Documento 611900

Universidad de
MOVIMIENTOS OSCILATORIOS
Uno de los fenómenos más interesantes que trata la física es la del movimiento que se repite a intervalos iguales
regulares de tiempo. A esta clase de movimientos se les llama periódicos u oscilatorios. En este capítulo en
especial se trata con un movimiento oscilatorio simple el cual se llama armónico simple o más bien M.A.S.
Es importante anotar que se está familiarizado con estos movimientos oscilatorios en nuestra vida cotidiana, pue
son extensos los ejemplos visibles en donde ellos se presentan, tales como el movimiento de una masa atada a u
resorte, un péndulo, las vibraciones de una cuerda de un instrumento musical, las hojas de una rama de un árbo
los amortiguadores de un vehículo y otros más y así también los que nos son invisibles, pero que se detectan con
los aparatos de medida, como las vibraciones de los átomos en un cristal, las corrientes eléctricas alternas, las
ondas electromagnéticas y en general todos aquellos movimientos en la naturaleza que se repiten así mismos.
La mayor parte de lo que trata este capítulo es la del movimiento armónico simple o simplemente M.A.S que es
una aproximación sencilla de todos los movimientos oscilatorios que se observan en nuestro diario transcurrir. Pa
ser más realistas con este tipo de movimientos oscilatorios se tendrá en cuenta otros tipos de movimientos
oscilatorios no armónico simples tales como, las oscilaciones amortiguadas y las oscilaciones forzadas.
1.1 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.
Se dice que una partícula que se mueve a lo largo del eje x presenta un movimiento armónico simple cuando su
desplazamiento x, desde la posición de equilibrio, varia en el tiempo de acuerdo con la función
donde A,  y  son constantes. La cantidad ( t +  ) se le conoce como la fase del M.A.S, y a  la constante de
fase. Aunque se ha definido el M.A.S en términos de la función coseno , también se puede definir en términos de
seno, simplemente la diferencia de fase entre las dos funciones es /2. El máximo desplazamiento de la posición
equilibrio ocurre cuando la función coseno (seno) es ± 1 o sea que
x(t)max.= ± A.
Por lo tanto A es la amplitud del M.A.S. La amplitud A y la constante de fase , se encuentran determinadas por
las condiciones iniciales o por condiciones equivalentes a ellas. Como la función coseno (seno) es periódica
x(t) = x(t + T) o sea que
cos(  t +  ) = cos (  ( t + T ) +  )
De aquí, se debe cumplir que
 T = 2
Es el período que se mide en segundos y es el tiempo en el que el movimiento se repite así mismo y a  se le
llama la frecuencia angular que tiene como unidades rad-s-1. El significado de esta última constante se dará más
adelante.
Al numero de veces que el movimiento se repite así mismo en la unidad de tiempo se le conoce como frecuencia
generalmente se denota con f = 1/T y su unidad es el ciclo-s-1 o hertz ( Hz).
La velocidad de la partícula en el M.A.S es:
La aceleración de la partícula en el M.A.S es:
Las expresiones 1.4 y 1.5 muestran que v(t) y a(t) difieren de x(t) por una fase de /2 y  respectivamente y co
se muestra en la figura 1.1.
Figura 1.1
Es importante observar que en el punto de equilibrio del sistema, vmáx.= ± A mientras que amáx.= ± A2 se obtien
en los puntos de máximo desplazamiento.
Una de las características más importantes que identifica al M.A.S y que resulta de la ecuación 1.5 es que la
aceleración es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento y se escribe como:
Ejemplo 1. Exprese la A y
 del M.A.S en términos de la v(t) y x(t) en t=0.
De 1.1 y de 1.4
x(0) = x0 = Acos  y v(0) = v0 = - A sen 
Eliminando A de estas dos ecuaciones se obtiene:
tan  = - v0 /  x0
Además, tomando la suma X02 + (V0 /
 )2 = A2 ( cos2 + sen2  ) se halla A, que es:
Ejemplo 2. Una partícula, con masa de 1 gramo, ejecuta un M.A.S alrededor del origen. En el tiempo t= 0 se
encuentra en x= 0 y velocidad de -5 m-s-1 Regresa al origen 1 segundo después. Determinar A, f,  y x(t).
Como en el M.A.S, en cualquier tiempo el desplazamiento y la velocidad están dados por x(t) = Acos( t +
v(t) = -  Asen (  t +  ) respectivamente.
