Respuesta electromagnética de cristales fotónicos 1D con

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Fı́sica
Respuesta electromagnética de cristales
fotónicos 1D con metamateriales
Tesis presentada para optar por el tı́tulo de Doctor de la
Universidad de Buenos Aires en el área de Fı́sica
Marı́a Luz Martı́nez Ricci
Director: Dr. Ricardo A. Depine
Consejero de Estudios: Dr. Ricardo A. Depine
Lugar de Trabajo: Grupo de Electromagnetismo Aplicado
Buenos Aires, Abril 2009
Resumen
En este trabajo se resuelve el problema de modos propios y de reflexión y transmisión
de una estructura compuesta por la combinación de dos materiales artificiales que en
las últimas décadas han atraı́do mucha atención: los cristales fotónicos (en este caso su
representación unidimensional a partir de multicapas) y los metamateriales. Bajo la consideración de metamateriales isótropos, se muestra que la estructura compuesta exhibe
nuevas bandas prohibidas cuyo mecanismo de formación es diferente de los mecanismos
para las denominadas bandas de Bragg y de ı́ndice promedio cero. Mediante una completa
caracterización de estas nuevas bandas se muestra su dependencia con el grado de dispersión del metamaterial. Se obtienen expresiones analı́ticas aproximadas para la posición
frecuencial de los lı́mites de las nuevas bandas y de la banda de ı́ndice promedio cero. El
estudio se completa analizando la dependencia espacial de los campos electromagnéticos
para frecuencias cercanas a los lı́mites de estas bandas. Los resultados obtenidos se generalizan para el caso de metamateriales anisótropos.
Palabras Clave: Cristal Fotónico, Multicapas, Metamateriales, Refracción Negativa,
Medios Anisótropos
i
ii
Abstract
In this work we solve the eigenmode and reflection-transmission problem of a structure
which combines two artificial materials that have attracted much attention over the last
decades: photonic crystals (in this case, its multilayer 1D representation) and metamaterials. Under the consideration of isotropic metamaterials, it is shown that the composite
structure exhibits forbidden bands with a formation mechanism different from the mechanisms for Bragg and zero average index bands. Through a complete characterization
of these new bands, we show their dependence on the metamaterial dispersion degree.
Approximate analytical expressions are obtained for the limits of the new bands and the
zero average index band. The study is completed by analyzing the spatial dependence
of the electromagnetic fields for frequencies near the limits of these bands. The results
obtained are generalized to the case of anisotropic metamaterials.
Key Words: Photonic Crystals, Multilayers, Metamaterials, Negative Refraction,
Anisotropic Media
iii
iv
Agradecimientos
En esta oportunidad quiero agradecer a todos los que de alguna manera u otra han
estado a mi lado durante estos años de doctorado. En primer lugar quiero darle mi especial
gratitud a mi director Ricardo. Él no sólo me dado la oportunidad de trabajar en un
tema de mi interés sino que me ha transmitido el entusiasmo que lo caracteriza, ası́ como
también me ha guiado tanto en la investigación como en la docencia. La experiencia
que he adquirido durante estos años de trabajo en GEA ha sido y será fundamental
para los proyectos que he de afrontar a lo largo de mi carrera. GRACIAS. También quiero
agradecerle a Diana, con quien he tenido siempre gratas y productivas charlas. Al resto de
GEA de siempre Ángela, Marina, Miriam, Susana. A la nueva generación de GEA que por
suerte crece cada vez más y más, a Mauro, Vivi y Ana por conversaciones enriquecedoras,
por dar alegrı́a y por su hermosa amistad (y ricos mates!). También quiero darle las gracias
a la gente de Valencia: Juan, Enrique, Pedro y mi amigo Felipe por la experiencia adquirida
y por hacerme sentir realmente cómoda durante mi estadı́a allá. A Roberto Bochicchio
por prestarme su oficina en los dı́as calurosos de verano, pero fundamentalmente por
ofrecerme su confianza, y a Horacio Grinberg por cuidar del sector de becarios y estar
siempre dispuesto a ayudarnos.
Al CONICET, a la Universidad de Buenos Aires y al Departamento de Fı́sica, mi
agradecimiento por haberme dado la posibilidad de realizar este trabajo de investigación.
A todos los que dieron su paso por la oficina, Fede W., Luis, Aner, mi amiga Carlita, y a mi nuevo amigo Guido, por compartir las importantes horas de trabajo. A Lore,
una amiga de fierro, que junto con Carlita hemos formado un trı́o inigualable. A Vero y
Pablote por estar siempre ahı́, al pie del cañón. A los amigos que están lejos, lejos pero
siempre muy al lado mı́o, Gabriel, Renata, Cobelli y mi amigo del alma Diego. A mis
amigas Lore B., Alicia, Susana, Luz Marı́a, gracias por todo lo de siempre.
v
Un capı́tulo aparte merece mi familia a quien amo profundamente. A Papá que me ha
transmitido el amor por la ciencia y que siempre me ha dado su incondicional apoyo. A
mis hermanos July y Andy por ser tan dulces y buenos, y estar a mi lado siempre. A mis
cuñadas, Anita y Melina, ¡que lindo que mis hermanos las hayan elegido, son lo más!. A
Grace, Ceci, Marita y Sergio, a Anı́bal y Mary; estoy feliz porque son mi nueva familia.
A Mamá que, desde donde esté, sé que siempre me está cuidando y enviando mucha
energı́a y amor.
Y finalmente a mis dos grandes amores: Esteban y Ezequiel. Sin ellos nada de todo
esto serı́a posible. Esteban: cruzarme con vos en esta vida ha sido y será lo mejor que me
pudo pasar, gracias por la música que le das a mis dı́as. Sos mi sol y mi gran amor. Eze:
hijito mı́o, el sólo nombrarte me llena el corazón, sos todo y más de lo que pude haber
soñado. Gracias a los dos por estar siempre ahı́ dándome su comprensión y aguante, por
bancar mis alegrı́as y mis dı́as de angustia. Pero por sobre todo gracias por tanto, tanto
pero tanto amor. Los amo.
Luz
vi
a mi amores, Eze y Esteban,
a toda mi familia y amigos
Índice general
Resumen
I
Abstract
III
Agradecimientos
V
1. Introducción
1
2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
9
2.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2. Medios Homogéneos y Condiciones de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Sistemas Multicapa Infinitamente Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Sistemas Multicapa Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6. Incorporación de Metamateriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1. Bandas de Bragg en Estructuras con Metamateriales . . . . . . . . 31
2.6.2. Banda Prohibida de Índice Promedio Cero . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7. Banda < n >= 0 en Propagación Oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Nuevas Bandas Prohibidas
39
3.1. Bandas Prohibidas Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Propiedades de las Bandas Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3. Sistemas con Pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4. Omnidireccionalidad e Interacción de las Nuevas Bandas . . . . . . . . . . 48
4. Nuevas Bandas: Caracterización
53
4.1. Rol de la Dispersión en los Bordes de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ix
4.2. Aproximaciones Analı́ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3. Campos Electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4. Inclusión en Guı́as de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5. Multicapas Anisótropas
81
5.1. Eje Óptico en Direcciones de Simetrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2. Eje Óptico en el Plano de Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6. Conclusiones
103
Publicaciones asociadas a esta Tesis
117
Capı́tulo 1
Introducción
La propagación de ondas en medios periódicos estratificados ha sido, durante los últimos dos siglos, un tema de interés tanto en el área de fı́sica teórica como aplicada. Uno
de los primeros estudios que se registran es el realizado en 1887 por Lord Rayleigh [1],
quien determina teóricamente la existencia de rangos de frecuencias de alta reflectividad
hoy conocidos como bandas prohibidas. Con anterioridad, otros cientı́ficos como Cauchy,
Baden-Powell y Kelvin [2] habı́an estudiado la propagación de ondas en redes periódicas
formadas por partı́culas idénticas. En 1928 el matemático francés Gastón Floquet [2, 3]
halla la solución fundamental de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes que dependen periódicamente de la variable de integración. En el
mismo año Félix Bloch [4], interesado en estudiar la conducción de electrones en un sólido
cristalino, generaliza los resultados de Floquet a tres dimensiones. La teorı́a desarrollada por Floquet y Bloch no sólo se aplica a la ecuación de Schrödinger con potenciales
periódicos, sino también a cualquier ecuación diferencial en derivadas parciales cuyos coeficientes dependen periódicamente de las variables de integración. Por este motivo, los
resultados de Floquet-Bloch son esenciales para analizar cualquier fenómeno ondulatorio en medios periódicos, como por ejemplo: partı́culas en sólidos cristalinos [5], ondas
mecánicas [6, 7], ondas acústicas [8], ondas electromagnéticas [9, 10] u ondas superficiales
oceánicas [11]. Durante sus investigaciones sobre propagación de electrones en sólidos
cristalinos, el fı́sico francés Léon Brillouin introduce la teorı́a de zonas (1930) y nuevos
métodos de resolución para las ecuaciones de Bloch. En su libro Wave propagation on
periodic structures (1946), Brillouin [12] publica sus aportes personales junto con una revisión muy completa del estado del tema. Abelès [13], interesado en la respuesta óptica
1
2
CAPÍTULO 1. Introducción
de sistemas de multicapas periódicos, realizó importantes contribuciones teóricas, como el
método de la matriz de transferencia, redescubierto posteriormente en fı́sica cuántica [6].
Entre otros métodos, cabe destacar el modelo de modos acoplados [14], modelos perturbativos [15] o de scattering [16]. Durante la década de 1970, el estudio de medios periódicos
unidimensionales recibe un fuerte impulso debido a la posibilidad de utilizar materiales
con diversas respuestas (no lineales, anisótropos, magneto-ópticos, electro-ópticos, etc.).
Desde el último decenio del siglo XX hasta la fecha, el interés por la propagación
de la luz en medios periódicos se ha renovado debido a la posibilidad de fabricar materiales periódicos artificiales, conocidos como cristales fotónicos, que podrı́an controlar la
luz de manera análoga a como los semiconductores controlan a los electrones. La analogı́a entre materiales semiconductores y cristales fotónicos surge de considerar que en un
material semiconductor el electrón se ve sometido a la acción de un potencial periódico
originado por la red atómica cristalina. Debido a este potencial periódico, la relación de
dispersión del electrón exhibe una estructura de bandas de energı́as permitidas y prohibidas. De manera análoga, en los cristales fotónicos la distribución periódica de materiales
dieléctricos modifica la relación de dispersión del fotón, generando bandas de frecuencias
donde su propagación está permitida o prohibida. Si bien el estudio de diversas formas de cristales fotónicos empezó hace más de un siglo [1, 12, 13], el nombre de cristal
fotónico comenzó a usarse a partir de 1987, cuando con apenas unas semanas de diferencia,
E. Yablonovitch [17] y S. John [18] hicieron notar que el empleo de estructuras periódicas
podı́a ser relevante para estudiar conceptos fundamentales en fı́sica, como el de inhibición
de la emisión espontánea [17] o el de localización fotónica [18]. Durante la década de 1990
el número de trabajos sobre el tema creció exponencialmente. Los cristales fotónicos abren
nuevas posibilidades en aplicaciones tecnológicas donde la transmisión y el procesamiento
de señales podrı́a hacerse utilizando luz, en lugar de electrones como ocurre en la tecnologı́a actual. Para aumentar la velocidad de procesamiento, la tecnologı́a electrónica
recurre a la miniaturización de los dispositivos semiconductores. Sin embargo, cuando se
llega a espesores del orden de algunas unidades atómicas, como sucede con algunos diseños
actuales, la miniaturización en sı́ misma deja de funcionar. Diferentes áreas de la Fı́sica,
como la computación cuántica [19, 20], la spintrónica [21] y la óptica están investigando
alternativas para superar los lı́mites de la tecnologı́a electrónica. Una tecnologı́a basada
en el uso de la luz como portador de información tendrı́a ventajas sobre la tecnologı́a
electrónica ya que los fotones, debido entre otros factores a la ausencia de carga y masa,
3
resultan más eficientes que los electrones en el transporte de la información. Para llegar a
tecnologı́as puramente ópticas se están investigando soluciones diversas, como los cristales
fotónicos [9], los plasmones [22] y los metamateriales [23].
Los cristales fotónicos pueden clasificarse en tres categorı́as, según las direcciones de
periodicidad: unidimensionales (1D), bidimensionales (2D) y tridimensionales (3D) tal
como se esquematiza en la fig. 1.1.
Figura 1.1: Esquemas de cristales fotónicos unidimensionales (1D), bidimensionales
(2D), y tridimensionales (3D). Los colores representan materiales de diferentes constantes constitutivas. (Figura tomada de [9])
El desarrollo de estos materiales en el rango óptico resulta sumamente complejo debido
al tamaño tan pequeño que adquieren las constantes de red. En la fig. 1.2 se muestran
fotografı́as de cristales fotónicos reales con perı́odos que oscilan entre 500nm y 1, 5µm.
Figura 1.2: Ejemplos de estructuras reales 1D, 2D y 3D. (a) Imagen SEM de la
sección transversal de un cristal fotónico 1D hecho de silicio de perı́odo ≈ 700nm
(Imagen tomada de [24]), (b) Imagen SEM de una estructura 2D (fibra de cristal
fotónico) de perı́odo ≈ 1µm y núcleo hueco de 5µm (Imagen tomada de [25]), (c)
Imagen SEM de una estructura 3D de ópalo inverso de perı́odo ≈ 1µm (Imagen
tomada de [26])
Las multicapas periódicas corresponden al caso de cristales fotónicos 1D (ver figs. 1.1
y 1.2). A pesar de ser el caso más sencillo, las multicapas periódicas exhiben muchos
de los fenómenos observados en cristales fotónicos más complejos, con la ventaja de que
los tratamientos que se utilizan en su resolución permiten comprender de manera más
4
CAPÍTULO 1. Introducción
simple y directa los fenómenos fı́sicos que intervienen. Múltiples son las actuales y futuras
aplicaciones de los cristales fotónicos 1D, entre las que podemos citar recubrimientos
antireflectantes de lentes [27], espejos de alta reflectividad [28, 29, 30], detección de gases [31], filtros [32], fibras de Bragg para la industria textil [33] y el aumento de la eficiencia
en LEDs [34]. Las fibras de cristal fotónico son una de las principales aplicaciones de los
cristales fotónicos 2D [35]. Se caracterizan por poseer una microestructura, generalmente
de agujeros de aire en sı́lice, que se extiende a lo largo de la fibra. Mediante el adecuado
diseño de su microestructura [36], estas fibras pueden exhibir propiedades muy distintas
a las de la fibra óptica estándar [37], como las bandas de propagación monomodo muy
extensas y el incremento de la dispersión cromática. A diferencia de los cristales fotónicos
1D y 2D, el caso 3D es el único que puede presentar bandas prohibidas completas, es
decir bandas prohibidas para todas las direcciones de propagación del fotón. Los primeros
cristales fotónicos 3D con una banda completa para 1,5µm, la zona de trabajo de las
comunicaciones de internet, fueron fabricados en el año 2000 mediante dos técnicas muy
diferentes: la técnica de apilamiento de barras [38] y la de ópalos inversos [26]. Si bien
con los años han ido apareciendo distintas técnicas de construcción de cristales 3D, los
resultados más espectaculares han tomado como modelo los ópalos, debido a su sencillez
y económica fabricación [39]. Recientemente, las investigaciones se han extendido a la
región de bandas altas [39]-[45], donde aún resulta necesario explorar el rol de los efectos
de desorden durante los procesos de fabricación [40].
En los estudios teóricos y experimentales sobre cristales fotónicos se han considerado materiales muy diversos, como los materiales isótropos, los anisótropos [46] y los no
lineales [47, 48]. Dentro de los materiales isótropos, caracterizados por constantes constitutivas ε y µ, se encuentran los materiales dieléctricos (ε > 0 y µ > 0), los metales (ε < 0
y µ > 0) [49] y los materiales antiferromagnéticos (ε > 0 y µ < 0) [50]. En los últimos
años, se ha empezado a considerar una nueva clase de materiales isótropos llamados metamateriales. Estos nuevos materiales son estructuras artificiales compuestas, generalmente
periódicas, que presentan propiedades inusuales y no observadas (o difı́ciles de obtener)
en los materiales naturales. En lo que se refiere a sus propiedades electromagnéticas, los
metamateriales pueden exhibir permitividad eléctrica ε y permeabilidad magnética µ con
signos arbitrarios. En particular, tanto ε como µ pueden ser simultáneamente negativos
en el mismo rango de frecuencias. Esta propiedad corresponde a un material transparente
√
con ı́ndice de refracción negativo n = − ε µ [51]. Con la aparición de esta nueva clase
5
de medios se completan las cuatro combinaciones de signos posibles para (ε, µ): (+, +),
(−, +), (+, −) y (−, −). La respuesta de las ondas electromagnéticas para cada una de las
combinaciones mencionadas se muestra en el diagrama ε − µ de la fig. 1.3 (en donde no se
han considerado las pérdidas de los materiales) [51] . En el caso de materiales dieléctricos
Figura 1.3: Diagrama que resume las caracterı́sticas de los diferentes medios existentes según el signo de la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética
las ondas en el medio son propagantes, y en metales y materiales antiferromagnéticos las
ondas son evanescentes, por lo que no es factible la propagación de las mismas en medios
ilimitados de estas caracterı́sticas. Los materiales de ı́ndice de refracción negativo fueron
postulados por Veselago [52] en 1967, quien indicó que las ondas en estos medios se propagan con velocidad de fase opuesta a la dirección del flujo de energı́a (vector de Poynting).
Por este motivo estos materiales reciben la denominación de materiales de “velocidad de
fase negativa”(en inglés Negative Phase Velocity - NPV). En estos materiales, debido a
la permeabilidad magnética negativa, los campos eléctrico E, magnético H y la dirección
de propagación k forman una terna izquierda, razón por la cual estos materiales también
suelen ser llamados “materiales izquierdos”(en inglés Left Handed Materials -LHM).
Los años 1999 y 2000 marcaron un punto clave en la investigación de materiales de
ı́ndice negativo, ya que Pendry [50] y sus colaboradores confirmaron teóricamente la posibilidad de crear materiales con µ < 0 basados en estructuras denominadas resonadores de
anillos partidos (conocidos como SRR, por las siglas en inglés de Split Ring Resonators).
Este material fue desarrollado experimentalmente por primera vez en el año 2000 por el
6
CAPÍTULO 1. Introducción
grupo de Smith [53] para ser empleado en el rango de las microondas. La distribución
periódica de SRRs de cobre con alambres del mismo material dió lugar a un material
con ı́ndice de refracción negativo para el rango de frecuencias de resonancia de las incrustaciones metálicas. Este comportamiento determina que los metamateriales desarrollados experimentalmente resulten altamente dispersivos, ası́ como también disipativos y
anisótropos. Estos materiales se destacan por poseer propiedades fı́sicas inusuales, como
la inversión de la ley de Snell, y los efectos Doppler y Cherenkov revertidos, entre otros.
Los metamateriales han atraı́do mucha atención debido a sus posibles aplicaciones, entre
las que se destaca la lente perfecta propuesta por Veselago. Pendry [54] demostró que esta
lente de ı́ndice refracción negativo focaliza tanto las ondas propagantes como las evanescentes, lo cual permite superar el lı́mite de la difracción en la formación de imágenes [55].
Desde la primera estructura desarrollada por Smith, se ha avanzado en la elaboración de
metamateriales en diferentes rangos de frecuencias [56]-[61].Los avances más recientes han
llegado hasta el infrarrojo cercano [62]. La fig. 1.4a muestra la estructura desarrollada por
Smith en el año 2000 para el rango de las microondas y la 1.4b la desarrollada para 780nm
por Dolling et. al.
Figura 1.4: Ejemplos de metamateriales de ı́ndice de refracción negativo (a) Fotografı́a del metamaterial diseñado por Smith et.al [56] en el rango de los GHz, (b)
Micrografı́a electrónica de la muestra elaborada por Dolling et.al. [62] en el rango de
los THz
Dado que los metamateriales presentan una interesante e inesperada respuesta electromagnética, resulta de interés revisar los diferentes fenómenos fı́sicos, tales como plasmones [63] o bandas prohibidas en cristales fotónicos [64, 65], que pueden ocurrir en
los sistemas construidos con metamateriales. En esta lı́nea de trabajo se inserta la presente tesis doctoral, centrada en el estudio detallado de la respuesta electromagnética de
cristales fotónicos multicapa que alternan dieléctricos de ı́ndice de refracción positivo con
7
metamateriales de parámetros constitutivos arbitrarios. Para el desarrollo y la comprensión de los nuevos resultados, en el Capı́tulo 2 se introducen los desarrollos analı́ticos
necesarios para resolver el problema de los cristales fotónicos multicapa y se ejemplifican
las principales caracterı́sticas de los ya conocidos sistemas de capas dieléctricas positivas.
También se muestran los resultados previos a esta tesis relacionados con la inclusión de
metamateriales en sistemas multicapas. En el Capı́tulo 3 se presentan nuevos mecanismos de formación de bandas prohibidas en sistemas bicapa que alternan dieléctricos y
metamateriales. Un punto esencial de este capı́tulo es el análisis de las singularidades en
la relación de dispersión del cristal fotónico para aquellas frecuencias en que el ı́ndice de
refracción del metamaterial se anula. También se analiza la posibilidad de obtener bandas omnidireccionales a partir de la interacción de las nuevas bandas prohibidas. En el
Capı́tulo 4 se realiza un análisis sobre el importante papel que posee la dispersividad del
metamaterial en los lı́mites de las bandas. Asimismo, se obtienen expresiones analı́ticas
aproximadas para los bordes de banda que permiten predecir caracterı́sticas de las nuevas
bandas prohibidas. Se incluye además el estudio de los campos en las capas de la estructura. Hacia el final de este capı́tulo se considera la influencia del tamaño transversal de
las multicapas mediante su inclusión en guı́as de onda. Los resultados obtenidos en los
capı́tulos anteriores se generalizan en el Capı́tulo 5, en donde se considera la anisotropı́a
intrı́nseca de los metamateriales. Para estos sistemas se reexaminan los mecanismos de
formación de las nuevas bandas en función de la orientación del eje óptico del metamaterial
anisótropo. Finalmente, en el Capı́tulo 6 se analizan y resumen los resultados presentados
en este trabajo, ası́ como también se muestran posibles continuaciones a realizar en esta
lı́nea de investigación.
8
Capı́tulo 2
Cristales Fotónicos Unidimensionales
En este capı́tulo se resume el panorama preexistente al comienzo de este trabajo de
tesis. Para ello, en primer lugar se da una breve descripción del tratamiento electromagnético involucrado en la resolución de sistemas multicapa [66, 67, 68]. Se muestran
los pasos necesarios, análogos a los obtenidos posteriormente para sistemas 1D en otras
áreas de la Fı́sica [6], para arrivar a resultados conocidos tanto para el caso de los modos
de Floquet-Bloch en sistemas infinitos, como también para el caso de sistemas finitos.
En segundo lugar, se presentan simulaciones numéricas de estructuras multicapas constituidas por materiales dieléctricos de ı́ndice de refracción positivo, las cuales servirán de
referencia en los capı́tulos siguientes para determinar cambios y diferencias con los nuevos
resultados obtenidos. Finalmente, en la última sección, se introducen los avances alcanzados en los últimos años a partir de la incorporación de nuevos materiales a estructuras
fotónicas unidimensionales, y se presentan los resultados preliminares obtenidos en este
trabajo.
2.1.
Ecuaciones de Maxwell
El electromagnetismo clásico queda formulado con cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan los campos electromagnéticos y sus fuentes. En el sistema Gaussiano de unidades (el cual será utilizado a lo largo de este trabajo), estas ecuaciones adquieren
la siguiente forma [69]:
9
10
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
1 ∂B(r, t)
,
c
∂t
1 ∂D(r, t)
4π
J (r, t) +
,
∇ × H(r, t) =
c
c
∂t
∇ · D(r, t) = 4πρ(r, t),
∇ × E(r, t) = −
∇ · B(r, t) = 0,
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
donde E representa el vector campo eléctrico, H el vector campo magnético, D el vector
desplazamiento eléctrico y B el vector inducción magnética. J corresponde al vector
densidad de corriente y ρ a la densidad de carga. Tanto los campos como las fuentes son
funciones de la coordenada de posición r y del tiempo t. Para una completa descripción
de la respuesta del medio deben considerarse, además de las ecs. 2.1- 2.4, otras ecuaciones
llamadas constitutivas. Para medios lineales, las ecuaciones constitutivas se simplifican si
se consideran dependencias temporales armónicas representadas por:
η(r, t) = Re (η(r)e−iωt ),
(2.5)
donde η(r, t) es cualquiera de las magnitudes que aparecen en las ecs. 2.1-2.4, ω es la
frecuencia angular y Re( ) indica la parte real de una magnitud compleja. En este trabajo
el sı́mbolo Re( ) será omitido pero estará implı́cito. Para dependencias armónicas, las
ecuaciones constitutivas de medios lineales son:
D(r, t) = ε̃(r) E(r, t),
(2.6)
B(r, t) = µ̃(r) H(r, t),
(2.7)
donde ε̃ es el tensor permitividad eléctrica, µ̃ el tensor permeabilidad magnética y los
elementos de ambos tensores son funciones complejas de la frecuencia ω. En general, las
expresiones 2.6 y 2.7 describen medios anisótropos. Los tensores ε̃ y µ̃ resultan diagonales
cuando se usa un sistema de ejes especiales, llamados ejes principales, relacionados con
las simetrı́as de la estructura interna de cada material. Cuando los tres autovalores de
cada tensor son iguales, el material es isótropo y las propiedades del material quedan
determinadas solamente por dos parámetros complejos dependientes de la frecuencia, ε y
µ. Si los ejes principales de ambos tensores coinciden y dos de los autovectores de cada
2.2. Medios Homogéneos y Condiciones de Contorno
11
tensor son degenerados el material es GiroElectroMagnético (GEM) [71]. El autovector
asociado al autovalor diferente es denominado eje óptico del tensor correspondiente.
A partir de las ecuaciones constitutivas 2.6–2.7, las ecuaciones de Maxwell para dependencias temporales armónicas y medios lineales sin fuentes libres quedan:
iω µ̃
H(r),
c
iω ε̃
E(r),
∇ × H(r) = −
c
∇ · E(r, t) = 0,
(2.10)
∇ · B(r, t) = 0.
(2.11)
∇ × E(r) =
2.2.
(2.8)
(2.9)
Medios Homogéneos y Condiciones de Contorno
En medios homogéneos, la dependencia espacial para η(r) en la ec. 2.5 puede escribirse
en términos de ondas planas de la forma:
η(r) = A eik r ,
(2.12)
en donde A es un vector complejo y k el vector de onda que representa la dirección de
propagación. Si x − z es el plano de propagación
k = αx̂ + β ẑ.
(2.13)
Cuando se especifica el tipo de medio y la dirección de propagación, en general quedan
determinados dos valores permitidos para el módulo cuadrado del vector k. A cada uno
de estos valores le corresponde un vector A que especifica la polarización de la onda.
Medios isótropos
En un medio isótropo, los dos valores del módulo cuadrado del vector k resultan
iguales, |k|2 = k02 εµ, donde k0 = ω/c y no dependen de la dirección de propagación. La
única condición que surge sobre el vector A es que A ⊥ k. Si α se supone conocido,
entonces β resulta:
q
β ± = ± k02 εµ − α2 .
(2.14)
12
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
La bivaluación en la ec. 2.14 identifica dos posibles soluciones, una con proyección del
vector k en la dirección +ẑ y otra en la dirección −ẑ. El signo adecuado debe ser elegido
mediante consideraciones fı́sicas sobre la dirección de propagación del flujo de potencia. En promedio temporal, esta dirección viene dada a través del vector de Poynting
c
< S >=
Re(E × H ∗ ), que para medios isótropos sin pérdidas adquiere la expresión
8π
c |E|2
k. Se deduce a partir de esta última ecuación que la dirección del flujo
< S >=
8π k0 µ
de potencia < S > coincide con la dirección del vector de onda k. La orientación entre
ambos vectores, paralela o antiparalela, queda determinada por el signo del parámetro
µ. Para el caso de dieléctricos convencionales de ı́ndice de refracción positivo (ε > 0 y
µ > 0), el flujo de potencia es paralelo al vector de onda y por lo tanto, el signo positivo
de la ec. 2.14 representa ondas con flujo en la dirección +ẑ, mientras que el signo negativo
representa ondas con flujo de potencia en la dirección −ẑ. En cambio, para materiales con
ı́ndice de refracción negativo (ε < 0 y µ < 0), la orientación del flujo de potencia resulta
antiparalela al vector de onda k. Por lo tanto, para estos materiales el signo positivo de
la ec. 2.14 representa ondas con flujo en la dirección −ẑ, mientras que el signo negativo
representa ondas con flujo de potencia en la dirección +ẑ.
En todo sistema con simetrı́a de traslación a lo largo de la dirección y es posible
expresar el problema vectorial de la polarización de los campos como una combinación
de dos problemas escalares. En estos sistemas, las componentes cartesianas de las ecs. 2.8
y 2.9 se expresan de la siguiente manera:
ic ∂Ey
(r, t),
ωµ ∂z
ic ∂Ey
Hz (r, t) =
(r, t),
ωµ ∂x
ic ∂Hy
(r, t),
Ex (r, t) =
ωε ∂z
ic ∂Hy
Ez (r, t) = −
(r, t).
ωε ∂x
Hx (r, t) = −
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Por un lado, las ecs. 2.15 y 2.16 que asocian Ey con Hx y Hz , definen un modo de
polarización llamado TE (Transverso Eléctrico - ver fig.2.1(a)) en el cual el campo eléctrico
es perpendicular al plano de propagación. Por otro lado, las ecs. 2.17 y 2.18 que relacionan
Hy con Ex y Ez definen otro modo de polarizacion llamado TM (Transverso Magnético ver fig.2.1(b)) en el cual el campo eléctrico está contenido en el plano de propagación (y
2.2. Medios Homogéneos y Condiciones de Contorno
13
entonces el campo magnético es perpendicular a dicho plano).
Ey
Hy
Hx
Hz
Ex
Ez
(a) Polarización TE
(b) Polarización TM
Figura 2.1: Modos de polarización definidos para sistemas con simetrı́a en el eje y
Medios anisótropos
En este trabajo se considerará que los tensores ε̃ y µ̃ se diagonalizan en la misma base
de autovectores, de esta manera las direcciones de los ejes ópticos resultan coincidentes.
Es posible entonces escribir a los tensores en función de sus autovalores y del eje óptico
común, ĉ:
ε̃ = ε⊥ I + (εk − ε⊥ ) ĉ ĉ,
(2.19)
µ̃ = µ⊥ I + (µk − µ⊥ ) ĉ ĉ,
(2.20)
donde el subı́ndice k (⊥) representa la dirección paralela (perpendicular) a ĉ e indica el
autovalor no repetido (repetido). El producto ĉ ĉ

