La probabilidad es la rama de la matemática que está... lanzar dados, jugar la lotería, sacar o extraer una carta... PROBABILIDAD

MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
PROBABILIDAD
La probabilidad es la rama de la matemática que está estrechamente relacionada con los
juegos de azar, tales como: girar la rueda de una ruleta, lanzar al aire una moneda,
lanzar dados, jugar la lotería, sacar o extraer una carta de una baraja, extraer un número
determinado de un conjunto de números, jugar el balotto, jugar ganagol, jugar chance,
etc. Es decir, el sujeto de estudio de esta área del saber humano, son los juegos de
azar.
La probabilidad se encarga de analizar e interpretar la ocurrencia o no de un
suceso o fenómeno.
Los matemáticos que más influyeron en el desarrollo de esta disciplina del
conocimiento, fueron:
 HIERONIMO CARDAN (Italiano). Escribió un libro sobre juegos de azar.
 BLASE PASCAL Y PIERRE FERMAT (franceses). Trataron de dar solución a los
problemas relacionados con los juegos de azar, planteados por Antonio Gambaud.
Esto los llevo a desarrollar el cálculo de probabilidades.
 PIERRE SIMON LAPLACE (Francés). Desarrollo el cálculo de probabilidades.

(Aleman). Desarrolló la ley de probabilidad, según la
cual, cuando una magnitud sufre la influencia de numerosas causas de variación,
todas ellas muy pequeñas e independientes entre sí, los resultados se acumulan
alrededor de la media, distribuyéndola simétricamente a su alrededor con una
frecuencia que disminuye rápidamente al alejarse del centro. La campana o curva
de GAUSS es la representación gráfica de una distribución de esta clase.
CARL FRIEDERICH GAUSS
y
Centro
CAMPANA DE GAUSS
0
x
Materiales
Consiga los siguientes elementos: Dos monedas de diferentes denominaciones, dos
dados y un naipe o rumí
1
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ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
El espacio muestral suele representarse con la letra mayúscula S .
S  Espaciomuestral.
Los elementos de un espacio muestral se denominan puntos muéstrales o simplemente
muestra.
EJEMPLO 1.
Cuando lanzamos una moneda al aire, ésta puede caer cara (c) o sello (s), estas dos
posibilidades, forman el espacio muestral de este experimento.
c  cara.
s  sello.
Entonces: S  c, s. c y s , son puntos muéstrales.
EJEMPLO 2.
Consideremos ahora el experimento aleatorio de lanzar un dado.
El espacio muestral es: S  1, 2, 3, 4, 5, 6  de donde: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son los puntos
muestrales
EJEMPLOS 3.
En un cesto hay 3 balotas rojas, 5 amarillas y 10 verdes.
S  3 balotasrojas, 5 balotasamarillas, 10 balotasverdes.
EJEMPLO 4.
Experimento: Lanzar al aire una moneda dos veces: S   cc, cs, sc, ss 
ACTIVIDAD:
Para cada experimento, halle el espacio muestral e identifique los puntos muestrales:
 Lanzar al aire una moneda tres veces
 Lanzar dos dados
 Lanzar una moneda cuatro veces
 Lanzar una moneda y un dado
 El espacio muestral del naipe o rumí que Ud. consiguió.
SUCESOS ALEATORIOS O EVENTOS
Las probabilidades están siempre asociadas a la ocurrencia de un suceso o evento. Un
suceso o evento es un subconjunto del espacio muestral. Los sucesos se denotan con las
letras mayúsculas A, B, C, D,..., Z.
En el experimento de lanzar una moneda, puede ocurrir que caiga cara o sello. Pues
bien, la ocurrencia de cara o sello son los sucesos o eventos. Entonces: S  c, s
Sea A el suceso o evento de que la moneda caiga cara (c), entonces: A  c
Sea B el suceso o evento de que la moneda caiga sello (s), entonces: B  s
EJERCICIOS
1. Lanzar un dado, halle
 El suceso de obtener un número par.
 El evento de obtener un número impar.
 El suceso de obtener un número mayor que 6.
 El evento de obtener un número mayor que 2 y menor que 6.
2
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2. Lanzar una moneda dos veces, halle
 El suceso de obtener dos o más caras consecutivamente.
 El evento de obtener resultados iguales
3. Lanzar dos dados, halle:
 El suceso de obtener resultados iguales.
 El evento de obtener un número primo menor que 4.
 El suceso de obtener 8 al sumar las dos componentes.
4. Utilizando naipe o rumí, halle:
 El suceso de obtener la letra K.
 El evento de obtener una Q y un 2.
 El suceso de obtener un diamante.
5. En un cesto hay 2 balotas rojas, 4 negras, 7 amarillas y 9 blancas. Halle:
 El suceso de obtener una balota roja.
 El evento de obtener un balota amarilla y una blanca.
 El suceso de obtener una negra, una roja y una blanca.
 El evento de obtener una balota gris.
CLASES DE SUCESOS O EVENTOS
1.
SUCESO IMPOSIBLE:
Es aquel que no puede ocurrir. Se representa con la letra
griega .
Si A es un suceso imposible, entonces: A = .
 Al lanzar una moneda, es imposible obtener cara y sello a la vez, por eso, este
evento es imposible.
 Al lanzar un dado, es imposible obtener un número mayor que 6.
 De ejemplo de 3 sucesos que Ud. considere imposible
2.
SUCESO O EVENTO ELEMENTAL:
Es un subconjunto que tiene un solo punto
muestral en S.
 Si S   2, 3, 4 
A   2 , es un suceso elemental.
B   2, 3 , no es un suceso elemental.
 Si de una rifa que tiene 100 boletas, se compra una sola de ellas.
Halle los sucesos elementales que se obtienen al lanzar una moneda y al
lanzar un dado simultáneamente.
3.
SUCESO O EVENTO SEGURO:
Es un subconjunto que contiene todos los puntos
muestrales en S.
 Si S   a, b, c  y el suceso A   a, b, c  , entonces, este evento es seguro.
 Si de una rifa que tiene 50 boletas, se compran todas.
Halle:
 El evento seguro al lanzar una moneda dos veces
 El evento seguro al lanzar un dado.
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

