = fC ⋅ L C ⋅ v C ⎪⎩ DC 2 ⋅ g 40 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 7.- Sistemas de ramales de tuberías (III) Sistemas con 3 ramas (III) [v1 = v 2 = v 3 = 0] [p1 = p 2 = p3 = 0] • Una suposición inicial recomendable para simplificar cálculos es: QB = 0 • Calcular vA (= vC) y QA (=QC) { [z ] − H 1 L 1−3 = [z 3 ] ⇒ HL 1−3 = [z1 ] − [z 3 ] {H L 1−3 [z1 − z 3 ] = ⎛⎜⎜ fA ⋅ L A DA ⎝ + fC ⋅ = HLA + HLC 2 ⎧ LA v A = ⋅ ⋅ H f ⎪ LA A DA 2 ⋅ g ⎪ (suponer fA y fC = 0,025) ⎨ 2 LC v C ⎪ ⎪ HLC = fC ⋅ D ⋅ 2 ⋅ g C ⎩ 2 LC ⎞ v A ⎟⎟ ⋅ ⇒ vA DC ⎠ 2 ⋅ g (comprobar fA y fC, iterar si necesario) 41 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 7.- Sistemas de ramales de tuberías (IV) Sistemas con 3 ramas (IV) [v1 = v 2 = v 3 = 0] [p1 = p 2 = p3 = 0] • Calcular: QB { [z ] − H 1 L 1− 2 = [z 2 ] ⇒ HL 1−2 = [z1 ] − [z 2 ] {H 2 ⎧⎪ LA vA ⋅ ⎨ HLA = fA ⋅ DA 2 ⋅ g ⎪⎩ ⎛ [z1 − z 2 ] = ⎜⎜ fA ⋅ L A ⎝ DA ⋅ L 1− 2 = HLA + HLB HLB L v = fB ⋅ B ⋅ B DB 2 ⋅ g 2 2 2 v A ⎞⎟ L v m fB ⋅ B ⋅ B ⇒ v B 2 ⋅ g ⎟⎠ DB 2 ⋅ g Q A + QB + Q C = 0 (suponer fA y fB = 0,025) (con dirección) QB entra • Calcular: QC2 { ⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ QA2 QB2 QC2 > QC1 > QA1 < QB1 QC2 < QC1 < QA1 > QB2 (comprobar fA y fB, iterar si necesario) QB sale QA2 QB2 … 42 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 7.- Sistemas de ramales de tuberías (V) Determinar los caudales si la altura del agua en los depósitos se mantiene cte Tubería L (m) D (m) ε/D 1 (A) 3.000 1 0,0002 2 (B) 600 0,5 0,002 3 (C) 1.200 0,75 0,001 ν = 10-6 m2/s Z1 = 30 m Z2 = 18 m Z3 = 9 m 43 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 8.- Sistemas ramificados: (Hardy Cross) (I) Sistema de una tubería que se separa y no vuelve a juntar, o de dos tuberías distintas que se unen El problema suele radicar en calcular los caudales y su dirección, en cada tubería La solución depende de las presiones de entrada (salida), de las alturas geométricas, de los diámetros 44 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 8.- Sistemas ramificados: (Hardy Cross) (II) – Las pérdidas de presión se deben expresar en función de Q Q = v / A ⇒ v 2 = (Q / A ) 2 HL = f ⋅ v= L v2 (m) ⋅ D 2⋅g HL = R ⋅ Q 2 2 Q Q 4 = ⋅ (m·/ s) A π D2 ⎛ 4⋅Q ⎞ ⎡ f ⋅8 ⋅L ⎤ ⎜ ⎟ R=⎢ 5 L π ⋅ D2 ⎠ L 16 ⋅ Q 2 ⎡ f ⋅ 8 ⋅ L ⎤ 2 2 2⎥ Q R Q HL = f ⋅ ⋅ ⎝ = ⋅ = ⋅ =f⋅ 5 ⋅ ⎢ ⎥ ⎣D ⋅ g ⋅ π ⎦ D 2⋅g D 2 ⋅ g ⋅ π 2 ⎣ D5 ⋅ g ⋅ π 2 ⎦ Para redes de distribución de agua se suele simplificar con la ecuación: R= 10,6 L ⋅ 4,87 1,85 C D Material de la tubería C Extremadamente lisa 140 Muy lisa, hierro colado 130 Nueva de acero recién soldado 120 Nueva de acero roblonado 110 Tubería vieja Vieja en mal estado 95-100 60-8045 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 8.- Sistemas ramificados: (Hardy Cross) (III) • Se deben suponer los caudales en cada rama, Q’ • La red se divide en circuitos de lazo cerrado • En cada tubería se calcula la pérdida de carga HL = R ⋅ Q 2 ∑ HL • Se suman los valores de HL de todas las ramas del lazo [si el flujo es horario HL es positiva, si el flujo es antihorario HL es negativa] • En cada tubería se calcula el producto: 2 ⋅ R ⋅ Q ∑2 ⋅R ⋅Q ΔQ = ∑ H ∑2 ⋅R ⋅Q • Se suman, asumiéndolos como positivos: • En cada lazo se calcula ΔQ como: L • Se calcula el nuevo caudal de la tubería, Q´ como: Q´= Q − ΔQ • Repetir el proceso con Q´ hasta que el valor de ΔQ sea pequeño 46 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 8.