c2 cx cy
 x
2
ĉ ĉ = 
 cy cx cy
cz cx cz cy
está definido por1 :

cx cz

cy cz 
.
c2z
(2.21)
En un medio GEM las polarizaciones permitidas se conocen como modo magnético y
modo eléctrico [70, 71]. En este trabajo consideraremos el caso particular en que el eje
1
El producto ĉĉ corresponde a un producto diádico, en el cual cada componente ij está definido por
el producto directo de los elementos i y j de cada uno de los vectores [70]
14
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
óptico ĉ está contenido en el plano de propagación
ĉ = cx x̂ + cz ẑ,
tal que c2x + c2z = 1.
En este caso, las polarizaciones permitidas coinciden con las polarizaciones TE y TM
definidas para medios isótropos, por lo cual continuaremos utilizando las denominaciones
TE y TM para describir los modos de
spolarización. Para la polarización TE, el módulo del
ε⊥ µ⊥ µk
vector de onda k resulta |kTE | = k0
y la componente z del vector
µ⊥ + (µk − µ⊥ )(k̂ · ĉ)2
de onda se obtiene resolviendo una ecuación cuadrática. Las soluciones de esta ecuación
son:
±
β =
−b ±
√
b2 − 4ac
,
2a
(2.22)
con a, b y c parámetros que dependen de las constantes constitutivas, de la orientación
del eje óptico y de la dirección de propagación:
a = µ⊥ + (µk − µ⊥ )c2z ,
(2.23)
b = 2(µk − µ⊥ )αcx cz ,
(2.24)
c = (µ⊥ + (µk − µ⊥ )c2x )α2 − k02 ε⊥ µk µ⊥ .
(2.25)
s
µ⊥ ε⊥ εk
y β también
Para el modo TM, el módulo de k resulta |kTM | = k0
ε⊥ + (εk − ε⊥ )(k̂ · ĉ)2
viene dado por la ec. 2.22, ahora con parámetros a, b y c definidos por:
a = ε⊥ + (εk − ε⊥ )c2z ,
(2.26)
b = 2(εk − ε⊥ )αcx cz ,
(2.27)
c = (ε⊥ + (εk − ε⊥ )c2x )α2 − k02 µ⊥ εk ε⊥ .
(2.28)
Notemos que para ambos modos de polarización, la componente z del vector de onda
resulta una función bivaluada cuyas soluciones β + y β − , a diferencia del caso isótropo, no
cumplen en general la relacion β + = −β − . Esta igualdad sólo se cumple en los siguientes
casos: i) inc. normal (α = 0), ii) cx = 0, iii) cz = 0 y iv) µ⊥ = µk (ε⊥ = εk ) en modo TE
(modo TM). Como en el caso isótropo, la bivaluación se resuelve mediante consideraciones
2.2. Medios Homogéneos y Condiciones de Contorno
15
fı́sicas sobre la dirección de propagación del promedio temporal del flujo de potencia. En
el modo TE y para medios sin pérdidas, esta dirección resulta:
c |E|2
∗
<S>=
Re α (µk c2x + µ⊥ c2z ) + (µk − µ⊥ ) β ± cx cz x̂+
8π k0 µ⊥ µk
±∗
+ β (µk c2z + µ⊥ c2x ) + (µk − µ⊥ ) αcx cz ẑ},
(2.29)
donde E = E ŷ es la amplitud del campo eléctrico. Esta expresión muestra que, a diferencia de lo que ocurre en el caso isótropo, las direcciones de < S > y k en general no
coinciden. En los casos particulares de simetrı́a cx = 0 ó cz = 0, la ec. 2.29 se reduce a:

2
±
|E|
β
α
c


x̂ +
ẑ
si cx = 0,

8π k0 µk
µ⊥ < S >=
(2.30)
c |E|2 α
β±


x̂ +
ẑ
si cz = 0.

