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Revista EIA, ISSN 1794-1237 Número 10, p. 31-43. Diciembre 2008
Escuela de Ingeniería de Antioquia, Medellín (Colombia)
CURVAS PARALELAS EXPLÍCITAS DE LAS CURVAS CÓNICAS
NO DEGENERADAS PARA EL TORNEADO CNC DE LENTES
Y ESPEJOS ASFÉRICO-CÓNICOS
Juan Camilo Valencia*
Álvaro Hernán Bedoya**
RESUMEN
Este artículo presenta el método para obtener, en coordenadas cartesianas, las líneas curvas paralelas de las
curvas cónicas no degeneradas, por métodos analíticos y numéricos. Se define el offset como una función paralela
a la función original a una distancia r. El offset de una cónica es importante para los procesos de fabricación de
mecanismos, lentes, espejos y moldes; especialmente en el torneado con control numérico computarizado (CNC)
de superficies de revolución con secciones cónicas, usando buriles de diamante con punta de radio r. También se
presenta una técnica refinada usando interpolación circular segmentaria para construir numéricamente el offset de
una parábola, que también puede usarse como modelo para determinar el offset de la elipse y de la hipérbola.
PALABRAS CLAVE: CNC; elipse; hipérbola; lente; offset; parábola.
Explicit parallel curves of non-degenerate conic curves for
the turned CNC of aspheric-conic lenses and mirrors
ABSTRACT
This paper presents the method to obtain, in Cartesian coordinates, the parallel curve lines of non-degenerate
conical curves, by analytical and numerical methods. Offset is defined as parallel function to the original function
to a distance r. Offset of a conic is important for the manufacturing processes of mechanisms, lenses, mirrors, and
molds; especially in the turning with computerized numerical control (CNC) of surfaces of revolution with conical sections, using diamond tools of radio r. Also a refined tip technique using segmental circular interpolation
to numerically construct the parabola offset is presented, that also can be used as model to determine offsets of
ellipse and hyperbola.
KEY WORDS: CNC; ellipse; hyperbola; lens; offset; parabola.
* Ingeniero de Producción y candidato a Magíster en Matemáticas Aplicadas, Universidad EAFIT. Profesor Asistente,
Escuela de Ingeniería de Antioquia. [email protected]
** Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad de Antioquia. Candidato a Maestría en Matemáticas Aplicadas,
Universidad EAFIT. [email protected]
Artículo recibido 28-IV-2008. Aprobado 9-XII-2008
Discusión abierta hasta junio de 2009
Curvas paralelas explícitas de las curvas cónicas no degeneradas...
1.
INTRODUCCION
El concepto del offset de las curvas planas ha sido estudiado desde Leibniz en 1692,
en Generalia de natura linearum, anguloque contactus et osculi provocationibus allisque cognatis et eorum usibus nonnullis. Numerosos métodos matemáticos y computacionales se han
desarrollado con técnicas de análisis numérico (Abłamowicz y Liu, 2006). Gracias al notable
avance en el desarrollo de software, hoy es posible obtener soluciones analíticas explícitas
para encontrar las raíces de los polinomios característicos de grado superior. Las soluciones
explícitas reducen considerablemente el tiempo de cómputo y dan una descripción matemática mucho más simple que la mayoría de las técnicas con análisis numérico (Aigner, 1997).
El offset de líneas rectas o curvas se requiere en las modernas máquinas con control
numérico computarizado (CNC) y se especifica comúnmente como la “corrección de herramienta”. La trayectoria de la herramienta de corte se efectúa siguiendo la geometría del
offset para obtener la geometría esperada, con una distancia de paralelismo correspondiente
al radio r de la punta de la herramienta.
Este artículo presenta las soluciones analíticas para el offset de las curvas cónicas no
degeneradas, restringidas a una distancia de paralelismo r menor que el mínimo radio de
curvatura, ya que su uso se cumple generalmente con esta condición. Adicionalmente se
presenta un método numérico para obtener el offset de una parábola. 2.
OFFSET ANALÍTICO DE UNA PARÁBOLA
Se consideran dos parábolas suplementarias con vértices en el origen que se expresan
como
z=±
x2
4f
con f > 0 (1)
donde f es la distancia focal, y el signo está definido según el sentido del maquinado, ya sea
cóncavo o convexo.