4.
El evento seguro al lanzar una moneda y un dado.
El evento seguro de lanzar un dado dos veces.
SUCESOS O EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
A y B son dos
sucesos mutuamente excluyentes si y sólo si no pueden ocurrir simultáneamente,
es decir, al mismo tiempo. Se simbolizan a si: A  B = .
 Al lanzar una moneda, los sucesos cara y sello son mutuamente excluyentes,
porque no pueden ocurrir a la vez.
A = c y B = s, entonces: A  B = c  s = .
 De una bolsa que contiene 4 bolas rojas y 5 bolas negras, el suceso o evento de
escoger una sola bola. Si seleccionamos una bola roja, es imposible sacar una
negra y viceversa.
ACTIVIDAD:



5.
Al lanzar un dado, identifique todos los sucesos excluyentes que tú puedas.
En un cesto hay balotas amarillas, negras y rojas, identifique los sucesos
excluyentes que se pueden presentar.
Lanzar un dado, el suceso de salir un número par.
SUCESOS INDEPENDIENTES
Dos o más sucesos son independientes, cuando no se relacionan entre sí, o sea, la
ocurrencia del uno no impide la ocurrencia del otro, esto quiere decir, que los dos
pueden ocurrir simultáneamente (al mismo tiempo).
EJEMPLOS
a).
b).
c).
Se practican dos pruebas a un grupo de estudiantes, una de Matemática y
otra de Biología. El hecho de que un alumno gane o pierda Matemática,
no tiene nada que ver con el hecho de gane o pierda Biología.
Se lanzan una moneda y un dado. La aparición de cara y un número
del dado son independientes.
En dos urnas hay votos por los candidatos A, B y C. Al sacar un voto de
cada urna, no necesariamente deben ser de un mismo candidato, esto
indica que los sucesos son independientes.
EJERCICIO
Para cada experimento, identifique los sucesos independientes:
a)
Se lanzan al aire dos monedas
b)
Seleccionar un carro, una bicicleta y una camisa en un supermercado.
c)
La variación del precio de las acciones A, B y C.
d)
Una bolsa contiene 4 bolas negras, 3 bolas rojas y otra bolsa contiene 6
negras y 2 rojas. Si se escoge una bola de cada bolsa.
4
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COMBINACIÓN DE SUCESOS O EVENTOS
Debido a que un suceso es un subconjunto, podemos combinar sucesos para formar
nuevos sucesos por medio de las operaciones entre conjuntos.
Si A y B son dos sucesos, combinándolos obtenemos:
 A  B es el suceso que ocurre si y sólo si A ocurre o B ocurre (o ambos).
 A  B es el suceso que ocurre si y sólo si A ocurre y B también ocurre (ambos a la
vez).
 A c , es el complemento de A. También escrito A , es el suceso que ocurre si y sólo
si A no ocurre.
EJEMPLO
Lancemos un dado y hallemos:
 Salir un número par.
 Salir un número impar.
 Salir un número primo.
 Salir un número par o un número primo.
 Salir un número primo e impar.
 No salir un número primo.
Solución:
El espacio muestral es: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
A  salir un número impar  A = 1,3, 5
B  salir un número par  B = 2, 4, 6
C  salir un número primo  C = 2, 3, 5
Salir un número par o primo  B  C = 2, 3, 4, 5, 6.
Salir un número primo e impar A  C = 3, 5.
No salir un número primo  Cc = 1, 4, 6.
EJERCICIOS
a)
Lance una moneda y halle los sucesos de:
 Aparezca una cara.
 Aparezca un sello.  Aparezca una cara o un sello
 Aparezca una cara y un sello.  No aparezca una cara.
b)
Lance dos dados y halle los sucesos de:
 La suma sea 7.
 La suma sea 4.
 La diferencia sea 2
 La suma sea 7 o 4.  La suma sea 7 y aparezca un 5.  La suma no sea 7.
c)
Lance una moneda tres veces y halle los sucesos de:
 Dos caras aparezcan consecutivamente.
 Los resultados sean iguales
 Dos caras aparezcan consecutivamente o los resultados sean iguales.
 Dos caras aparezcan consecutivamente y los resultados sean iguales
 Cuatro sellos aparezcan consecutivamente.
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EXPERIMENTO ALEATORIO O AL AZAR
Un experimento aleatorio es un conjunto de pruebas realizadas en las mismas
condiciones en que los resultados pueden atribuirse al azar. Es decir, a la casualidad, y
no a una regla establecida.
Al lanzar al aire una moneda dos veces, el hecho de que caiga cara o sello, depende
únicamente de la casualidad; por eso, este experimento es aleatorio o al azar. Es
imposible asegurar que siempre va a caer cara, o sello.
CARACTERISTICAS DE LOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS O AL AZAR
 Los resultados de cada ejecución dependen estrictamente de la casualidad; es decir,
de influencias que no pueden ser controladas por nadie.
Al lanzar un dado, el hecho de que salga uno de los números del mismo, depende de
la casualidad, porque no se puede atribuir a los elementos que participan en el
lanzamiento: Lanzador, tamaño del dado, superficie, clima, color del dado, etc.
 Aunque, en general, no podemos asegurar o indicar cuál será el resultado particular,
si podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. O
sea, determinar el espacio muestral.
Aunque al lanzar el dado no podemos asegurar que número va a salir, si podemos
mostrar que pueden salir uno de los siguientes números: 1, 2, 3, 4, 5, 6. O sea:
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 Proporciona la información básica para determinar medidas de probabilidad
Del lanzamiento del dado, podemos determinar el suceso de obtener un número par,
un número impar, un número primo, un número menor que 5, etc.
EJERCICIO
Los siguientes ejemplos corresponden a experimentos aleatorios. ¿Explique por qué?
a). Se lanza una moneda y se cuenta el número total de sellos obtenidos.
b). Se rifa un artículo con los números de 1 a 20 y se selecciona un número ganador.
c). En una urna que contiene esferas negras y rojas, se escoge una y se anota su color.
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Una probabilidad es un número entre 0 y 1 que permite predecir la ocurrencia de un
hecho o evento al azar. Si el evento se representa con A, entonces, la probabilidad de
que A ocurra se escribe como:
Núm erode posibilidades de salir A n( A)
n ( A)
P( A) 