Cuando t= 0, se tiene que x(0) = Acos  = 0 lo que implica que = ± /2 y en ese mismo tiempo v(0) =  = -5 m-s-1.
) y
 Ase
Como A y  son intrínsecamente positivas, se tiene que  = /2. Ahora bien, una partícula con M.A.S regresa a
posición dos veces en cada período, una vez en un sentido y en la otra en el otro sentido. Así, como regresa en u
segundo, se tiene que T/2 = 1s por lo que T = 2s.
Entonces, f = 1/T = 0.5 Hz,  = 2f =  rad-s-1 y como  A = A = 5m-s-1 por lo que A=(5/ )m.
x(t) = (5/ cos(  t + /2) = (-5/ sen t).
1.2 FUERZA Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.
El sistema mostrado en la figura 1.2 está formado por una masa M y un resorte de constante elástica K. Se Pued
entender cualitativamente lo que le sucede cuando se desplaza la masa M una distancia x de su posición de
equilibrio como en las figuras 1.2 a) y c), el resorte ejerce una fuerza sobre M en ambos casos dada por la ley d
Hooke,
Esta fuerza es lineal recuperadora ya que es linealmente proporcional al desplazamiento y siempre se dirige
hacia la posición de equilibrio, y opuesta al desplazamiento. Esto es, cuando la masa se desplaza hacia la derec
figura 1.2 a), x es positiva y la fuerza recuperadora es hacia la izquierda. Cuando la masa se desplaza a la
izquierda de x = 0, entonces x es negativa y F es hacia la derecha.
a)
b)
c)
Figura 1.2
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de M se tiene:
Dividiendo la ecuación anterior por M y recordando que a = d2x(t)/ dt2 se expresa 1.8 como:
Si se define a
2 = K/M. Por lo tanto la ecuación diferencial 1.9 es:
La anterior ecuación es equivalente a la ecuación 1.6, por lo tanto la solución de esta ecuación diferencial lineal d
segundo orden homogénea es:
Donde, A y  son constantes de integración dadas por las condiciones externas al problema particular tratado.
Mientras que  es una constante natural del sistema, independiente de las condiciones externas. Es importante
hacer notar que cada sistema oscilatorio en particular tiene su propio  y por lo tanto su propio T . El período es
isocrónico para estos sistemas.
Para concluir, “cualquier sistema cuya ecuación de movimiento sea de la forma de la ecuación 1.10, corresponde
un movimiento armónico simple y tiene como solución a la ecuación 1.11".
La ecuación diferencial 1.10 se puede integrar "dos veces" y resulta la ecuación 1.11. Entonces, cuál es la primer
integral?. Para ello se escribe la ecuación 1.10 de la siguiente forma:
Si a la ecuación 1.12 se multiplica por v(t) y M y se tiene en cuenta que K=M2 se obtiene:
que no es más que la derivada de una constante que se define como E y que se escribe como:
El primer término de la ecuación anterior es la energía cinética UK asociada a la masa del cuerpo, y el segundo, l
energía potencial elástica asociada al resorte, y E que es una constante de integración y que es igual a la energía
mecánica del sistema, resultado que era de esperarse, ya que el sistema masa - resorte es conservativo.
Si se expresa la energía 1.14 del oscilador armónico simple en términos de las ecuaciones 1.1 y 1.4 y con K= M
se tiene:
Esta ecuación muestra que la energía es constante y que es proporcional a la amplitud al cuadrado del movimien
del sistema, y no es más que una constante de integración de la ecuación 1.10 y por lo tanto depende de las
propiedades externas al sistema. Como conclusión se tiene que "un movimiento armónico simple para un sistem
masa resorte muestra como característica importante que, la energía mecánica es proporcional al máximo
desplazamiento de su posición de equilibrio al cuadrado y que otros sistemas conservativos con movimientos
oscilatorios semejantes, también cumplen con esta propiedad".
La figuras 1.3 a) y b) muestran que la energía se transforma continuamente entre la energía potencial almacena
en el resorte y la energía cinética de la masa. De hecho, por ejemplo en la posición de equilibrio, x = 0 y UP = 0,
de tal manera que toda la energía es cinética. Es decir, en x = 0, v(t) máx=   A entonces.
UK=(1/2)M 2A2 = (1/2) KA2 .
a)
b)
Figura 1.3
Finalmente, es posible usar la conservación de la energía para obtener la velocidad para un desplazamiento
arbitrario x expresando la energía total como:
1.3 PENDULO.
Péndulo simple.
