Documento 611362

Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.
I.E.S. “La Ería”
Año académico: 2010-2011
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: Bach.
CCSS
Tema: Probabilidad.
Complementos teórico-prácticos.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
Teoría de la Probabilidad.
 Experimento aleatorio: es aquel en el que no podemos predecir el resultado, aún partiendo de las mismas condiciones iniciales. Decimos que interviene el
azar en ellos, para así contraponerlos a los experimentos deterministas, en los que
sí podemos predecir el resultado.
 Espacio muestral o suceso seguro: es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se simboliza por E ú Ω. En la teoría de conjuntos equivale al conjunto universal.
 Suceso A: es un subconjunto del conjunto E, A  E
 Conjunto de partes de E: E  , es el conjunto de todos los sucesos de E,
entre ellos E y  , siendo  el suceso imposible, en la teoría de conjuntos equivale al conjunto vacío en la unión o la intersección de conjuntos. Por ejemplo, se trataría del suceso “sacar un siete con un dado de parchís”, o bien al lanzar una moneda
al aire el suceso “que quede suspendida en el aire”.
 NOTA: para la unión e intersección de sucesos se aplican las propiedades del
álgebra de Bool y las Leyes de Morgan.
 Suceso contrario de un suceso A: A , en la teoría de conjuntos equivale al
conjunto complementario. También se denomina a veces como A c
 Sucesos incompatibles: son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente,
en términos de intersección de conjuntos A  B   .
 Sucesos independientes: son aquellos en los que para que ocurra uno de ellos
no es necesario que ocurra el otro.
 Observación_1: el suceso imposible, Ø, es independiente de todos los demás.
 Observación_2: si P  A  0, y A    A es independiente de cualquier otro
suceso.
 Espacio medible o probabilística: la estructura de álgebra de Bool sería
E,E  . En lugar de E  podemos poner cualquiera otra que tenga estructura de
álgebra.
 Una clase de sucesos de E,   i  E / i  I, donde E es el espacio muestral e I es un conjunto de índices, es un álgebra si cumple:

1º.  Ai    Ai  


  toda álgebra es cerrada respecto a la
2º.  Ai , A j    Ai  A j   

complementación y a la unión de sucesos.
 Se puede probar también que:
 Si ψ es un álgebra no vacía, E   y   
Definiciones y conceptos.
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Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.
 En toda álgebra, si Ai , A j    Ai  A j  
 La σ-álgebra más común es   ,E , o bien   ,A,A,E ,
obteniéndose el binomio E,  , denominado espacio medible o probabilístico,
σ-álgebra.
 Estas σ-álgebras se hacen necesarias por lo siguiente:
 Sabemos que la unión de un número finito de sucesos es
k
A1  A2  A3   Ak   Ai
i 1
 Supongamos que el suceso Ai = “sacar una cara en el lanzamiento
i-ésimo de una moneda”, éste se corresponde con el suceso:
 “que salga cara a la 1ª, o a la 2ª, …. , o la i-ésima, o a la …. “
 Luego esto nos obliga a considerar la posibilidad de la unión de ∞
sucesos, aunque numerables.
 Lo mismo ocurriría para la intersección.
 Manteniendo el resto de propiedades, esto nos hace que ya no hablemos de
un álgebra de Bool, sino de una σ-álgebra de subconjuntos de ese conjunto
dado.
 Definición axiomática de probabilidad: es una aplicación del conjunto de
las partes de E en los reales positivos, P :E   , que verifica tres axiomas,
debidos en su versión actual a KOLMOGOROV (1933):
 K1.- P  A  0
 K2.- Si A  B   , sucesos incompatibles, entonces PA  B  PA  PB
 También podemos leer que la intersección de dos sucesos incompatibles es
el suceso imposible, y en este caso la probabilidad de la unión es igual a la
suma de las probabilidades individuales.
 Generalizándolo a más de dos sucesos incompatibles dos a dos,

 
Ai  A j    P  A i    P  A i 
 i 1  i 1
 K3.- PE   1 , la probabilidad del suceso seguro es igual a la unidad.
 Observación: esto es debido a que si transformamos la K2.- para muchos

 
sucesos, tales que Ai  A j    P  Ai    P  Ai  , entonces, si por
 i 1  i 1
ejemplo, tomamos el intervalo 0,1 , la probabilidad de pinchar un número
racional, ℚ, sería:



P q   0  0 , ya que para cada número racional el número de


 Q0,1 
1
0
casos favorables es uno y el de casos posibles ∞, luego

Definiciones y conceptos.
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Probabilidad.
 Otros modelos de probabilidad:
 Modelo frecuentista: (solo para estudios superiores)
n A 
 PA   lím
, donde N es el número de veces que se repite una expeN
N
riencia, n A  es la frecuencia absoluta con que sucede el suceso A.
 De igual modo, si f A  es la frecuencia relativa correspondiente al suceso
A, PA   lím f A 
N 
 Se basa en la Ley de Estabilidad de Frecuencias. (Ley de Bernouilli)
 La convergencia, f A  PA cuando N   , lo es en probabilidad,
es decir, casi seguro que ocurre así.
 Modelo clásico: (ley de Laplace)
numerode casos favorables
 PA 
numerode casos posibles
 Solo es válido en el caso en que todos los sucesos posibles sean equiprobables o verosímiles.
 Si el número de casos posibles es muy grande se hace necesario el
empleo de la combinatoria.
 Modelo axiomático E,E, P :
 Axiomas:
 Si A  B  PA  PB
 Como B  A   B  A  y A   B  A     P B   P A  P B  A  , como
P  B  A   0 , necesariamente se cumple el axioma.


PA   1 , ya que A  E  PA  PE  1

P A  1  PA
 Como

A  A  E
 P A  A  P A  P A  P A  P A  A  P A 

A

A




 P A  1  PA


 
 





P   0 , ya que   E  P     1  P  E   1  1  0
PA  B  PA  PB  PA  B , para sucesos compatibles o no (IMPORTANTE)
 Con A  A  B  A  B , donde además A  B  A  B y sucesos
incompatibles
 A  B  A  B    P  A   P  A  B  P A  B . Igualmente






 
A  B  A  B  A  B A  B , donde los sucesos del segundo
PB  PA  B  P A  B . De ambos hechos, y además de que
miembro son incompatibles dos a dos, llegamos a que
PA  B  PA  B  P A  B  P A  B  PA  PB  PA  B

Definiciones y conceptos.
 
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
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Probabilidad.
 Probabilidad condicionada: sea el espacio probabilístico E, , P . Se sabe ya
que ocurrió el suceso B, B   . Ahora PA, A   , debe ser modificada, ya que
por ejemplo:
 La probabilidad de sacar un cinco, al lanzar un dado de parchís, es 1 6 , pero si
nos dicen que salió un número par, en ese caso el suceso sacar un cinco es imposible, es decir, la probabilidad ahora de sacar cinco es nula.
 Definimos la probabilidad condicionada PA / B , y leemos probabilidad
de que se de el suceso A habiendo sucedido ya el suceso B, como
PA  B
PA / B 
, con PB  0 . Se tata de una probabilidad ya que veriPB
fica los axiomas:
 K1.- PA / B  0, A   , ya que PB  0 y PA  B  0
 K2.- Si A  C    P  A  C / B  P  A/ B  P C/ B

PA  C / B 
PA  C  B

PA  B  C  B
, pero por ser
PB
PB
los sucesos A  B y C  B incompatibles, entonces la probabilidad de
la unión es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los
PA  B PC  B
conjuntos de la unión 

 PA / B  PC / B
PB
PB
 K3.- PE / B 
PE  B
PB

PB
PB
1
 Observación_3: normalmente la probabilidad condicionada se suele escri-
bir en la forma PA  B  PB  PA / B , si además PA   0 , entonces
tenemos que PA PB / A  PB PA / B , y si los sucesos son además independientes, PA  B  PA  PB
 Observación_4: tres sucesos independientes dos a dos son tales que
P  A  B  C  P  A  P  B  P C , aunque no siempre es así.
 Ejemplo: Se lanzan dos dados, uno blanco y otro negro. Sean los sucesos
A=”sacar puntuación impar con el dado negro”, B=”sacar puntuación impar con el dado blanco” y C=”que la suma de lo sacado sea par”.
1
 PA   , ya que la mitad de los números son pares y la mitad impares
2
1
 PB  , por igual motivo.
2
 Para este último caso mira las explicaciones que vienen a continuación
1
y de ellas verás que PC  . Observa que:
2
 par + par = impar + impar = par
 par + impar = impar + par = impar
pares negro 3  total9
 pares blanco3  
imparesnegro3  total9
Definiciones y conceptos.
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Probabilidad.
paresnegro 3  total9
 impares blanco 3  
imparesnegro 3  total9
 Total de casos posibles 9  4  36
 Total de casos favorables 9  2  18
favorables 18 1
 Probabilidad de Laplace PC 