 P( A) 
Núm erototal de resultados posibles
S
S
S  Espaciom uestral.
n( A)  Núm erode posibilidades de salir A
EJEMPLOS
1. Lancemos un dado y hallemos la probabilidad de obtener:
a). Un número par
b). Un número mayor que 5.
c). Un número mayor que 1 y menor que 6.
d). Un número menor que 7.
6
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Solución:
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
A = 2, 4, 6
P ( A) 
n ( A)

3

1
 0, 5  50%.
S
6
2
La probabilidad se puede expresar en forma de razón  12  , en forma Decimal 0, 5
o en porcentaje 50% ; la primera y la última son las más usadas, hoy se usa más
la última.
n( B ) 1
  0,16  16%.
B Número mayor que 5. B  6  P( B) 
S
6
C Número mayor que 1 y menor que 5.
n(C ) 4 2
C  2, 3, 4, 5  P(C ) 
   0,66  66%.
S
6 3
n( E ) 6
  1  100 %.
E Número menor que 7. E  1, 2, 3, 4, 5, 6  S  P( E ) 
S
6
El evento E indica, que la probabilidad de todos los casos posibles (o sea, espacio
muestral) es igual a l. Esto quiere decir, que el máximo valor de cualquier
probabilidad es la unidad (1), o sea el 100%.
A Número par.
2. En el grado once hay 14 mujeres y 12 hombres, calculemos la probabilidad de:
a) Seleccionar una mujer
b) Seleccionar un hombre
c) Seleccionar un alumno de once
Solución:
S = 14 mujeres + 12 hombres = 26 alumnos.
n( A) 14
A  14  P( A) 

 0,54  54%.
A Una mujer.
S
26
n( B) 12
B  12  P( B) 

 0,46  46%.
B Un hombre.
S
26
n(C ) 26
C  26  P(C ) 

 1  100 %.
C Un alumno.
S
26
EJERCICIOS
1. Al lanzar una moneda, halle la probabilidad de obtener:
a). Cara.
b). Sello.
c). Cara o sello.
2. Dado el conjunto S  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , halle la probabilidad de obtener:
a). Un número par.
b). Un número impar.
c). Un número primo
d). Dos números cuya suma sea menor que 8. Sugerencia: Calcule SxS.
e) Un número mayor que 2 y menor que 8.
3. Al lanzar al aire una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener: a). dos
sellos. b). dos resultados iguales?
7
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4. Una urna contiene 8 balotas rojas, 12 negras y 4 verdes. Halle la probabilidad de
obtener: Cada color, que sea roja o negra, que sea negra o verde y que sea de
cualquier color.
5. Un alumno cree que las posibilidades que tiene de aprobar el examen de admisión a
la universidad son de 2 a 13. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
6. Al lanzar dos dados, calcule la probabilidad de obtener: Una puntuación igual a 8,
una puntuación menor que 4, la máxima puntuación, que la diferencia sea igual a
cero, que la diferencia sea igual 2 y un número par.
7. La siguiente tabla, muestra la preferencia de unas personas por los productos A, B y C.
Producto Personas
a). Halle la probabilidad de preferencia por cada producto.
A
120
b). Halle la probabilidad de preferencia por A o B.
B
240
c). Halle la probabilidad de preferencia por B o C
C
80
d). Halle la probabilidad de preferencia por los tres productos
POSTULADOS O AXIOMAS DE PROBABILIDADES
1.
PARA CUALQUIER EVENTO
Si A es un suceso cualquiera de un espacio muestral S, entonces:
0  P(A)  1. Esto indica, que la probabilidad del evento A es menor o igual a 1 y
mayor o igual a cero (0). O sea, que la probabilidad de un suceso ha de ser cero o un
número positivo menor que 1.
La probabilidad de todo suceso siempre va estar en el intervalo 0, 1
EJEMPLO
Lancemos un dado y hallemos la probabilidad de obtener: Un número par, un
número del dado y un número mayor que 6.
Solución:
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
1  1.
A Un número par. A  2, 4, 6  P( A)  63  12 .
2
B Un número del dado. B  1, 2, 3, 4, 5, 6  S  P( B)  66  1.
C Un número mayor que 6. C  0  P(C )  06  0.
1  1.
0  1.
En consecuencia: 0  12  1
2. PARA EL ESPACIO MUESTRAL
P( S )  1 .
La probabilidad de todo espacio muestral es igual a 1.
 Al lanzar un dado, la probabilidad de obtener un número del mismo.
S  1, 2, 3, 4, 5, 6  P( S )  66  1 .
 Al lanzar una moneda, la probabilidad de que caiga cara o sello.
S  c, s   P(S )  22  1 .
8
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3.
PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes, entonces:
P A  B  P A  PB . La probabilidad de que el uno o el otro ocurran es igual a
la suma de las probabilidades de ambos.
Para tres sucesos, digamos A, B y C, entonces:
P A  B  C   P A  PB  PC  , y así sucesivamente
EJEMPLO 1.
Al lanzar un dado la probabilidad de obtener la mayor puntuación o un número
primo: S  1, 2, 3, 4, 5, 6.
A Mayor puntuación. A  6  P( A)  16 .
B Un número primo. B   2, 3, 5   P( B)  63  12 .
Probabilidad de ambos:
6  8  2  0,66  66% .
P A  B   P A  PB   16  12  212
12 3
EJEMPLO 2.
De los estudiantes de un colegio, el 20% tiene 16 años, el 30% tiene 14 años y el 50%
tiene 12 años. Si uno de los estudiantes del colegio se gano $ 300.000, hallemos la
probabilidad de que el ganador sea uno que tenga: 16 o 14 años y 14 o 12 años.
A Alumno de 16 años. P(A) = 20% = 0,20.
B Alumno de 14 años. P(B) = 30% = 0,30.
C Alumno de 12 años. P(C) = 50% = 0,50
Probabilidad de que el ganador tenga 16 o 14 años:
P(A  B) = P(A) + P(B) = 0,20 + 0,30 = 0,50 = 50%.
Probabilidad de que el ganador tenga 14 o 12 años:
P(B  C) = P(B) + P(C) = 0,30 + 0,50 = 0,80 = 80%.
EJEMPLO 3.
Una urna contiene 8 bolas rojas, 6 blancas y 2 azules. Hallemos la probabilidad de:
a)
Sacar una bola roja.
b)
Sacar una bola blanca
c)
Sacar una bola azul
d)
Sacar una roja o una azul
Solución:
A  roja  A  8.
B  blanca  B  6.
Total de bolas  8  6  2  16
8  1.
P ( A)  16
2
6  3.
P( B)  16
8
C  azul  A  6.
2 1
P(C )  16
8
 2  10  5 .
Roja o azul: P A  C   P A  PC   12  18  816
16 8
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4.
PARA EL COMPLEMENTO
 
