Tema 4.

ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL (16691-ECO)
PARTE II: MODELOS DE COMPETENCIA IMPERFECTA
TEMA 4: EL OLIGOPOLIO Y LA TEORÍA DE JUEGOS
4.1. FIJACIÓN DE PRECIOS, ENTRADA, SALIDA E INFORMACIÓN INCOMPLETA
4.2. TEORÍA DE SUBASTAS
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
El primero de los problemas propuestos es un problema típico de teoría de juegos que trata de
recordar algunas de las nociones básicas sobre Teoría de Juegos que se ha visto en la
introducción de este tema y que se analizaron en detalle en cursos anteriores. Los ejercicios
restantes muestran cómo esas herramientas de teoría de juegos pueden aplicarse a modelos de
fijación de precios. Muchos de estos modelos representan extensiones o generalizaciones de los
resultados vistos en el tema 4. Los últimos dos ejercicios tratan de asentar los conocimientos
sobre juegos bayesianos y teoría de subastas, respectivamente.
1. (Nicholson 10.3) Fudenberg y Tirole (1992) desarrollan un juego de caza del ciervo a
partir de una observación de Rosseau. Los dos jugadores pueden cooperar para cazar un
ciervo o pueden intentar cazar una liebre por su cuenta. La matriz de rendimientos de este
juego viene dada por
Jugador B
Ciervo Liebre
Ciervo
2, 2
0, 1
Jugador A
Liebre
1, 0
1, 1
a) Describa el equilibrio de Nash en este juego
b) Suponga que B cree que A utilizará una estrategia mixta cuando decide cómo va a
cazar. ¿Cómo dependerá la elección óptima de B de la probabilidad de que A
decida cazar un ciervo?
c) Suponga que este juego se amplía a n jugadores (el juego en el que pensaba
Rousseau) y que los n jugadores deben cooperar para que se pueda cazar al ciervo.
Suponiendo que los rendimientos de un jugador en concreto, por ejemplo el B,
sigan siendo los mismos, y que todos los demás n-1 jugadores optarán por
estrategias mixtas, ¿cómo dependerá la estrategia óptima de B de las
probabilidades con las que cada uno de los demás jugadores decide cazar a un
ciervo? Explique por qué la cooperación parece menos probable en este juego
ampliado
1
Este ejercicio se trata del clásico juego sobre la “Caza del ciervo” atribuible a Rousseau. Los
aspectos más interesantes de este juego es observar cómo se reducen las ganancias de la
cooperación cuando aumenta el número de jugadores.
Jugador B
Ciervo Liebre
Ciervo
2, 2
0, 1
Jugador A
Liebre
1, 0
1, 1
a) Si el jugador A opta por ciervo, el jugador B puede optar por ciervo y conseguir un
rendimiento de 2 u optar por liebre, consiguiendo únicamente 1 como pago. Si el
jugador A opta por liebre, el jugador B puede optar por ciervo y conseguir un
rendimiento de 0 u optar por liebre, consiguiendo 1.
Luego, las combinaciones “ciervo, ciervo” y “liebre, liebre” son equilibrios de Nash, ya
que son combinaciones óptimas para ambos jugadores y no habrá incentivos para
cambiar el resultado derivado de las mismas.
b) En este caso, como el jugador B tiene incertidumbre ante las posibles acciones de su
rival, estaremos ante un juego con estrategias mixtas. Llamamos p a la probabilidad de
que el jugador A opte por “ciervo” y (1 – p) a la probabilidad de que opte por “liebre”.
Los rendimientos para el jugador B, en función de las estrategias mixtas de su rival (A)
serán 2p + 0(1 – p) = 2p si elige “ciervo” y p + (1 – p) = 1 si elige “liebre”. Luego la
elección óptima de B dependerá del valor p que le atribuye a las estrategias mixtas de su
rival.