posibles
36 2
 Probabilidad de que salga impar negro e impar blanco
1 1 1
PA  B  PA   PB  PA  C  PB  C    , ya que son
2 2 4
todas ellas independientes.
 Sin embargo, la probabilidad de que salga impar negro, impar blanco y que la suma sea par será
PA  B  C  PA  B  PC / A  B  PA  PA / B  PC / A  B 
1 1
1 1 1 1 1
   1       PA   PB  PC , ya que el que la suma
2 2
4 2 2 2 8
sea par habiendo salido blanco e impar y negro e impar es
PC / A  B  PE . Luego la independencia debe pedirse, no solo
para los sucesos dos a dos, sino también para las ternas.
 Probabilidad compuesta: la probabilidad de que se produzcan muchos sucesos a la vez, será:
n

 P  Ai   PA1   PA 2 / A1   PA3 / A1  A 2     PA n / A1  A 2    A n 1 
 i 1 
 Observación_5: no confundir sucesos incompatibles con sucesos independientes, ya que para los primeros A  B   , mientras que para los segundos PA  B  PA  PB
 Probabilidad total: por lo general, un suceso no ocurre de manera aislada sino
que para que ese suceso ocurra se han de analizar diversos hechos, motivos, circunstancias aisladas, pero todas determinantes de que pueda ocurrir dicho suceso.
Por ejemplo, un avión al aterrizar o al despegar se puede estrellar por culpa de los
pilotos, por el estado de las ruedas del tren de aterrizaje, por la niebla, la lluvia o el
hielo, etc. …
Sean A1 , A2 , A3 , , An un sistema completo de sucesos, es decir A1  A2   An  E , y
además Ai  A j   . Para un suceso cualquiera B, se tiene que
B  E  B  B   A1  A2   An   B   B  A1    B  A2     B  An   B , por constituir A1 , A2 , A3 , , An un sistema completo de sucesos, entonces los sucesos
 B  A1  ,  B  A2  , ,  B  An  son incompatibles entre si, por lo que
P  B  P  A1   P  B / A1   P  A2   P  B / A2  
la probabilidad total.
Definiciones y conceptos.
n
 P  An   P B / A n    P Ai   P B / Ai  , que es
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i 1
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Probabilidad.
 Fórmula de Bayes: para uno cualquiera de los sucesos Aj se verifica siempre
que:
P B  Aj 
P Aj   P B / Aj 
 n
 P  A j / B 
P  B
 P  Ai   P  B / Ai 
i 1
 Ya que P  A j  B   P  A j   P  B / A j   P  B   P  A j / B  , ver observación_3 .
 Hay que distinguir las expresiones;
 P  A j  , es la “probabilidad a priori”. Nos la dan.


P  A j / B  , es la “probabilidad a posteriori”. Nos la piden.
P  A j   P  B / A j  , son las “verosimilitudes”. Se deducen de los datos
iniciales.
 P  B , es la “probabilidad total”. Se calcula como se ha visto anteriormente.
 Ejemplos de aplicación:
 E1.- de la fórmula de Bayes:
 Tenemos seis cajas que contienen cada una doce bombillas en total, entre
buenas y fundidas. Una caja contiene 8 buenas y 4 fundidas. Dos cajas
contienen 6 buenas y 6 fundidas. El resto, 3 cajas, contienen 4 buenas y 8
fundidas. Se elige una caja al azar y se extraen tres bombillas sin reemplazamiento, el resultado es que 2 son buenas y 1 está fundida. ¿Cuál es la
probabilidad de que la caja elegida contenga exactamente 6 buenas y 6
fundidas?.
 Sucesos, C=”extraer dos bombillas buenas y una fundida”, Ai=”escoger
una caja del tipo i”, Bi=”sacar una bombilla buena a la i-ésima”.
1
1
1
 Probabilidades a priori, P  A1   ; P  A 2   ; P  A3  
6
3
2
 El conjunto E  A1 , A2 , A3  es un sistema completo de sucesos, ya
1 1
  1
6 3 2
 Tener en cuenta que el suceso “elegir una caja del tipo 1, 2 o 3 “es
independiente de la forma en que se extraen las bombillas, y que
éstas se extraen sin reemplazamiento.
 Probabilidad total
que P  E   P  A1   P  A 2   P  A3  


   A   B  B  B    A   B  B  B  
 B    A   B  B  B    A   B  B  B  
 B     A   B  B  B     A   B  B  B    como
P  C   P A1  B1  B2  B3
 
 A  B  B
 A 2  B1  B2
3
1
2
1
1
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
cada uno de los sucesos encerrados entre paréntesis entre uniones, son
incompatibles entre si, entonces lo anterior se transforma en






P  C  P  A1   P B1  B2  B3  P  A1   P B1  B2  B3  P  A1   P B1  B2  B3 






P  A2   P B1  B2  B3  P  A2   P B1  B2  B3  P  A 2   P B1  B2  B3 
Definiciones y conceptos.
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Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.