En los puntos P(x0, ± z0), las ecuaciones de las rectas normales a las parábolas respectivas son de la forma:
§2 f ·
z = # ¨¨ ¸¸ x + z0 ± 2 f
(2)
x
© 0¹
con x0 ≠ 0 y z0 = ±
los puntos P:
x02
. Construyendo unas circunferencias con radio r y con centro en
4f
z = z0 ± r 2 − ( x − x0 ) 2
32
(3)
Revista EIA
donde las normales intersecan las respectivas circunferencias en dos puntos, cada una, si
r > 0 y r menor que el mínimo radio de curvatura, que pertenecen al offset cóncavo y
convexo. Igualando (2) con (3) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para
x0 se obtienen las funciones del offset explícitas y reales, de manera recurrente:
donde las normales intersecan las respectivas circunferencias en dos puntos, cada una, si
2
§
+ cada
x 2 −una,
a) ·¸ysicon1de curvatura,
a 2 que pertenecen
6 x(puntos,
8 foffset
r > 0las
y rnormales
menor que
el1mínimo
radio
al
cóncavo
2circunferencias
donde
intersecan
las
respectivas
en
dos
¨
x0 =
x+d ±
6 x − − 4a − c +
vexo.
(2) con
cuadrado
a ambos
lados, yalresolviendo
para
¨(3) y elevando
¸ yx0 se
r>
0 y Igualando
r menor que
el 2mínimo
radio3dealcurvatura,
pertenecen
offset
d cóncavo
c que
© offset
¹
obtienen
las funciones
del(3)
explícitasaly cuadrado
reales, deamanera
recurrente:
convexo.
Igualando
(2) con
y elevando
ambos lados,
y resolviendo para
(4)
x0 se obtienen las funciones del offset explícitas y reales, de manera recurrente:
( a − c) 2
(4)
3c
f 2 x12 r 2 , c =a 2 a 3 + b +6 x(b8 (f 22 a+ 3x 2+−ba))  d = x 2 +
con a = 4 f 2 + x 2 − r 2 , b =1216

y
x = x+d ±
6 x 2 − − 4a − c +
0
ac 2
6 x(8 df 2 + x 2 −a) ·¸
1 2§ 
13
x0 = ¨ x + d ±
6 x 2 − − 4a − c +
¸
d
2¨
c
3
¹ si,
en (3) se© obtiene el offset de las parábolas, si y solo
Reemplazando (4)
2
2 2 2
corresponde
en
con a =al42 mínimo
f2+
r 2 , b =de216
a 3 vértices
+ b + 3 b(,2a 3 + b)
2 x 2− radio
2 curvatura
2 f2 x r , c
3= los
(4)
r < 2f, 2que
(a − c)
2
2
y d = (ax− c+)
con a = 4 f + x − r , b = 216 f x r , c = a + b + b(2a + b) d = x 2 +
3c
y
3c
2
§1 §
a2 (4) en (3)
+ x2 − a)el·¸·¸offset de la parábola, si y solo si r ≤ 2f, que
1
6x (se
8 fobtiene
2
¨ ¨ x + d −Reemplazando
x
−
−
a
−
c
+
6
4
en c(3) se obtiene el offset
de ¸las
parábolas,
r < 2f, que
¨
¨Reemplazando
d
2 corresponde
§ 1si§y solo si,
3 (4)
al mínimo
radio de curvatura
en¹¸los vértices,
a2
1
6x (8 f 2 + x2 − a) ·¸·¸
©
+ r2 −,¨ x − ¨ x + d −
z = ± ©corresponde al mínimo radio de curvatura en los ¹vértices
6x2 − − 4a − c +
¸¸
¨ 2¨
c
d
4f
3
©
¹¹
©
z =±
§1
¨
¨2
©
§
¨x+d − 1
¨
3
©
6x2 −
a2
6x ( 8 f 2 + x2 − a) ·¸·¸
− 4a − c +
¸¸
c
d
¹¹
4f
§ 1
+ r2 − ¨ x −
¨ 2
©
§
¨x+d − 1
¨
3
©
6x2 −
a2
6x (8 f 2 + x2 − a) ·¸·¸
− 4a − c +
¸¸
c
d
¹¹
(5)
(5)
donde el signo positivo corresponde al offset cóncavo y el signo negativo corresponde al
(5)
offset convexo, según el sentido del maquinado, por lo general se conoce en la industria
donde el signo positivo corresponde al offset cóncavo y el signo negativo corresponde al offset
comodonde
“corrección
aelderecha”
o “corrección
a izquierda”
según
elencorresponde
sentido
delcomo
avance, es
el signo
positivo
corresponde
al offset
cóncavo
y el signo
negativo
convexo,
según
sentido
del maquinado,
que
por lo general
se conocen
la industria al
decir,offset
a“corrección
laconvexo,
derecha
de laeltrayectoria
o laa izquierda
degeneral
la eltrayectoria.