Los rendimientos esperados para ambas estrategias de B serán, por lo tanto, 2p (ciervo)
y 1 (liebre). Elegirá ciervo si 2p > 1 y elegirá liebre si 2p < 1. Por lo tanto, si p > 0.5
optará por ciervo y si es menor de 0.5 optará por liebre.
c) Suponiendo que p es la probabilidad de elegir “ciervo” para los demás n – 1 jugadores
del juego, entonces el rendimiento esperado para el jugador B si elige ciervo será 2pn-1
(ya que todos deberán cooperar si quieren cazar el ciervo). El rendimiento esperado si
elige liebre seguirá siendo igual a 1. Por lo tanto, B jugará “ciervo” siempre que 2pn-1 >
1, es decir, si pn-1 > 0.5
2. (Nicholson 20.1) Suponga que las empresas A y B operan en condiciones de costes
medios y marginales constantes, pero que CMgA = 10, CMgB = 8. La demanda del producto
de estas empresas viene dada por QD = 500 – 20P
a) Si las empresas practican una competencia del tipo de Bertrand, ¿cuál será el
precio de mercado en el equilibrio de Nash?
b) ¿Cuáles serán los beneficios de cada empresa?
c) ¿Será eficiente este equilibrio en el sentido de Pareto?
2
Se trata de una aplicación de la teoría de juegos para un modelo de fijación de precios en el
caso de un duopolio. Se puede observar cómo los resultados competitivos (de Bertrand) no se
cumplen si los costes marginales no son iguales para las dos empresas
a) En el caso de que las dos empresas tengan los mismos costes marginales y medios
(véase el equilibrio de Bertrand-Nash o el ejemplo 20.1), la competencia del tipo de
Bertrand (en una única etapa compitiendo a través de los precios) nos llevará al
resultado competitivo, es decir, el precio de equilibrio será igual para las dos empresas e
igual al coste marginal.
Sin embargo, cuando los costes marginales de ambas empresas no coinciden, como es
este caso, la solución competitiva del modelo de Bertrand ya no será una condición de
equilibrio de Nash. En este caso, la empresa B podrá fijar un precio más bajo que la
empresa A ya que tiene unos costes marginales (y medios) también más bajos.
Con las cifras del enunciado, la empresa A no podrá fijar un precio por debajo de 10 (su
coste marginal y medio), ya que soportaría pérdidas. Sin embargo, la empresa B sí que
podrá fijar un precio inferior a 10 (de hecho, podría llegar a bajarlo hasta el límite que
cifra su coste medio, 8). Por lo tanto, la estrategia óptima para la empresa B será fijar un
PB ligeramente por debajo de 10 (en términos infinitésimos), con lo que se quedaría con
todo el mercado (ya que PB < PA) y sería un equilibrio de Nash. Para ese precio, qA = 0
y qB = 300 (de sustituir en la función de demanda un precio ligeramente por debajo de
10).
b) Para esa situación de equilibrio de Nash, la empresa A obtendría unos beneficios nulos
porque se ha quedado sin demanda que satisfacer (al tener una estructura de costes más
altos que los de su rival), mientras que B = ITB – CTB = 300(10 – 8) = 600 unidades
monetarias.
c) Este equilibrio será ineficiente desde el punto de vista de Pareto, ya que PB > CMgB, por
lo tanto se encuentra a la izquierda de la escala óptima de producción (mínimo coste
medio). Hay un exceso de capacidad de la empresa B, podría aumentar su producción
hasta el punto en que PB = CMgB = 8. En dicho punto, seguiría quedándose con la
totalidad del mercado, aunque ahora produciría qB = 340, eliminando el exceso de
capacidad del resultado anterior, y obteniendo unos beneficios nulos.
3. (Nicholson 20.4) Dos empresas A y B están analizando la posibilidad de sacar al
mercado marcas competidoras de un cigarrillo sano. Los rendimientos de las empresas son
los que se muestran en la tabla (los beneficios de A figuran primero):
Empresa B
Producir No producir
Producir
3, 3
5, 4
Empresa A
No producir
4, 5
2, 2
a) ¿Tiene este juego un equilibrio de Nash?
b) ¿Presenta este juego una ventaja por ser el primero en mover a cualquiera de las
empresas?
3
c) ¿Sería interesante para la empresa B sobornar lo suficiente a la empresa A para
que se quede fuera del mercado?
Nuevamente una aplicación de teoría de juegos para modelos de duopolio. En este caso se trata
de analizar los efectos de la entrada de empresas y las ventajas que supone para la primera
empresa en actuar.
Empresa B
Producir No producir
Producir
3, 3
5, 4
Empresa A
No producir
4, 5
2, 2
a) Si la empresa A decide sacara al mercado la marca competidora, B tendrá que optar
entre sacarla también y recibir un pago de 3 o no sacarla y recibir un pago de 4. Si la
empresa B decide no sacar la marca competidora, B tendrá que optar entre producir y
recibir un pago de 5 o no producir y recibir 2.