P  A3   P B1  B2  B3  P  A3   P B1  B2  B3  P  A3   P B1  B2  B3 ,
cada uno de los sumandos son las verosimilitudes. Así las verosimilitudes desarrolladas serán:





 P  A   P  B   P  B / B   P  B / B  B   P A   P B   P B / B   P B / B  B  
14
P  A   P  B   P  B / B   P  B / B  B  
165
P C  A   P  A   P B  B  B   P A   P B  B  B   P A   P B  B  B  
 P  A   P  B   P  B / B   P  B / B  B   P A   P B   P B / B   P B / B  B  
3
P  A   P  B   P  B / B   P  B / B  B  
22
P C  A   P  A   P  B  B  B   P A   P B  B  B   P A   P B  B  B  
 P  A   P  B   P  B / B   P  B / B  B   P A   P B   P B / B   P B / B  B  
6
P  A   P  B   P  B / B   P  B / B  B  
55
1
1
1

2
1
2
2
2
3
3
2
3
1

2
3
1
2
1
1
2
2
1
3
1
2
3
2
3
2
1
1
2
1
2
1
2
2
3
 Con lo que la probabilidad total será P  C  
1
1
2
3
1
14
165
3
1
3

22
3
2

6
55

1
1
P  A2 / C 
P C

P  A2   P C / A2 
P C
3
1
109
330
3
45
 22 
109 109
330
 Por diagrama de árbol:
6


 
10
B3

 711


B

4

2 
1 8 7 4
14
10

  B3  total    

8
6 12 11 10 495


 
12
B1 

1 8 4 7
14
 710



B

total




3
4

 
11

6 12 11 10 495
B2 


3
 10
1


6
  B3


 tipo _1 


1 4 8 7
14
 710

 811
  B3  total    

6 12 11 10 495
  B2 
 4
4
 10

12
 
  B3
B1 

8

 
10

3
B3

 
11
B2  2


10

 
B3


 Tener en cuenta para el cálculo:
 Siguiendo una misma rama las probabilidades que nos encontremos
se van multiplicando
Definiciones y conceptos.
Página.- vii
3
2
2
 La probabilidad a posteriori pedida es
P C  A2 
2
2
3
3
1
2
1
3
1
2
3
3
1
1
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
1
2
1
2


P  C  A1   P  A1   P B1  B2  B3  P  A1   P B1  B2  B3  P  A1   P B1  B2  B3 
3
2
Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.
 Al cambiar de rama las probabilidades que se acumulen en la misma
mediante productos se suman en el total.
 Para el resto de las verosimilitudes:
4