8π k0
µ⊥
µk
En estos casos, la elección del signo adecuado de β en la ec. 2.22 depende del signo de µ⊥
(cuando cx = 0) o del signo de µk (cuando cz = 0). En el caso general, la condición para
obtener un flujo de potencia positivo en la dirección +ẑ es la siguiente:
2(µk − µ⊥ )αcx cz
b
=− .
2
2
2(µk cz + µ⊥ cx )
2a
Este resultado muestra que la elección del doble signo en β depende del signo de la
β± > −
constante a. Cuando a > 0, el signo positivo en la ec. 2.22 corresponde a un flujo de
potencia en la dirección +ẑ, mientras que el signo negativo corresponde a un flujo en
la dirección −ẑ. En cambio, si a < 0, el signo positivo en β corresponde a un flujo de
potencia en la dirección −ẑ, mientras que el signo negativo corresponde a un flujo en la
dirección +ẑ.
Condiciones de Contorno
Cuando hay una discontinuidad del medio es necesario imponer condiciones de contorno en la superficie de separación (ver fig. 2.2). Estas condiciones son:
n̂ × (E1 − E2 )|r∈Γ = 0,
4π
K,
n̂ × (H1 − H2 )|r∈Γ =
c
n̂ · (D1 − D2 )|r∈Γ = 4πσ,
n̂ · (B1 − B2 )|r∈Γ = 0,
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
16
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
donde σ es la densidad superficial de carga, K la densidad superficial de corriente en la
superficie de separación Γ y n̂ representa la normal a la misma. La ec. 2.31 establece la
n
Γ
1
2
Figura 2.2: Esquema de una superficie de separación Γ entre dos medios materiales
continuidad de la componente tangencial del campo E en Γ y la ec. 2.34 la continuidad
de la componente normal de B. En las estructuras multicapa (fig. 2.3) las superficies de
separación son planos con normal n̂ = ẑ.
x
y
z
Figura 2.3: Esquema de un cristal fotónico 1D de celda unidad tricapa junto con el
sistema de coordenadas elegido para el análisis de estas estructuras
En este caso, las ecuaciones de continuidad son:
Ey(1)(r, t)|r∈Γ = Ey(2)(r, t)|r∈Γ ,
(2.35)
Hx(1) (r, t)|r∈Γ = Hx(2)(r, t)|r∈Γ ,
(2.36)
Hy(1)(r, t)|r∈Γ = Hy(2) (r, t)|r∈Γ,
(2.37)
Ex(1)(r, t)|r∈Γ = Ex(2)(r, t)|r∈Γ ,
(2.38)
para el modo TE y:
2.3. Sistemas Multicapa Infinitamente Periódicos
17
para el modo TM. En el caso particular de medios isótropos las componentes de los campos
se relacionan a través de las expresiones 2.15-2.18, y entonces las condiciones de contorno
para ambos modos polarización pueden expresarse en un único par de ecuaciones dado
por:
f (1) (r, t)|r∈Γ = f (2)(r, t)|r∈Γ ,
1 ∂f (2)
1 ∂f (1)
(r, t)|r∈Γ =
(r, t)|r∈Γ ,
σ1 ∂ n̂
σ2 ∂ n̂
(2.39)
(2.40)
en donde
f (j) (r) =
(
(j)
Ey (r) en modo TE
(j)
Hy (r)
en modo TM
y
σj =
(
µj en modo TE
εj en modo TM
(2.41)
con j = 1, 2 cada uno de los medios materiales a cada lado de la superficie Γ.
2.3.
Sistemas Multicapa Infinitamente Periódicos
La forma más simple de un cristal fotónico unidimensional consiste en el apilamiento
periódico de pelı́culas de diferentes materiales transparentes. Si los materiales son homogéneos, los campos en cada región se escriben en términos de las soluciones elementales
discutidas en la seccion 2.2.
Sistemas Binarios
Debido a que los sistemas binarios, con una celda unidad formada por dos capas,
permiten obtener expresiones analı́ticas para la relación de dispersión, en este trabajo
prestaremos especial atención a estos sistemas. Consideremos una estructura binaria formada por capas con parámetros constitutivos ε1, µ1 y ε2 , µ2 . Si d1 y d2 son los espesores,
el perı́odo del sistema es d = d1 + d2 (ver fig. 2.5).
Los campos en cada región se escriben empleando las soluciones de ondas planas vistas
en la sec. 2.2:
18
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
d1
d2
ε1,µ1
ε2,µ2
θ
d
Figura 2.4: Esquema del cristal fotónico 1D binario a estudiar
f (1) (x, z) = (A1e−iβ1 z + B1 eiβ1 z )eiαx,
(2.42)
f (2) (x, z) = (A2e−iβ2 z + B2 eiβ2 z )eiαx,
(2.43)
f (3) (x, z) = (A3e−iβ1 z + B3 eiβ1 z )eiαx,
..
..
.
.
(2.44)
donde f (j) (x, z) está definida por la ec. 2.41. Dado que la componente tangencial del campo
eléctrico es continua en cada una de las interfases y que éstas coinciden con la dirección
x̂, todos las ondas planas deben tener vectores de onda con la misma componente según
x (α).qSi la estructura se ilumina desde el medio 1 con una onda incidente, entonces
α = ( ωc )2 ε1µ1 sin2 θ, donde θ es el ángulo que forma el vector k en el medio 1 con
la normal a las superficies. En las expresiones 2.42-2.44 intervienen ondas con flujos de
potencia en las direcciones +ẑ y −ẑ y se ha definido βj = |βj+ | = |βj− |.
Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que describen el problema de los
cristales fotónicos poseen coeficientes periódicos. Según el teorema de Floquet-Bloch [72],
sus soluciones elementales pueden escribirse como el producto de una onda plana y una
función periódica. En el caso de las estructuras multicapas:
F K B (x, z) = eiK B z f K B (x, z),
con
f K B (x, z + d) = f K B (x, z),
(2.45)
2.3. Sistemas Multicapa Infinitamente Periódicos
19
donde F (x, z) representa cualquiera de los campos electromagnéticos, E(x, z), D(x, z),
H(x, z) o B(x, z). Las funciones F K B y f K B dependen del subı́ndice KB conocido como
el vector de onda de Bloch. Este vector es función de la frecuencia ω y la relación funcional
es conocida como relación de dispersión. El teorema de Floquet-Bloch permite entonces
calcular la solución de los campos en una celda elemental y a partir de KB (ω) conocer los
campos en cualquier otra celda elemental.
Las amplitudes de los campos Aj y Bj de capas adyacentes están relacionadas por las
condiciones de contorno 2.39-2.40. Aplicando estas condiciones en dos interfaces contiguas,
por ejemplo z1 y z2:
f (1) (x, z1) = f (2)(x, z1),
1 ∂f (2)
1 ∂f (1)
(x, z1) =
(x, z1),
σ1 ∂z
σ2 ∂z
(2.46)
(2.47)
f (1) (x, z2) = f (2)(x, z2),
1 ∂f (2)
1 ∂f (1)
(x, z2) =
(x, z2).
σ1 ∂z
σ2 ∂z
(2.48)
(2.49)
Para que los campos dados por las ecs. 2.42-2.44 cumplan estas condiciones de contorno,
se deben satisfacer los siguientes sistemas matriciales:
e−iβ1 z1
− βσ11 e−iβ1 z1
{z
|
eiβ1z1
β1 iβ1 z1
e
σ1
M1 (z1 )
e−iβ2 z2
− βσ22 e−iβ2 z2
|
{z
eiβ2z2
β2 iβ2 z2
e
σ2
M2 (z2 )
!
}
!
}
A1
!
B1
A2
B2
!
=
e−iβ2 z1
− βσ22 e−iβ2 z1
{z
|
eiβ2 z1
β2 iβ2 z1
e
σ2
M2 (z1 )
=
e−iβ1 z2
− βσ11 e−iβ1 z2
|
{z
eiβ1 z2
β1 iβ1 z2
e
σ1
M1 (z2 )
!
}
!
}
A2
!
B2
A3
B3
!
,
(2.50)
.
(2.51)
Este sistema de ecuaciones relaciona las amplitudes en la tercera capa con las amplitudes
en la primera capa. Definiendo V~j = (Aj , Bj ), con j = 1, 2, 3; la ec. 2.50 se reescribe como:
~
V~2 = M−1
2 (z1 )M1 (z1 )V1 .
(2.52)
20
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
Utilizando este resultado, la ec. 2.51 puede expresarse de la siguiente manera:
~
V~3 = M−1
1 (z2 )M2 (z2 )V2 ,
= M−1
(z )M (z )M−1 (z )M (z ) V~ ,
| 1 2 2 2{z 2 1 1 1} 1
M
= MV~1 ,
(2.53)
donde la matriz M representa la matriz de transferencia de la celda unidad que relaciona
los campos entre dos capas de iguales parámetros constitutivos. Aún queda imponer la
condición de periodicidad del sistema, para ello recurrimos al teorema de Floquet-Bloch
(ec. 2.45)
f (x, z + d) = fKB (z + d)eiαxeiKB (z+d) = fKB (z + d)eiαxeiKB z eiKB d = f (x, z)eiKB d . (2.54)
|
{z
}
f (x,z)
Explicitando esta condición se llega a:
f (3) (z + d) = f (1)(z)eiKB d .
(2.55)
Al aplicar esta condición sobre los campos eléctrico y magnético, el sistema se reduce a
la siguiente condición matricial:
!
e−iβ1 d
0
0
eiβ1d
A3
!
B3
iKB d
=e
I
A1
!
B1
,
(2.56)
donde I representa la matriz identidad. Utilizando el resultado de la ec. 2.53 se llega a la
siguiente ecuación caracterı́stica del sistema:
e−iβ1 d
|
0
0
iβ1 d
e
{z
P
!
M
}
A1
B1
!
= eiKB d I
A1
B1
!
,
(2.57)
que muestra que V1 es un autovector de la matriz P con autovalor eiKB d . Para resolver el
problema de autovalores se deben encontrar las raı́ces del siguiente determinante:
det P − eiKB d I = 0.
(2.58)
2.3. Sistemas Multicapa Infinitamente Periódicos
21
Debido a que P relaciona los campos en dos capas con las mismas propiedades constitutivas, se puede demostrar que la matriz
! P es unimodular (det[P] = 1) aún cuando los
AB
medios tengan pérdidas. Si P =
, los autovalores eiKB d resultan:
C D
v
u
u A+D 2
A
+
D
i KB d
±t
e
=
− (AD − BC).
(2.59)
|
{z
}
2
2
=det P=1
Finalmente, se puede escribir la ecuación de dispersión en términos de la semitraza ξ de
la matriz P:
A+D
ei KB d + e−i KB d
=
,
ξ = cos(KB d) =
2
2
1
⇒ KB (ω) = arc cos
d
A+D
2
(2.60)
.
(2.61)
Vemos que cuando |ξ| < 1, KB toma valores reales y las ondas de Bloch en el cristal son
propagantes. En cambio, cuando |ξ| > 1, KB toma valores complejos con parte imaginaria
distinta de cero, y entonces las ondas de Bloch en el cristal son evanescentes. Esta diferencia de comportamiento da lugar a una estructura de bandas, con zonas de propagación
permitidas cuando |ξ| < 1, y prohibidas cuando |ξ| > 1. Calculando explı́citamente la
semitraza, la expresión KB (ω) resulta:
1
Q
KB (ω) = arc cos cos(β1 d1 ) cos(β2d2 ) − sin(β1d1 ) sin(β2 d2 ) ,
d
2
σ2 β1 σ1 β2
con Q =
+
.
σ1 β2 σ2 β1
(2.62)
Sistemas de J capas
Cuando la celda unidad contiene J capas caracterizadas por constantes constitutivas
εj , µj y espesores dj (con j = 1, J ), el sistema matricial para una discontinuidad dentro
de la celda unidad resulta:
e−iβj zj
β
− σjj e−iβj zj
|
{z
eiβj zj
βj iβj zj
e
σj
Mj (zj )
!
}
Aj
Bj
!
=
e−iβj+1 zj
β
− σj+1
e−iβj+1 zj
j+1
|
{z
eiβj+1 zj
βj+1 iβj+1 zj
e
σj+1
Mj+1 (zj )
!
}
Aj+1
Bj+1
!
,
(2.63)
22
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
que en notación matricial se escribe:
~j+1 = [Mj+1 (zj )]−1 Mj (zj )V~j ,
V
(2.64)
donde el subı́ndice de los vectores y las matrices indica la capa, y el subı́ndice de la
coordenada z señala sobre qué interfaz se impone la condición de continuidad. Mediante
procedimientos análogos a los empleados en la ec. 2.53, se obtiene la matriz de transferencia M que relaciona VJ+1 con V1 :
~J+1 = [MJ+1 (zJ )]−1 MJ (zJ ) . . . [Mj+1 (zj )]−1 Mj (zj ) . . . [M2 (z1)]−1 M1 (z1 ) V~1 ,
V
{z
}
|
(2.65)
M
⇒ V~J+1 = M V~1 .
(2.66)
La relación de dispersión se obtiene mediante procedimientos análogos a los empleados
en las ecs. 2.54-2.61. Para los casos J > 2, no es fácil hallar una expresión analı́tica
explı́cita, como la ec. 2.62 del sistema binario, salvo para estructuras con ciertas condiciones de simetrı́a. En estos casos resulta más conveniente evaluar la relación de dispersión
numéricamente.
Sistemas Binarios con Materiales Anisótropos
El método de la matriz de transferencia también se puede emplear para estudiar sistemas binarios en los que intervienen materiales anisótropos. A continuación mostraremos
el caso de un sistema binario cuya celda unidad alterna un material isótropo con un material giroelectromagnético cuyo eje óptico está en el plano x − z. Para el modo TE, los
campos en ambas capas se escriben como:
E (1) (x, z) = (A1 e−iβ1 z + B1 eiβ1z )eiαx ŷ,
−
+
E (2) (x, z) = (A2 eiβ2 z + B2 eiβ2 z )eiαx ŷ,
(2.67)
(2.68)
donde β1 viene dada por la ec. 2.14 y β2± por la ec. 2.22. A partir de la ec. H (j) =
µ̃−1
j
(j)
×
E
la inversa del tensor µ̃, los campos magnéticos en cada
k
(ec. 2.8), con µ̃−1
j
j
k0
capa son:
2.4. Sistemas Multicapa Finitos
23
β1
A1e−iβ1 z − B1 eiβ1 z eiαx x̂,
k0 µ1
−
+
1 Hx(2) (x, z) = −
A2 ζ − eiβ2 z + B2 ζ + eiβ2 z eiαx x̂,
k0
Hx(1) (x, z) =
(2.69)
(2.70)
β2±
1
1
±
ζ =
+( +
)(β cx − cz α)cx .
µ⊥
µk µ⊥ 2
±
con
(2.71)
Aplicando las condiciones de contorno, obtenemos las siguientes ecuaciones, análogas
a 2.50 y 2.51:
e−iβ1 z1
− µβ11 e−iβ1 z1
|
{z
eiβ1z1
β1 iβ1 z1
e
µ1
M1 (z1 )
−
eiβ2
−
|
+
z2
ζ − eiβ2
eiβ2
z2
z2
+
!
}
!
ζ + eiβ2 z2
{z
}
M2 (z2 )
A1
!
B1
A2
B2
!
−
eiβ2
=
−
|
=
+
z1
ζ − eiβ2
eiβ2
z1
!
+
z1
ζ + eiβ2 z1
{z
}
A2
!
B2
,
(2.72)
.
(2.73)
M2 (z1 )
e−iβ1 z2
− µβ11 e−iβ1 z2
|
{z
eiβ1z2
β1 iβ1 z2
e
µ1
M1 (z2 )
!
}
A3
B3
!
A partir de este sistema matricial se obtiene la matriz de transferencia (como en la ec. 2.53)
y una expresión analı́tica para KB (ω) (como en ecs. 2.54-2.61). Los detalles se darán en
el cap. 5.
2.4.
Sistemas Multicapa Finitos
Los métodos bosquejados en la sección anterior no son aplicables a sistemas reales
con un número finito de capas. Para estudiar la respuesta de un cristal fotónico real,
consideremos un sistema bicapa (fig. 2.5) compuesto por N perı́odos. Tanto el substrato
como el superestrato coinciden con uno de los medios que componen la celda unidad.
Según la ec. 2.53, el vector de amplitudes correspondiente a la primera capa de la
segunda celda se obtiene multiplicando por la matriz M al vector de amplitudes correspondiente a la capa análoga de la primera celda. Repitiendo la multiplicación para capas
consecutivas, se puede obtener la siguiente relación lineal entre las amplitudes de los
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
A1
B1
BN+1
AN+1
N Períodos
24
Figura 2.5: Esquema de un cristal fotónico 1D multicapa compuesto por N perı́odos
campos en el substrato (AN +1, BN +1 ) y las amplitudes de los campos en el superestrato
(A1, B1) [68]:
AN +1
!
BN +1
=
eiβ1N d
0
0
e−iβ1 N d
{z
|
=MN
!
P
N
}
A1
B1
!
.
(2.74)
En esta relación lineal interviene la potencia N-ésima de la matriz P definida en la ec. 2.53.
Si bien existen múltiples métodos para la resolución de este problema numérico, muchos de
éstos suelen traer aparejados numerosos errores de cómputo. A continuación presentaremos una resolución simple desarrollada en óptica por Abelès [13] en 1950 y posteriormente
redescubierta para sistemas cuánticos por Cvetič and Pičman [73] en 1981 [6, 68]. Según
esta formulación, la matriz MN resulta
MN =
=
eiβ1N d
0
0
e−iβ1 N d
eiβ1N d
0
0
e−iβ1 N d
!
!
PN =
[UN −1 (ξ)P + UN −2 (ξ)I] =
(2.75)
2.5. Ejemplos
25
=
eiβ1 N d
0
0
e−iβ1 N d
! "
UN −1 (ξ)
M11e−iβ1 d M12 e−iβ1 d
!
M21 eiβ1 d M22eiβ1 d
i
+UN −2 (ξ)I ,
(2.76)
donde UN son los polinomios de Chebyshev de segunda especie de la familia de los polinomios de Legendre [74]. Para un sistema con incidencia solamente desde el superestrato
(BN +1 = 0), los coeficientes de reflexión y transmisión se escriben como:
rN =
B1
MN 12
=−
,
A1
MN 11
tN =
AN +1
1
=
.
A1
MN 11
(2.77)
2
+ t2N = 1 (para el caso
Finalmente, mediante la conservación del flujo de potencia rN
de substrato y superestrato iguales y materiales sin pérdidas), se obtienen las siguientes
2
expresiones para la reflectividad RN = rN
y la transmisividad TN = t2N del sistema:
|M12|2 UN2 −1 (ξ)
,
1 + |M12 |2UN2 −1 (ξ)
1
.
=
1 + |M12 |2UN2 −1 (ξ)
RN =
(2.78)
TN
(2.79)
Es importante notar que se han obtenido expresiones que sólo dependen de los coeficientes
de la matriz de transferencia M y del polinomio de Chebyshev UN −1 (ξ).
2.5.
Ejemplos
Para ilustrar las propiedades generales de los sistemas multicapas construidos con
materiales dieléctricos de ı́ndice positivo, consideraremos un sistema binario de perı́odo d
cuya celda unidad está compuesta por capas con constantes constitutivas ε1 = 1, µ = 1
(vacı́o) y ε2 = 8, µ2 = 2. Los espesores relativos de cada capa son d1 /d = 0, 7 y d2 /d = 0, 3.
Distinguiremos los casos de propagación normal (dirección perpendicular a las interfaces)
y de propagación oblicua (dirección determinada por el ángulo definido en el medio 1)
que se esquematizan en la fig. 2.5.
La fig. 2.7(a) muestra la estructura de bandas KB (ω) correspondiente al caso de propagación normal en modo TE, en donde pueden observarse las bandas permitidas (KB ∈ R)
y prohibidas (Im(KB ) 6= 0) descriptas en la sec. 2.3. El origen de esta estructura de bandas se debe a la interferencia constructiva o destructiva de las ondas en la celda unidad
26
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
(a) Propagación Normal
(b) Propagación oblicua
Figura 2.6: Posibles direcciones de propagación en el sistema fotónico unidimensional
(a) Parte Real del vector de Bloch
(b) Parte imaginaria del vector de Bloch
Figura 2.7: Diagrama de bandas para un sistema binario constituido por ε1 = 1, µ1
y ε2 = 8, µ2 = 2 con espesores d1 = 0,7, d2 = 0,3. Se observan las 3 primeras bandas
de Bragg cuya frecuencia central cumple con la condición 2.80 para p = 1, 2, 3
2.5. Ejemplos
27
del cristal. La interferencia entre dos ondas está regida por cos(∆φ)[75], donde ∆φ corresponde a la diferencia de fase φj+1 − φj con φj = βj+ dj − βj− dj (en donde el signo (−)
proviene de considerar la dirección del flujo de potencia analizada en el sec. 2.2 - ver
fig. 2.8). Las ondas en cada capa interfieren constructivamente cuando la diferencia de
fase es ∆φ = 2pπ:
∆φ = β1+ d1 − β1− d1 + β2+ d2 − β2− d2 = 2pπ,
= β1 d1 − (−β1 d1 ) + β2 d2 − (−β2 d2 ) = 2pπ,
⇒
x
1
2
z
(2.80)
β1 d1 + β2 d2 = pπ con p ∈ N.
kj
Sj
Figura 2.8: Esquema de las ondas en las capas de la celda unidad, en donde se
muestra con flechas negras la dirección del vector de onda k y con flechas celestes la
dirección del flujo de potencia S en cada capa
Las soluciones a la ecuación anterior son las frecuencias centrales de cada una de las bandas
prohibidas de Bragg. Las lı́neas punteadas violetas de la fig. 2.7 indican las soluciones para
los tres primeros valores de p. La fig. 2.9 ilustra el diagrama de bandas para el caso de
propagación oblicua (θ = 45o ) y para ambos modos de polarización. Comparando con la
fig. 2.7 se observa que las bandas prohibidas se han desplazado hacia frecuencias superiores
para poder satisfacer la condición de interferencia de Bragg 2.80. Tal como se comentó en
la sec. 2.3, el parámetro ξ = cos(KB d) determina las regiones de bandas permitidas y
prohibidas. Esto se observa en la fig. 2.10, en donde se grafica ξ en función de la frecuencia
para incidencia normal. Observar que la posición de las bandas permitidas y prohibidas
de la fig. 2.7 coinciden con las regiones de la fig. 2.10 donde se cumplen los criterios |ξ| < 1
y |ξ| > 1 respectivamente.
Para establecer diferencias y semejanzas entre la respuesta ideal de un cristal infinito
y la respuesta real de un sistema localmente periódico consideramos un sistema finito con
N celdas idénticas a la celda unidad de los ejemplos anteriores. En la fig. 2.11 se muestra
28
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
(a) Modo TE
(b) Modo TM
Figura 2.9: Diagrama de bandas correspondiente a la misma estructura de la fig. 2.7
para θ = 45o y para ambos modos de polarización
Figura 2.10: (a) Gráfico de la semitraza de la matriz P en función de frecuencia
para la estructura de la fig. 2.7, (b) Diagrama de bandas asociado. Se observa que las
bandas de Bragg se corresponden con la condición |ξ(ω)| > 1
2.5. Ejemplos
29
el coeficiente de reflexión R para N = 12 junto con el diagrama de bandas del sistema
infinito. Se observa que en la región de bandas prohibidas, la reflectividad toma valores
Figura 2.11: Comparación entre el coeficiente de reflexión R para una estructura localmente
periódica de N = 12 perı́odos, compuesta por los mismos materiales que el cristal fotónico de la
fig. 2.7 y el correspondiente diagrama de bandas. Se observa que en la zona de bandas prohibidas
R→1
muy próximos a 1. Esto indica que para ese conjunto de frecuencias, las ondas no pueden
propagarse en el cristal reflejándose completamente. En la fig. 2.12 se observa la evolución
de este comportamiento para N = 3, 6, 12 y 25, en donde se observa que a medida que
Figura 2.12: Coeficiente de reflexión R para una estructura localmente periódica compuesta
por los mismos materiales que el cristal fotónico de la fig. 2.7. Se observa que a medida que el
número de perı́odos aumenta la reflectividad se acerca más a 1 en las regiones correspondientes
a bandas prohibidas de la estructura finita.
aumenta el número de perı́odos la reflectividad adquiere valores cada vez más cercanos a
30
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
1 en la zona de bandas prohibidas. Para el caso de cristales infinitos se mostró que debido
a su origen interferencial, las bandas de Bragg se desplazan a frecuencias más altas a
medida que el ángulo de propagación es mayor. De la misma manera, es posible observar
que si se mantienen los espesores relativos constantes pero se modifica el perı́odo de la
estructura, es decir, si se hace un cambio de escala, las bandas también se desplazan. Esto
se ilustra en la fig. 2.13 para los mismos materiales considerados en las figuras anteriores,
N = 16 y valores de perı́odo d0 = 23 d y d00 = 43 d.
Figura 2.13: Gráficos de reflectividad para 3 estructuras fotónicas unidimensionales
cuya celda unidad posee los mismo materiales que en las figuras anteriores pero donde
se consideran diferentes perı́odos dados por d, d0 =
2.6.
2
d
3
y d00 =
4
d
3
Incorporación de Metamateriales
Al iniciar esta tesis, diversos autores habı́an comenzado a estudiar la respuesta de multicapas formadas por metamateriales. Por un lado, Gerardin y Lakhtakia [76] demostraron
la existencia de bandas prohibidas de Bragg para estas nuevas estructuras fotónicas. Por
otro lado, Li et al. [77] encontraron una nueva banda prohibida, con caracterı́sticas muy
distintas a las de las bandas que aparecen con materiales convencionales. Esta nueva banda, cuya existencia fue verificada experimentalmente en el año 2006 [78], aparece cuando el
ı́ndice de refracción promedio es nulo. Posteriormente, Wu et al. [79] encontraron bandas
de transmisión insuales dentro de las bandas prohibidas convencionales.
2.6. Incorporación de Metamateriales
2.6.1.
31
Bandas de Bragg en Estructuras con Metamateriales
Para mostrar los cambios producidos por la inclusión de metamateriales, consideremos
una estructura bicapa muy similar a la considerada en la sección 2.5 pero con ε2 y µ2
negativos (es decir, ı́ndice de refracción negativo) en vez de positivos. Debido a que en los
materiales con ı́ndice de refracción negativo la dirección del flujo de potencia es opuesta
a la dirección de propagación de la onda, la elección del doble signo en la ec. 2.14, basada
en suponer que las fuentes se encuentran en z = −∞ (ver sec. 2.2), debe hacerse de la
siguiente manera:
 q
±
q
βj± =
∓
ω 2
j
c
ω 2
j
c
µj − α 2
para j > 0 y µj > 0,
µj − α 2
para j < 0 y µj < 0 .
(2.81)
Cuando el ı́ndice es negativo, la condición de interferencia constructiva asociada a las
bandas prohibidas de Bragg, que para materiales convencionales se expresa mediante la
ec. 2.80, ahora toma la forma 2.82:
∆φ = β1+ d1 − β1− d1 + β2+ d2 − β2− d2 = 2pπ,
= β1 d1 − (−β1 d1 ) + (−β2) d2 − (+β2 d2 ) = 2pπ,
⇒
β1d1 − |β2|d2 = pπ,
con p ∈ Z.
(2.82)
La fig. 2.14 muestra dos diagramas de bandas para el caso ε1 = 1 y µ1 = 1 (vacı́o),
ε2 = −8 y µ2 = −2, d1 /d = 0,6 y d2 /d = 0,4. El panel (a) corresponde a θ = 0o mientras
que el panel (b) corresponde a θ = 30o y polarización TE. En ambos casos se observan
tres bandas prohibidas donde las frecuencias centrales, indicadas con lı́neas punteadas,
cumplen la condición 2.82 para p = −1, −2 y −3.
2.6.2.
Banda Prohibida de Índice Promedio Cero
Con materiales convencionales, el ı́ndice promedio de una estructura multicapa siempre
resulta positivo. En cambio, con materiales de ı́ndice negativo, el ı́ndice promedio puede
ser cero. En este caso aparece una nueva banda prohibida que ha sido estudiada por Li [77]
y Wu [79] solamente para incidencia normal. Para ilustrar esta situación consideremos el
32
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
Figura 2.14: Diagrama de bandas para un sistema multicapas de celda unidad constituida por ε1 = 1, µ1 = 1, d1 /d = 0,6; ε2 = −8, µ2 = −2, d2 /d = 0,4, en donde se