Un péndulo simple es otro sistema oscilatorio. Está formado por una masa puntual m suspendida de un punto fij
por medio de un hilo inextensible y sin peso como se muestra en la figura 1.4. Las fuerzas que actúan sobre la
masa m son la tensión de la cuerda y el peso
. La fuerza tangencial del peso es una fuerza recuperadora
dirigida hacia  = 0, en dirección opuesta al desplazamiento. Por consiguiente, la ecuación de movimiento se pue
escribir como:
La ecuación diferencial anterior se puede escribir también como:
Figura 1.4
Esta última ecuación corresponde a un movimiento que no es armónico simple debido a que, la función sen  no
lineal. Sin embargo, para ángulos pequeños aproximadamente 100 , sen  tan    . Por lo tanto la ecuación
1.8b queda
Ecuación de la misma forma que 1.10. Por lo tanto corresponde a un M.A.S con una frecuencia angular  dada p
El período del movimiento es
El período y la frecuencia de un péndulo simple dependen únicamente de la longitud y la gravedad del lugar.
La anterior aseveración permite usar al péndulo como un cronómetro y también como un dispositivo preciso y
adecuado para determinar la g del lugar sin necesidad de que el cuerpo caiga realmente, ya que L y T pueden
medirse con facilidad.
Ejemplo 3. Encuentre la frecuencia angular del péndulo simple a partir de su ecuación de energía.
Para la trayectoria mostrada en la
figura entre el  0 inicial y  = 0 la
energía del sistema es
Donde y está medido desde el nivel
más bajo del movimiento del
péndulo.
De y = L(1
energía es
- cos ) como
entonces para
 pequeño y L  2/2, por lo que la ecuación de
Dividiendo por L2 la ecuación anterior se tiene
al comparar esta ecuación con la 1.14 y por similitud se tiene un K = mg/L, entonces
, semejante a la ecuación 1.20
Péndulo físico.
Un péndulo físico, o compuesto como el de la figura 1.5, es el formado por cualquier cuerpo rígido de forma
arbitraria que gira alrededor de un eje fijo que pasa por O; la recta que une O con el centro de gravedad forma u
ángulo (t) con la vertical. Si h es la distancia del pivote al centro de gravedad; el peso origina un torque
recuperador
Al abandonar el cuerpo así mismo, oscilará alrededor de su posición de equilibrio, pero, como en el caso del
péndulo simple, el movimiento no es armónico simple, ya que el torque  no es proporcional a  sino a sen . Sin
embargo, si  es pequeño, se puede sustituir sen por  y el movimiento es aproximadamente M.A.S.
Utilizando esta aproximación , se obtiene:
Por lo que, de acuerdo con 1.19
Figura 1.5
Se pueden usar estos resultados para medir el momento de inercia de cuerpos rígidos planos.
Es siempre posible encontrar un péndulo simple equivalente cuyo período sea igual al de un péndulo físico dado.
L es la longitud del péndulo simple equivalente,
por lo tanto,
Así, en lo que concierne al período de oscilación, la masa de un péndulo físico puede imaginarse concentrada en
punto cuya distancia al eje de rotación es L= I/mh. Este punto se denomina centro de oscilación del péndulo.
Ejemplo 4. Una barra delgada uniforme de longitud a puede girar alrededor de un eje que pasa por uno de sus
extremos, oscilando como un péndulo físico. Hállese el centro de oscilación del péndulo.
El momento de inercia de la barra respecto a un eje que pasa por un extremo es
La distancia del eje al centro de gravedad es h=a/2. Por lo tanto, la longitud del péndulo simple equivalente será
El centro de oscilación se encuentra a la distancia 2a/3 del eje.
1.4 SUPERPOSICIÓN DE M.A.S.
Superposición de dos M.A.S en la misma dirección y con la misma frecuencia.
Cuando una partícula está sometida a más de una fuerza armónica, cada una intentando mover a la partícula en
misma dirección con M.A.S, se dice que existe una interferencia de movimientos armónicos simples.
Se superponen dos M.A.S en la misma dirección y la misma frecuencia, el primero con amplitud A1 y fase inicial
El segundo con amplitud A2 y fase
 2.
La superposición de esto dos movimientos armónicos simples dá como resultado un M.A.S.
La amplitud A y la fase
1.27 así
, se obtienen a partir de la figura 1.6 para el tiempo t = 0 en las ecuaciones 1.25, 1.26
Figura 1.6
con
entonces
Se consideran algunos casos importantes, que se pueden emplear posteriormente en los movimientos armónicos
ondulatorios.