 
10
B3

 511


B
6


2 
1 6 5 6
1
10

  B3  total    

6
3 12 11 10 22


 
12
B

1

1 6 6 5
1
 510


 B3  total    
6


11

3 12 11 10 22

B2 


5

1
10


3
  B3


 tipo _ 2 


1 6 6 5
1
 510

 611
  B3  total    

3 12 11 10 22
  B2 
 6
5
 10

12
 
  B3
B1 

6

 
10

5
B3

 
11
B


2
4

10

 
B3


2


 
10
B3

 311


B
8


2 
1 4 3 8
2
10

  B3  total    

4
2 12 11 10 55


 
12
B

1

1 4 8 3
2
 310


 B3  total    
8


11

2 12 11 10 55

B2 


7

10
1


2
  B3


 tipo _ 3 


1 8 4 3
2
 310

 411
  B3  total    

2 12 11 10 55
  B2 
 8
7
 10

12
 
  B3
B1 

4

 
10

B3
7

 
11
B


2
6

10

 
B3


 Así pues P  C  A1  
14

14
495 495
2
2
2
6
P  C  A3  



55 55 55 55

14
495

14
165
, P C  A2  
 Con lo que la probabilidad total será P  C  
14

3
1
22


1

22
6

1

22
3
,
22
109
165 22 55 330
 Los diagramas de árbol ayudan mucho a aclarar las ideas, pero ocupan mucho espacio para que sean claros, y deben serlo, pues en caso contrario lo
único que harían sería complicarnos más las cosas.
Definiciones y conceptos.
Página.- viii
Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.
 E2.- de Bayes.
 A una prueba de selección de personal acuden personas con y sin titulación. Se sabe que la probabilidad de que un titulado supere la prueba es del
60%, y la de que un no titulado la supere es del 40%. Si la probabilidad de
que un individuo, elegido al azar, supere la prueba es del 48%, calcular la
proporción de individuos titulados y la probabilidad de que sea un no titulado, sabiendo que no ha superado la prueba.
 Sucesos A=”tener título” y B=”superar la prueba”.
 Probabilidades a priori P  B/ A  0.6 , P B / A  0.4 y

P  B  0.48


  
 Sistema completo E  A, A  B, B
 Probabilidad total





 P  A   P  B / A   P  A   P  B / A   P  A   P  B / A   1  P  A    P  B / A 
P  B  P  A  B  A  B  P  A  B   P A  B 
 De donde P  A  


P  B  P B / A


0.48  0.4
 0.4
  0.6  0.4
P  A  B  P  A   P  B / A  0.6  0.6 9
P  A / B 


 , ya que
P  B
P  B
0.52
13
P  B / A   1  P  B / A   1  0.4  0.6
P B / A  P B / A
 E3.- teórico.
 Sean A y B dos sucesos sobre  , , P  , donde P  A  0.7 y P  B  0.5 .
¿Pueden ser A y B incompatibles?. Si A y B son independientes, calcular
la probabilidad de que se de uno de ellos.
 Si A  B    P  A  B  0  P  A  B  P  A  P  B  1.2 , lo
cual es absurdo  A  B   , no son incompatibles.
 P  A  B  P  A  P  B , por ser independientes, con lo que la probabilidad de que ocurra uno solo será P  uno solo   P   A  B    A  B   

 

 P A  B  P A  B , como, por otro lado, sabemos que




P  A   P  A  B  P A  B  P A  B  P  A   P  A  B   P  A   P  A   P  B 
, con lo que P  A  B  P  A   1  P  B  P  A   P  B , y de igual modo


 
P  unoi solo   P  A   P  B  P  A   P  B  0.7  0.5  0.3  0.5  0.5
P A  B  P  B  P A , nos queda definitivamente que
 E4.- Sean A y B dos sucesos independientes. ¿Son también independientes A y
   
B . ¿Podemos poner que P  A  B   1  P A  P B ?.
Definiciones y conceptos.
Página.- ix
Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.
 A y B independientes  P  A  B  P  A  P  B , por otro lado




A   A  B  A  B  P  A    A  B  P A  B 


 
 P A  B  P  A   P  A  B   P  A   1  P  B    P  A   P B ,
luego si son independientes. De igual modo se puede demostrar que los
sucesos A y B, y A y B también lo son.

P  A  B  P  A  P  B  P  A  B  P  A  P  B  P  A  P  B 
 
 P  A  B  P  A   1  P  B   P  B   P  A   P B  1  P  B   
 
 
   
 P  A  B  P B   P  A   1  1  1  P B  1  P  A    1  P A  P B
como queríamos demostrar.
 E5.- Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que
tira. Para los próximos tres penaltis que tire, se consideran los siguientes
sucesos A=”mete solo uno de ellos”, B=”mete dos de los tres” y C=”mete el
primero”. Halla la probabilidad de los sucesos A  B, A  C y B  C .
4
4
1
5
5
5
 Llamemos M a meter el penalti y F a fallarlo. P  M    P  F   1   ,
del enunciado. El diagrama de árbol sería:


4 4 4 64
 45

 4
  M  MMM    

5 5 5 125

5
 
M

1

4 4 1 16
5
 
 F  MMF    



4
5 5 5 125

 
5

M


4 1 4 16
 45


 M  MFM    

 1


5 5 5 125
5
F
 

1
4 1 1
4

5
 

 F  MFF    



5 5 5 125



1 4 4 16
 45

 4
  M  FMM    


5 5 5 125
5
 

M
1

1 4 1
4

5
 
 F  FMF    

 1
5 5 5 125


5
 
F

1 1 4
4
 45

 M  FFM    


 1

5 5 5 125

5
F
 

1
1 1 1
1

5
 
 F  FFF    



5 5 5 125


De donde A  MFF, FMF, FFM , B  MMF, MFM, FMM y C  MMM, MMF, MFM, MFF  .
A  B  MFF, FMF, FFM, MMF, MFM, FMM
A B   , A  C  MFF y B  C  MMF, MFM 
Definiciones y conceptos.
Página.- x
Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.
Luego, nos queda:
4 1 1
4
4 1 1 12
4 4 1 48
P A  3   
, P  B  3    
, P  A  C    
,
5 5 5 125
5 5 5 125
5 5 5 125
4 4 1 4 1 4 32
P B  C       
5 5 5 5 5 5 125
12
48
60
P  A  B  P  A   P  B  P  A  B 