observan las 3 primeras capas de Bragg para dos ángulos de propagación diferentes:
a) θ = 0o , b)θ = 30o (Modo TE)
mismo sistema binario del ejemplo anterior, pero ahora con espesores relativos d1 /d = 0, 8
y d2 /d = 0, 2, valores para los cuales el ı́ndice promedio resulta nulo (ec. 2.83).
1
< n >=
d
Z
d
n(y)dy = n1
0
d2
d1
− |n2 | = 0.
d
d
(2.83)
Para incidencia normal, Re(KB ) = 0 para todas las frecuencias, mientras que Im(KB )
varı́a como se muestra en la fig. 2.15 a.
Observamos que esta estructura exhibe una banda prohibida muy extendida, ya que
no admite modos propagantes excepto en frecuencias bien definidas, indicadas con puntos
rojos en la fig. 2.15a. Estos puntos singulares, donde Im(KB ) = 0, están asociados a transmisividad T igual a la unidad, mientras que fuera de estos puntos singulares, el sistema
se comporta como un reflector perfecto. Este comportamiento se observa en la fig. 2.15b
donde se grafica el coeficiente de transmisión para una estructura con 30 perı́odos. Para
incidencia normal, la existencia de esta banda prohibida extendida que cumple la condición 2.83 de ı́ndice promedio cero para casi cualquier valor de frecuencia, se puede entender
como un caso particular de la ec. 2.82 cuando p = 0. Esto es ası́ ya que en incidencia
2.6. Incorporación de Metamateriales
33
Figura 2.15: Respuesta de una multicapa de parámetros ε1 = 1, µ1 = 1, d1 /d = 0,8;
ε2 = −8, µ2 = −2, d2 /d = 0,2 en donde se muestran las condiciones IPC (Re(KB ) =
0) y de Fabry-Perot a partir del (a) diagrama de bandas, (b)gráfico de transmisividad
normal β1 = k0 n1 , β2 = k0 n2 y entonces la condición 2.82 para p = 0 toma la forma:
< n >= n1
d2
d1
− |n2 | = 0.
d
d
(2.84)
Concluimos que la nueva banda extendida que aparece en incidencia normal en multicapas
periódicas con ı́ndice promedio cero posee un origen interferencial al igual que las bandas
convencionales de Bragg. Sin embargo, esta banda no comparte las mismas caracterı́sticas
de las bandas de Bragg, ya que como veremos en el cap. 3, sec. 3.2, resulta invariante
ante cambios de escala, ası́ como también poco sensible a la presencia de desorden en la
estructura [77].
El análisis anterior no tiene en cuenta la variación de los parámetros constitutivos ε
y µ con la frecuencia. Cuando se emplean materiales convencionales, esta aproximación
puede resultar adecuada [28]. Sin embargo, esta aproximación no resulta adecuada para
los metamateriales construidos hasta el momento, ya que sus propiedades inusuales están
originadas en la respuesta resonante de algún tipo de microestructura (cap. 1) y por este
motivo, sus parámetros constitutivos efectivos dependen fuertemente de la frecuencia.
Para tener en cuenta tanto la dispersión como la disipación de los metamateriales, se han
propuesto diversos modelos de parámetros constitutivos [61, 62, 77, 80]. Aquı́ supondremos
que ε(ω) y µ(ω) responden a funciones de Lorentz de la forma [50, 54]:
34
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
a2
,
b2 + ν 2 − iνγ
c2
,
µ(ν) = 1 + 2
d + ν 2 − iνγ
ε(ν) = 1 +
(2.85)
(2.86)
donde a, b, c y d son parámetros que dependen de la estructura interna de cada metamaterial. El caso ideal de metamaterial sin pérdidas óhmicas corresponde a γ = 0.
Como consecuencia de la variación de los parámetros constitutivos con la frecuencia, la
banda de ı́ndice promedio cero pasa a estar localizada en un rango finito de frecuencias [77],
en lugar de estar extendida a casi todo el espectro como en el ejemplo anterior. Para
ilustrar este efecto, supondremos que las frecuencias de trabajo se encuentran en el rango
de los GHz y que los parámetros constitutivos siguen las leyes [77]:
52
102
+
,
0,92 − ν 2 11,52 − ν 2
32
,
µ2 (ν) = 1 +
0,9022 − ν 2
ε2 (ν) = 1 +
(2.87)
(2.88)
donde ν es la frecuencia de oscilación medida en GHz y para simplificar el análisis se ha
considerado γ = 0 (los efectos de las pérdidas serán considerados en el cap. 3). La depen-
Figura 2.16: Dependencia frecuencial de los parámetros constitutivos efectivos del
metamaterial ε2 (ν) y µ2 (ν) definidos por las ecs. 2.87 y 2.88. Notar que ε2 (ν) y µ2 (ν)
son cero a diferentes frecuencias, indicadas con lı́neas horizantales (νε=0 = 3, 787GHz,
νµ=0 = 3, 133GHz respectivamente)
dencia de los parámetros constitutivos con la frecuencia se muestra en la fig. 2.16. ε2 (ν) y
2.6. Incorporación de Metamateriales
35
µ2 (ν) se anulan y cambian de signo a las frecuencias νε=0 = 3,787 GHz y νµ=0 = 3,133 GHz
respectivamente (ambas frecuencias indicadas por lı́neas punteadas). El ı́ndice de refracción resulta negativo para frecuencias menores a νµ=0 = 3,133 GHz, positivo para frecuencias mayores a νε=0 = 3,787 GHz e imaginario en la zona comprendida entre ambas
frecuencias. En la fig. 2.17 se grafica la relación de dispersión y el comportamiento con la
frecuencia de la semitraza de la matriz de transferencia para una estructura similar a la
considerada en el ejemplo anterior. El ángulo de incidencia es θ = 0o , los espesores de las
capas son d1 = 12mm y d2 = 6mm y el metamaterial de la capa 2 responde a las ecs. 2.87
y 2.88. En estas gráficas se distinguen dos bandas prohibidas: la primera alrededor de
(a)
(b)
Figura 2.17: (a) Diagrama de bandas, (b) Gráfica ξ = cos(KB d) para un sistema
bicapa de una capa de vacı́o (ε1 = µ1 = 1) de espesor d1 = 12mm y otra de
metamaterial descripto por las ecs. 2.87 y 2.88 de espesor d2 = 6mm. Se observa la
presencia de dos bandas prohibidas correspondientes a una banda < n >= 0 alrededor
de ν = 2,28799 y otra de Bragg alrededor de ν = 7,6GHz (p = 1)
ν = 2,3 GHz, donde el ı́ndice de refracción del metamaterial es negativo, y la segunda
alrededor de ν = 7, 6 GHz, donde el ı́ndice de refracción del metamaterial es positivo. Es
fácil ver que la primera banda prohibida es una banda de < n >= 0, ya que la condición
de ı́ndice promedio cero (ec. 2.84) se cumple para la frecuencia ν<n>=0 = 2, 28799 GHz.
En cambio, la segunda banda prohibida corresponde a una banda de Bragg (p = 1 en la
ec. 2.80).
36
CAPÍTULO 2. Cristales Fotónicos Unidimensionales
2.7.
Banda < n >= 0 en Propagación Oblicua
Los primeros resultados originales de este trabajo de tesis surgieron al estudiar cómo
se modifica la banda de < n >= 0 cuando la propagación es oblicua. En la fig. 2.18 se
muestran los resultados obtenidos para la estructura con metamateriales no dispersivos
ya considerada en la fig. 2.14, pero ahora iluminada en incidencia oblicua (ángulos de
propagación θ = 20o , θ = 45o y θ = 60o ). Observamos que la condición 2.84 de ı́ndice
Figura 2.18: Diagrama de bandas del sistema de la fig. 2.15 representado por
Re(KB d/π) e Im(KB d/π) para casos de propagación oblicua en polarización TE
(a)θ = 20o , (b)θ = 45o y (c)θ = 60o . Se observa la existencia de bandas de propagación permitidas y prohibidas.
medio cero no se cumple en ninguna de las bandas prohibidas mostradas en la fig. 2.18.
Sin embargo, todas las bandas prohibidas cumplen la condición de inteferencia constructiva 2.82. La generalización de la condición de ı́ndice promedio cero (ec. 2.84) se obtiene
replanteando la condición de interferencia constructiva de orden cero para θ arbitrario:
∆φ = β1+ d1 − β1− d1 + β2+ d2 − β2− d2 = 0,
= β1 d1 − (−β1) d1 + (−β2) d2 − (+β2) d2 = 0,
2.7. Banda < n >= 0 en Propagación Oblicua
⇒
37
< β >= β1d1 − |β2|d2 = 0.
(2.89)
La semitraza de la matriz de transferencia puede reescribirse en función de < β > sumando
y restando a la ec. 2.61 el término sin(β1 d1 ) sin(β2 d2 ) y aplicando la relación trigonométrica cos(α + γ) = cos(α) cos(γ) − sin(α) sin(γ):
1
1
− 2) sin(β1 d1 ) sin(β2 d2 ),
ξ = cos(KB d) = cos(< β > d) − (X +
2
X
(2.90)
σ1 β2
. En el caso particular en que < β >= 0, esta última ecuación cumple la
σ2 β1
condición:
1
1
− 2) sin2(β1 d1 ) ≥ 1.
|ξ| = | cos(KB d)| = 1 + (X +
(2.91)
2
X
La ec. 2.91 muestra que cuando < β >= 0 la multicapa presenta una banda prohibida de
con X =
propagación2
β1 d1 = mπ
con m ∈ N,
X = 1/X.
(2.92a)
(2.92b)
La ec. 2.92a corresponde a la condición de Fabry-Perot [79] y es la condición que se cumple
en la fig. 2.15 de la sección anterior. En esa figura, las frecuencias indicadas con puntos
rojos satisfacen la condición 2.92a para el caso de propagación normal, es decir n1 d1 =
mπ, y corresponden a modos propagantes, ya que cos(KB d) = 1. La condición 2.92b
corresponde a la condición de adaptación de impedancias que se analizará en el cap. 4.
Hasta aquı́ hemos visto algunas de las modificaciones que presenta la estructura de
bandas al incluir metamateriales en las multicapas. En el capı́tulo siguiente profundizaremos el estudio de estas estructuras, que exhiben nuevas e interesantes respuestas cuando
los metamateriales son dispersivos y la propagación es oblicua.
2
Esta condición indica que el nombre adecuado de la banda deberı́a ser banda < β >= 0. Sin embargo,
en la bibliografı́a se la sigue llamando banda < n >= 0, denominación que mantendremos a lo largo de
este trabajo.
38
Capı́tulo 3
Nuevas Bandas Prohibidas
En el capı́tulo anterior se ha mostrado que las multicapas periódicas que incluyen
metamateriales de ı́ndice de refracción negativo pueden exhibir, además de las bandas de
Bragg usuales, un nueva clase de banda prohibida denominada de ı́ndice promedio cero
o < n >= 0. En este capı́tulo se muestran nuevos mecanismos de formación de bandas
prohibidas, a las que hemos denominado bandas prohibidas constitutivas, que surgen como
consecuencia del carácter dispersivo de los metamateriales [64]. Se describe también la
interacción entre las nuevas bandas y la banda de < n >= 0. Como consecuencia de
esta interacción, resulta posible seleccionar los parámetros constructivos del sistema para
producir bandas prohibidas omnidireccionales [65].
3.1.
Bandas Prohibidas Constitutivas
Si bien todos los materiales reales son dispersivos, las propiedades inusuales de los
metamateriales tienen origen en la respuesta resonante de su microestructura. Por este
motivo, los metamateriales son mucho más dispersivos que los medios convencionales y
pocas veces resulta adecuado ignorar la variación de sus parámetros constitutivos efectivos
con la frecuencia. En el capı́tulo anterior hemos visto que esta variación es responsable
de la localización de la banda de ı́ndice medio cero, tal como fue demostrado por Li et
al. [77] y por Shadrivov et al. [81]. Curiosamente, todos los autores que estudiaron la
banda de ı́ndice medio cero en metamateriales dispersivos han ignorado sistemáticamente
los siguientes aspectos. En primer lugar, todos los metamateriales con ı́ndice de refracción
negativo se construyen para operar en una zona de frecuencias donde tanto ε como µ
39
40
CAPÍTULO 3. Nuevas Bandas Prohibidas
cambian de signo y pasan por el valor nulo en frecuencias cercanas (aunque usualmente
distintas). En segundo lugar, cuando ε o µ pasan por cero pueden ser singulares canti1
dades como Q = X +
o la semitraza ξ (ec. 2.90). Y de acuerdo a la misma ecuación,
X
estas singularidades de ξ deberian dar lugar a bandas prohibidas. Sin embargo, ni en los
trabajos [77] y [81], ni en la fig. 2.17 se observan bandas prohibidas asociadas con las
frecuencias en donde ε o µ se anulan. Estos resultados indican claramente que en estas
frecuencias, la estructura multicapa admite la propagación de ondas electromagnéticas, a
pesar de que es sabido que la superficie de un medio con ı́ndice de refracción nulo se comporta como un reflector perfecto [82]. Para dilucidar estos aspectos estudiaremos en detalle
el caso de sistemas binarios, aprovechando que para estos sistemas se dispone de expresiones analı́ticas para la semitraza ξ que rige la ecuación de dispersión. Consideraremos
por separado los casos de propagación normal y oblicua. Posteriormente, este análisis nos
permitirá interpretar los resultados numéricos obtenidos para estructuras más complejas.
Propagación a lo largo de la dirección de estratificación
En este caso α = 0 (porque θ = 0o ), y entonces cuando ε2 (ν) = 0 o µ2 (ν) = 0,
resulta β2(ν) = 0. El parámetro Q de la relación de dispersión KB (ω) (ec.2.62) queda
indeterminado:
=0
=0
z }| {
1 h σ (ν) β
z }| {
i
σ
β
2
1
1 2 (ν)
Q=
+
.
2 σ1 β2(ν) σ2(ν) β1
| {z } | {z }
=0
(3.1)
=0
Tomando en cuenta que µ2 (ν) y ε2(ν) no suelen cambiar de signo en la misma frecuencia,
veremos primero el caso el caso µ2 (ν) → 0 y ε2(ν) 6= 0. Debido a que β2(ν) → 0, en
la relación de dispersión podemos aproximar sin(β2(ν)d2 ) ≈ β2(ν)d2 y cos(β2(ν)d2 ) ≈ 1.
Bajo estas aproximaciones, la semitraza queda:
→0
z }| {
h µ (ν) β
i
1
µ1 β2(ν)
2
1
ξ|νµ=0 = cos(β1d1 ) cos(β2 (ν)d2 ) − sin(β1 d1 )
β
6 2(ν)d2 +
β2(ν)d2 ,
|
{z
} 2
µ β
6 (ν)
µ (ν)β1
| 1 2 {z
} | 2 q {z
}
→1
→0
→ ωc
µ1
ε (ν)d2
ε1 2
3.1. Bandas Prohibidas Constitutivas
⇒
ξ|νµ=0
41
1ω
→ cos(β1d1 ) −
2c
r
µ1
ε2d2 .
ε1
(3.2)
Esta expresión muestra que en la zona donde se anula µ2 , la semitraza ξ puede tomar
cualquier valor real pero finito, dentro o fuera del intervalo [-1, 1]. El caso de la fig. 2.17
corresponde a |ξ| < 1, motivo por el cual el sistema sólo exhibe las bandas < n >= 0 y
de Bragg. Para el caso µ2 (ν) 6= 0 y ε2(ν) → 0 se obtiene una expresión análoga a 3.2 para
ξ|νε=0 dada por:
ξ|νε=0
1ω
→ cos(β1d1 ) −
2c
r
ε1
µ2 d2 .
µ1
(3.3)
Las expresiones 3.2 y 3.3 muestran que cuando la propagación es en la dirección de
estratificación, los valores de frecuencia donde el ı́ndice del metamaterial se anula no
están necesariamente asociados con bandas prohibidas.
Propagación oblicua
En este caso α 6= 0 ya que θ 6= 0, y entonces β2 → ±iα. Consideremos primero el caso
de polarización TE con µ2 (ν) → 0 y ε2(ν) 6= 0. Bajo estas consideraciones, el lı́mite de la
semitraza resulta:
→0
z }| {
1 h µ (ν) β
µ1 β2(ν) i
2
1
sin(β1 d1 ) sin(β2(ν) d2 ) → ∞. (3.4)
ξ = cos(β1 d1 ) cos(β2(ν) d2 ) −
+
| {z }
| {z }
2 µ1 β2(ν) µ2 (ν) β1
| {z } | {z }
→±iα
→±iα
→0
→±iα
| {z } | {z }
→0
→∞
Este es el mismo lı́mite que se obtiene cuando ε2 (ν) → 0 y µ2 (ν) 6= 0 en polarización TM.
La divergencia en la semitraza indica la existencia de nuevas bandas prohibidas ya que
|ξ| > 1. A diferencia de las bandas de Bragg y de < n >= 0, el origen de estas nuevas
bandas no es interferencial sino que es consecuencia directa del valor nulo de los parámetros
constitutivos, por lo que las hemos denominado bandas constitutivas. La fig. 3.1 muestra
el comportamiento de ξ para diferentes ángulos de propagación y ambos modos de polarización ((a) θ = 0o , (b) y (d) θ = 30o , (c) y (e) θ = 60o ). Los correspondientes sistemas
de bandas se muestran en la fig. 3.2. Las franjas en las figs. 3.1 y 3.2 indican bandas
prohibidas. Estas figuras muestran que cuando el ı́ndice de refracción del metamaterial se
42
CAPÍTULO 3. Nuevas Bandas Prohibidas
anula, el comportamiento del sistema para propagación en la dirección de estratificación
es muy distinto al comportamiento para propagación oblicua. Mientras que para θ = 0o
el sistema tiene bandas permitidas cuando νµ=0 = 3,133GHz y νε=0 = 3,787GHz, en
estas frecuencias el sitema tiene bandas prohibidas cuando θ 6= 0. La selectividad que
manifiestan estas bandas a la polarización de la onda permite clasificarlas como banda
µ = 0 para modo TE y banda ε = 0 para modo TM.
Figura 3.1: Gráfico de ξ vs. ν para los mismos parámetros de la fig. 2.17 para polarización TE (fila superior) y TM (fila inferior) para diferentes ángulos de propagación
(a) θ = 0o , (b) y (d) θ = 30o , (c) y (e) θ = 30o .
Las bandas constitutivas se diferencian de las otras bandas prohibidas porque su ancho
π
está determinado por diferentes valores de KB . Mientras el lı́mite inferior es KB = ± ,
d
el lı́mite superior corresponde a KB = 0. La evolución de la estructura de bandas en
función de ν y θ se observa en la fig. 3.3 en donde se grafican los diagramas de bandas
proyectados para ambas polarizaciones. Un diagrama de bandas proyectado corresponde a
graficar en una única figura las frecuencias pertenecientes a bandas prohibidas para todos
los valores de θ. Por un lado, se observa que la posición frecuencial de la banda < n >= 0
se mantiene prácticamente invariante para ambas polarizaciones y que, para polarización
TM, su ancho decrece a medida que θ → 90o . Por otro lado, el ancho de las nuevas bandas
constitutivas, µ = 0 y ε = 0, aumenta considerablemente a medida que aumenta el ángulo
3.1. Bandas Prohibidas Constitutivas
43
Figura 3.2: Estructura de bandas correspondiente a las relaciones de dispersión
graficadas en la fig. 3.1
θ. Finalmente se distingue el desplazamiento frecuencial de la banda de Bragg en función
de θ.
Resultados análogos se observan en los diagramas de bandas de multicapas más complejas como es el caso de la fig. 3.4 en el que la celda unidad está constituida por cuatro
capas de parámetros ε1 = 1, µ1 = 1, ε2 y µ2 dados por las ecs. 2.87 y 2.88, ε3 = 4, µ3 = 3
y ε4 = 2, µ4 = 1 y espesores d1 = 12mm, d2 = d3 = d4 = 6mm. La estructura de bandas
para polarización TE y θ = 45o muestra la existencia de bandas de Bragg alrededor de
las frecuencias ν = 4, 22 GHz y ν = 7, 1 GHz, la banda constitutiva µ = 0 alrededor de
νµ=0 = 3,133GHz y la banda < n >= 0 alrededor de ν<n>=0 = 1, 62GHz (frecuencia a la
que se cumple < n >= n1 d1 − n2 d2 + n3 d3 + n4 d4 = 0).
44
CAPÍTULO 3. Nuevas Bandas Prohibidas
Figura 3.3: Diagrama de bandas proyectado para la multicapa que alterna un material de ı́ndice positivo (vacı́o) con un metamaterial (ecs. 2.87, 2.88 de espesores
d1 = 12mm y d2 = 6mm para (a) modo TE, (b) modo TM. Se observa el ensanchamiento de las bandas constitutivas con el ángulo de propagación θ.
Figura 3.4: Diagrama de bandas proyectado para una multicapa de celda unidad de
cuatro capas caracterizadas por ε1 = 1, µ1 = 1, ε2 y µ2 dados por las ecs. 2.87 y 2.88,
ε3 = 4, µ3 = 3 y ε4 = 2, µ4 = 1 y espesores d1 = 12mm, d2 = d3 = d4 = 6mm. Se
observa la presencia de las bandas < n >= 0, µ = 0 y Bragg.
3.2. Propiedades de las Bandas Constitutivas
3.2.
45
Propiedades de las Bandas Constitutivas
Las propiedades de invariancia ante cambios de escala y baja sensibilidad frente
al desorden caracterizan a las bandas constitutivas. Para ilustrar la primera de estas
propiedades, en la fig. 3.5 se compara la reflectividad para 3 periodicidades distintas de
una multicapa de 16 perı́odos compuesta por los mismos materiales del ejemplo anterior
(fig. 3.3). El perı́odo de cada una de las tres estructuras es d, d0 = 2/3d y d00 = 4/3d,
mientras la relación entre los espesores de las capas d1 /d2 = 2 se mantiene invariante.
Para ambas polarizaciones y θ = 45o , se observa que mientras las bandas de Bragg se
desplazan hacia frecuencias superiores para perı́odos más pequeños, las bandas constitutivas no cambian su ancho ni posición frecuencial. La fig. 3.6 muestra la segunda de
Figura 3.5: Reflectividad a través de una multicapa de 16 perı́odos correspondiente
a la estructura de bandas de la fig.3.3 para θ = 45o (lı́nea llena). Se compara con la
misma estructura con dos perı́odos diferentes dados por: d0 = 2/3d (lı́nea de puntos)
y d00 = 4/3d (lı́nea cortada)(a) modo TE, (b) modo TM. Se observa la invariancia de
escala que caracteriza a las nuevas bandas.
las propiedades de las nuevas bandas, en donde se grafica en lı́nea negra continua la
transmitancia en dB1 de la estructura de perı́odo d de la figura anterior. Esta curva es
comparada con las correspondientes a dos estructuras con espesores distribuidos aleatoriamente según distribuciones uniformes de promedio d1 = 12mm y d2 = 6mm. Un caso
1
se define la transmitancia en dB como T [dB] = log10(T ).
46
CAPÍTULO 3. Nuevas Bandas Prohibidas
Figura 3.6: Transmitancia a través de 16 perı́odos de un cristal fotónico multicapa
de perı́odo d correspondiente a la estructura de bandas de la fig. 3.3 para el caso
particular de θ = 45o (lı́nea negra llena). (a)Modo TE, (b) Modo TM. Se compara
esta transmitancia con dos estructuras análogas cuyas de capas presnetan con una
fluctuación en el espesor de ±3mm (lı́nea de trazos roja) y ±6mm (lı́nea de puntos
azul).
tiene una desviación estándard de ±3mm (lı́nea de trazos roja) y el otro de ±6mm (lı́nea
punteada azul). En esta última figura se observa que, debido a la condición de interferencia 2.80, la banda prohibida de Bragg desaparece ante desorden. Sin embargo, las bandas
µ = 0 (modo TE) y ε = 0 (modo TM) mantienen su posición y ancho prácticamente
invariantes con alta reflectividad. Las dos propiedades descriptas son caracterı́sticas de
las bandas constitutivas por su relación directa con el valor nulo de los parámetros constitutivos, lo que ocasiona que éstas no sean afectadas por las variaciones en los espesores
de las capas y en el perı́odo de la multicapa. En las figs. 3.5 y 3.6 se observa que ambas
propiedades también son caracterı́sticas de la banda < n >= 0 [77]. Si bien el origen es
interferencial, la banda < n >= 0 corresponde al orden cero de interferencia por lo que
resulta independiente del parámetro de red d (ec. 2.89). La independencia de la posición
con el perı́odo de la multicapa se observa en la reflectividad de una única capa de metamaterial inmersa en un dieléctrico. Este caso se grafica en la fig. 3.7 para ambos modos
de polarización, en los cuales se observa un máximo en la reflectividad (R = 1) para las
3.3. Sistemas con Pérdidas
47
frecuencias νµ=0 = 3, 133GHz y νε=0 = 3, 786GHz.
Figura 3.7: Reflectividad a través de un film de metamaterial definido por las ecs. 2.87- 2.88 rodeado
por un dieléctrico (vacı́o) con propagación a θ = 45o y para ambos modos de polarización: (a) Modo
TE, (b) Modo TM. Se observa un pico de reflectividad para las frecuencias νµ=0 = 3, 133GHz y
νε=0 = 3, 786GHz, que ilustra ası́ el origen dispersivo y constructivo de las bandas.
3.3.
Sistemas con Pérdidas
El análisis realizado hasta el momento no ha considerado que los metamateriales son
disipativos además de dispersivos. Para tener en cuenta esta caracterı́stica, se considerarán
las ecs. 2.85 y 2.86 con γ 6= 0 y en particular supondremos parámetros constitutivos dados
por:
102
52
+
,
0,92 − ν 2 − iγν 11,52 − ν 2 − iγν
32
µ̃2 (ν) = 1 +
.
0,9022 − ν 2 − iγν
ε̃2(ν) = 1 +
(3.5)
(3.6)
La fig. 3.8 muestra la reflectividad y transmisividad de la multicapa para los casos
γ = 0 GHz (lı́nea negra continua), γ = 0,01 GHz (lı́nea roja de trazos) y γ = 0,1 GHz
(lı́nea azul de puntos) en modo TE. En ambas gráficas se observa que no varı́a el rango de frecuencias de cada una de las bandas prohibidas. También se observa que tanto
la reflectividad como la transmisividad disminuyen al aumentar γ debido a la absorción
48
CAPÍTULO 3. Nuevas Bandas Prohibidas
Figura 3.8: Reflectividad y transmisividad de la estructura anterior para tres casos
que incluyen pérdidas en el metamaterial: γ = 0GHz (sin pérdidas - lı́nea llena negra),
γ = 0,01GHz (lı́nea roja) y γ = 0,1GHz (altas pérdidas - lı́nea azul). Se observa la
disminución en la reflectividad y transmisividad debido a la absorción, pero sin cambio
de los rangos frecuenciales de cada uno de las bandas prohibidas.
considerada en el metamaterial. En particular para γ = 0,1GHz, la transmitancia resulta
prácticamente nula en toda la región comprendida en el rango [1,5; 4] GHz, incluso en
zonas no asociadas anteriormente a bandas prohibidas.