Si A c es el complemento de A, entonces: P Ac  1  P A . En consecuencia:
P Ac  P A  1 . La suma de una probabilidad con su complemento es igual a 1.
 
S
A
A
EJEMPLO
Lancemos un dado y para cada suceso, hallemos la probabilidad de su complemento:
a). Obtener un número impar.
b). Obtener un número menor que 3. c). Obtener la máxima puntuación.
Solución:
S  1, 2, 3, 4, 5, 6
 A Obtener un número impar: A  1, 3, 5   P ( A)  63  12
A c  Obtener un número par, es el complemento: P Ac  1  P A  1  12  12 .
 B Obtener un número menor que 3: B  1, 2   P( B)  62  13 .
 
B c  Obtener un número mayor que 3, es el complemento:
P B c  1  PB   1  13  23 .
 
 C Obtener la máxima puntuación: C  6   P(C)  61 .
C c  No obtener la máxima puntuación, es el complemento:
P C c  1  PC   1  16  56 .
 
EJERCICIOS
a).
Se lanza un dado y una moneda, halle: La probabilidad de obtener una cara y un
número menor que 4, un sello y un número mayor que 4, una cara y un número
menor 4 o un sello y un número mayor que 4, una cara y un número par o un
sello y un número primo.
b).
La siguiente tabla muestra la preferencia de unos usuarios por cuatro productos.
Artículos
A
B
C
D
c).
Usua  Halle la probabilidad de preferencia por cada
rios
artículo
80
 La probabilidad de preferencia de los artículos:
100
A o B, A o C; A, B o C y A, C o D.
30
 La probabilidad de preferencia de los cuatros
40
La probabilidad de que 4 clientes de un supermercado escojan un carro, un juego
de cama, una bicicleta y un mercado, son respectivamente: 0,04; 0,12; 0,33 y
0,46. Halle:
 La probabilidad de seleccionar cada artículo.
 La probabilidad de seleccionar un carro, un juego de cama o una bicicleta.
10
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 La probabilidad de seleccionar un mercado o una bicicleta.
 La probabilidad de seleccionar un carro o un mercado.
d).
En una bolsa hay 4 balotas rojas, 5 negras, 9 verdes y 10 amarillas. Halle:
 La probabilidad de obtener una roja o una amarilla
 La probabilidad de obtener una negra o una verde
 La probabilidad de obtener una amarilla, una verde o una negra.
e).
En un colegio, el 40% de los estudiantes perdió Matemática, el 25% perdió
Química y el 20% perdió Español. Halle:
 La probabilidad de que un estudiante haya perdido Matemática o Química.
 La probabilidad de que un estudiante haya perdido Español o Química.
 La probabilidad de que no haya perdido ninguna de las tres.
f).
Se lanzan tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de no obtener
exactamente dos caras?
Se arrojan dos dados comunes, ¿cuál es la posibilidad de que la suma de los
puntos no sea: 7, 8, 5, 4.
Una encuesta a lectores reveló que 0,40 leen el Tiempo y 0,25 leen el Espectador.
¿Cuál es la posibilidad de que un lector no lea el Tiempo ni el Espectador?
g).
h).
5. PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTES
Si A y B son dos sucesos independientes, entonces:
P A  B  P A  PB . La probabilidad de que los dos sucesos ocurran, se halla
multiplicando las probabilidades de cada suceso.
Para tres sucesos, digamos A, B y C : P A  B  C   P A  PB  PC  , y así
sucesivamente.
EJEMPLO 1.
Un inversionista compra dos acciones. Las probabilidades de que los precios de las
acciones aumenten son 0,4 y 0,3 respectivamente. Hallemos:
 La probabilidad de que los precios de las acciones aumenten.
 La probabilidad de que los precios de las acciones no aumenten.
Solución:
A Primera acción: P A  0,4 .
B Segunda acción: PB   0,3 .
Probabilidad de que aumenten: P A  B  P A  PB  0,4  0,3  0,12  12%
La probabilidad de que las acciones no aumenten es el complemento de la probabilidad
de las acciones aumenten, entonces:
c
P A  B  1  P A PB .
P A  B  1  P A PB  1  0,12  0,88  88% . Probabilidad de que la acciones
no aumenten.
c
11
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EJEMPLO 2.
Una bolsa contiene 4 bolas negras y 6 bolas rojas; otra bolsa contiene 7 bolas negras y 5
bolas rojas. Si se escoge una bola de cada bolsa, hallemos la probabilidad de que:
a) Ambas sean negras. b) Ambas sean rojas. c) Una sea negra y la otra roja.
Solución:
A1  Bola negra primera bolsa.
A2  Bola roja primera bolsa.
B1  Bola negra segunda bolsa.
B2  Bola roja segunda bolsa.
Entonces: A1  4.
B1  7.
A2  6.
B2  5.
Total bolas primerabolsa  10.
Total bolas segundabolsa  12.
  
