UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL DIRECCION ACADEMICA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
DIRECCION ACADEMICA
COORDINACIÓN: INGENIERIA EN GAS Y AZUCAR
SECCIONES: GAS “F” y “G” / AZUCAR “D”
ASIGNATURA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PROFESOR: Ing. WILMER ONTIVEROS
GUIA DE ACTIVIDADES. UNIDAD II
Introducción a la Teoría de Probabilidad.
Sistemas Determinísticos: Sistemas que interactúan de forma predecible, de
modo que podemos describir con certeza su comportamiento. Ejemplo: Un
software de computador.
Sistemas Probabilísticas: Son sistemas con un comportamiento no
predecible, sujetos a incertidumbre. Ejemplos: La Inflación, El Sistema
Económico Mundial, las Organizaciones.
Nota: La mayoría de los sistemas son de naturaleza probabilística, allí radica la
importancia de la estadística.
Experimento Estadístico (Aleatorio): Proceso del cual se derivan una serie
de resultados de naturaleza aleatoria. Ejemplo: Observar el número de
personas que hablan por el celular mientras manejan, en la Av. Lara, Lanzar un
dado y observar el resultado que se presentan en la cara superior.
Los estudiosos de la estadística frecuentemente manejan:
Datos Numéricos o Experimentales (Variables): Producto de conteo o
mediciones. Ejemplo: Los números 1,3,4,5 representan los accidentes
laborales en los 4 primeros meses del año
Datos Categóricos o de Atributos: Pueden de clasificarse de acuerdo a algún
criterio o característica de calidad. Ejemplo: N,D,N,N,D representan los
artículos defectuosos y no defectuosos cuando se inspecciona una muestra
aleatoria de 5 de ellos.
Donde: N: No defectuoso.
D: Defectuoso
Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posible de un experimento
estadístico. Se representa por el símbolo “S”
A cada resultado del espacio muestra se le denomina punto muestral.
En referencia al experimento que consiste en lanzar un dado y observar el
resultado que se presenta en la cara superior, el espacio muestral S de
resultados posibles es:
S = {1,2,3,4,5,6 }
Si “S” finito o infinito contable, se le denomina Espacio Muestral Discreto
Si “S” constituye un intervalo real o unión de intervalos reales, se le denomina
Espacio Muestral Continuo.
Ejemplos:
 Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara
superior, el espacio muestral “S” es discreto finito, pues:
S = {1,2,3,4,5,6 }

Lanzar una moneda hasta que salga cara, el espacio muestral “S” es
discreto infinito, pues:
S = {c,sc,ssc,sssc,ssssc,… }.

Si medimos el tiempo que transcurre hasta que falla un componente
electrónico, el espacio muestral “S” es continuo, pues:
S = {0,∞ }.
Para un número considerable de puntos Muestrales, resulta práctico expresar
el espacio muestral como una regla o enunciado:
Ejemplo:

El número de puntos internos en una circunferencia de radio 3 con
centro en el origen
S = { (x,y / x2 + y2 <= 9; x>0, y>0}
En experimentos de muestreo, que implican la selección artículos de un lote
debemos considerar si la selección se lleva a cabo:
Sin Reemplazo: El artículo seleccionado no se coloca de nuevo en el lote,
antes de seleccionar el siguiente.
Con Reemplazo: El artículo seleccionado se coloca de nuevo en el lote, antes
de seleccionar el siguiente.
Ejemplo: Un lote contiene tres artículos {1, 2,3}.el experimento consiste en
seleccionar dos de ellos
Si el experimento se lleva a cabo Sin Reemplazo:
S = {12, 13, 21, 23, 31,32}
Si el experimento se lleva a cabo Con Reemplazo:
S = {12, 13, 21, 23, 31, 32, 11, 22,33}
Evento: De manera frecuente, el interés recae en un conjunto particular de
resultados, así un evento constituye un subconjunto del espacio muestral en un
experimento estadístico. El evento se simboliza con una letra mayúscula
distinta de la “S” que la utilizamos para simbolizar el espacio muestral
Ejemplo
Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior y
verificar que el mismo sea un número par:
A = {2, 4, 6}
Complemento: El complemento de un evento A, denotado por A’ es el
conjunto formado por todos aquellos elementos (puntos muestrales)
pertenecientes a “S” que no están en A.
Ejemplo: En referencia al ejemplo anterior el evento complementario se verifica
si sucede un número impar:
A’ = {1, 3, 5}
En algunos casos expresaremos eventos a través de operaciones básicas de
conjunto, tales como intersecciones, uniones y complementos. A continuación
se definen de manera sencilla algunas de las operaciones básicas con
conjuntos, a saber:
La Unión de dos eventos A y B (A  B) es el evento formado por los resultados
que están en A o están en B o en ambos.
La Intersección de dos eventos A y B (A  B) es el evento formado por los
resultados que están en A y están en B .
Para visualizar de manera rápida el conjunto de relaciones entre eventos
haremos uso de una herramienta gráfica denominada Diagrama de Venn
Unión de dos eventos A y B:
A
B
( A B)
Intersección de dos eventos A y B:
A
B
( A B)
Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.
.
A continuación se presentan una serie de Técnicas que facilitan el
conteo de los elementos asociados al espacio muestral.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE
CONTEO.
Esta Regla se aplica cuando el espacio muestral se construye por
etapas, o el experimento se conforma de varias operaciones.
Hagamos las siguientes consideraciones:

Cada etapa (j) del experimento puede tener n * j resultados posibles
j=1,2,….k

Cada uno de los resultados puede ocurrir independientemente de los
resultados que se presente en las otras etapas.
Luego el número total de puntos muestrales de este espacio muestral
conformado por etapas es viene dado por:
n  n1.n 2.n3....nk
 NOTA: Al aplicar la regla hay que tomar en cuenta, si el experimento se
efectúa considerando una serie de restricciones.
Ejemplo 1:
Se lanza una moneda y posteriormente un dado. Calcular el tamaño del
espacio muestral.
Solución
Observamos que en este experimento el espacio muestral se construye en dos
etapas, fase u operaciones.
Etapa 1: Lanzamiento de la moneda.
Con n1= 2 resultados posibles
Etapa 2: Lanzamiento del dado
Con n2= 6 resultados posibles.
Luego la ocurrencia simultánea de ambas operaciones viene dada por:
n  n1.n2  2.6  12 Así el espacio está constituido por 12 puntos muestrales.
A través de un diagrama de árbol se puede visualizar cada uno de los puntos
muestrales, y realizar el conteo en experimentos que no den como resultado un
número muy grande de puntos muestrales.
En este Caso:
Gráfico 1. Diagrama de Árbol para el Experimento de Lanzar una moneda
y posteriormente un dado
1
2
3
4
Cara
( C)
5
6
1
2
Sello
(S)
3
4
5
6
Luego para la construcción del espacio muestral comenzamos a formar los
puntos leyendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
S  c1, c2, c3, c4, c5, c6, s1, s2, s3, s4, s5, s6
Definición
Permutación
Una permutación es un arreglo u ordenamiento de un conjunto de elementos.
NOTA: En las permutaciones importa el orden en el que se constituyen
los arreglos, así una modificación en la posición relativa de un elemento
genera un arreglo distinto
Definición
Permutación de n objetos distintos
El número de permutaciones de n objetos diferentes viene dado por
n!
Ejemplo 2:
La abuela María manda a su nieto José a jugarle la “permuta” del número 965
por 100 Bs. ¿Cuánto debe gastar José?
Solución:
Tenemos tres elementos distintos el número de permutaciones viene dado por:
n!
En este caso el número de arreglos distintos es 3! = 6
¡Aquí están los 6 arreglos diferentes!:
965
956
596
569
695
659
El problema puede ser resuelto a través de la regla de la multiplicación de la
siguiente manera:
Consideremos el número de opciones de posicionamiento en los lugares
correspondientes a las centenas, decenas y unidades respectivamente con la
condición de que el número utilizado en el arreglo no se repita.
centenas
Decenas
Unidades
3
2
1
n1
n2
n3
Luego n =n1.n2.n3=3.2.1=6 posibles números
Así la Abuela María debe darle 600 Bs. a Gollo para realizar la apuesta.
Definición
Permutación de n objetos distintos tomando “r” a la vez )
El número de permutaciones de un subconjunto de “r” objetos seccionados de
un conjunto de “n” elementos diferentes viene dado por:
n Pr  (n  1).(n  2)...(n  r  1) 
n!
(n  r )!
Ejemplo 3: En referencia al problema anterior, ahora la abuela María le pide a
José le juegue todos los “terminales” posibles para el triple 965. Nota: El
terminal se constituye por los dos últimos dígitos de la tríada formada.
Sol:
En este caso debemos buscar todas aquellas permutaciones o variaciones
distintas de dos dígitos que se pueden formar con los dígitos 9,6 y 5.
3P 2 
3!
6
 6
(3  2)! 1
En este caso José debe comprar 6 terminales diferentes:
65
56
96
69
95
59
NOTA: En los casos anteriores los “n” elementos ha “acomodar” eran
distintos. Vamos a analizar que sucede cuando “no todos” los elementos
son diferentes.
Definición
Permutación de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 de otra
categoría hasta nk
El número de permutaciones n = n1 +n2+…+nk objetos es:
n!
n1!.n 2!.n3!...nk !
En los casos en los que no importe el orden sino las distintas selecciones
diferentes posibles utilizaremos las combinaciones
Definición
Combinación
El número de combinaciones de n objetos diferentes tomando r a la vez: es:
nCr 
n!
r!(n  r )!
Las siguientes interrogantes se responden haciendo uso de una combinación::