0 
125 125
125
 E6.- En una clase de infantil hay 6 niñas y 10 niños. Si se escogen tres alumnos
al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sean los tres niños?. ¿Y dos niños y una
niña?. ¿Y al menos un niño?.
 Sucesos Ni=”niño a la i-ésima”, ni=”niña a la i-ésima”
10 9 8
3
P  3 niños   P  N1   P  N2 / N1   P  N3 / N1  N 2     
16 15 14 14
P  2N1n    NNn    NnN   nNN , las tres son equiprobables, luego nos quedará
10 9 6 27
  
16 15 14 56
1 27
, ya que
P  al menos un niño   P ningún niño  1  P  tres niñas   1 

28 28
6 5 4
1
P  tres niñas   P  n1   P  n 2 / n1   P  n 3 / n1  n 2     
16 15 14 28
P  2N1n   3  P  N1   P  N 2 / N1   P  n 3 / N1  N 2   3 

Definiciones y conceptos.

Página.- xi
Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.
I.E.S. “La Ería”
Año académico: 2004-2005
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: Bach.
CCSS
Tema: Álgebra de Bool y Leyes Morgan
Complementos teórico-prácticos.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
 Leyes de Morgan y álgebra de Bool: sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E.
 Suceso seguro: conjunto E , espacio muestral, contiene a todos los sucesos
elementales, y por tanto, ocurrirá siempre.
 Suceso imposible: es el conjunto vacío  , no posee sucesos elementales.
 Unión de sucesos: A  B , es el suceso formado por los resultados del experimento que pertenecen a alguno (uno al menos) de los sucesos A y B.
 AE  E
 A   A
c
 AA  AA  E
 Intersección: A  B , es el suceso formado por los resultados del experimento
que pertenecen simultáneamente a los dos sucesos A y B.
 AE  A
 A   
c
 AA  AA  
 Diferencia: A  B , es el suceso formado por los resultados del experimento
que pertenecen a A y no a B.
  A  B   A  B   B  A  A  B

A  B  A  B  A  Bc
 Suceso contrario: A  Ac  E  A , es el suceso formado por los resultados
del experimento que no pertenecen a A. También se denomina suceso complementario.
 Sucesos incompatibles: se dice que dos sucesos A y B son incompatibles
cuando A  B   .
 Leyes de Morgan:


  A  B  A

 A  B
c
 A  B  A c  Bc  A  B

 A  B
c
c
 Bc  A  B
 Resto de propiedades: (Álgebra de Bool)
 Conmutativas: A  B  B  A , y A  B  B  A
 Asociativas:  A  B  C  A   B  C , y  A  B  C  A   B  C
 Idempotentes: A  A  A , y A  A  A
 Absorción: A   A  B  A , y A   A  B  A , también se la
denomina de simplificación.
Definiciones y conceptos.
Página.- i
Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Probabilidad.
 Distributivas: A   B  C   A  B   A  C , y para la intersección A   B  C   A  B   A  C
 Elementos neutros: A    A , A     , A  E  A , y por último A  E  E .
c
c
 Complementación: E  E   y     E
 
c
 Involución: A   A   A
c
 Propiedades de las probabilidades:
 P  A  B  P  A  P  B  P  A  B , para sucesos compatibles, para
sucesos incompatibles P  A  B  P  A  P  B

P  A  B  P  A  P  B/ A  P  B  P  A/ B , para sucesos dependientes, para sucesos independientes, P  A  B  P  A  P  B
 Ejemplos gráficos:
AB
A
A
A
B
B
AB
AB
A
A
B
A
B
B
C
C
B
C
A C
AB
A   B  C    A  B   A  C 
A
A
A
B
B
B
C
C
C
A C
AB
A   B  C    A  B   A  C 
E
B
A
Ac
AB
AB
A
B A
A  B   A  B   A  B   B  A 
Definiciones y conceptos.
Página.- ii