6  5   3
 B   P A   PB   10
12
10
4 7  7 .
a). Ambas sean negras: P A1  B1   P A1   PB1   10
12
30
b). Ambas sean rojas: P A2
2
2
Estos sucesos son
independientes
porque, el extraer
una bola de un color
de la primera bolsa,
no tiene nada que
ver con la extracción
del la misma color
o de otro color de la
segunda bolsa.
2
c). Una sea negra y la otra roja: Este suceso o evento equivale a: Extraer una
negra en la bolsa uno (1) y una roja en la bolsa dos (2) o una roja en la bolsa uno
y una negra en la bolsa dos. Esto es:
sucesos son
A1  B2  A2  B1 , esto muestra, que los
mutuamente excluyentes. Luego:
P A1  B2  A2  B1   P A1  B2   P A2  B1   P A1   PB2   P A2   PB1 
        
4 5  6 7  1 7  7  0,058  5,8%
P A1  B2  A2  B1   10
12
10 12
6 20
120
EJERCICIOS
1. Se lanzan dos dados, halle la probabilidad de que la suma de los números sea: 4 y 8,
3 y 10, 12 y 7.
2. Se lanzan una moneda y un dado, halle la probabilidad de que salga una cara y un
número menor que 3 y un sello y un número mayor que 4.
3. Un cliente compra tres artículos. La probabilidad de que por cada artículo se haga
una rebaja, son respectivamente 13%, 25% y 40%.
 ¿Cuál es la probabilidad de que se haga una rebaja por los dos primeros artículos?
 ¿Cuál es la probabilidad de que se haga una rebaja por los dos últimos artículos?
 ¿Cuál es la probabilidad de que se haga una rebaja por los tres artículos?
 ¿Cuál es la probabilidad de que no se haga ninguna rebaja por los tres artículos?
4. Dos socios tienen 38 y 40 años, respectivamente. Si la probabilidad de que una
persona de 38 años viva por lo menos 30 años es de 0,64 y la probabilidad de que una
persona de 40 años viva por lo menos 30 años es de 0,45.
 ¿Cuál es la posibilidad de que ambos socios estén vivos dentro de 30 años?
 ¿Cuál es la posibilidad de que ambos socios no estén vivos dentro de 30 años?
12
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
5. En una tienda hay tres urnas: La primer contiene 4 bolas negras y 12 azules, la
segunda contiene 10 bolas negras y 5 azules y la tercera, 2 negras y 4 azules.
Si se extrae una bola de cada urna, halle la probabilidad de que:
a).
Ambas sean negras y extraídas de la primera y segunda urna.
b). Ambas sean azules y extraídas de la primera y tercer urna.
c). Las tres sean azules extraídas de las tres urnas.
d). Una sea negra y la otra sea azul extraídas de las tres urnas.
6. Si A y B son dos sucesos independientes y P(A) = 0,35 y P(B) = 0,56. Halle:
P(A  B). P(A  B).
P(A  B)
REGLA DE LA CADENA
Esta regla se aplica a dos sucesos que son mutuamente excluyentes y que puede ocurrir
el uno, el otro o ambos a la vez.
Para dos sucesos, digamos A y B, la regla es:
P A  B  P A  PB  P A  B . La probabilidad de que A o B ocurran es igual a la
probabilidad de que A ocurra más la probabilidad de que B ocurra menos la
probabilidad de que A y B ocurran simultáneamente.
P A  B , se denomina probabilidad conjunta.
F
A
B
A
AFE
AB
E
Para tres sucesos, digamos A, F y E, la regla es:
P A  F  E   P A  PF   PE   P A  F   P A  E   PF  E   P A  F  E 
EJEMPLO 1.
Los empleados de de una fábrica deben afiliarse a dos clubes sociales. 48 se afiliaron al
primer club, 80 se afiliaron al segundo y 30 se afiliaron a los dos.
Hallemos:
a) La probabilidad de que un empleado escoja el primer club únicamente
b) La probabilidad de que un empleado escoja el segundo club únicamente
c) La probabilidad de que un empleado escoja el primer, el segundo club o ambos
Solución:
Elaboremos el siguiente esquema:
A
18
B
30
50
A  Primer Club  A = 48
B  Segundo Club  B = 80
Como hay 30 que pertenecen a los dos
clubes, entonces:
Únicamente al primer club: 48  30 = 18
Únicamente al segundo club: 80  30 = 50
Espacio muestral: S = 18 + 30 + 50 = 98
13
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
A  Primer club.
S = 98 empleados.
a)
c)
B  segundo club.
18
50
 18,36%.
b) P (50) 
 51,02%.
98
98
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )  48,97%  81,63%  30,61%  99,99%
P (18) 
P ( A) 
48
 48,97%.
98
P( B) 
80
 81,63%.
98
P( A  B) 
30
 30,61%.
98
EJEMPLO 2.
Un recuento de 500 estudiantes que cursan álgebra, física y estadística reveló los
siguientes números: 329 en álgebra, 186 en física, 295 en estadística, 83 en álgebra y
física, 217 en álgebra y estadística y 63 en física y estadística.
a  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en las tres?
b  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en álgebra pero no estadística?
c  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en física pero no álgebra?
d  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en estadística pero no física?
e  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en álgebra o estadística?
f  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en álgebra solamente?
g  Halle la probabilidad de cada suceso.
h  Halle la probabilidad de que un estudiante este matriculado en álgebra, física,
estadística o en las tres
Solución:
A = álgebra.
F = física.
A = 329.
F = 186.
E = 295.
E = estadística
AF = 83.
AE = 217. FE = 63.
Para hallar el número de estudiantes matriculados en las tres, hacemos uso de la
siguiente expresión:
(A + F + E) = A + F + E  AF  AE  FE + AFE
500 = 329 + 186 + 295  83  217  63 + AFE  AFE = 53 estudiantes están
matriculados en las tres…
Gráfica:
A
F
30
93
82
53
10
164
68
E
14
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
ANÁLISIS:








53 estudiantes pertenecen a las tres ...
Como hay 83 en álgebra y física, entonces: 83  53 = 30 en álgebra y física únicamente
Como hay 217 en álgebra y estadística, entonces: 217  53 = 164 en álgebra y estadística
únicamente
Como hay 63 en estadística y física, entonces: 63  53 = 10 en álgebra y física únicamente
Como hay 83 en álgebra y física, entonces: 83  53 = 30 en álgebra y física únicamente
Como en álgebra hay 329, entonces: 329  53  30  164 = 82 en álgebra solamente
Como en física hay 186, entonces: 186  53  30  10 = 93 en física únicamente
Como en estadística hay 295, entonces: 295  53  10  164 =6 8 en estadística solamente
Respuestas…..analizando la gráfica
a  En las tres hay 53 estudiantes matriculados
b  Álgebra pero no estadística: 82 + 30 = 112 estudiantes
c  Física pero no álgebra: 93 + 10 = 103 estudiantes
d  Estadística pero no física: 164 + 68 = 232 estudiantes
e  Álgebra o estadística: 82 + 164 + 68 = 314 estudiantes
f  Álgebra solamente: 82 estudiantes
PROBABILIDADES:
a  De escoger un estudiante que esté matriculado en las tres:
53
P( A  F  E ) 
 0,106  10,6%...........Halle las demás probabilid ades
500
EJERCICIOS
1.
20 operarios de una fábrica manejan a la perfección dos máquinas. El doble de
operarios maneja a la perfección únicamente la primera máquina y el triplo de
operarios maneja a la perfección solamente la segunda…
a  ¿Cuántos operarios manejan la primera máquina?
b  ¿Cuántos operarios en total manejan las dos máquinas?
c  Halle la probabilidad de cada suceso anterior.
d  Halle la probabilidad de que un operario maneja la primera, la segunda o
en ambas.
2. 198 alumnos de la I.E.N.S.Q se presentaron a dos prácticas deportivas.
25 alumnos participaron de las dos prácticas, 80 alumnos participaron en la
primera y 60 alumnos, en la segunda.
a) ¿Cuántos alumnos participaron únicamente en la primera práctica?
b) ¿Cuántos alumnos no participaron en ninguna práctica?
c) ¿Cuántos alumnos en total participaron en las dos prácticas?
d) Halle la probabilidad de cada suceso anterior.
e) Halle la probabilidad de que un estudiante haya participado en la primera,
en la segunda o en ambas.
15
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
3.
200 alumnos de la normal se presentaron a tres pruebas pruebas deportivas:
Atletismo, Fútbol y Voleybol. 80 alumnos participaron en Atletismo, 50 en Fútbol y
70 en Voleybol. 20 alumnos participaron en las tres, 25 alumnos participaron en
Atletismo y Fútbol, 30 alumnos participaron en Fútbol y Voleybol y 28 alumnos
participaron en Atletismo y Voleybol.
a)
¿Cuántos alumnos participaron únicamente en Atletismo?
b)
¿Cuántos alumnos participaron únicamente en Voleybol?
c)
¿Cuántos alumnos participaron en Atletismo o Fútbol?
d)
¿Cuántos alumnos participaron en Atletismo y Fútbol?
e)
Halle la probabilidad de cada suceso anterior.
f)
Halle la probabilidad de que un estudiante haya participado en la primera,
en la segunda, la tercera o en las tres.
4. Un grupo de 450 estudiantes presentaron tres exámenes, uno de matemáticas, uno
biología y otro de estadística. Los resultados fueron los siguientes: 180 aprobaron
matemáticas, 240 biología, 145 estadística, 15 matemáticas y biología, 20 biología y
estadística, 10 matemáticas y estadística.
a  ¿Cuántos estudiantes aprobaron las tres?
b  ¿Cuántos estudiantes aprobaron matemáticas solamente?
c  ¿Cuántos estudiantes aprobaron biología pero no estadística?
d  e  ¿Cuántos estudiantes aprobaron matemáticas o estadística?
e f  Halle la probabilidad de cada suceso anterior.
g  Halle la probabilidad de que un estudiante haya aprobado matemática, biología,
estadística o las tres.
PROBABILIDA CONDICIONAL
Como su nombre lo indica, es la probabilidad que está sometida a una o más
condiciones, es decir, la ocurrencia de un suceso depende de la presencia de otro suceso,
los cuales están muy ligados entre sí.
Si A y B son dos sucesos, La probabilidad de que B ocurra después de que A ha ocurrido, se
calcula con la siguiente expresión:
P  B / A 
P A  B 
, indica que B ocurre si y sólo si ya ocurrió A.
P  A
EJEMPLO 1.
Una bolsa tiene 4 bolas rojas, 6 bolas negras y 3 bolas amarillas. Hallemos la probabilidad de:
a). Sacar una bola roja después de haber extraído una negra.
b). Extraer una bola amarilla después de haber sacado una roja y otra negra.
Solución:
S  4  6  3  13 bolas  Espaciomuestral
a). Sea B el suceso de sacar una bola roja y A el evento de sacar una bola negra.
Es claro, que después de extraer la bola negra, el espacio muestral para el suceso B
4 1
 .
es diferente (12 bolas), entonces: PB / A 
12 3
16
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
b). Sea K el suceso de sacar una bola amarilla después de haber sacado una roja y otra negra.
Es obvio, que después de extraer dos bolas, el espacio muestral para la tercera bola se
reduce en dos (quedan 11 bolas), entonces: P C / AB 
3
11
EJEMPLO 2.
Sea el experimento de lanzar un par de dados. Si apareció un total de 7 puntos, hallemos la
probabilidad de que uno de ellos sea un cinco (5).
Solución:
A  Sacar 7 puntos.
B  Aparece un 5.
A  1, 6 , 2, 5, 3, 4 , 5, 2 , 4, 3, 6, 1 
B   2, 5, 5, 2   
Luego: PB / A 
P A  B 
P A
P B  
2
.
36
S = 36, para el lanzamiento de dos dados.
P  A 
6
.
36
Es lo mismo que P  A  B  
2
.
36
2
36