De cuantas maneras distintas se pueden seleccionar 5 estudiantes
de una sección de 40?

Cuántas muestras diferentes de 15 ejes pueden seleccionarse de
un lote de tamaño 50?

Cuantos cartones diferentes de Kino pueden imprimirse en un sorteo
semanal cualquiera?
En Resumen
Diferencia entre Permutación y Combinación
SELECCIONAR
NO IMPORTA EL
ORDEN
ARREGLO
IMPORTA EL ORDEN
COMBINACION
PERMUTACION
Ejemplo 4:
1) El apretón de manos
Las personas que asistieron a una fiesta se estrecharon la mano. Uno de ellos
advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron
a la fiesta?
SOLUCIÓN
Se obtendrá una solución a través de una de las técnicas de conteo
(Combinación), y se deja como ejercicio el encontrar otras formas de solucionar
este acertijo.
Es fácil visualizar con un pequeño ejemplo que el número de apretones viene
dado por nC2. Supóngase que Roger, Noel, Edgar y Víctor se encuentran en
la mañana a la hora del Desayuno en un cafetín ¿cuantos apretones de mano
son posibles?
Roger – Noel; Roger – Edgar; Roger – Víctor; Noel – Edgar; Noel –Víctor;
Edgar – Víctor
Fácilmente podemos percatarnos que el apretón de manos Roger – Noel es el
mismo Noel – Roger, dado que no importa el orden el número de apretones
podemos encontrarlo rápidamente a través del combinatorio de 4 en 2
4C2 = 6
Ahora en este problema desconocemos el valor de n, sin embargo sabemos
que:
nC2 
n!
 66
2!n  2 !
Resolviendo
n  n  1n  2!
 66
2!.(n  2)!
Luego tenemos la siguiente ecuación de 2º Grado
n2 - n - 132 = 0
Resolviendo la ecuación:
n = 12.
Así asistieron 12 personas a la fiesta.
Ejemplo 5:
La jugada hípica exótica conocida como exacta consiste en acertar, las dos
primeros lugares en el orden correcto en una carrera de caballos; es decir si
Ud. jugó la exacta 7-8 el número 7 debe figurar en el primer lugar y el 8 ocupar
la segunda posición. En una hipotética carrera con 10 caballos participando
cuantas apuestas debe realizar para tener la absoluta seguridad de acertar la
exacta
Solución
En esta caso importa el orden en que se formen las posibles “duplas”,
por lo tanto, el problema consiste en encontrar el número de permutaciones de
“n” objetos tomando “r” a la vez; en este caso, 10 objetos en grupos de
tamaño 2:
10P 2 
10!
 10.9  90
(10  2)!
El jugador tiene que realizar 90 apuestas para la que exacta constituyese un
evento seguro, obviamente esto implicaría una inversión de:
90exactas 
2000 Bs
 180000 Bs
exactas
A continuación en las próximas paginas ejercicios propuestos.
Ejercicios Técnicas de Conteo de puntos muestrales.
1)
a. ¿Cuántos números de 3 dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1,
2, 3, 4, 5 y 6?, si cada uno puede utilizarse una sola vez?
b. ¿Cuántos de estos números son nones?
c. ¿Cuántos de ellos son mayores que 330?
2)
a. ¿De cuántas maneras pueden formarse 5 personas en una fila?
b. ¿Si 3 de ellas insisten en colocarse juntas?
c. ¿Si 2 de ellas rehúsan estar juntas?
3) De un grupo de 4 hombres y 5 mujeres, ¿Cuántos comités de 3
miembros son posibles?
a) Sin restricciones?
b) Con 1 hombre y 2 mujeres?
c) Con 2 hombres y una mujer si un cierto hombre debe
estar en el comité?
4) Del 1 al 775 ¿Cuántas veces aparece el número siete?
5)
Un restaurante ofrece cebolla, salsa, mostaza y picante como
condimento para su agregado a una hamburguesa simple
a) a)
Cuántas clases de hamburguesas puede preparar si los
sabores se clasifican en: sin sabor, con uno, con dos, tres o cuatro
condimentos a la vez?
Del 1 al 2000 cuantas veces aparece el número 9
PROBABILIDAD
1) Un dado se construye de tal forma que un 1 o un 2 ocurren dos veces
más frecuentemente que un 5, mismo que se presenta, mismo que se
presenta tres veces más seguido que un 3, un 4 o un 6. Si el dado se
lanza una vez, encuentre la probabilidad de que:
a) El número sea par.
b) El número sea mayor que 4.
2) Un envío de 20 libros contiene el 20 % de libros mal compaginados.
a-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y no recibir