A partir de los resultados obtenidos podemos concluir que la inclusión de la disipación en el metamaterial no modifica ni el ancho ni la posición frecuencial de las bandas
prohibidas respecto del caso ideal sin pérdidas. Por este motivo y para simplificar la
interpretación de los resultados, la disipación será omitida en los sucesivos cálculos y
simulaciones numéricas.
3.4.
Omnidireccionalidad e Interacción de las Nuevas
Bandas
En esta sección se muestra la existencia de bandas prohibidas omnidireccionales que
surgen a partir de la interacción entre las nuevas bandas prohibidas [65]. La fig. 3.9 muestra
la estructura de bandas para la multicapa binaria de la fig. 3.1 para ambas polarizaciones,
tres ángulos de propagación (θ = 0o , θ = 30o , θ = 60o ) y tres relaciones f = d1 /d;
49
ν
ν
ν
3.4. Omnidireccionalidad e Interacción de las Nuevas Bandas
Figura 3.9: Progresión de las nuevas bandas prohibidas para una estructura definida
por ε1 = µ1 = 1, ε2 (ν) y µ2 (ν) dadas por las ecs. 2.87- 2.88. Se muestra la respuesta
electromagnética para ambos modos de polarización, y f = 0, 7, f = 0, 4, f = 0, 1.
(f = 0,7, f = 0,4, f = 0,1). Se observa en las figuras correspondientes a θ = 0o que
la banda < n >= 0 se desplaza hacia frecuencias superiores a medida que disminuye
f de manera de satisfacer la condición de ı́ndice promedio cero (ec. 2.84). En el lı́mite
de f → 0, los bordes de la banda prohibida tienden a νµ=0 y νε=0 (lı́neas punteadas
inferior y superior respectivamente), frecuencias que delimitan el rango de frecuencias en
el cual el metamaterial actúa como un metal (ε2 < 0, µ2 > 0). La fig. 3.10 muestra los
diagramas de bandas proyectados para ambos modos de polarización, para las mismas
tres relaciones f la figura anterior. En el panel (a) se observa que la banda < n >= 0 es
una banda omnidireccional (banda que se extiende a todos los ángulos de propagación)
sólo para modo TE. Este mismo fenómeno no ocurre para polarización TM como puede
verse en el panel (b). En cambio, la existencia de una banda prohibida omnidireccional
50
CAPÍTULO 3. Nuevas Bandas Prohibidas
que incluye ambos modos de polarización se indica en los paneles (c) y (d) mediante una
franja amarilla rayada.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
ν
ν
ν
(a)
Figura 3.10: Diagramas de banda proyectados asociados a la fig. 3.9 en donde se indica con
ν
una franja amarilla rayada la evolución de la banda omnidireccional.
Zona
Omnidireccional
f
Figura 3.11: Evolución frecuencia de la banda prohibida omnidireccional en función de f .
Esta banda es aún más ancha en los paneles (e) y (f), lo cual concuerda con la fig. 3.11 en
donde se muestra que la banda omnidireccional aumenta su ancho a medida que disminuye
f . Las bandas omnidireccionales halladas están formadas por la banda µ = 0 en modo
TE y por la banda < n >= 0 en modo TM. En los paneles (c) y (e) de la fig. 3.10 se pone
3.4. Omnidireccionalidad e Interacción de las Nuevas Bandas
51
en evidencia la existencia de un rango de frecuencias en el cual la banda < n >= 0 se
mezcla e interactúa con la banda µ = 0 para θ → 0o . Esta zona se amplifica en la fig. 3.12
para el caso de f = 0,1. En esta figura se observa con más claridad la existencia de una
banda prohibida mixta que incluye las frecuencias ν<n>=0 y νµ=0 .
Figura 3.12: Detalle del diagrama de bandas proyectado de la fig. 3.10e) alrededor
de las bandas < n >= 0 y µ = 0, en donde se observa la zona de interacción.
La fig. 3.13 muestra la evolución del parámetro ξ(ν) en los alrededores de ν<n>=0 y νµ=0
junto con el cálculo de la expresión ξ|νµ=0 (ec. 3.2). Esta gráfica muestra que la banda µ = 0
está presente en propagación normal, y que además se solapa con la banda < n >= 0. En
Figura 3.13: ξ(ν) y ec. 3.2 alrededor de la frecuencia νµ=0 en donde se muestra que
la banda prohibida tiene identidad no sólo < n >= 0 sino también µ = 0
el capı́tulo siguiente será posible confirmar la existencia de esta banda mixta a partir del
estudio de la forma funcional que adquieren los campos en los lı́mites de cada una de las
nuevas bandas.
52
Capı́tulo 4
Nuevas Bandas: Caracterización
En el capı́tulo anterior se ha mostrado que los cristales fotónicos que incluyen metamateriales pueden exhibir un nuevo tipo de bandas prohibidas llamadas bandas constitutivas.
También se ha estudiado que tanto la formación de estas bandas como su interacción con
la banda de < n >= 0 dependen fuertemente de las caracterı́sticas dispersivas del metamaterial. En este capı́tulo se presenta por un lado un estudio detallado sobre el papel
desempeñado por las propiedades dispersivas del metamaterial, haciendo especial énfasis
en la dependencia con la frecuencia de los lı́mites de las bandas [83]. Por otro lado, se
analizan los campos electromagnéticos en los bordes de las nuevas bandas, obteniendo
ası́ una nueva herramienta para la identificación de las mismas. Por último, se considera
la extensión transversal finita de la multicapa mediante la incorporación de la estructura
periódica dentro de guı́as de onda [84].
4.1.
Rol de la Dispersión en los Bordes de Banda
En esta sección se investiga la influencia de la dispersión en los bordes de las nuevas
bandas. Primero se estudia el caso de la banda < n >= 0 y luego se extienden los resultados al caso de las bandas constitutivas.
Banda < n >= 0
En la fig. 2.17 se mostró que la banda prohibida < n >= 0, para los parámetros
constitutivos dados por las ecs. 2.87 y 2.88, se sitúa alrededor de la frecuencia ν<n>=0 =
2,288GHz. Para este valor se cumple la condición de ı́ndice promedio cero (ec. 2.84) y
53
54
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
tanto ε2 (ν) = ε2(ν<n>=0 ) = −3,862 como µ2 (ν) = µ2 (ν<n>=0 ) = −1,035 adquieren valores
negativos. Para investigar la influencia de cada parámetro constitutivo en la posición de
los bordes de la banda < n >= 0, se consideran dos casos lı́mite indicados en la tabla
4.1. En el caso (a), ε2 depende de la frecuencia como en el ejemplo de la fig. 2.17, pero
Fig. 4.1
ε2(ν)
µ2 (ν)
Caso (a)
ε2(ν) ec. 2.87
µ2 (ν<n>=0 ) = −1,035
Caso (b)
ε2(ν<n>=0 ) = −3,862
µ2 (ν) ec. 2.88
Caso (c)
ε2(ν) ec. 2.87
µ2 (ν) ec. 2.88
Tabla 4.1: Descripción de los parámetros constitutivos utilizados para los diferentes
casos mostrados en la fig. 4.1
el valor de µ2 se mantiene constante para todas las frecuencias. En cambio, en el caso
(b), ε2 se mantiene constante mientras que el parámetro constitutivo que depende de la
frecuencia de la misma manera que en el ejemplo de la fig. 2.17 es µ2 . En ambos casos,
los valores constantes se han elegido para que la condición de ı́ndice medio cero se cumpla
a la misma frecuencia (ν<n>=0 = 2, 288GHz) que en en el ejemplo de la fig. 2.17 (caso
c). La semitraza ξ(ν) para cada caso se muestra en la fig. 4.1. Se puede observar que en
(a)
(b)
(c)
Figura 4.1: Gráfico de la semitraza ξ en función de la frecuencia ν en GHz para
los tres casos definidos en la tabla. 4.1. Observar que el borde inferior de la banda
< n >= 0 desaparece cuando µ2 no depende de la frecuencia (caso a), mientras que
cuando ε2 no depende de la frecuencia (caso b), el borde que desaparece es el inferior.
el caso (a) (µ2 constante) desaparece el borde inferior, mientras que el borde superior se
4.1. Rol de la Dispersión en los Bordes de Banda
55
mantiene en el mismo valor que tenı́a en la fig. 2.17. De manera similar, en el caso (b) (ε2
constante), desaparece el borde superior, mientras que el borde inferior se mantiene con
el mismo valor que tenı́a en la fig. 2.17.
Los resultados lı́mite de la fig. 4.1 sugieren que cada borde de la banda < n >= 0
depende sólo de la dispersión de un parámetro constitutivo. Para continuar explorando la
dependencia de los bordes de banda con los parámetros constitutivos, consideramos ahora
relaciones de dispersión con la siguiente parametrización, válidas alrededor de ν<n>=0 :
ε2(ν, αε ) = ε(ν<n>=0 ) + αε [ε2(ν) − ε(ν<n>=0 )],
(4.1)
µ2 (ν, αµ ) = µ(ν<n>=0 ) + αµ [µ2 (ν) − µ(ν<n>=0 )],
(4.2)
con 0 < αε < 1 y 0 < αµ < 1. Tal como se muestra en la fig. 4.2, estas expresiones incluyen
diferentes grados de dispersión y permiten pasar gradualmente de modelos no dispersivos
(αε = 0, αµ = 0) al modelo completamente dispersivo representado por las ecs. 4.1 y 4.2
(αε = 1, αµ = 1). Notar que la parametrización elegida mantiene invariante la frecuencia
ν<n>=0 en la cual se cumple la condición de ı́ndice promedio cero. La evolución de los
Figura 4.2: Familia de funciones de Lorentz utilizadas para considerar diferentes dependencias con
la frecuencia de cada uno de los parámetros constitutivos del metamaterial. (a) Variación de la permitividad eléctrica del metamaterial (ec. 4.1) para distintos valores de αε . La permeabilidad magnética
queda determinada por la ec. 2.88 (b) Variación de la permeabiliad magnética del metamaterial
(ec. 4.2) para distintos valores de αµ , la permitividad eléctrica queda determinada por la ec. 2.87.
En todos los casos se mantiene constante el valor ν<n>=0 .
56
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
lı́mites de la banda en función de las variables αε y αµ se muestra en la fig. 4.3 para
propagación en la dirección de estratificación. En el panel (a) se estudia la respuesta
del sistema cuando sólo se modifica la dispersión de ε2 mediante la variación de αε y
se mantiene αµ = 1. En este caso, el lı́mite inferior de la banda se mantiene constante,
resultado que muestra su independencia ante las variaciones de la dispersión de ε2 . Por
el contrario, el lı́mite superior se desplaza hacia frecuencias más altas a medida que αε
disminuye. En el panel (b) se varı́a la dispersión de µ2 (ν) al reducir αµ de 1 a 0 y se
mantiene αε = 1. En este caso, el lı́mite inferior de la banda se desplaza hacia frecuencias
más bajas, mientras que el lı́mite superior no varı́a su posición frecuencial.
(a)
Borde de banda
dependiente de
µ2(ν)
(b)
Borde de banda
dependiente de
ε2(ν)
θ=0
o
Figura 4.3: Evolución de la banda prohibida < n >= 0 para los casos: (a) ε2 (ν, αε ),
µ2 (ν), (b) ε2 (ν), µ2 (ν, αµ ). Se observa una clara dependencia del borde inferior con
el grado de dispersividad de µ2 (ν) y del borde superior con ε2 (ν)
Estos resultados muestran dos caracterı́sticas: i) cuanto menor es la dispersión de cada
uno de los parámetros constitutivos, más ancha es la banda < n >= 0; ii) los lı́mites
de la banda resultan independientes entre sı́, ya que cada borde sólo depende de uno de
los parámetros constitutivos del metamaterial. En todos los casos que hemos estudiado la
relación entre los parámetros constitutivos era µ2 (ν<n>=0 ) > ε2 (ν<n>=0 ) (ver fig. 4.2). Para
estudiar el caso opuesto, dado por ε2 (ν<n>=0 ) > µ2 (ν<n>=0 ), se proponen las siguientes
expresiones para los parámetros constitutivos del metamaterial:
4.1. Rol de la Dispersión en los Bordes de Banda
57
ε2(ν, ∆ε) = ε2 (ν) + ∆ε,
(4.3a)
µ2 (ν, ∆µ) = µ2 (ν) + ∆µ,
(4.3b)
donde ∆ε y ∆µ son magnitudes dependientes entre sı́ de manera de asegurar que ν<n>=0
sea constante. Para conocer la relación entre ∆ε y ∆µ, las expresiones 4.3a-4.3b deben
cumplir la relación de ı́ndice promedio cero:
q
q
2
2
k0 ε1µ1 − α d1 − k02 (ε2(ν<n>=0 ) + ∆ε)(µ2(ν<n>=0 ) + ∆µ) − α2 d2 = 0.
(4.4)
Trabajando con esta última expresión y utilizando que ε2 (ν<n>=0 ) y µ2 (ν<n>=0 ) cumplen
con la condición de ı́ndice promedio cero (ec. 2.89), la relación entre ∆ε y ∆µ resulta:
(k02 ε1 µ1 − α2 )d21 − (k02 ε2 (ν<n>=0 )µ2 (ν<n>=0 ) − α2 )d22 =
|
{z
}
=0 (ec. 2.89)
= [µ2 (ν<n>=0 ) ∆ε + ε2 (ν<n>=0 ) ∆µ + ∆ε ∆µ]d22,
⇒
∆ε = −
ε(ν<n>=0 )∆µ
.
µ(ν<n>=0 ) + ∆µ
(4.5)
En la fig. 4.4 se observa la evolución de los parámetros constitutivos del metamate-
Figura 4.4: Evolución de los parámetros contitutivos ε2 (ν) y µ2 (ν), definidos
por 4.3a y 4.3b respectivamente, a medida que disminuye ∆µ.
58
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
rial ε2 (ν) y µ2 (ν), en donde se observa la transición de µ2 (ν<n>=0 ) > ε2(ν<n>=0 ) a
ε2(ν<n>=0 ) > µ2 (ν<n>=0 ) mediante la variación de ∆µ. En la fig. 4.5 se representa la
evolución de los bordes de la banda < n >= 0 a medida que disminuye ∆µ de 0 a −2,5
para θ = 0o . Partiendo de ∆µ = 0, el ancho de la banda disminuye hasta alcanzar el
valor ∆µ = −0,9644 en el cual la banda desaparece por completo. Luego de este valor, los
bordes de banda se cruzan y el ancho de la banda aumenta a medida que ∆µ se vuelve
más negativo.
Figura 4.5: Evolución de los bordes de la banda < n >= 0 en función de la variación
del parámetro ∆µ. Se denota un cruce en (∆µ, ν<n>=0 ) = (−0,9644, 2,2879) que
marca la ausencia de la banda < n >= 0 en ese punto a pesar del cumplimiento de
la condición de ı́ndice promedio cero.
Bandas Constitutivas
A continuación se estudia la dependencia de los lı́mites de la banda µ = 0 en función
del grado de dispersión de los parámetros constitutivos del metamaterial. Para ello se
realiza la siguiente parametrización alrededor de νµ :
ε2(ν, αε ) = ε(νµ ) + αε [ε2(ν) − ε(νµ )],
(4.6)
µ2 (ν, αµ ) = αµ µ2 (ν),
(4.7)
donde ε(νµ ) = −0,9599GHz para los parámetros ε2(ν) y µ2 (ν) definidos en las ecs. 2.87
y 2.88. La fig. 4.6 muestra la evolución de la banda prohibida µ = 0 en función de los
4.1. Rol de la Dispersión en los Bordes de Banda
59
parámetros αε y αµ . De manera análoga al caso de la fig. 4.3 para la banda < n >= 0,
se observa que el ancho aumenta a medida que disminuye la dispersión de cada uno de
los parámetros constitutivos. En esta figura se observa además que el borde inferior de la
Figura 4.6: Evolución de la banda prohibida ε = 0 para los casos: (a) ε2 (ν, αε ),
µ2 (ν), (b) ε2 (ν), µ2 (ν, αµ )
banda µ = 0 no depende de la dispersión de ε2 (ν), y que la dispersión de µ2 (ν) resulta
sólo relevante para valores de αµ pequeños. En cambio, el borde superior depende tanto
de la dispersión de ε2 (ν) como de µ2 (ν). Resultados análogos se observan en la fig. 4.7
para la banda prohibida ε = 0 en modo TM.
Figura 4.7: Evolución de la banda prohibida ε = 0 para los casos: (a) ε2 (ν, αε ),
µ2 (ν), (b) ε2 (ν), µ2 (ν, αµ )
60
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
4.2.
Aproximaciones Analı́ticas
Para estudiar analı́ticamente la dependencia de los lı́mites de las nuevas bandas prohibidas recurriremos a las siguientes expresiones alternativas para la relación de dispersión
de una multicapa binaria [85]:
KB d
) = q(ν)r(ν),
2
KB d
cos2(
) = p(ν)s(ν),
2
sin2(
(4.8a)
(4.8b)
en donde q(ν), r(ν), p(ν) y s(ν) están dados por:
β1 d1
β2 d2
σ2 β1
β2 d2
β1 d1
) cos(
)+
) sin(
),
cos(
2
2
β2 σ1
2
2
β1 d1
β2 d2
σ1 β2
β2 d2
β1 d1
r(ν) = sin(
) cos(
)+
) sin(
),
cos(
2
2
β1 σ2
2
2
β2 d2
σ2 β1
β2 d2
β1 d1
β1 d1
) cos(
)−
) sin(
),
sin(
p(ν) = cos(
2
2
β2 σ1
2
2
β1 d1
β2 d2
σ1 β2
β2 d2
β1 d1
s(ν) = cos(
) cos(
)−
) sin(
).
sin(
2
2
β1 σ2
2
2
q(ν) = sin(
(4.9a)
(4.9b)
(4.9c)
(4.9d)
Las ecs. 4.8a y 4.8b resultan equivalentes entre sı́ y a partir de ellas es posible calcular
cualquier valor KB del sistema. Utilizando la identidad: cos(x) = cos2 ( x2 ) − sin2 ( x2 ), se
recupera la ya conocida relación de dispersión del sistema bicapa dada por la ec. 2.62.
Estas maneras alternativas de expresar la relación de dispersión permiten obtener nueva
información, ya que las raı́ces de la ec. 4.8a representan los bordes de banda para los
cuales KB = 0, mientras que las frecuencias que anulan la ec. 4.8b dan información sobre
π
los bordes de banda ubicados sobre el final de la primera zona de Brillouin, KB = .
d
Banda < n >= 0
En este caso el ancho de la banda prohibida está acotado tanto inferior como superiormente por KB = 0 (ver fig. 2.62), por lo que las frecuencias correspondientes a los
bordes de la banda prohibida vienen dadas por las raı́ces de q(ν) y de r(ν). Utilizando
la aproximación de frecuencias bajas β1 d1 1, β2 d2 1, se hallan dos condiciones
para cada uno de los lı́mites de la banda. Para propagación normal, estas condiciones
son equivalentes a pedir que se anulen los promedios < µ > y < ε > de los parámetros
4.2. Aproximaciones Analı́ticas
61
constitutivos:
q(ν) = 0 ⇒
d2
d1
+ µ2 (ν)
= 0,
d
d
d1
d2
< ε > = ε1
+ ε2(ν)
= 0.
d
d
< µ > = µ1
r(ν) = 0 ⇒
(4.10a)
(4.10b)
Las expresiones analı́ticas 4.10a y 4.10b permiten hallar las frecuencias aproximadas que
determinan los bordes de la banda < n >= 0 para θ = 0o . Estas expresiones confirman
los resultados obtenidos numéricamente en la figs. 4.1 y 4.3, y muestran que en el lı́mite
de bajas frecuencias, cada borde de la banda < n >= 0 depende sólo de uno de los
parámetros constitutivos: uno de los bordes de banda ocurre cuando < µ >= 0 mientras
que el otro borde de banda ocurre cuando < ε >= 0. Para el caso de propagación oblicua
y polarización TE, los lı́mites de la banda en la aproximación de bajas frecuencias están
dados por:
d2
d1
+ µ2 (ν)
= 0,
(4.11a)
d
d
d2
d1
d2
d1
+ ε2 (ν) ) − α2 (
) = 0, (4.11b)
> = k02(ε1
+
d
d
d µ1 d µ2 (ν)
< µ > = µ1
k02 < ε > −α2 < µ−1
donde < µ−1 > representa el promedio de la inversa de la permeabilidad magnética.
Los resultados de las aproximaciones 4.10 y 4.11 se observan en la fig. 4.8 junto con los
resultados hallados resolviendo de manera exacta la ecuación de dispersión del sistema,
para θ = 0o y θ = 45o en polarización TE. Las raı́ces de la ec. 4.11a corresponden al borde
de banda inferior y las de la ec. 4.11b al borde superior. Los resultados obtenidos confirman
que el lı́mite inferior depende únicamente de la condición < µ >= 0, mientras que el
borde superior, el único modificado por la variación de θ, depende fundamentalmente
de la condición < ε >= 0. Las discrepancia entre los bordes de banda calculados de
manera exacta y mediante las aproximaciones 4.11a-4.11b son siempre menores al 3 % en
este ejemplo. En el caso de polarización TM, se obtienen resultados análogos. En esta
polarización, la aproximación de bajas frecuencias para los lı́mites de la banda resultan:
d2
d1
+ ε2(ν)
= 0,
(4.12a)
d
d
d2
d1
d2
d1
+ µ2 (ν) ) − α2 (
) = 0, (4.12b)
> = k02(µ1
+
d
d
d ε1 d ε2 (ν)
< ε > = ε1
k02 < µ > −α2 < ε−1
donde < ε−1 > representa el promedio de la inversa de la permitividad eléctrica. La
desaparición de la banda < n >= 0 observada en la fig. 4.5 ocurre cuando el lı́mite
62
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
Figura 4.8: Determinación de los bordes de banda < n >= 0 mediante las ecs. 4.11a
y 4.11b en superposición con los resultados hallados mediante la ec. de dispersión.
inferior de la banda coincide con el lı́mite superior. La aproximación de bajas frecuencias
permite expresar esta condición como:
ε1
ε2 (ν)
,
=
µ1
µ2 (ν)
(4.13)
para incidencia normal (ecs. 4.10) y como:
β2(ν)
β1
,
=
µ1
µ2 (ν)
(4.14)
para incidencia oblicua. Esta condición, ya adelantada en la ec. 2.92a, se conoce como
“condición de adaptación de impedancias”, ya que βj /µj , (con j = 1, 2) es la impedancia
de la onda TE en cada uno de los medios [86]. En el ejemplo de la fig. 4.5 la adaptación de
impedancias se da para ∆µ = −0, 9644, ν = ν<n>=0 = 2, 28799GHz, ε2 = −2 y µ2 = −2,
valores para los cuales no hay banda prohibida a pesar de cumplirse la condición de ı́ndice
promedio cero, tal como puede observarse en la fig 4.9, donde se han graficado la semitraza
ξ (que vale 1 para ν = ν<n>=0 ) y la relación de dispersión.
En la fig. 4.10 se comparan los lı́mites de la banda < n >= 0 obtenidos con las
expresiones aproximadas (4.10a y 4.10b) y con el modelo exacto. En las regiones de menor
pendiente el error relativo es del orden del 6 %, mientras que en el resto de la curva son
del orden del 1 %. Vemos ası́ que las aproximaciones analı́ticas obtenidas en el lı́mite de
4.2. Aproximaciones Analı́ticas
63
(a)
(b)
Figura 4.9: (a) Gráfica de la semitraza ξ para los parámetros del cruce
(∆µ, ν<n>=0 ) = (−0,9644, 2,2879) (b) Diagrama de bandas asociado. Se muestra
la ausencia de la banda < n >= 0 en las condiciones del cruce, teniendo una banda
permitida a pesar de cumplirse la condición de ı́ndice promedio cero.
baja frecuencia reproducen los resultados numéricos mostrados en las fig. 4.5: cuando
µ2 (ν<n>=0 ) > ε2(ν<n>=0 ) el borde inferior de la banda < n >= 0 está regido por la
condición < µ >= 0 (ec. 4.10a) y el borde superior por < ε >= 0 (ec. 4.10b). En cambio,
si µ2 (ν<n>=0 ) < ε2 (ν<n>=0 ) el borde inferior de la banda < n >= 0 está regido por la
condición < ε >= 0 (ec. 4.10b) y el borde superior por < µ >= 0 (ec. 4.10a). Otras
Figura 4.10: Evolución de los bordes de la banda < n >= 0 en función de la variación
del parámetro ∆µ. Se denota un cruce en (∆µ, ν<n>=0 ) = (−0,9644, 2,2879) que
marca la ausencia de la banda < n >= 0 en ese punto a pesar del cumplimiento de
la condición de ı́ndice promedio cero.
estructuras exhiben comportamientos análogos, como puede observarse en la fig. 4.11 que
corresponde a un sistema binario con d1 = d2 = 6mm y un metamaterial con parámetros
64
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
constitutivos dados por [83]:
1,622
+ ∆ε,
0,952 − ν 2
32
+ ∆µ.
µ2 (ν) = 1 +
0,9022 − ν 2
ε2(ν) = 1 +
(4.15)
(4.16)
Para este sistema se obtiene mejor concordancia entre los bordes de banda aproximados y
Figura 4.11: Evolución de la banda < n >= 0 para el conjunto de parámetros
constitutivos del metamaterial definidos por las ecs. 4.15-4.16 para las propagaciones
θ = 0o y θ = 45o en polarización TE.
exactos. Los errores relativos son ahora del orden del 1 % y las mayores diferencias se observan en las zonas de menor pendiente. El cuadro pequeño de la fig. 4.11 muestra el comportamiento de los parámetros constitutivos ε2(ν) (ec. 4.15-lı́nea llena) y µ2 (ν) (ec. 4.16-lı́nea
de puntos) para los valores ∆µ = 0 y ∆µ = 3. En el primer caso, ε2 (ν<n>=0 ) > µ2 (ν<n>=0 )
y entonces, según la ec. 4.14, los bordes inferior y superior de la banda están gobernados
por las condiciones < ε >= 0 (ec. 4.11b) y < µ >= 0 (ec. 4.11a) respectivamente. La
fig. 4.11 también muestra el caso θ = 45o (franjas blancas y grises). Notar que la condición de adaptación de impedancias se cumple a la misma frecuencia, tanto en propagación
normal como oblicua, ya que para esta elección de parámetros < µ−1 >= 0 a la misma
frecuencia que < µ >= 0 y < ε >= 0 (ec. 4.11b).
Las aproximaciones analı́ticas obtenidas pueden entenderse también a partir de la
homogenización de la multicapa. En el lı́mite de bajas frecuencias, el cristal fotónico se
comporta como un medio homogéneo con parámetros constitutivos efectivos. Un modelo
sencillo [87] que permite hallar parámetros constitutivos efectivos para la multicapa, se
4.2. Aproximaciones Analı́ticas
65
basa en el cálculo del promedio entre los parámetros constitutivos de las capas. Para el
caso bicapa los parámetros efectivos resultan:
d2
d1
+ ε2(ν) =< ε >,
d
d
d1
d2
µef (ν) = µ1 + µ2 (ν) =< µ > .
d
d
εef (ν) = ε1
(4.17)
(4.18)
La propagación de las ondas en el medio homogenizado no será posible cuando εef µef < 0,
es decir en el rango de frecuencias determinado por las raı́ces de los parámetros constitutivos efectivos. Desde este punto de vista, podrı́amos esperar que las aproximaciones
obtenidas en el caso de sistema bicapa sean también válidas para estructuras más complejas como es el caso de un sistema ternario, para el cual la posición de los bordes de la
banda < n >= 0 en la aproximación de bajas frecuencias está dada por:
d2
d3
d1
+ µ2 (ν)
+ µ3 (ν)
= 0,
d
d
d
d2
d3
d1
+ ε2 (ν) + ε3 (ν) ) −
> = k02 (ε1
d
d
d
d
d
d
1
2
3
− α2 (
+
) = 0.
+
d µ1 d µ2 (ν) d µ3 (ν)
< µ > = µ1
k02 < ε > −α2 < µ−1
(4.19a)
(4.19b)
La fig. 4.12 muestra la comparación entre los lı́mites de la banda hallados a partir de las
(grados)
expresiones 4.11 y el modelo exacto para un sistema ternario de parámetros ε1 = µ1 = 1,
Modo TE
Figura 4.12: Diagrama de bandas proyectado para el caso de un cristal fotónico
ternario cuya celda elemental está definida por ε1 = µ1 = 1, ε2 (ν) y µ2 (ν) definidos
por las ecs. 4.15 y 4.16 respectivamente y ε3 = 4, µ3 = 3; con espesores dados
por d1 = d2 = d3 = 6mm. Se observa que por criterio de homogeneización que las
ecs. 4.11a- 4.11b ajustan apropiadamente a los bordes de banda.
66
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
ε2(ν) y µ2 (ν) dados por las ecs. 4.15 y 4.16 respectivamente y ε3 = 4, µ3 = 3; con espesores
d1 = d2 = d3 = 6mm. Se observa que las aproximaciones analı́ticas 4.19, si bien sólo fueron
demostradas para sistemas binarios en el lı́mite de bajas frecuencias, siguen valiendo en
este lı́mite para otros sistemas, tal como muestra la fig. 4.12, en la cual la diferencia entre
las aproximaciones por homogenización y el cálculo numérico no difiere en más del 1,5 %.
Bandas Constitutivas
Al igual que en el caso de la banda < n >= 0, es posible hallar expresiones aproximadas
para los bordes de las bandas constitutivas a partir de las ecs. 4.9. El borde inferior de
las bandas constitutivas corresponde a KB = ±π/d y el superior a KB = 0, por lo que
las frecuencias que determinen estos bordes serán la segunda raı́z de r(ν) y la primera
raı́z de s(ν) respectivamente. En el caso de polarización TE y propagación oblicua, r(ν)
y s(ν) en la aproximación de bajas frecuencias quedan dados por:
r(ν) ⇒ k02 < ε > −α2 < µ−1 >= 0,
4
β 2(ν)
=
.
s(ν) ⇒ 2
µ2 (ν)
µ1 d1 d2
(4.20)
(4.21)
Para el caso de polarización TM, se obtienen expresiones análogas intercambiando εj
Figura 4.13: Diagramas de bandas proyectado para la estructura de la fig. 3.3 que
muestra la buena estimación dada por las soluciones de las ecs. 5.17- 5.16. (a) Modo
TE, (b) Modo TM.
4.3. Campos Electromagnéticos
67
por µj (j = 1, 2). La fig. 4.13 muestra las frecuencias que son solución de las ecs. 5.17
y 5.16 superpuestas al diagrama de bandas proyectado para la estructura de la fig. 3.3.
Las frecuencias aproximadas obtenidas resultan buenas estimaciones para ambos modos
de polarización con errores relativos menores al 1 %.
4.3.
Campos Electromagnéticos
En esta sección estudiaremos el comportamiento de los campos en los bordes de las
bandas prohibidas < n >= 0 y constitutivas. Este estudio resulta de interés ya que estas
bandas se forman en una región en donde el ı́ndice del metamaterial es casi nulo. Estos
materiales son estudiados debido a las potenciales aplicaciones que poseen tales como el
aumento de la directividad de la radiación de antenas, la posibilidad de obtener una fase
lo suficientemente pequeña para poder recorrer largas distancias dentro del material o
también el paso de la luz a través de canales de sección más pequeña que la longitud de
onda [88, 89, 90].
En el caso de las multicapas estudiadas, los campos en cada capa están dados por las
expresiones 2.42 y 2.43. Las amplitudes (A1, B1 ) son los autovectores del sistema 2.57. Las
amplitudes de los campos en la capa de metamaterial se obtienen a partir de la ec. 2.52.
!
!
A2
A
1
= M−1
.
(4.22)
12 (z1 ) M11 (z1 )
B2
B1
Banda < n >= 0
La fig. 4.14 muestra la dependencia espacial de los campos eléctrico y magnético para
un cristal binario y para valores de frecuencia en los lı́mites inferior y superior de la banda
de < n >= 0. La incidencia es normal y la estrucutura considerada tiene d1 = 12mm,
d2 = 6mm, ε1 = µ1 = 1 y ε2(ν) y µ2 (ν) dados por las ecs. 2.87 y 2.88 respectivamente. Se
observa que cuando la frecuencia es ν − = 1,975GHz (borde inferior) el campo eléctrico
tiene simetrı́a impar respecto del centro de cada capa y variación lineal con la distancia
a lo largo de toda la celda unidad. En cambio, el campo magnético es par respecto del
centro de las capas y depende cuadráticamente con la distancia z. Cuando la frecuencia es
ν + = 2,698GHz (borde superior), se invierte el comportamiento de los campos: el campo
eléctrico resulta par respecto del centro de cada capa y depende cuadráticamente con la
distancia, mientras que el campo magnético resulta impar y tiene dependencia lineal con
68
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
z. Las distribuciones de campo graficadas en la fig. 4.15 muestran que éstos tienen perı́odo
θ=0
o
Vacío
MM
ν =2.698
+
ν =1.975
−
Vacío
MM
Figura 4.14: Distribución de campo electromagnético para las frecuencias de los
lı́mites de la banda < n >= 0 para el caso de la fig. 2.17.
d. Este resultado se observa también en la condición de Bloch 2.55. Dado que KB = 0
para ambos bordes de la banda < n >= 0, la condición de Bloch resulta:
=0
z}|{
i KB d
f (z) = f (z).
f (z + d) = e
De esta manera se concluye que siempre que KB = 0, el campo tendrá perı́odo d. En
la fig. 4.15 se estudia la distribución de campo para las frecuencias en el borde de la
banda < n >= 0 a cada lado del cruce observado en la fig. 4.10 (condición de adaptación
de impedancias 4.14). Cuando ∆µ = −0,75, ε2 (ν<n>=0 ) > µ2 (ν<n>=0 ), y la simetrı́a
y dependencia con z de los campos es la descripta en la figura anterior. En cambio
cuando ∆µ = −1,25, no sólo se invierte la relación entre los parámetros constitutivos,
ε2(ν<n>=0 ) < µ2 (ν<n>=0 ), sino también las caracterı́sticas de los campos: el campo eléctrico del borde de banda inferior (superior) tiene simetrı́a par (impar) en cada capa y dependencia cuadrática (lineal) con la distancia z, y el campo magnético simetrı́a impar
(par) y dependecia lineal (cuadrática). Estos resultados muestran que las caracterı́sticas
del campo en el borde inferior de la banda se continúan en el borde superior (y las del
borde superior en el borde inferior) después del cruce.
4.3. Campos Electromagnéticos
69
Ey
Ey
Hx
Hx
Vacío
Vacío
MM
z [mm]
MM
z [mm]
Ey
Ey
Hx
Vacío
Hx
MM
z [mm]
Vacío
MM
z [mm]
Figura 4.15: Distribución de campo en los bordes de la banda < n >= 0 antes y
después del cruce en ∆µ = −0,9644.
Banda Constitutivas
En la fig. 4.16 se muestra la distribución de campo en los bordes de la banda µ = 0,
para θ = 45o en modo TE para la estructura de la fig. 3.3. El campo eléctrico en el
borde inferior de la banda µ = 0, asociado a la frecuencia ν − = 3, 0831GHz, decrece
linealmente con z en la capa de vacı́o, mientras que resulta prácticamente constante en
todo el espesor del metamaterial. En cambio, la componente x del campo magnético exhibe
un comportamiento inverso: se mantiene casi constante en la capa de vacı́o y decrece
linealmente a lo largo del metamaterial. En el borde inferior de la banda KB = ±π/d
y los campos tienen una periodicidad de 2d, lo que se observa en la condición de Bloch
(ec. 2.55):
=± π
d
z}|{
f (z + d) = ei KB d f (z) = −f (z).
A diferencia del borde inferior, los campos en la frecuencia superior de la banda µ = 0,
ubicada en ν + = 3, 97887GHz, presentan un comportamiento similar al de los bordes
de la banda < n >= 0 ya que el campo eléctrico depende cuadráticamente con z, y el
70
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
y
µ=0
<n>=0
Modo TE
ν =3,97GHz
+
MM
Vacío
νµ=0
ν =3,08GHz
-
y
θ = 45
o
Vacío
MM
Figura 4.16: Distribución de campo electromagnético para los lı́mites de la banda
µ = 0 para la misma estructura fotónica de la fig. 3.3.
campo magnético decrece linealmente. Sin embargo, se observa un cambio de concavidad
del campo eléctrico en la capa de metamaterial respecto de la de vacı́o para el caso de
la banda µ = 0 (no presente en los bordes de la banda < n >= 0). Esta diferencia en el
comportamiento del campo eléctrico se observa en la condición de contorno (ec. 2.40 en
pol. TE)
(1)
(2)
1 ∂Ey
1 ∂Ey
(x, z) =
(x, z).
µ1 ∂z
µ2 ∂z
En el rango de frecuencias de la banda < n >= 0, µ1 > 0 y µ2 (ν) < 0, por lo que el
campo eléctrico presenta pendientes de diferente signo en la interfaz vacı́o-metamaterial.
En cambio, a la frecuencia del borde superior de la banda µ = 0, µ1 > 0 y µ2 (ν) > 0,
por lo que la pendiente del campo eléctrico tiene el mismo signo a ambos lados de dicha
interfaz. Las distribuciones de campo electromagnético para el caso de polarización TM
en la banda prohibida de ε = 0 son análogas a las descriptas para polarización TE en la
fig. 4.16. Esto se observa en la fig. 4.17, en donde la concavidad del campo magnético en
el lı́mite superior de la banda está dada por el signo de ε2(ν).
En la sec. 3.4 del capı́tulo anterior se observó que para f < 0,5 y θ → 0 existe una
banda prohibida mixta conformada por la interacción de la banda < n >= 0 y µ = 0
(fig. 3.13). En la fig. 4.18 se grafica la distribución de campos para los bordes de dicha
banda mixta para θ = 0o . Por un lado, se observa que los campos en la frecuencia inferior
4.3. Campos Electromagnéticos
71
ε=0
<n>=0
ν+=4,13395 GHz
νε=0
ν =3,73364 GHz
-
Vacío
MM
Figura 4.17: Distribución de campo electromagnético para los lı́mites de la banda
ε=0
Modo TE
f = 0.1
Figura 4.18: Distribución de campo para los lı́mites de la banda mixta para θ = 0o .
Se identifica el lı́mite inferior con la banda de < n >= 0 y el superior con la banda
µ = 0.
72
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
de la banda presentan las mismas caracterı́sticas que para el caso de la banda < n >= 0
(fig. 4.14). Por otro lado, los campos en la frecuencia superior de la banda mixta siguen
el comportamiento descripto para el borde superior de la banda µ = 0 (fig. 4.16). De
esta manera, se muestra que el análisis realizado para los campos electromagnéticos en
los bordes de las bandas permite determinar que los bordes de la banda mixta poseen la
identidad de dos bandas prohibidas diferentes.
4.4.
Inclusión en Guı́as de Onda
Hasta ahora hemos considerado multicapas constitutidas por planos transversales infinitos. Esta idealización es muy útil cuando se trabaja en el rango óptico, porque en este
rango la longitud de onda es mucho menor que la extensión transversal. Sin embargo,
esta aproximación no se cumple cuando la frecuencia de trabajo está en el rango de los
GHz [91, 92]. Para materiales en este rango de frecuencias es necesario tener en cuenta la
extensión finita de los planos, por lo cual estudiaremos la inclusión de la multicapa dentro de una guı́a de ondas [84]. Los campos electromagnéticos en una guı́a de ondas [69]
son combinación de infinitos modos propios que se presentan discretizados en la dirección
perpendicular a las superficies conductoras (x̂ en el sistema de coordenadas elegido) a
través del parámetro Γm , donde m ∈ N representa cada uno de los modos propios. De
esta manera, βj,m resulta:
2
βj,m
= k02 εj µj − Γ2m
con
j = 1, 2,
(4.23)
donde j indica la correspondiente capa del cristal fotónico. La frecuencia que cumple la
condición β1,m = 0 es denominada frecuencia de corte (νc ), las frecuencias por debajo
de νc representan ondas no propagantes. El parámetro Γm depende de la geometrı́a de
la sección de la guı́a de ondas, por lo que su expresión explı́cita se conoce al imponer
las condiciones de contorno apropiadas en la pared de conductor perfecto (tipo Neumann
para polarización TE y tipo Dirichlet para polarización TM).
Guı́as de Onda de Caras Plano-Paralelas
Cuando la estructura multicapa se coloca dentro de una guı́a de ondas de caras plano
paralelas de altura h y de paredes conductoras perfectas (fig. 4.19), el parámetro Γm
4.4. Inclusión en Guı́as de Onda
73
resulta:
Γm =
mπ
,
h
para ambos modos de polarización. A partir de Γm se obtiene βj,m y la relación de dispersión KB (ω) que nos permitirá conocer la estructura de bandas de la multicapa dentro
de la guı́a de ondas.
x
CELDA UNIDAD
d
x=h
ε2,µ2
x=0
ε1,µ1
y
ε2,µ2
CONDUCTOR PERFECTO
ε1,µ1
ε2,µ2
d1
d2
ε1,µ1
ε2,µ2
ε1,µ1
ε2,µ2
CONDUCTOR PERFECTO
z
Figura 4.19: Esquema de un cristal fotónico unidimensional bicapa inserto en una
guı́a de ondas de cara plano paralelas conductoras perfectas
Medios no dispersivos
En la fig. 4.20 se muestran las diferencias que presenta la estructura con metamateriales
no dispersivos considerada en la fig. 2.14 cuando se la coloca dentro de guı́as de caras
plano paralelas de diferentes alturas relativas h/d ((a) planos infinitos, (b) h/d = 2,5, (c)
h/d = 1,25, (d) h/d = 0,5) para polarización TE y modo m = 1. A diferencia de la fig. 2.14,
se observa en la fig. 4.20 que la condición 2.84 de ı́ndice promedio cero no se cumple para
todas las frecuencias en los casos en que h/d 6= 0. Este resultado también se observa en la
fig. 4.21, en donde Re(KB d/π) 6= 0 y Im(KB d/π) = 0 en diferentes rangos de frecuencias,
lo que determina la existencia de bandas de propagación permitidas. Se observa que cuanto
mayor es la altura relativa h/d de la guı́a de ondas menor es la cantidad de frecuencias
permitidas que soporta la estructura, asemejándose el diagrama de bandas al caso de
planos de extensión infinita. Esta semejanza también aumenta para frecuencias altas. Es
posible entender la presencia de las bandas permitidas de la fig. 4.21 si se considera que
un modo que se propaga a lo largo de una guı́a de ondas puede ser interpretado como una
superposición de ondas planas con diferentes ángulos de propagación dados por:
tan(θj ) =
Γm
,
βj,m
(4.24)
74
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
Figura 4.20: Im(KB d/π) que representa las bandas prohibidas del sistema cristal
fotónico 1D, de parámetros ε1 = 1 = µ1 , ε2 = −8, µ2 = −2 y d1 /d = 0,8, d2 /d = 0,2,
(a) sin guı́a; (b),(c) y (d) m = 1 en modo TE de una guı́a de ondas de caras plano
paralelas para tres alturas relativas diferentes de la guı́a: , h/d = 2,5, h/d = 1,25 y
h/d = 0,5 respectivamente
Figura 4.21: Re(KB d/π) de los diagramas de banda de la figura anterior para m = 1
en modo TE con alturas relativas (a) h/d = 2,5 (b) h/d = 1,25 y (c) h/d = 0,5. Se
identifica la existencia de bandas permitidas a pesar de que la condición de ı́ndice
promedio cero se cumple
4.4. Inclusión en Guı́as de Onda
75
donde j = 1, 2. Esta consideración asocia las bandas permitidas de la fig. 4.21 con las
estudiadas en la fig. 2.18 para el caso de planos infinitos. Sin embargo, es posible obtener
un reflector (casi) perfecto, aún dentro de una guı́a de ondas, al considerar parámetros
constructivos de la multicapa que satisfagan la condición < β >= 0 (ec. 2.89) para todo
θ, las cuales corresponden a d1 = d2 y n2 = −n1. La fig. 4.22 ilustra este caso para una
multicapa binaria de parámetros ε1 = µ1 = 1, ε2 = −0,5, µ2 = −2 y d1 /2 = d2 /d = 0,5,
para las alturas relativas consideradas en las figuras anteriores.
Figura 4.22: Im(KB d/π) de la estructura fotónica caracterizada ε1 = µ1 = 1, ε2 = −0,5,
µ2 = −2, d1 /2 = d2 /d = 0,5 para TE1 y (a) h/d = 2,5 (b) h/d = 1,25 y (c) h/d = 0,5. Las
relaciones n2 = −n1 y d1 = d2 satisfacen con la condición < β >= 0 para toda frecuencia
Medios Dispersivos
Al igual que en el caso anterior, la fig. 4.23 muestra el diagrama de bandas de la
multicapa de metamateriales dispersivos de la fig. 2.17 para los casos: (a) estructura
ideal de planos infinitos y (b) estructura dentro de una guı́a de ondas de caras plano
paralelas de h/d = 4, 5. Al comparar ambas gráficas se observa una clara diferencia
ωd
alrededor de
= 0,9, en donde la banda < n >= 0 parece desdoblarse en dos bandas
c
prohibidas con una banda de conducción entre ellas. Estas bandas corresponden a la banda
ωd
ωd
= 0,8 y
= 1,18 respectivamente. El diagrama de
< n >= 0 y µ = 0 alrededor de
c
c
76
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
Frecuencia de Corte
Figura 4.23: Diagrama de bandas de un cristal fotónico que alterna un dieléctrico
de ı́ndice positivo y un metamaterial dispersivo. (a) Para una estructura de extensión
infinita en el plano transversal (b) para el modo TE1 en una guı́a de ondas de caras
plano paralelas
bandas del panel (b) resulta muy similar al caso de plano infinitos de la fig. 3.2 en el
cual la propagación es oblicua. Esta semejanza puede entenderse con los mismos criterios
utilizados en la figs. 4.20 y 4.21 del caso no dispersivo: la onda que ingresa a la guı́a se
comporta como una superposición de dos ondas planas en propagación oblicua.
Guı́as de Onda de otras Secciones
En el caso de la guı́a de caras plano paralelas, se observó que el diagrama de bandas
de la multicapa depende de Γm . Este parámetro varı́a con la geometrı́a de la sección de la
guı́a de ondas, por lo que se busca determinar las modificaciones que impone el cambio de
geometrı́a en la respuesta de la multicapa. Para ello consideraremos las secciones rectangular, circular y coaxial. Al ser geometrı́as bidimensionales los modos propios quedan
discretizados en las dos direcciones perpendiculares a la superficie correspondiente a través
del parámetro Γnm . Entonces, βj, nm queda definido como:
βj,2 nm = k02 εj µj − Γ2nm
con j = 1, 2,
(4.25)
donde n y m ∈ N. A continuación daremos la forma explı́cita del parámetro Γnm para
cada una de las secciones elegidas.
4.4. Inclusión en Guı́as de Onda
77
Sección rectangular
Las paredes conductoras perfectas de la guı́a están formadas por los planos x = ±a/2
e y = ±b/2, con a = b para el caso de la sección cuadrada.
Γnm =
r nπ 2
mπ 2
+
,
(4.26)
a
b
donde n, m = 0, 1, 2, . . . para modo TE (con n = m = 0 un modo no permitido) y
n, m = 1, 2, 3, . . . para modo TM.
Sección circular
La pared conductora perfecta es un cilindro de radio a. Para modo TE:
χ0nm
,
(4.27)
a
es la m−ésima raı́z de la primera derivada de la función de Bessel [74] de
Γnm =
donde χ0nm
primera especie de orden n, con n = 0, 1, 2, . . .. Para modo TM:
χnm
,
(4.28)
a
es la m−ésima raı́z de la función de Bessel de primer especie de orden n, con
Γnm =
donde χnm
n = 0, 1, 2, . . ..
Sección coaxial
Las paredes conductoras son dos cilindros concéntricos, uno de radio interno rin y
otro radio externo rext. El parámetro Γnm se obtiene como solución de una ecuación
trascendente, que en modo TE es:
Jn0 (Γnm rin) Yn0 (Γnm rext ) − Jn0 (Γnm rext) Yn0 (Γnm rin ) = 0,
(4.29)
y en modo TM es:
Jn (Γnm rin) Yn (Γnm rext ) − Jn (Γnm rext) Yn (Γnm rin ) = 0,
(4.30)
donde Jn e Yn son las funciones de Bessel de primera y segunda especie y orden n, las funciones primadas indican la primera derivada respecto del argumento y n, m = 0, 1, 2, . . ..
78
CAPÍTULO 4. Nuevas Bandas: Caracterización
La figs. 4.24 y 4.25 muestran la reflectividad de la multicapa de la fig. 2.17 cuando
está dentro una guı́a de ondas de sección: (a) caras plano paralelas, (b) rectangular, (c)
circular, (d) coaxial, para los modos TE y TM respectivamente. Las gráficas muestran la
reflectividad en función de la frecuencia y de la variación de una distancia caracterı́stica de
la estructura. Para el caso de la sección de caras plano paralelas esta distancia corresponde
a la altura relativa h/d, en caso de la guı́a rectangular es el lado relativo a/d mientras se
mantiene constante el lado relativo b/d = 4, 5. En la guı́a de sección circular la distancia
caracterı́stica es el radio relativo r/d y finalmente, en el caso de la guı́a coaxial es el
radio relativo externo rext /d mientras se mantiene constante el radio relativo interno
rin /d = 0, 55. En todos los casos se grafica el primer modo de cada guı́a con el objetivo
de poder comparar las reflectividades. En las cuatro gráficas de cada figura se observan
tres zonas de reflectividad máxima (zonas blancas, R = 1), es decir que corresponden
a bandas prohibidas de propagación. Estas zonas prohibidas son las bandas < n >= 0,
µ = 0 y Bragg en modo TE y < n >= 0, ε =0 y Bragg en modo TM. Se observa que la
evolución de estas bandas en función de la distancia relativa caracterı́stica de cada guı́a
no resulta sensible a la geometrı́a de la sección correspondiente, ya que las cuatro gráficas
de las figs. 4.24 y 4.25 son muy similares entre sı́.
Figura 4.24: Variación del coeficiente de reflexión en función de la frecuencia y la
distancia relativa caracterı́stica de cada geometrı́a para la multicapa de la fig. 2.17
para polarización TE. Guı́as de sección: (a) Caras plano paralelas, (b) Rectangular,
(c) Circular, (d) Coaxial.
4.4. Inclusión en Guı́as de Onda
Figura 4.25: Idem fig. 4.24 para polarización TM
79
80
Capı́tulo 5
Multicapas Anisótropas
A lo largo de este trabajo se han hallado y caracterizado nuevas bandas prohibidas
en sistemas multicapas que incorporan metamateriales isótropos. Si bien la hipótesis
de respuesta isótropa está justificada para ciertas técnicas de fabricación [93, 94], es
sabido que los metamateriales producidos con las técnicas originales poseen caracterı́sticas
anisótropas [95, 96]. En este capı́tulo se analizan los cambios en las nuevas bandas cuando
los metamateriales son giroelectromagnéticos. Al comenzar este estudio, la respuesta de
metamateriales anisótropos habı́a sido estudiada para el caso de medios ilimitados [71],
pelı́culas delgadas en un medio dieléctrico de ı́ndice positivo [97, 98, 99] y superficies
corrugadas [100, 101, 102]. Muy poco habı́a sido investigado para el caso de multicapas
y los trabajos existentes [103, 104] analizaban esencialmente la omnidireccionalidad de
la banda < n >= 0 para el caso particular de simetrı́a ĉ = ẑ. Durante el transcurso de
nuestra investigación, concentrada principalmente en el estudio de las bandas constitutivas, aparece el trabajo de Xiang, Dai y Wen [105], quienes discuten estas bandas para el
caso particular de ĉ = ẑ. En este capı́tulo se estudian los casos ĉ = ẑ y ĉ = x̂ [106], y su
generalización para cualquier dirección del eje óptico en el plano de incidencia.
5.1.
Eje Óptico en Direcciones de Simetrı́a
Las direcciones del eje óptico ĉ = ẑ o ĉ = x̂ (ver fig. 5.1) son orientaciones de simetrı́a
para el metamaterial anisótropo. En estas orientaciones, β2 (ec. 2.22) adquiere las siguientes expresiones simplificadas:
81
82
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
d1
d2
ε1,µ1
ε , µ ,ε||,µ||
x
c
d1
d2
ε1,µ1
ε , µ ,ε||,µ||
x
c
d
d
z
z
(a) Eje óptico en la dirección perpendicular
(b) Eje óptico en la dirección paralela a las
a las interfases ĉ = ẑ
interfases ĉ = x̂
Figura 5.1: Esquema de un cristal fotónico 1D que alterna una capa de material
isótropo y una capa de material anisótropo para los casos de simetrı́a. En la esquina
superior derecha de cada caso se incluye la simbologı́a que se utilizará para identificar
cada caso.
r
µ⊥
β2 = k02 ε⊥ µ⊥ − α2
µk
r
µk
β2 = k02 ε⊥ µk − α2
µ⊥
si ĉ = cz ,
(5.1)
si ĉ = cx ,
(5.2)
si ĉ = cz ,
(5.3)
si ĉ = cx ,
(5.4)
en modo TE y:
r
ε⊥
k02 µ⊥ ε⊥ − α2
εk
r
εk
β2 = k02 µ⊥ εk − α2
ε⊥
β2 =
en modo TM. A partir de las ecs. 5.1-5.4 y junto con el sistema matricial 2.72-2.73 es
posible obtener una expresión analı́tica para la relación de dispersión KB (ω):
1
1
KB (ω) = arc cos cos(β1d1 ) cos(β2d2 ) − Q sin(β1d1 ) sin(β2 d2 ) ,
d
2
con Q =
(5.5)
σ 2 β1 σ1 β2
+
. Si bien la ec. 5.5 es idéntica a la del caso isótropo (ec. 2.62), las
σ1 β2 σ2 β1
5.1. Eje Óptico en Direcciones de Simetrı́a
83
diferencias están presentes en las expresiones de β2 (ecs. 5.1-5.4) y σ2 :
σ2 =