Por lo tanto, cualquier combinación en la que una empresa saque la marca competidora
al mercado y su rival no, será una situación de equilibrio de Nash. Habrá dos equilibrios
de Nash (A: producir, B: no producir) y (A: no producir, B: producir) si el juego es
simultáneo.
b) Si el juego no es simultáneo, sino secuencial, entonces el hecho de quién elige primero
supone una ventaja frente a su rival. Si la empresa A elige primero, por ejemplo, sabe
que llegados al punto de decisión de la empresa B, ésta optará por llevar a cabo la
estrategia contraria a la que haya puesto en marcha A.
Por lo tanto, sólo habrá dos posibles finales: (A: producir, B: no producir) y (A: no
producir, B: producir), que son los dos equilibrios de Nash anteriormente explicados.
Con la primera de las dos situaciones, la empresa obtendría un rendimiento de 5; y con
la segunda, 4. Por lo tanto, el hecho de jugar primero le posibilita a A elegir “producir”
y el único equilibrio que finalmente sería estable sería (A: producir, B: no producir).
Alternativamente, si fuera B la empresa que elige primero, entonces el resultado final
sería (A: no producir, B: producir) ya que el rendimiento para la propia B sería mayor
en ese caso que en el caso del otro posible equilibrio. Por lo tanto, el hecho de que el
juego sea secuencial, hace que únicamente aparezca un equilibrio de Nash en función de
qué empresa elija primero.
c) La empresa B podría ofrecerle hasta 1 unidad de beneficios a la empresa A para que se
quede fuera del mercado si A mueve ficha primero (en ese caso, la empresa B obtendría
5 y si entra A en el mercado obtendría 4). Sin embargo, el beneficio esperado por la
empresa B en ese caso sería igual con soborno o sin él (4), luego sería indiferente ante
ambas estrategias.
4
4. (Nicholson 20.5) Toda la oferta mundial de criptonita está controlada por 20 personas, y
cada una tiene 10000 gramos de este potente mineral. La demanda mundial de criptonita
viene dada por Q = 10000 – 1000P, donde P es el precio por gramo.
a) Si todas los propietarios pudieran conspirar para fijar el precio de la criptonita,
¿qué precio fijarían, y cuánto venderían?
b) ¿Por qué es un equilibrio inestable el precio calculado en el apartado anterior?
c) ¿Existe un precio de la criptonita que sería un equilibrio estable en el sentido de
que ninguna empresa podría ganar alterando su producción de la requerida para
mantener este precio de mercado?
Se trata de un ejemplo de aplicación de herramientas de teoría de juegos para un modelo de
cártel o monopolio compartido. Debido a que el precio de equilibrio (no cooperativo) es bajo,
los componentes del cártel pueden buscar mecanismos de cooperación para mantener precios
más altos (aunque no sean de equilibrio) y con ello beneficios superiores.
a) Si los 20 propietarios conspiran y actúan como un cártel, fijarían el precio que
maximice sus ingresos totales (porque se supone que no hay coste alguno, ya que
poseen la criptonita).
Como, IT = PQ = 10000P – 1000P2, la condición de primer orden de maximización de
ingresos, sería PQ P  10000  2000P  0 , lo que despejando nos daría un precio
P* = 5. Sustituyendo en la función de demanda mundial, se obtiene una Q* = 5000
gramos de criptonita.
Dicha demanda total se repartirá homogéneamente entre los 20 propietarios, luego cada
uno de ellos aportará q = 250 gramos, obteniendo unos ingresos totales por propietario
de 1250 unidades monetarias.
b) El precio anteriormente calculado no es estable porque ofrece incentivos a los
componentes del cártel de romper el acuerdo. Si uno de los propietarios (por ejemplo,
A) decide vender un gramo más de criptonita, entonces qA = 251 (recordemos que cada
uno de ellos tiene hasta 10000 gramos de ese mineral), entonces ahora Q = 5001 y P =
4,999. Los ingresos para la empresa que ha roto el acuerdo serán ahora de 1254,7
unidades monetarias, con lo que habría visto como sus ingresos (beneficios) han
aumentado con la ruptura del acuerdo. Este mismo pensamiento lo pueden tener los 19
propietarios restantes, y por eso la solución de (a) no es estable.
c) Sí, con un precio suficientemente bajo no habría ningún incentivo para romper el
acuerdo tácito de colusión. Por ejemplo, para un P = 0,30 entonces Q = 9700 y q = 485,
obteniendo cada empresa unos ingresos de 145,5 unidades monetarias.