defectuosos?
.
b-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y recibir a lo
sumo 2 defectuosos?
c-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y recibir al
menos 2 defectuosos?
3) En una escuela se graduaron 100 estudiantes:
54 Estudiaron Matemática
69 Estudiaron Historia.
35 Ambas Materias.
SI se selecciona una persona al azar. Calcule la probabilidad de
que:
a.- Se haya dedicado a Historia o Matemática?.
b.- No haya cursado ninguna de estas materias?
c.- Haya estudiado Historia pero no Matemática?
PROBABILIDAD CONDICIONAL
1) La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de
Tv es 0,4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga es 0,5. La
probabilidad de que un hombre vea un programa dado que su esposa lo
hace es 0,7. Encuentre:
 Probabilidad de que una pareja de casados no vea el programa.
 Probabilidad de que una esposa vea el programa dado que su
esposo lo hace.
EVENTOS INDEPENDIENTES
3.- En una zona se cuenta con dos carros de bomberos que operan
independientemente. La probabilidad de que el
vehículo 1 este
disponible cuando se le necesite es 0,96, la probabilidad de que el
vehículo 2 no este disponible es 0,10?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno este disponible en caso
necesario?
b) ¿Cual es la probabilidad de que alguno este cuando se le
necesita?
3.1 Una máquina robótica de inserción contiene 10 componentes
primarios. La probabilidad de que cualquier componente falle en el
período de garantía es 0,01. Suponga que los componentes fallan de
manera independiente y que la máquina falla cuando alguno de sus
componentes falla. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina falle
durante el período de garantía
3.2 Barquisimeto y Maracay estaban compitiendo para la sede de los
próximos juegos deportivos. Cada uno ofrecía sus servicios de
instalaciones deportivas, alojamiento y alimentación. Las probabilidades
de que Barquisimeto le ganara la sede a Maracay eran 0.7 en
Instalaciones Deportivas, 0,4 en alojamiento y 0,4 en alimentación. Para
obtener la sede las ciudades fueron sometidas a pruebas de servicios y
ganar no menos dos de ellas (no hay empate). ¿Barquisimeto tuvo la
mayor probabilidad de ganar la sede? ¿Cuantifique dicha probabilidad?
TEOREMA DE BAYES
4-. Una fábrica de zapatos piensa lanzar al mercado un nuevo
modelo de calzado casual. Por experiencia sabe que el 70% de las veces
ha tenido éxito cuando el estudio de mercado ha sido bien realizado y
20% si la investigación estuvo mal orientada. Además, estima que el
estudio de mercado está bien elaborado en el 80% de los casos. Si
resultó que el calzado tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad de que el
estudio de mercado haya sido bien realizado? A propósito, ¿cuál es la
probabilidad de que el nuevo calzado tenga éxito?
4.1 La alineación entre la cinta magnética y la cabeza de un
sistema de almacenamiento en cinta magnética afecta el desempeño del
sistema. Suponga que el 10% de las operaciones de lectura se ven
atenuadas por una alineación oblicua, el 5 % de ellas son atenuadas por
una alineación descentrada, y que las demás operaciones de lectura se
realizan de manera correcta. La probabilidad de un error en la lectura
por una alineación oblicua es 0,01, por una alineación descentrada 0,02 y
0,001 por una alineación correcta.
a. ¿Cuál es la probabilidad de tener un error de lectura?
b. Si se presenta un error de lectura. ¿Cual es la probabilidad de que
se deba a una alineación oblicua?
4.2 Se sabe que un suero de la verdad que se aplica a un sospechoso
es 90% confiable cuando la persona es culpable y 99% cuando es
inocente. En otras palabras, 10 % de los culpables se juzgan inocentes
por el uso de este suero y 1% de los inocentes, culpable. Si se
selecciona un individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales solo
5% ha cometido un crimen, y el suero indica que es culpable, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea inocente?