)

ĉ
=
c
µ
x

k

Pol. TE,



µ
ĉ
=
c

⊥
z

)




ε
ĉ
=
c
x
k


Pol. TM.

 ε ĉ = c
⊥
z
(5.6)
σ2 depende no sólo de la polarización de la onda (como en el caso isótropo) sino también
de la orientación del eje óptico. A partir de la ec. 5.5, se analizarán las modificaciones en
la estructura de bandas en propagación normal y oblicua. Consideraremos que el medio
giroelectromagnético es dispersivo con autovalores de ε̃ y µ̃ descriptos por funciones de
Drude [80, 104, 106]:
100
,
ω2
100
εbk(ω) = 1,8 − 2 ,
ω
εb⊥ (ω) = 1 −
100
,
ω2
100
µ
bk (ω) = 1,5 − 2 ,
ω
µ
b⊥ (ω) = 1,21 −
(5.7)
con ω = 2πν. De manera análoga al caso isótropo, cada uno de los elementos de 5.7 tiene
un rango de trabajo de respuesta negativa y otro positivo como muestra la fig. 5.2.
+
-
(a) Elementos del tensor µ̃
(b) Elementos del tensor ε̃
Figura 5.2: Dependencia con la frecuencia de los autovalores de µ̃ y ε̃ dados por las
ecs. 5.7
84
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
Propagación Normal
En los capı́tulos anteriores se estudió que la dispersión del metamaterial tiene un papel
fundamental en la formación de las nuevas bandas. Por este motivo, estudiaremos cómo
la dependencia con la frecuencia de cada uno de los autovalores de ε̃ y µ̃ influye en la
estructura de bandas. Para comenzar consideraremos en la fig. 5.3 una multicapa binaria
en donde la cual sólo dos de los autovalores dependen de la frecuencia. La multicapa
está caracterizada por ε1 = 4, µ1 = 1 para el medio isótropo, ε⊥ (ω) = εb⊥ (ω), µ⊥ (ω) =
µ
b⊥ (ω), µk = 2 y εk = 2 para el metamaterial GEM, espesores d1 = 12mm, d2 = 6mm y
polarización TE.
ν<n
GEM
θ=0
o
>=0
Modo TE
Figura 5.3: Diagrama de bandas para un sistema binario en modo TE y propagación
normal, con una capa de parámetros ε1 = 4, µ1 , d1 = 12mm y otra de metamaterial
GEM de espesor d2 = 6mm con orientación ĉ = ẑ y parámetros dados por ε⊥ (ω) =
εb⊥ (ω), µ⊥ (ω) = µ
b⊥ (ω), µk = 2 y εk = 2. Se observa la existencia de dos bandas
>= 0 y otra tipo Bragg.
prohibidas correspondientes a < nGEM
2
Se observa que el diagrama de bandas obtenido es muy similar al mostrado en la fig. 2.17
para el caso de capas isótropas. La semejanza hallada se debe a que la respuesta del
metamaterial en las configuraciones de simetrı́a es análoga a la de un cristal isótropo, ya
que todas las ondas en la capa GEM poseen la misma velocidad de propagación. Es posible
entonces definir el ı́ndice de refracción para el metamaterial GEM en las direcciones ĉ = x̂
y ĉ = ẑ como:
5.1. Eje Óptico en Direcciones de Simetrı́a
nGEM
=
2
 p

(ε⊥ µ⊥ )



p


(ε⊥ µk )



p



(ε⊥ µ⊥ )



 p(ε µ )
k ⊥
85
ĉ = ẑ
)
ĉ = x̂
ĉ = ẑ
)
ĉ = x̂
Pol. TE,
(5.8)
Pol. TM.
Este ı́ndice de refracción sólo depende de dos de los cuatro autovalores de los tensores ε̃
y µ̃. A partir de 5.8 es posible redefinir la condición de ı́ndice promedio cero para el caso
de metamateriales anisótropos:
< nGEM >= n1
d2
d1
− |nGEM
| = 0.
2
d
d
(5.9)
Para ĉ = ẑ (fig. 5.3), la formación de la banda < nGEM >= 0 sólo requiere que ε⊥ y µ⊥ sean
negativos en el mismo rango de frecuencias para que la condición 5.9 se satisfaga. En la
fig. 5.3 se indica con lı́nea punteada la frecuencia ν<nGEM > = 0,704GHz a la cual se cumple
la condición < nGEM >= 0. Los bordes de la banda pueden determinarse nuevamente a
través de las ecs. 4.8a y 4.8b. Éstos están dados cuando KB = 0, y por consiguiente las
frecuencias que delimitan la banda son las raı́ces de q(ν) y r(ν). Utilizando nuevamente la
aproximación de bajas frecuencias, se hallan las condiciones para cada uno de los bordes
de banda para θ = 0o , ambas orientaciones del eje óptico y polarizaciones TE y TM:
q(ν) = 0 ⇒
r(ν) = 0 ⇒


< µ⊥ >= 0






 < µk >= 0




< ε⊥ >= 0



 < ε >= 0
k


< ε⊥ >= 0






 < ε⊥ >= 0




< µ⊥ >= 0



 < µ >= 0
⊥
ĉ = ẑ
)
ĉ = x̂
ĉ = ẑ
)
ĉ = x̂
ĉ = ẑ
)
ĉ = x̂
ĉ = ẑ
ĉ = x̂
)
Pol. TE,
(5.10)
Pol. TM,
Pol. TE,
(5.11)
Pol. TM.
86
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
Para el caso de la fig. 5.3 los bordes están dados por < ε⊥ >= 0 (r(ν)) y < µ⊥ >= 0
(q(ν)) para el borde inferior y superior respectivamente; condiciones que se cumplen a las
frecuencias ν<ε⊥ > = 0, 53GHz y ν<µ⊥ > = 0,88GHz.
=
Cuando ĉ = x̂, el ı́ndice de refracción es nGEM
2
p
(ε⊥ (ω)µk (ω)) (ec. 5.8) y la condi-
ción < nGEM >= 0 no se satisface porque µk es positivo y constante para todo el rango de
frecuencias. La fig. 5.4 muestra el diagrama de bandas cuando ĉ = x̂ para la misma multicapa considerada anteriormente. Se observan dos bandas prohibidas, una ancha alrededor
de ν = 4, 5GHz que corresponde a una banda de Bragg y otra más angosta alrededor
de ν = 0, 25GHz. Esta última banda no corresponde a una banda < nGEM >= 0 por
θ=0
o
Modo TE
Figura 5.4: Diagrama de bandas para un sistema binario en modo TE y propagación normal, para la misma estructura fotónica de la fig. 5.3 pero con la capa de
metamaterial GEM con orientación ĉ = x̂.
lo expuesto anteriormente, y su presencia en el diagrama de bandas puede entenderse a
través de la homogenización de la multicapa (ver sec. 4.2). Cuando una de las capas es un
material GEM, los parámetros constitutivos efectivos del cristal fotónico homogenizado
representan un material anisótropo de parámetros efectivos εef ⊥ =< ε⊥ >, εef k =< εk >,
µef ⊥ =< µ⊥ > y µef k =< µk >. Para el caso de la fig. 5.4, la propagación de las ondas
en el medio homogenizado no será posible cuando εef ⊥ µef k < 0, ya que la respuesta del
medio efectivo es análoga a la de un metal. Este rango de frecuencias corresponde a la
banda inferior de la fig. 5.4, cuyo lı́mite superior es < ε⊥ >= 0, condición que se cumple
a la frecuencia ν<ε⊥ > = 0,53GHz.
5.1. Eje Óptico en Direcciones de Simetrı́a
87
Propagación Oblicua
El diagrama de bandas proyectado 5.5 muestra la evolución de la la banda < nGEM >= 0
en función del ángulo θ en el rango de 0o a 90o para la multicapa de la fig. 5.3. La figura
Figura 5.5: Diagrama de bandas proyectado para el caso de polarización en modo
TE y orientación del eje óptico del metamaterial para la misma estructura de la
fig. 5.3
muestra una fuerte dependencia de la banda prohibida < nGEM >= 0 con el ángulo de
propagación θ. El ancho de la banda disminuye a medida que aumenta θ hasta desaparecer
por completo en las cercanı́as de θ ≈ 50o , donde los bordes de banda se cruzan y la banda
aumenta su ancho abruptamente. Este cruce corresponde a la condición de adaptación de
impedancias vista en la ec. 4.14.
Al igual que en el caso de propagación normal, las frecuencias que determinan los
bordes de la banda son las raı́ces de q(ν) y r(ν) con θ 6= 0:
q(ν) = 0 ⇒


< µ⊥ >= 0






 < µk >= 0




< ε⊥ >= 0



 < ε >= 0
k
ĉ = ẑ
)
ĉ = x̂
ĉ = ẑ
ĉ = x̂
)
Pol. TE,
(5.12)
Pol. TM,
88
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
r(ν) = 0 ⇒

α2

>
−
< µk >−1 = 0
<
ε
⊥

k02


2



< ε⊥ > − αk2 < µ⊥ >−1 = 0

0



2


< µ⊥ > − αk2 < εk >−1 = 0


0


 < µ > − α2 < ε >−1 = 0
⊥
⊥
k2
0

ĉ = ẑ 
Pol. TE,
ĉ = x̂ 

ĉ = ẑ 
ĉ = x̂ 
(5.13)
Pol. TM.
Al igual que en el caso de materiales isótropos, mientras que la condición 5.13 depende de
θ, la condición 5.12 resulta invariante con el ángulo de propagación, por lo que el borde de
la banda en propagación oblicua es el mismo que en propagación normal. Es interesante
notar que en ambos casos, cada lı́mite de la banda < nGEM >= 0 depende solamente de
promedios en la celda unidad, y cada uno de estos promedios involucra un único autovalor
de los tensores ε̃ ó µ̃. En el caso de la fig. 5.5, se indica con cı́rculos rojos las frecuencias
que son solución de q(ν) = 0 y con cuadrados azules las que son solución de r(ν) = 0.
Estas aproximaciones resultan buenas estimaciones ya que el error relativo es inferior al
1 %. A diferencia del caso de propagación normal, la banda prohibida < nGEM >= 0 en
propagación oblicua no sólo depende de los autovalores ε⊥ y µ⊥ , sino también de µk .
En el ejemplo anterior hemos considerado al autovalor µk positivo y constante en todo
el rango de frecuencias. En la fig. 5.6 se grafica el caso de una multicapa binaria donde
Figura 5.6: Diagrama de bandas proyectado para un crital fotónico binario en modo TE en el
b⊥ , µk = µ
bk ,
cual las capas están caracterizadas por ε1 = 4, µ1 = 1, d1 = 12mm, ε⊥ = εb⊥ , µ⊥ = µ
εk = 2, d2 = 6mm y ĉ = ẑ. Se observa la aparición de una nueva banda prohibida similar a la µ = 0
para cristales isótropos, alrededor de νµk .
el material isótropo es el mismo que en los ejemplos anteriores y el metamaterial GEM
está caracterizado por parámetros ε⊥ = εb⊥ (ν), µ⊥ = µ
b⊥ (ν), µk = µ
bk (ν), εk = 2, con
5.1. Eje Óptico en Direcciones de Simetrı́a
89
orientación ĉ = ẑ. Los espesores son d1 = 12mm y d2 = 6mm. Por un lado, a diferencia de
la fig. 5.5, la banda < nGEM >= 0 no crece indefinidamente con el ángulo de propagación,
sino que tiene una cota superior en la frecuencia ν<µ⊥ > = 0,888GHz. Asimismo, la banda
no presenta el cruce correspondiente a la condición de adaptación de impedancias. Por
otro lado, la fig. 5.6 exhibe una nueva banda de caracterı́sticas similares a las bandas
constitutivas vistas en el cap. 3, que se forma alrededor de la frecuencia νµk = 1,299GHz.
Para esta frecuencia µk = 0 y tanto Q como la semitraza de la matriz de transferencia
resultan singulares, como sucedı́a para las bandas constitutivas discutidas en la sec. 3.1,
=∞
Q|µk =0
z}|{
1 h µ⊥ (ν)β1
β2 µ 1 i
→ ∞.
=
+
2
β2 µ1 µ⊥ (ν)β1
|{z}
| =∞
{z }
(5.14)
=0
En el caso isótropo, esta singularidad ocurre cuando el denominador de Q se anula cuando
se anula alguno de los parámetros constitutivos del metamaterial. Sin embargo, en el caso
anisótropo el denominador de Q se anula al ser cero β2(ν) cuando µk = 0. A partir de
esta diferencia entre ambos casos y de la fig. 5.6 es posible notar que cuando el parámetro
constitutivo µ⊥ = 0, Q resulta singular pero no se abre una nueva banda prohibida.
Como β2 → 0, podemos aproximar sin(β2 d2 ) ≈ β2d2 y cos(β2d2 ) ≈ 1 y la semitraza ξ|µ⊥ =0
resulta:
ξ|µ⊥ =0
h βµ
i
1
µ ⊥ β1
2 1
= cos(β1d1 ) cos(β2d2 ) − sin(β1 d1 )
sin(β2d2 ) +
sin(β2d2 ) ,
| {z } 2
µ β
βµ
} | 2 1 {z
}
| ⊥ 1 {z
=1
µ d
→ µ 1 β2 (k02 ε⊥ µk −α2 )
=0
k 1
⇒
ξ|µ⊥ =0 → cos(β1d1 ) −
1 µ1 d2 2
(k ε⊥ µk − α2 ) 6= ∞.
2 µ k β1 0
(5.15)
La ec. 5.15 muestra que ξ|µ⊥ =0 no es singular y que no necesariamente se forma una banda
prohibida cuando µ⊥ = 0. En la fig. 5.6 además pueden observarse las frecuencias que
limitan las bandas < nGEM >= 0 y µk = 0 calculadas mediante las aproximaciones 5.125.13. En el caso de los bordes de las bandas constitutivas, las expresiones aproximadas
corresponden a la primera raı́z de s(ν) para el borde inferior (KB = ±π/d) y a la segunda
raı́z de r(ν) para el borde superior (KB = 0). Para el caso de la banda µk = 0, polarización
90
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
TE y orientación ĉ = ẑ se obtiene que las frecuencias lı́mite de la banda constitutiva son
solución de:
4
β22(ν)
=
,
(5.16)
µ⊥ (ν)
µ1 d1 d2
α2
r(ν) ⇒ < ε⊥ > − 2 < µk >−1 = 0.
(5.17)
k0
Para conocer la respuesta de la multicapa cuando todos los autovalores dependen de
s(ν) ⇒
la frecuencia, queda por considerar el caso εk = εbk , el cual se muestra en la fig. 5.7. En
esta gráfica se incluye también el diagrama de bandas de la fig. 5.6 en la cual εk = 2. Se
observa que el diagrama de bandas proyectado es el mismo en ambos casos, lo cual indica
que para esta polarización y orientación del eje óptico, la estructura es insensible al valor
de εk.
Figura 5.7: Diagrama de bandas para el caso de la fig. 5.5 pero con εk = εbk . Se
observa que el sistema para esta polarización y orientación del eje óptico no depende
de dicho parámetro.
Resultados similares a los estudiados para ĉ = ẑ se obtienen para ĉ = x̂ en polarización
TE tal como se observa en la fig. 5.8. En esta figura, además de la banda < nGEM >= 0, se
observa la formación de una banda prohibida constitutiva alrededor de νµ⊥ = 1,446GHz.
Análogamente puede estudiarse la formación de bandas para modo TM y ambas orientaciones del eje óptico como se muestra en la fig. 5.9. Se observa, además de la banda
< nGEM >= 0, la existencia de una banda prohibida constitutiva ε⊥ = 0 para ĉ = ẑ
alrededor de la frecuencia νε⊥ = 1,5915 (fig. 5.9(a)) y de una banda constitutiva εk = 0
para ĉ = x̂ alrededor de la frecuencia νεk = 1,1863 (fig. 5.9(b)).
5.1. Eje Óptico en Direcciones de Simetrı́a
91
Condición de Igualdad
de Impedancias
Modo TE
Figura 5.8: Diagrama de bandas correspondiente a un cristal fotónico en el cual
todas las componentes de los tensores ε̃ y µ̃ de la capa anisótropa son dispersivas y
están dadas por: ε⊥ = ε̂⊥ , εk = ε̂k , µ⊥ = µ̂⊥ y µk = µ̂k y con orientación ĉ = x̂. La
banda prohibida constitutiva se abre alrededor de µµ⊥
.
(a) ĉ = ẑ
(b) ĉ = x̂
Figura 5.9: Diagramas de bandas para la misma estructura fotónica de la fig. 5.8
para modo de polarización TM y ambas orientaciones de simetrı́a del eje óptico.
92
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
Los resultados obtenidos a lo largo de esta sección muestran que es posible distinguir
dos tipos de bandas para las dos orientaciones de simetrı́a del eje óptico, ĉ = ẑ y ĉ = x̂. Por
un lado, se indicó la presencia de la banda < nGEM >= 0, la cual corresponde a la condición
de ı́ndice promedio cero para el caso de medios anisótropos. Por otro lado, también se
observó una generalización de las bandas constitutivas vistas en el caso isótropo. Estas
bandas constitutivas son selectivas a la polarización de la onda y además a la orientación
del eje óptico tal como se resume en la tabla 5.1:
ĉ = ẑ
ĉ = x̂
Pol. TE
µ⊥ = 0
µk = 0
Pol. TM
ε⊥ = 0
εk = 0
Tabla 5.1: Cuadro que resume la selectividad de las bandas constitutivas según la
polarización y las dos orientaciones de simetrı́a del eje óptico
Si µ⊥ = µk y ε⊥ = εk (parámetros que representan al metamaterial isótropo), se recuperan
los resultados obtenidos en los capı́tulos anteriores, es decir, que se abre una banda µ = 0
para polarización TE y una ε = 0 para polarización TM.
Si bien la presencia de las bandas constitutivas para medios anisótropos fue identificada en la investigación de Xiang et al. [105] para el caso particular de ĉ = ẑ, el trabajo
concentra su atención en la formación de la banda < n >= 0 y sus propiedades omnidireccionales. A diferencia de ese trabajo, el análisis que hemos presentado muestra el
origen de las bandas constitutivas en los dos casos de simetrı́a del sistema, ĉ = ẑ y ĉ = x̂,
y además permite obtener aproximaciones analı́ticas para la posición de los lı́mites de
estas bandas para ambos modos de polarización. En la siguiente sección, los resultados
obtenidos se generalizan al caso de eje óptico en cualquier dirección del plano x − z.
5.2.
Eje Óptico en el Plano de Incidencia
Cuando el eje óptico del metamaterial está contenido en cualquier dirección del plano
x − z, la variable β2 está dada por la ec. 2.22 y los autovalores de la ec. 2.58 resultan:
s
2
+
A+D
A+D
iKB
d
+
=
− det P ,
(5.18)
e
2
2
s
2
−
A
+
D
A
+
D
−
− det P ,
(5.19)
eiKB d =
2
2
5.2. Eje Óptico en el Plano de Incidencia
93
donde P está definida en la ec. 2.57. A diferencia de los casos de materiales isótropos
o de metamateriales GEM con ĉ en las direcciones de simetrı́a, ahora la matriz P no es
unimodular. Su determinante resulta det P = e−2iΓd2 , donde Γ = −b/2a con a y b definidos
por 2.25 o 2.28 según el modo de polarización. Si bien KB+ 6= −KB− , sigue valiendo que:
tr (P)
A+D
=
.
(5.20)
2
2
Al calcular explı́citamente la semitraza ξ para el caso de celda unidad bicapa se obtiene
+
−
ξ = eiKB d + eiKB d =
que:
ξ = e−iΓd2 [cos(β1d1 ) cos(J d2 ) + Q sin(β1d1 ) sin(J d2 )],
donde