Caso 1. Si
Caso 2. Si
que corresponde a dos M.A.S en fase A = A1+ A2 figura 1.7a
que corresponde a dos M.A.S en contrafase
Figura 1.7a
A = |A1- A2|, figura 1.7b.
Figura 1.7b
Superposición de dos M.A.S en direcciones perpendiculares y con la misma frecuencia.
Si dos M.A.S tienen a misma frecuencia y oscilan perpendicularmente entre sí, el movimiento resultante presenta
una trayectoria que, en general, es una elipse. Para simplificar se toma a
Para encontrar la trayectoria se elimina t de las ecuaciones paramétricas. Se desarrolla la ecuación 1.30b como
dividiendo la anterior ecuación por Ay y remplazando
Elevando al cuadrado a ambos miembros de la ecuación 1.30d se tiene:
Por lo tanto la trayectoria es:
Lo que corresponde a una elipse. Si = 0 y  =  la elipse degenera en una línea recta que pasa por el origen y
tiene la pendiente o positiva o negativa, como se muestra en la figura 1.8a.
Figura 1.8a
En otros casos, la resultante es una elipse cuya orientación relativa a los ejes x, y depende de la diferencia de fa
como en la figura 1.8b que corresponde
En el caso especial en el que,
.
Ax=Ay=A, la resultante es una circunferencia:
entonces la partícula se mueve en una circunferencia de radio A y velocidad angular constante
Figura 1.8b
Así, la combinación de dos MAS perpendiculares entre si que tienen la misma amplitud y frecuencia y la diferencia de
es equivalente a un movimiento circular uniforme. Recíprocamente, la proyección de un movimiento
circular uniforme sobre uno de sus ejes es un MAS.
fase,
1.5 OSCILACIONES AMORTIGUADAS.
Aunque hasta ahora no se ha dicho, las oscilaciones macroscópicas reales siempre como mínimo experimentan u
pequeña fuerza de rozamiento que tiende a eliminar o, como se dice comúnmente, a amortiguar su movimiento
Por lo tanto será tema de esta sección estudiar el movimiento de un oscilador amortiguado.
Se considera un oscilador en el que la fuerza que produce la oscilación obedece a la ley de Hooke y el cuerpo
oscilante está sometido a la fricción de un fluido, figura 1.9. Como los cuerpos oscilantes no son muy grandes o n
realizan un movimiento rápido, capaz de producir turbulencia, se supone que la fuerza amortiguadora de la fricci
del fluido tiene un valor proporcional a la primera potencia de la velocidad del cuerpo, como en la ley de Stokes,
sea es de la forma -bv donde b es un constante y el signo menos indica que siempre se opone al movimiento.
De acuerdo a la figura 1.9 se puede escribir la segunda ley de Newton como sigue:
Figura 1.9
La anterior ecuación se puede escribir como
Donde,
La solución de esta ecuación se dará acá sin demostración y para,
subamortiguado es
donde la frecuencia del movimiento es
que corresponde a un movimiento
En la figura 1.10
Figura 1.10
La figura muestra como varia x(t) contra t. Aunque el movimiento es oscilatorio, no es estrictamente periódico
debido a la disminución de la amplitud.
Como la amplitud del oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, la energía de la partícula también lo hace.
energía perdida es absorbida por el medio circundante o radiada de alguna manera.
La energía total del oscilador es:
y la rata temporal de cambio de E es:
de la ecuación 1.34
, por lo tanto al reemplazar en la ecuación anterior se tiene
El signo menos indica disipación de energía.
En el instante t, la energía total E es
En el instante t+T (un "período" después).
pero
entonces
que al reemplazarla en 1.38 se sigue
La energía, después de un intervalo T tiene un valor
veces el que tenia al comienzo del intervalo. La energía
se ha disipado, gradualmente el oscilador alcanzará el reposo.
La cantidad
es conocida como tiempo de relajación, tiempo necesario para que la energía después de cada
período se reduzca a 1/e su valor (al comienzo del período).
1.6 OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA.
Eventualmente, un oscilador amortiguado alcanzará el estado de reposo y su energía mecánica se habrá disipado
a menos que una fuerza externa le proporcione energía mecánica. Por ejemplo, un muchacho puede columpiarse
durante horas si su padre da ocasionalmente empujones al columpio en la dirección de su velocidad. Muchas de
oscilaciones que ocurren en la maquinaria o en los circuitos eléctricos son oscilaciones forzadas, oscilaciones que
producen y se mantienen mediante una fuerza o influencia externa.