- Sistemas ramificados: (Hardy Cross) (IV) Según los esquemas y datos de las figuras (longitudes, diámetros, caudales y rugosidades relativas), determinar la distribución de caudales 40 L/s Ø1-2 = 300 mm 250 m 125 m 1 Ø1-7 = 250 mm 7 2 Ø2-3 = 200 mm Ø7-8 = 200 mm 8 Ø3-8 = 200 mm 3 6 Ø3-4 = 150 mm Ø5-6 = 250 mm 5 Ø = 250 mm 4-5 200 m 400 m ε = 4,4 10-3 7 4 ε = 4,4 10-3 6 2 I 20 L/s ε = 5,5 10-3 III 3 8 ε = 5,5 10-3 Ø5-8 = 150 mm Ø6-7 = 250 mm ε = 3,667 10-3 1 ε = 5,5 10-3 ε = 7,33 10-3 ε = 4,4 10-3 10 L/s 5 II ε = 7,33 10-3 ε = 4,4 10-3 4 10 L/s 47 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (I) En los circuitos hidráulicos hay que garantizar el caudal nominal en todos los puntos Con circuitos en paralelo, para que el caudal se reparta según las condiciones de diseño, estos han de estar equilibrados ( = HL) El “retorno invertido” no siempre es una solución válida (ctos muy diferentes, o no coinciden las demandas nominales) 48 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (II) Los ctos alejados tienen subcaudales Los ctos próximos tienen sobrecaudales El equilibrado garantiza caudales nominales 49 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (III) Regulación de caudales en unidades terminales con válvulas de 3 vías HL HLTerminal > HLBypas Cuando el terminal no necesita caudal su circuito demanda más caudal que en condiciones nominales 50 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (IV) Aperturas distintas producen sobrecaudales en los ctos no necesitados, y 51 subcaudales en los más necesitados: ⇒ Necesidad equilibrado hidráulico T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (V) VALVULAS DE EQUILIBRADO ESTATICO: • Válvula ajustadora de circuito El caudal se mide relacionando la presión en la válvula y la posición del mando • Válvulas de ajuste exterior: Miden la presión en un orificio El caudal se mide en un venturi 52 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (VI) VALVULAS DE EQUILIBRADO DINAMICO (I) • Válvulas de cartuchos recambiables de caudal fijo Entrada de sección fija Salida de secc. variable ajustada por muelle en función de presión Q Q Q 53 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (VI) VALVULAS DE EQUILIBRADO DINAMICO (I) • Válvulas de cartuchos recambiables de caudal fijo Entrada de sección fija Salida de secc. variable ajustada por muelle en función de presión Q Q Q 54 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (VII) VALVULAS DE EQUILIBRADO DINAMICO (II) • Válvulas de cartuchos recambiables de caudal ajustable exteriormente • Válvulas estabilizadoras de la presión diferencial Juego de presiones sobre una membrana Capilar conecta con una válvula de equilibrado estático a la que permite realizar un control con presiones variables Equilibra las pérdidas de presiones en los ctos de manera que sean cte (⇒ Q = cte) 55 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (VII) VALVULAS DE EQUILIBRADO DINAMICO (II) • Válvulas de cartuchos recambiables de caudal ajustable exteriormente • Válvulas estabilizadoras de la presión diferencial Juego de presiones sobre una membrana Capilar conecta con una válvula de equilibrado estático a la que permite realizar un control con presiones variables Equilibra las pérdidas de presiones en los ctos de manera que sean cte (⇒ Q = cte) 56 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (VIII) Se divide el circuito en varios subcircuitos, equilibrándose primero cada subcircuito, para finalmente equilibrar la instalación Son necesarias válvulas de equilibrado y de regulación de presión diferencial Cuando se modifica el caudal de un circuito se desajustan los caudales de los demás circuitos que están en paralelo con él Las válvulas equilibradoras autoajustan su posición para que en estas situaciones no se modifiquen los caudales 57 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (IX) Métodos para conseguir el equilibrado hidráulico de los circuitos • El equilibrado proporcional: ajustar la válvula del último terminal, después ajustar la del ante último, lo que desajusta la del último, que se debe reajustar; repetir con el resto de las válvulas • El procedimiento computerizado: se mide el caudal en cada válvula y la presión disponible, después el programa indica la posición que debe tener cada válvula 58 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 9.