√
b
b2 − 4ac

±


±
= −Γ ± J,
=
−
β
2


2a
2a

β1
σ1
Q = Q1 + Q2 = Ω − Ωζ + ζ − ,

σ1
β1


1


 Ω =
,
ζ− − ζ+
(5.21)
(5.22)
con ζ ± el parámetro definido en la ec. 2.71. A diferencia de los casos analizados en el resto
de este trabajo, ξ 6∈ Re y entonces no es posible definir la existencia de bandas permitidas
o prohibidas según el criterio |ξ| < 1 ó |ξ| > 1 respectivamente. Para redefinir este criterio,
e
es importante notar que los elementos de la matriz P cumplen con la relación P = e−iΓd2 P,
e es una matriz auxiliar unimodular, es decir que det P
e = 1. De esta manera, las
donde P
ecs. 5.18 y 5.19 se reescriben como:
+
iKB
d
e
−
iKB
d
e
−iΓd2
=e
= e−iΓd2
à + D̃
2
!
v
u
u
+ te−2iΓd2
à + D̃
2
!
v
u
u
− te−2iΓd2
à + D̃
2
à + D̃
2
!2
!2
− e−2iΓd2 det P̃,
(5.23)
− e−2iΓd2 det P̃.
(5.24)
e resultan:
A partir de estas expresiones, los autovalores de la matriz P
+
eiKB d
e
= −iΓd ,
2
e
−
eiKB d
e−
eiKB d = −iΓd ,
2
e
e +d
iK
B
(5.25)
(5.26)
94
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
e + = −K
e− = K
e B . Considerando este resultado, la
a partir de los cuales se obtiene que K
B
B
e se escribe como:
semitraza de P
ξe =
ξ
e−iΓd2
e B d) = [cos(β1d1 ) cos(J d2 ) + Q sin(β1d1 ) sin(J d2 )] ∈ Re.
= cos(K
De las ecs. 5.25 y 5.26 se deduce que los vectores de Bloch están definidos por:
(
eB ,
KB+ = −Γ dd2 + K
eB .
K − = −Γ d2 − K
B
(5.27)
(5.28)
d
Como −Γ dd2 ∈ Re para todas frecuencias (a, b ∈ R ∀ν -para medios sin pérdidas-), se
eB ∈ C. Este resultado
e B ∈ Re y bandas prohibidas si K
obtendrán bandas permitidas si K
indica que el criterio de determinación de bandas permitidas y prohibidas depende de
e B según |ξ|
e < 1 ó |ξ|
e > 1 respectivamente. En la fig. 5.10 se ejemplifica la respuesta
K
2
2
cx = cz
(a)
θ = 60o
Modo TE
(b)
(c)
(d)
Figura 5.10: a) Diagrama de bandas, b) Bandas prohibidas, c) Relación de dispersión ξ̃ y d)
reflectividad a través de 50 perı́odos; muestran la respuesta electromagnética de un cristal fotónico
que alterna capas de materiál isótropo y de metamaterial GEM positivo con el eje óptico en cualquier
dirección del plano de incidencia.
de una estructura multicapa en la cual la orientación del eje óptico del metamaterial
es c2x = c2z . Los medios isótropo y anisótropo de la celda unidad están caracterizados
por parámetros constitutivos que no dependen de la frecuencia ε1 = 1, µ1 = 1, ε⊥ =
13, εk = 6, µ⊥ = 4, µk = 2; y espesores d1 /d = 0,6 y d2 /d = 0,4. El panel (a) de la figura
muestra el diagrama de bandas, cuyo eje de abscisas representa la parte real de ambos
autovalores, KB+ y KB− . Allı́ se observa que los bordes de las bandas permitidas y las bandas
5.2. Eje Óptico en el Plano de Incidencia
95
prohibidas no ocurren cuando Re(KB ) = 0 ó Re(KB ) = ±π/d, sino que están desplazados
una magnitud −Γ dd2 . En cambio, la parte imaginaria Im(KB ) (panel (b)), sólo es diferente
e B ). El panel (c) muestra que en las frecuencias en que se
de cero cuando Im(KB ) = Im(K
cumple ξe ∈ [−1, 1], la propagación está permitida; mientras que si se satisface la condición
ξ˜ 6∈ [−1, 1] las bandas serán prohibidas. Finalmente, el panel (d) muestra la reflectividad
para un sistema de 50 perı́odos, en donde se observa que la región de bandas prohibidas
corresponde a R = 1. El análisis realizado nos permitirá evaluar las modificaciones que
existen en el diagrama de bandas, y especialmente en las bandas constitutivas, cuando el
eje óptico adquiere cualquier orientación dentro del plano de incidencia, primero para el
caso de propagación normal y luego para el caso más general de propagación oblicua.
Propagación Normal
En este caso, las expresiones de β2± se simplifican respecto del caso general ya que
α cx cz = 0 en modo TE y también para modo TM intercambiando µ
b = 2(µk − µ⊥ ) |{z}
=0
por ε. Con esta consideración, se obtiene para modo TE que:
s
k02 ε⊥ µ⊥ µk
β2± = ±J = ±
,
µ⊥ c2x + µk c2z
e
ξ = ξ,
y
eB .
KB± = ±K
Estas ecuaciones muestran que el material GEM se comporta análogamente a un isótropo
ya que |β2±| = |J |. La fig. 5.11 muestra la semitraza ξ y el diagrama de bandas para una
multicapa en la cual la orientación del eje óptico del metamaterial es c2x = c2z . El medio
isótropo está descripto por parámetros ε1 = 1, µ1 = 1 y espesor d1 = 12mm, y el material
anisótropo por los autovalores de la ec. 5.7 y d2 = 6mm. En el panel (b) de la figura se
observan dos bandas prohibidas. La primera es una banda < nGEM >= 0 que cumple con
la relación 2.89, que para este sistema corresponde a la condición:
β1d1 − |J |d2 = 0,
(5.29)
la cual se cumple a la frecuencia ν<nGEM > = 0,891GHz indicada con lı́nea punteada violeta
en la fig. 5.11. La segunda banda prohibida es una banda muy angosta, proveniente de una
divergencia en ξ. Esta banda tiene caracterı́sticas similares a una banda constitutiva, tal
como se observa en el panel (a) de la misma figura. Las bandas constitutivas que hemos
96
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
2
2
cx =cz
Modo TE
(a)
θ=0
o
(b)
Figura 5.11: a) Semitraza ξ y b) diagrama de bandas para un cristal fotónico con
una celda elemental compuesta ε1 = 1, µ1 = 1d1 = 12mm y un metamaterial GEM
de parámetros ε⊥ = ε̂⊥ , εk = ε̂k , µ⊥ = µ̂⊥ y µk = µ̂k y en el cual c2x = c2z
estudiado se abren alrededor de las frecuencias que son raı́ces de los autovalores de µ̃ y ε̃,
por lo que en la fig. 5.12 se grafica la zona ampliada de la segunda banda prohibida junto
con las frecuencias νµ⊥ = 1,446GHz, νµk = 1,299GHz, νε⊥ = 1,591GHz y νεk = 1,186GHz.
Se observa que la posición de banda prohibida no coincide con ninguna de las frecuencias
graficadas, descartando la posibilidad de una banda constitutiva como las vistas hasta
el momento. Para conocer el origen de esta banda prohibida estudiaremos la expresión
analı́tica de la semitraza ξ cuando θ = 0o :
ξ = cos(β1 d1 ) cos(J d2 ) + Q sin(β1d1 ) sin(J d2 ),
(5.30)

√
√
k0 ε⊥ µ⊥ µk

−4ac
±

 β2 = ±
√
= ±J = ±
,
2a
a
β1
σ1


 Q = Q1 + Q2 = Ω − Ωζ + ζ − .
σ1
β1
(5.31)
donde
Las ecs. 5.32 y 5.33 muestran la dependencia de Q en función de los parámetros conocidos
del problema para modo TE:
√
µk µ⊥
β1
,
Q1 = −
√
µ1 2k0 ε⊥ a
√
ε⊥ a
µ1
,
Q2 = − k0 √
β1 4 µ k µ ⊥
(5.32)
(5.33)
5.2. Eje Óptico en el Plano de Incidencia
97
Figura 5.12: Ampliación de la figura anterior en la zona de la segunda banda prohibida en donde se muestra que la misma no se abre alrededor de ninguna de las
componentes de los tensores ε̃ y/o µ̃
donde a es la definida en la ec. 2.25 y que puede ser reescrita como a = µ⊥ c2x + µk c2z . De
las ecs. 5.32 y 5.33 se observa que Q1 diverge cuando ε⊥ → 0 ó cuando a → 0; mientras
que para Q2 las divergencias ocurren cuando µ⊥ → 0 ó µk → 0. Sin embargo, hemos visto
en la fig. 5.12 que la banda no se abre para ninguna de las frecuencias que anulan los
autovalores de ε̃ y µ̃. La ec. 5.34 muestra que para estos casos (ε⊥ → 0, µ⊥ → 0 y µk → 0)
ξ ∈ Re:
√
i
h β √µk µ⊥
k0 µ1 ε⊥ a
1
sin Jd2 +
,
ξ = cos(β1d1 ) cos(β2(ν)d2 ) − sin(β1d1 )
sin(J
d
)
√
√
2
|
{z
}
2µ1 k0 ε⊥ a | {z } 4β1 µk µ⊥ | {z }
→Jd2
→1
→J d2
√
i
h β √µk µ⊥
k0 µ1 ε⊥ a
1
ξ → cos(β1d1 ) − sin(β1d1 )
Jd2 +
J d2 6→ ∞,
√
√
2µ1 k0 ε⊥ a
4β1 µk µ⊥
|
{z
}
|
{z
}
→
µk µ⊥ d2
2
µ⊥ c2
x +µk cz
(5.34)
→2 k02 ε⊥ d2
donde se ha utilizado la aproximación sin(J d2 ) ≈ J d2 , ya que J = k0
q
ε⊥ µ⊥ µk
a
= 0 para
νµ⊥ , νµk o νε⊥ . La ec. 5.34 muestra analı́ticamente que cuando µ⊥ = 0, µk = 0 ó ε⊥ = 0
la semitraza ξ no es singular (fig. 5.12). A diferencia de estos tres casos, la ec. 5.35 indica
que ξ es singular cuando a → 0:
h β √µk µ⊥ k µ √ε a i
⊥
1
0 1
sin(β1d1 ) sin(J d2 ) → ∞.
ξ|a→0 → cos(β1d1 ) cos(J d2 ) −
+
√
√
2µ1 k0 ε⊥ a 4β1 µk µ⊥
| {z }
| {z }
→∞
→0
(5.35)
98
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
La frecuencia que satisface la condición a = 0 para el caso de la fig. 5.11 es νa=0 =
1,367GHz, tal como muestra la fig. 5.13.
2
2
cx =cz
Modo TE
θ=0
o
+
-
νA=0
a
Figura 5.13: Misma figura que 5.11 en donde se demuestra que la segunda banda
prohibida se abre a la frecuencia νa=0
Es interesante destacar algunos aspectos de la condición a = 0 para la formación de esta
nueva banda constitutiva:
La ecuación a = µ⊥ c2x + µk c2z = 0 depende de la dirección del eje óptico ĉ,
El signo de los autovalores del tensor µ̃ debe cumplir la condición sign(µ⊥ ) 6=
sign(µk ), ya que µ⊥ = −µk c2z /c2x
y
c2z , c2x > 0. Este resultado se indica en la
gráfica pequeña de la fig. 5.13 en donde se observa que νµk < νa=0 < νµ⊥ . La banda
a = 0 no podrá formarse cuando ambos autovalores sean positivos o negativos en el
mismo rango de frecuencias,
La solución a la ecuación a = 0 queda asegurada cuando µ⊥ y µk son funciones que
dependen de la frecuencia, bajo la condición que las raı́ces de ambos autovalores
sean distintas,
La ecuación a = 0 se reduce a µk = 0 y µ⊥ = 0 para los casos de eje óptico en las
direcciones de simetrı́a ĉ = ẑ y ĉ = x̂ respectivamente. Como ya se analizó en la
5.2. Eje Óptico en el Plano de Incidencia
99
sección anterior, estas condiciones no necesariamente presentan bandas prohibidas
en propagación normal.
La fig. 5.14 muestra resultados análogos para el caso de polarización TM, en donde se
grafica el diagrama de bandas para los parámetros del ejemplo anterior y eje óptico en la
dirección definida por c2x = 0,3.
νA=0
a
Figura 5.14: Diagrama de bandas para la misma estructura de la fig. 5.11. En este
caso la polarización de las ondas es TM y la orientación del eje óptico es tal que
c2x = 0,3
Nuevamente se observan dos bandas, la primera corresponde a la condición < nGEM >= 0,
dada por la relación 5.29 a la frecuencia ν<nGEM > = 0,895GHz. En la figura también se
observa la banda a = 0 a la frecuencia νa=0 = 1,274GHz. Esta frecuencia pertenece al
intervalo entre las raı́ces de ε⊥ y de εk tal como se muestra en una de las gráficas pequeñas
de la fig. 5.14.
Propagación Oblicua
La fig. 5.15 presenta la evolución en función de θ de las bandas prohibidas halladas en
la fig. 5.11. Esta figura muestra que las bandas < nGEM >= 0 y a = 0, se ensanchan al
aumentar el ángulo de propagación. Cuando ĉ adquiere cualquier dirección en el plano de
incidencia y además la propagación es oblicua, β2+ 6= β2− y entonces es necesario replantear
100
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
Figura 5.15: Diagrama de bandas proyectado correspondiente a la estructura de la
fig. 5.11. Se observan un figura pequeña sobre el margen izquierdo de la figura en
donde se muestra que, a pesar de ser angosta, la banda constitutiva comienza en
θ = 0o . La figura pequeña de la margen derecha muestra las rápidas oscilaciones
cuando J → ∞
la condición de interferencia constructiva 2.22:
β1+ d1 − β1− d1 + β2− d2 − β2+ d2 = 2pπ,
2|β1| d1 + [(−Γ − J ) − (−Γ + J )]d2 = 2pπ,
2|β1 | d1 − 2Jd2 = 2pπ,
en donde hemos utilizado la condición de flujo de potencia para metamateriales GEM
analizada en la sec. 2.2. Para el caso de la banda < nGEM >= 0, la interferencia corresponde al orden p = 0 y la condición resulta:
β1 d1 − Jd2 = 0.
(5.36)
La fig. 5.16 grafica la semitraza y el diagrama de bandas para θ = 50o para la multicapa de
la fig. 5.15. Dentro de la banda < nGEM >= 0 se indica la frecuencia ν<nGEM > = 0,891GHz
que cumple la condición 5.36.
5.2. Eje Óptico en el Plano de Incidencia
2
cx =cz
2
101
Modo TE
θ=50
o
a
(a)
(b)
Figura 5.16: a) Semitraza ξ˜ y b) Diagrama de bandas del sistema asociado al diagrama de bandas proyectado anterior, en donde se ha especificado el comportamiento
para θ = 50o .
Tal como se adelantó y ejemplificó en las ecs. 5.28, se observa que Re (KB ) 6= 0 para las
e > 1. En el caso de la banda a = 0, se
regiones de bandas prohibidas determinadas por |ξ|
observa que νa=0 = 1,367GHz pertence al intervalo de frecuencias prohibidas de la banda
constitutiva. Sin embargo, el panel (a) y la ec. 5.38 muestran que los valores que adquiere
˜ cuando a = 0 cumplen con la condición |ξ|
e > 1 pero no resultan sigulares como en el
|ξ|
caso de propagación normal.
e a→0 → cos(β1d1 ) cos(J d2 ) −
ξ|
(5.37)
→ik0 ε1 µ1 | sin θ|
zp
}|
{
√
hβ
2
2
µ
µ
k0 ε⊥ a − α i
µ1
k ⊥
1
p
sin(β1d1 ) sin(J d2 ) 6→ ∞.
+
−
√
2µ1 k02ε⊥ a − α2 4β1
µk µ⊥
|
{z
}
→ik0 ε1 µ1 | sin θ|
En las figs. 5.15 y 5.16 se observa que el diagrama de bandas presenta oscilaciones rápidas
para ν < νa=0 (una ampliación de las mismas se observa en una de las gráficas pequeñas
de la fig. 5.15). Estas fluctuaciones
provienen de los términos sin(J d2 ) y cos(J d2 ) cuando
√
(µk µ⊥ ) (k02 ε⊥ a−α2 )
ν → νa=0 , ya que J |a=0 =
|a=0 → ∞. Cuando la frecuencia alcanza
a
el valor ν = νa=0 , ξe queda definida por la ec. 5.38 y las oscilaciones desaparecen al
102
CAPÍTULO 5. Multicapas Anisótropas
comenzar la banda constitutiva. Para el caso de polarización TM, se obtienen resultados
análogos como se observa en la fig. 5.17 en donde c2x = 0,3. En el panel (a) se grafica el
diagrama de bandas proyectado, en donde se observa la banda < nGEM >= 0 y la banda
constitutiva a = 0. El diagrama de bandas del panel (b) es un caso particular de la figura
del panel (a) para θ = 50o , en el que se indican las frecuencias ν<nGEM >=0 = 0,949GHz y
νa=0 = 1,274GHz (que satisface la condición a = ε⊥ c2x + εkc2z = 0).
2
Modo TM ~ cx = 0.3
Figura 5.17: a) Diagrama de bandas proyectado y b) Diagrama de bandas para
θ = 50o de la misma estructura de la fig.5.11 en donde la propagación de las ondas
es en polarización TM y la orientación del eje óptico corresponde a c2x = 0,3
Capı́tulo 6
Conclusiones
En esta tesis doctoral se han descubierto nuevas bandas prohibidas en multicapas
periódicas que alternan dieléctricos convencionales y metamateriales. Los estudios realizados demuestran que el mecanismo de formación de las nuevas bandas, a las que hemos
llamado constitutivas, difiere del mecanismo de interferencia de las bandas de Bragg y
< n >= 0, por lo cual presentan una apariencia diferente y nuevas propiedades.
Los metamateriales son materiales artificiales cuya respuesta espectral es altamente
dispersiva, por lo que para determinadas frecuencias la permitividad eléctrica ε y la permeabilidad magnética µ se anulan. Para estas frecuencias el ı́ndice de refracción del metamaterial resulta nulo por lo que es esperable que las ondas electromagnéticas se reflejen
completamente al encontrarse con un medio de dichas caracterı́sticas. Si bien esta respuesta es la que ocurre en una única interfaz de metamaterial, los resultados expuestos
en este trabajo muestran que la estructura periódica no necesariamente presenta bandas
prohibidas cuando el ı́ndice de refracción es nulo. Se ha demostrado que las bandas constitutivas pueden no aparecer en propagación normal y que en propagación oblicua exhiben
selectividad al modo de polarización, según sea el parámetro constitutivo µ (polarización
TE) o ε (polarización TM) el que anule el ı́ndice de refracción del metamaterial. Se ha
observado que estas nuevas bandas muestran invariancia ante cambios de escala e insensibilidad ante desorden, caracterı́sticas que comparten con la banda < n >= 0. También
se ha determinado que, para un dado rango de espesores del metamaterial, existe una
interacción entre la banda < n >= 0 y las bandas constitutivas que da lugar a una banda
prohibida omnidireccional para ambos modos de polarización. Estas propiedades resultan
de interés desde el punto de vista de las aplicaciones tales como las comunicaciones, ya que
103
104
CAPÍTULO 6. Conclusiones
permiten encontrar rangos de frecuencias en los cuales por un lado, no es necesaria una
extrema precisión en la construcción de la estructura periódica y por otro lado, permite
diseñar una configuración adecuada en la cual la transmisión de la información es más
eficiente debido a la independencia con el ángulo de la banda prohibida.
La dispersión del metamaterial desempeña un importante rol en la formación de las
nuevas bandas, tanto para la banda < n >= 0 como para las bandas constitutivas. Esta
caracterı́stica se ha evidenciado en el estudio sobre la dependencia de ambas bandas con
el grado de dispersión del metamaterial. Se han obtenido expresiones analı́ticas aproximadas –en el lı́mite de bajas frecuencias- para los bordes de las bandas prohibidas. Estas
expresiones permiten dar nuevos criterios para el diseño de estructuras ya que determinan la dependencia de los mismos con los parámetros de la multicapa. En su rango de
validez, estas aproximaciones concuerdan muy bien con los resultados numéricos obtenidos
directamente a través de la relación de dispersión.
Se ha visto que los campos electromagnéticos en los bordes de las nuevas bandas
adquieren una distribución espacial caracterı́stica que puede ser utilizada como herramienta para la identificación y diferenciación de cada banda. Si bien en los ejemplos hemos
considerado metemateriales cuya frecuencia de trabajo se encuentra en el rango de los
GHz, los resultados obtenidos no están limitados a esta clase de metamateriales y pueden
extenderse a metamateriales dispersivos en otros rangos de frecuencias. Para evaluar la
influencia del tamaño lateral en el caso de metamateriales en el rango de las microondas, se estudió la respuesta de la multicapa inserta dentro de guı́as de onda, y se obtuvo
que la respuesta es similar a la correspondiente para el caso sin guı́a y que no depende
fuertemente de la geometrı́a de la sección de la guı́a de ondas.
La generalización realizada para multicapas que incluyen metamateriales anisótropos para casos en los cuales no existe conversión de polarización, muestra que la banda
< n >= 0 puede estar ausente y que en el caso de estar presente, su formación no requiere
que todos los autovalores de ε̃ y µ̃ sean negativos en el mismo rango de frecuencias. La
generalización de las bandas constitutivas para las direcciones de simetrı́a ĉ = ẑ y ĉ = x̂ ha
demostrado que en propagación normal estas bandas pueden no estar presentes y que en
propagación oblicua manifiestan selectividad no sólo al modo de polarización sino también
a la orientación del eje óptico del metamaterial anisótropo. Cuando el eje óptico adquiere
una dirección dentro del plano de incidencia diferente a las mencionadas, aparece una
nueva clase de banda constitutiva (a = 0) a una frecuencia que no anula alguno de los
105
autovalores de ε̃ ó µ̃ sino a un parámetro que es combinación lineal de los autovalores
con la dirección del eje óptico. El origen de las bandas constitutivas en metamateriales
anisótropos es diferente del analizado para el caso de metamateriales isótropos. Estas
bandas constitutivas no ocurren a una frecuencia que anula el ı́ndice de refracción del
metamaterial, sino que, por el contrario, la frecuencia que anula alguno de los autovalores
permite que el ı́ndice de refracción diverja o adquiera valores muy grandes. A pesar de estas diferencias, la estructura multicapa responde a este comportamiento del metamaterial
de la misma manera que lo hace para las bandas constitutivas vistas anterioriormente.
Este trabajo deja lı́neas abiertas de investigación entre las que se encuentra la consideración de estructuras 1D cuasiperiódicas. Los resultados obtenidos hasta el momento
muestran que las expresiones aproximadas para los bordes de banda también son válidas
para el caso de secuencias tipo Fibonacci y m-nacci [107]. Otras lı́neas posibles incluyen la
generalización a metamateriales anisótropos en los cuales la orientación del eje óptico no
está restringida al plano de incidencia, caso en el cual la resolución requiere de formalismos
completamente vectoriales. Por último, cabe mencionar que de la misma manera que la
banda < n >= 0 fue encontrada primero teórica y experimentalmente en multicapas y
estos resultados facilitaron el estudio de esta banda en sistemas 2D [108, 109], es posible
considerar que los resultados obtenidos en esta tesis pueden simplicar el análisis de las
bandas constitutivas en sistemas más complejos.
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