La fuerza externa más sencilla es aquella que en sí misma oscila como un seno o un coseno. Supongamos que se
aplica una fuerza FEx a un oscilador que se mueve a lo largo del eje x, como por ejemplo un bloque enganchado
un resorte. Entonces, la componente de la fuerza externa a lo largo del eje se puede escribir como
Donde
F0 es el módulo máximo de la fuerza y la componente de la fuerza oscila sinusoidalmente con frecuencia
angular f. Generalmente, la frecuencia de la fuerza externa es diferente a la frecuencia natural
oscilador, que es una frecuencia natural del sistema cuando no hay amortiguamiento ni fuerza externa.
del
Si se incluye la componente de la fuerza dada por la ecuación 1.42 en la segunda ley de Newton aplicada al
oscilador armónico amortiguado, se tiene:
Esto es, están actuando tres fuerzas: una fuerza externa, una fuerza restauradora, y una fuerza de amortiguació
Dividiendo por la masa, se obtiene la ecuación del movimiento
Donde,
y  = b/2m , al igual que antes.
Las técnicas para resolver la Ecuación 1.44 están más allá del alcance de este curso, sin embargo, se describen
algunas características importantes de la solución. La solución es una suma de dos términos. Uno se denomina
solución transitoria, y es la solución para el oscilador armónico amortiguado discutido en la última sección. La
forma de esta solución depende de las condiciones iniciales, pero finalmente se atenuará hasta cero y sólo queda
el otro término, que se denomina solución estacionaria. Esta es la solución debida a la fuerza externa y persiste
después de que la solución transitoria se ha atenuado. Se supone que el movimiento comenzó con suficiente
anterioridad, de modo que para t  0 solamente permanece la solución estacionaria.
La solución estacionaria oscila con la misma frecuencia que la fuerza externa. Esta solución tiene una amplitud fi
o estacionaria A0 y una diferencia de fase E definida con respecto a la fuerza externa. La solución se puede
verificar, y que para todos los efectos acá es
Donde
La amplitud del movimiento, A0, es proporcional a la amplitud de la fuerza externa,F0.
Figura 1.11
La amplitud también depende de la frecuencia externa f Esto es, el oscilador responde de forma distinta a fuerz
externas de la misma amplitud pero con frecuencias distintas. Para comprender esta respuesta, se supone que la
frecuencia natural  es fija y la frecuencia externa f es variable. Para cada valor de , se puede determinar la
amplitud del movimiento A0. Esta dependencia se muestra en la Figura 1.11 para varios osciladores con diferente
constantes de amortiguación. Observe que la amplitud del movimiento es pequeña tanto si f es mucho mayor
como si es mucho menor que la frecuencia natural  .
La amplitud es máxima cuando f  . En este caso la fuerza externa está aproximadamente en fase con la
velocidad, de modo que esta fuerza realiza un trabajo positivo durante la mayor parte del ciclo. Así pues, el
oscilador puede recibir más energía de la fuerza externa y alcanzar una gran amplitud. Obsérvese también en la
figura que a medida que, el amortiguamiento disminuye la amplitud aumenta.
Al drástico incremento en la amplitud del movimiento que se produce para
f   se le denomina
resonancia. La resonancia también puede ocurrir cuando un sistema oscilante esté acoplado a otro sistema
oscilante, siempre que las frecuencias sean parecidas. En efecto, el acoplamiento entre dos sistemas es máximo
tienen la misma o casi la misma frecuencia, de tal manera que, dependiendo de las circunstancias, la resonancia
puede, o no, ser deseable. Por ejemplo, la estructura característica de una guitarra permite un acoplamiento
resonante entre la cuerda vibrante y el aire que vibra dentro de la caja resonadora del instrumento.
Un receptor de radio o de televisión se sintoniza de tal forma que esté en resonancia con la frecuencia de las
señales que recibe. En cuanto los aspectos no deseables, cabe citar que en un sistema mecánico pueden aparece
vibraciones perjudiciales de gran amplitud si dicho sistema entra en resonancia. Un ejemplo espectacular fue el
derrumbamiento del puente de Tacoma en 1940, donde la vibración destructiva de gran amplitud ocurrió como
consecuencia de un acople resonante debido a vientos intensos.
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