En esta situación, si una empresa decide romper el acuerdo y producir un gramo más de
criptonita (q = 486), P = 0,299 y el ingreso total para la empresa que ha desertado del
cártel será de 145,31 unidades monetarias, por lo que su situación ha empeorado con
respecto a la posición cooperativa. No habría incentivos para que ningún propietario se
alejara del cártel en esta ocasión.
5
NOTA: Este precio de equilibrio estable depende claramente del número de empresas
que conforman el cartel. Con menos miembros, el precio será mayor. Por ejemplo, para
el caso únicamente de dos propietarios, el precio de equilibrio será P = 3, que supone Q
= 7000 y q = 3500, con unos ingresos totales para cada una de las dos empresas de
10500 unidades monetarias.
Si una de las dos decide romper el acuerdo y producir un gramo más, entonces q =
3501, Q = 7001 y P = 2,999. Los ingresos para la empresa que ha rota el acuerdo serán
10499,5 por lo que no tendrá ningún incentivo para romper la colusión tácita.
5. (Nicholson 20.9) Suponga que en el modelo bayesiano-de Cournot descrito en el ejemplo
20.4 las empresas tienen costes marginales idénticos (10) pero la información sobre la
demanda es asimétrica. Concretamente, suponga que la empresa A conoce la función de
demanda P = 100 – qA – qB, pero que la empresa B cree que la demanda puede ser, o bien P
= 120 – qA – qB o P = 80 – qA – qB, y cada una con una probabilidad de 0,5. Suponiendo que
las empresas deben anunciar sus cantidades simultáneamente, ¿cuál es el equilibrio
bayesiano-de Nash en esta situación?
Este ejercicio supone un ejemplo numérico de equilibrio bayesiano de Nash en el que la
demanda (en lugar de los costes, como ocurría en el ejemplo del libro) es incierta para uno de
los jugadores, en este caso la empresa B.
Si la información fuera simétrica o completa (ejemplo 20.4) entonces resulta sencillo demostrar
que un equilibrio de Nash (Cournot) es qA = qB = 30 y que los rendimientos vienen dados por A
= B = 900
Sin embargo, en este problema la información no es completa, sino que existe incertidumbre en
cuanto a la función de demanda a la que cree enfrentarse la empresa B (en el ejemplo 20.4 se
aplicaba un ejercicio similar pero la incertidumbre estaba en los costes marginales de la empresa
B). Suponga que B asigna la misma probabilidad (0.5) a las dos funciones de demanda, luego la
demanda esperada por parte de dicha empresa será 0.5(120 – qA – qB) + 0.5(80 – qA – qB) = 100
– qA – qB, es decir, la misma que tenía en condiciones de información simétrica.
Vamos a analizar este problema con el caso de la empresa B, que es la que soporta la
incertidumbre. Puesto que B sabe que sólo hay un tipo de A, no tiene que estimar sus valores.
Elige el qB que maximiza sus beneficios B = (P – CMgB)·qB . Sin embargo, el valor P que viene
dado por la función de demanda podrá tomar dos valores (120 – qA – qB o 80 – qA – qB). Por lo
tanto, en función de las dos posibles situaciones de la demanda, los beneficios de B serán
diferentes:
B1 = (110 – qA – qB)·qB
B2 = (70 – qA – qB)·qB
Despejando el sistema de ecuaciones de las funciones de reacción para cada uno de los dos
casos posibles, se obtiene la cantidad producida por B de equilibrio
qB1* = (110 – qA)/2
qB2* = (70 – qA)/2
6
La empresa A debe tener en cuenta que B podría tener una función de demanda u otra. Sus
beneficios esperados vienen dados por la expresión A = 0.5(90 – qA – qB1) + 0.5(90 – qA – qB2)
= 90 – qA – 0.5qB1 – 0.5qB2, donde B1 y B2 representan las dos posibles funciones de demanda a
las que puede enfrentarse la empresa B. La condición de primer orden de maximización será
qA* = (90 – 0.5qB1 – 0.5qB2)/2
Resolviendo simultáneamente las tres ecuaciones anteriores, se llega al resultado del equilibrio
bayesiano de Nash siguiente: qA* = 30, qB1* = 40 y qB2* = 20.