 2  1 , esta es la probabilidad de que B ocurra.
6
6 3
36
EJERCICIOS
1.
2.
3.
4.
5.
Sea P A  0,5. PB   0,7. P A  B   0,25.
Halle: PB / A .
En una urna hay 8 votos rojos y 7 votos blancos.
a). Halle la probabilidad de sacar un voto rojo, después de haber sacado uno
blanco.
b). Halle la probabilidad de sacar dos votos blancos, después de haber
extraído 4 rojos.
En una bolsa hay 8 balotas rojas, 6 amarillas y 4 azules.
a). Halle la probabilidad de sacar una balota roja, después de haber sacado
dos amarillas.
b). Halle la probabilidad de sacar una azul, después de haber extraído 5 rojas
y dos amarillas.
c). Halle la probabilidad de sacar una amarilla, después de haber sacado una
roja y otra azul.
En cierto colegio, el 30% de los estudiantes perdió matemáticas, el 25%
química y el 10% perdió las dos asignaturas. Si se selecciona un estudiante al
azar:
a). Si perdió química, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido
matemática?
b). Si perdió matemática, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido
química?
c). ¿Cuál es la probabilidad de que haya perdido matemática o química?
Se lanzan dos dados. Si apareció un total de 8 puntos, halle la probabilidad de
que uno de ellos sea un 3.
17
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
LA PROBABILIDAD Y EL ANÁLISIS COMBINATORIO
ESPACIO MUESTRAL
Al relacionar estos dos temas, el espacio muestral de todos los casos posibles, viene
n
dado por la combinación   entre el grupo (conjunto) y el subgrupo (subconjunto).
r 
EJEMPLO 1.
En una reunión hay 7 personas entre hombres y mujeres, hallemos el espacio muestral
del evento de escoger tres personas o terna.
Solución:
Solo debemos determinar, ¿de cuántas formas pueden escogerse 3 personas de 7 que
hay en la reunión? Esto es:
n  7.
r  3.
 n 7
7!
7  6  5  4! 7  6  5
210
210
     




 35 , este es el espacio
3! 4!
3!
3  2 1
6
 r   3  3! (7  3)!
muestral.
EJEMPLO 2.
Una caja contiene 4 bolas rojas y 9 bolas negras, determinemos el espacio muestral par
el suceso de escoger 5 bolas.
Solución:
n  4  9  13  total de bolas.
r  5  bolas a escoger .
 n  13 
13!
13  12  11  10  9  8! 13  12  11  10  9
154440
     



5! 8!
5!
5  4  3  2 1
 r   5  5! (13  5)!