- Equilibrado hidráulico (X) Equipos térmicos http://www.tahydronics.com/default.asp 59 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (I) • Cálculo de la pérdida de carga en los conductos (I) Conductos circular equivalente 45 cm P = 120 cm P = 104 cm Deq = 1,3 ⋅ (a ⋅ b)5/8 (a + b)1/4 26 cm cm 3 675 cm2 29 , 675 cm2 26 cm 15 cm 675 cm2 P = 92 cm donde a y b son los lados del rectángulo Igualdad de pérdida de carga en el conducto (equilibrio entre área y perímetro) 60 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (I) • Cálculo de la pérdida de carga en los conductos (I) Conductos circular equivalente 47 cm 16,3 cm 766 cm2 45 cm Deq = 1,3 ⋅ (a ⋅ b)5/8 (a + b)1/4 718 cm2 26 cm cm 675 cm2 3 29 , 675 cm2 26,8 cm 15 cm 675 cm2 Bueno 26 cm Regular Malo 26,8 cm donde a y b son los lados del rectángulo = 52,5 . 15 = 93,5 . 10 =… Igualdad de pérdida de carga en el conducto (equilibrio entre área y perímetro) 61 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (II) • Cálculo de la pérdida de carga en los conductos (II) Deq 1,3 ⋅ (a ⋅ b)5/8 = (a + b)1/4 donde a y b son los Q ø lados del rectángulo V ΔP 62 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (III) Métodos de cálculo de conductos (I): • • • • • Reducción de velocidad Pérdida de carga constante Igual pérdida de carga en cada rama Recuperación estática Optimización, T Utilización Residencia Auditorios Dormitorios Oficinas Conductos Impulsión Conductos Retorno C. Principal C. Derivado C. Principal C. Derivado 5 6.5 7.5 9 3 5 6 7 4 5.5 6.5 7 3 4 5 6 63 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (IV) Métodos de cálculo de conductos (II) Reducción de velocidad: empleado para sistemas sencillos; – Conocidos los caudales se realiza el trazado de los conductos. – Se elige la velocidad del conducto principal, tablas – Con el gráfico se dimensiona el conducto y se obtiene la pérdida de carga unitaria – Para los siguientes tramos se va repitiendo el proceso con los caudales y la velocidad permitida – El ventilador debe poseer la presión suficiente para suministrar la necesitada en el conducto más desfavorable Requiere equilibrar los conductos 64 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (V) Métodos de cálculo de conductos (III) Pérdida de carga constante: se fija una pérdida de carga constante por metro lineal de conducto (+ó- 0,1 mm.c.a./m); hay que equilibrar conductos – Con el caudal y la pérdida de carga se obtienen en el gráfico la velocidad del conducto principal y la sección del conducto circular equivalente – Se dimensiona el conducto principal rectangular equivalente al circular – Cuando se realiza una derivación el área que debe tener cada uno de los dos conductos derivados se expresa como % del conducto del que derivan, tablas – Finalmente se selecciona el ventilador; hay que equilibrar los conductos % Caudal % Area Conducto % Caudal % Area Conducto 1 2 35 43 5 9 40 48 10 16,5 45 53 Requiere equilibrar los conductos, ofrece mejores resultados que el método anterior 65 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (VI) Métodos de cálculo de conductos (IV) Igualdad de pérdida en cada rama: se diseñan todas las ramas con igualdad de pérdida de carga, resultan conductos equilibrados – Se fija la pérdida de carga lineal en la rama más larga (long eq.), se resuelve como en el casa anterior y se selecciona el ventilador. – Se coge la siguiente rama más larga y se calcula la pérdida por metro lineal en "el resto" del conducto, y se dimensiona como en el caso anterior Resultan conductos equilibrados, pero las velocidades pueden ser excesivas, lo que puede obligar a recalcular la red 66 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (VII) Métodos de cálculo de conductos (V) Recuperación estática; mantiene la misma