6. (Nicholson 20.10) En el ejemplo 20.5 demostramos que el equilibrio de Nash en esta
subasta cerrada de primer precio consistía en que cada participante adoptara una
estrategia de pujar b(v) = [(n - 1) / n] v. El ingreso total que puede esperar recibir el
vendedor de esta subasta será, evidentemente [(n – 1) / n] v*, donde v* es el valor esperado
de la mayor valoración de los n participantes en la subasta.
a) Demuestre que si las valoraciones se distribuyen uniformemente en el intervalo
[0,1], el valor esperado de v* es n/(n+1). Por tanto, el ingreso esperado de la
subasta es (n-1)/(n+1). Pista: El valor esperado de la mayor puja viene dado por
1
E (v*)   vf (v)dv
0
donde f(v) es la función de densidad probabilística de la probabilidad de que un v
determinado sea máximo entre n participantes. Aquí, f(v) = nvn-1
b) En un famoso artículo de 1961 (“Counterspeculation, auctions and competitive
sealed tenders”, Journal of Finance, marzo de 1961, págs. 8-37), William Vikrey
analizaba las subastas de segundo precio con pujas selladas. Demuestre que la
estrategia óptima para pujar de cualquier participante en este tipo de subastas
consiste en pujar su valoración real: b(v) = v.
c) Demuestre que el ingreso esperado ofrecido por el formato de subasta de segundo
precio es idéntico al que ofrece la subasta de primer precio analizada en el primer
apartado (éste es el “teorema de la equivalencia del ingreso” de Vickrey). Pista: La
probabilidad de que cualquier valoración sea la segunda mayor entre n
participantes viene dada por g(v) = (n – 1) (1 – v) nvn-2. Es decir, la probabilidad
viene dada por la probabilidad de que cualquiera de los (n – 1) participantes tenga
una valoración mayor [(n – 1)(1 – v)] por la probabilidad de que cualquiera de los
n participantes tenga una valoración superior a la de los demás (n -2) participantes
[nvn-2]
Se trata de un ejemplo sobre teoría de subastas. Los resultados del ejemplo 20.5 se generalizan
en este ejercicio, a la vez que se introduce el análisis de las subastas de segundo precio,
introducidas por Vickrey. Aunque se trate de un ejercicio con un algebra más complicado, las
pistas señaladas pueden ayudar a su resolución por parte de los alumnos.
a) La probabilidad de una puja por debajo de v viene dada, de hecho, por v de acuerdo a la
distribución de v asumida. Por lo tanto, la probabilidad de que haya (n – 1) pujas por
debajo de v viene dado por vn-1, y eso para cualquiera de los n participantes en la
subasta. De ahí se deduce que la función de densidad probabilística sea f(v) = nvn-1.
7
Desarrollando la integral que aparece en la ayuda obtendremos el valor esperado de la
mayor puja. Luego:
1
E (v*)   nv n dv 
0
1
n n1
n
v

n 1
n 1
0
Por lo tanto, el valor esperado del ingreso para esa puja vendrá dado por
n 1
n 1 n
n 1
E (v*) 

n
n n 1 n 1
Tal como queríamos demostrar.
b) El modelo de Vickrey es un modelo que revela las verdaderas valoraciones de los
jugadores ya que cada uno de ellos tiene el incentivo de pujar su valoración real, luego
b(v) = v.
Si dicha valoración real fuese la más alta, la puja no afectaría a lo que realmente paja
por el bien, ya que el precio vendría dado por el valor de la segunda mayor puja. Por
otro lado, si su valoración real no fuese la mayor, entonces da igual lo que pujase ya que
no ganaría la puja de todas formas.
c) A partir de la pista dada,
 v n 1 v n 1 1 
E (v*)   (n  1)n(1  v)v dv  (n  1)n 


0
 n 0 n  1 0 
1 
1
n 1
1
 (n  1)n  

  (n  1)n
n(n  1) n  1
 n n 1 
1
n 1
Por lo tanto, se observa que la diferencia entre los dos tipos de subasta no está en el
ingreso esperado que es igual en ambos tipos, sino en el hecho de que el modelo de
Vickrey es revelador de las valoraciones reales mientras que el primer tipo de subasta
no lo es.
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