154440
 1287
120
EJERCICIOS
1.
En el campeonato mundial sub 20 realizado en Colombia clasificaron 24
selecciones, halle el espacio muestral para formar un grupo de 4 equipos.
2.
En una urna hay urna hay 20 votos para el candidato A, 16 para el B y 10 para el
C, halle el espacio muestral de extraer:
a).
4 votos del A y 2 del C.
b).
5 votos de cada uno
3. En una caja hay 12 bolas rojas, 10 azules y 8 blancas, halle el espacio muestral de
extraer 3 bolas rojas, 4 azules y 2 blancas.
18
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON ANÁLISIS COMBINATORIO
EJEMPLO 1.
En una reunión hay 7 personas entre hombres y mujeres, hallemos la probabilidad de
que al escoger tres personas una de ella sea una mujer.
Solución:
De las 7 personas escogemos las 3 personas y de las 3, una es una mujer, entonces:
El espacio muestral es: n  7.
r  3.
 n 7
7!
7  6  5  4! 7  6  5
210
210
     




 35
3! 4!
3!
3  2 1
6
 r   3  3! (7  3)!
 3
3!
3  2! 3
Las formas de escoger una mujer de tres personas es:   

 3
1  1! (3  1)! 1! 2! 1
 3
 
1 
3
La probabilidad es:   
 0,085  8,56%
 7  35
 
3
 
EJEMPLO 2.
En una urna hay 10 boletas de las cuales 4 están dañadas. Si se escoge al azar 5 boletas,
hallemos la probabilidad de que 2 estén dañadas y la probabilidad igual a esta.
Solución:
De las 10 boletas debemos escoger 5, el espacio muestral es:
n  10
r  5.
 n  10 
10!
10  9  8  7  6  5! 10  9  8  7  6
     


 252
5
!

(
10

5
)!
5! 5!
5!
 r  5 
Las 2 boletas dañadas se sacan de las 5 escogidas:
5
5!
5  4  3! 5  4
  


 10
2! 3!
2!
 2  2! (5  2)!
5
 
 2
10
5
La probabilidad es:   

 0,039  3,96%
10  252 126
 
5 
 
La probabilidad igual a la anterior, es la que resulta de la combinación igual a la de las
2 boletas dañadas de las 5 extraídas. El espacio muestral es el mismo.
Combinación igual:
 5   5   5
5!
5  4  3! 5  4
   
    


 10 . Esto quiere decir, que la
3
!

(
5

3
)!
3
!

2
!
2
!
2
5

2
3
  
  
probabilidad de escoger 2 defectuosas de 5 es la misma de escoger 3 dañadas de 5.
19
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
 5
 
 3
10
5
probabilidad igual es:   

 0,039  3,96% .
10  252 126
 
5 
 
EJEMPLO 3.
Una caja contiene 4 bolas rojas y 8 bolas negras, determinemos la probabilidad de que
al escoger 6 bolas, 1 sea roja y 5 negras y la probabilidad igual.
Solución:
n  4  8  12  total de bolas.
r  6  bolas a escoger : 1 roja y 5 negras
Espacio muestral:
 n  12 
12!
12  11  10  9  8  7  6! 12  11  10  9  8  7
     


6! 6!
6!
 r   6  6! (12  6)!

12  11  10  9  8  7 665280

 924
720
720
De las 4 rojas se escoge 1:
 4
4!
4  3! 4
  

 4
1  1! (4  1)! 1! 3! 1!
De las 8 negras se escogen 5:
8
8!
8  7  6  5! 8  7  6
  


 56
5! 3!
3!
 5  5! (8  5)!
La probabilidad es:
 4  8 
  
1  5 
   4  56 224


 0,242  24,2%
924
924
12 
 
5 
 
La probabilidad igual a la anterior, es la que resulta de la combinación igual a la de las
4 rojas se escoge 1 y de las 8 negras se escogen 5. El espacio muestral es el mismo.
Combinaciones iguales:
 4  4   4
4!
4  3! 4
   
    

  4 . Esto quiere decir, que la probabilidad de
1   4  1  3  3! (4  3)! 3! 1! 1!
escoger 1 roja de 4 es la misma de escoger 3 rojas de 4.
8  8  8
8!
8  7  6  5! 8  7  6 336
   
    



 56 . Esto quiere decir, que la
3
!

(
8

3
)!
3! 5!
3!
6
5
8

5
3
  
  
probabilidad de escoger 5 rojas de 8 es la misma de escoger 3 rojas de 8.
La probabilidad igual es:
 4  8   4  8 
     
1  5   3  3 
      4  56 224



 0,242  24,2%
924
924
12 
12 
 
 
5 
5 
 
 
20
MARCOSPB – MATEMÁTICA ANÁLISIS -- PROBABILIDAD -- 2010
EJERCICIOS
1.
En el campeonato mundial sub 20 que se celebró en Colombia asistieron 24
equipos distribuidos en 6 grupos de 4 equipos cada uno, identificados con la
letras A, B, C, D, E y F. ¿Cuál es la probabilidad de que el campeón salga del
grupo A y la probabilidad igual.
2.
En la NSQ de un grupo de 10 estudiantes formado por 6 mujeres y 4 hombres, se
van a elegir por votación: 1 personero, 1 representante al consejo directivo y 3
representantes al consejo estudiantil (para ocupar los cargos de presidente,
secretario y tesorero). Halle la probabilidad de que los estudiantes elegidos sean
3 mujeres y 2 hombres, y la probabilidad igual a esta.
3.
Una caja contiene 4 cartas rojas, 6 cartas azules y 8 cartas amarilla. Si se sacan al
azar 8 cartas, halle la probabilidad de que sean:
a).
Todas rojas.
b).
5 azules y 3 rojas.
c).
2 rojas, 5 amarillas y 1 azules y la probabilidad igual.
d).
Una de cada color.
e).
Ninguna es azul.
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA:

LUIS P. BELTRÁN B., BENJAMÍN P. RODRÍGUEZ S Y MÓNICA S. DIMATÉ. Prentice Hall,
Matemática con Tecnología Aplicada. Bogota-Colombia 1996.

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