presión estática en todas las bocas, con lo que resultan conductos equilibrados, para ello busca que la pérdida de presión por rozamiento se compense con la ganancia producida por reducción de velocidad – Conocido el caudal de aire, se selecciona la velocidad del conducto principal o la pérdida de carga lineal, se dimensiona hasta la primera derivación – Se dimensionan las derivaciones para que la recuperación estática (↓V ⇒ ↑P) sea igual a la pérdida de carga Existe un gráfico para con el caudal de aire obtener la relación L/Q En un segundo gráfico con la relación L/Q y la velocidad antes de la derivación, V1, se obtiene la velocidad después de la derivación, V2 Con V2 y el Q se determina la sección circular del conducto equivalente y con esta se dimensiona el conducto rectangular El ventilador se selecciona por el conducto más desfavorable. Resultan conductos equilibrados y de mayores dimensiones ⇒ ventilador menor (mayor coste de instalación, menor coste de explotación) 67 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (VI) Métodos de cálculo de conductos (V) Recuperación estática; mantiene la misma presión estática en todas las bocas, con lo que resultan conductos equilibrados, para ello busca que la pérdida de presión por rozamiento se compense con la ganancia producida por reducción de velocidad – Conocido el caudal de aire, se selecciona la velocidad del conducto principal o la pérdida de carga lineal, se dimensiona hasta la primera derivación – Se dimensionan las derivaciones para que la recuperación estática (↓V ⇒ ↑P) sea igual a la pérdida de carga Existe un gráfico para con el caudal de aire obtener la relación L/Q En un segundo gráfico con la relación L/Q y la velocidad antes de la derivación, V1, se obtiene la velocidad después de la derivación, V2 Con V2 y el Q se determina la sección circular del conducto equivalente y con esta se dimensiona el conducto rectangular El ventilador se selecciona por el conducto más desfavorable. Resultan conductos equilibrados y de mayores dimensiones ⇒ venttilador menor (mayor coste de instalación, menor coste de explotación) 68 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (VIII) Métodos de cálculo de conductos (VI) Metodo optimizado, método T; Consiste en dimensionar los conductos y el ventilador simultáneamente Hay que obtener una función de coste de instalación y funcionamiento (difícil) Se reduce la red a un conducto “equivalente”, cuyas dimensiones se optimizan; finalmente se ”rehace” la red Método de buenos resultados pero cálculos muy complejos (ordenador) Como resumen final del cálculo de conductos: Reducción de velocidad sólo para conductos de retorno con una única rama Pérdida de carga cte es muy empleado por su sencillez, (no equilibrado) Igual pérdida de carga, hay que tener cuidado con la velocidad Recuperación estática, conduce a conductos equilibrados y mayores, es aconsejable en alta velocidad El método T requiere de un programa informático 69 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (IX) Saunier Duval Tipo de conducto Zonas y caudales 70 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (X) Definición de conductos Conducto más desfavorable para seleccionar ventilador 71 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (XI) Isover (Climaver Ducto) Permite dibujar conductos y accesorios 72 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (XII) Ferroli (A.A.) 73 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (XIII) 74 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (XIV) 75 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (XIV) 76 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (XV) 77 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (XVI) 78 T4.- FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 10.- Diseño de conductos (XVI) ¿Qué método de cálculo? 79