sentido
del maquinado,
por lo
se conoce
en la industria
a según
derecha”
o “corrección
izquierda”
según
sentido
del avance,
es decir, a
como “corrección a derecha” o “corrección a izquierda” según el sentido del avance, es
la derecha de la trayectoria o la izquierda de la trayectoria.
a la1derecha
de la trayectoria
o la izquierda
de la trayectoria.
ladecir,
figura
se presentan
dos parábolas
normalizadas,
es decir, con vértice en
En
el origen
En
la
figura
1
se
presentan
dos
parábolas
normalizadas,
es
decir,
con
vértice
en
el
y susEnrespectivos
offsets
requeridos
paranormalizadas,
el torneadoesCNC
usando
buriles
con radio de la
la figura
1 se
presentan
dos parábolas
decir,
con
vértice
en el origen
origen
y sus
respectivos
offsets
requeridos
para el torneado
CNC,
usando
buriles
con radio
puntay sus
r. respectivos
Según las
normas
para
denominación
de buriles
los ejes
de delasla máquinas
offsets
requeridos
parala
el torneado
CNC usando
con radio
de la punta r. Según las normas para la denominación de los ejes de las máquinas compucomputarizadas
se las
corresponden
la notación de
quelosusa
así, la
punta r. Según
normas para con
la denominación
ejesendeeste
las documento,
máquinas
tarizadas se corresponden con la notación que usa en este documento, así, la ordenada z
computarizadas
se corresponden
la dirección
notación que
en este
así, la
ordenada
z corresponde
eje lineal con
en la
delusa
husillo
de documento,
la maquina.
corresponde eje lineal en la dirección del husillo de la máquina.
ordenada z corresponde eje lineal en la dirección del husillo de la maquina.
Figura 1. Offset cóncavo y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10,
considerando el sentido del maquinado.
Offset1. cóncavo
y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10,
Figura 1.Figura
Offset cóncavo y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10,
considerando el sentido del maquinado.
considerando el sentido del maquinado
Escuela de Ingeniería de Antioquia
33
Curvas paralelas explícitas de las curvas cónicas no degeneradas...
También
explícitamente,
se obtiene
obtiene
mediante
el
algoritmo,
lala solución
TambiénTambién
explícitamente,
se obtiene
mediante
el mismo
algoritmo,
la solución
para para
explícitamente,
se
mediante
el mismo
mismo
algoritmo,
solución
para
del
offset
convexo:
x
=
2
f
z
del offset
offsetconvexo:
convexo:
xx==22 f
f zz del
2
2
3
También explícitamente,3 se obtiene
mediante
el mismo algoritmo,
la solución para
Sea a =3 2( f + z )2 − 27 fr3 y b = − a + 3r − 3(2a 2− 27 fr ) f , el
convexo se
se expresa
Sea el offset convexo
Seax a= =2 2(f fz +del
z )offset
− 27convexo:
fr y b = − a + 3r − 3(2a − 27 fr ) f el offset
, convexo se
,
como: expresa como:
expresa como:
2
Sea a = 2( f + z ) 3 − 27 fr 2 y b = 3 − a + 3r 1−§3(2a − 27 fr 2 )2f 3 2el( offset
se
·
f + z)convexo
3
¨¨ − 2 f 2+342z (+f + ,z) 2 3 +
¸¸
z
4
b
=
§
·
1
0
expresa como:
¨
¸
b+ 4b
z = − 2 f 6+ 4z +
(6)
(6) (6)
©
¹
¸
6 ¨©
b
¹
2
3
0
1§
2 2 ( f + z) 3 ·
z0 = ¨¨ − 2 f + 4z +
(6)
x = 2zb0 + r2+−(42zb−¸¸¹ z0 )2
(7)
6©
x = z0 + r −(z − z0 )
(7) (7)
y el offset cóncavo:
x = z + r2 −(z − z )2
(7)
0
y el offset cóncavo:
y el offset cóncavo:
(
0
3
y el offset cóncavo: z = 1 §¨ − 4 f + 8 z + 2 2 − 1 + i 3
3
0
(
)
) ( f + z)
·
− 3 4 b 1 + i 3 ¸¸ (8)
·
¹
− 3 4 b 1 ·+ i 3 ¸¸ (8)
2
¨
1 §
2 2 −1 + i 3 ( f + z)
z 0 = 1 ¨¨§− 4 12
f +©8 z +23 2 (− 1 + i 3 ) ( f + zb)2
b
z 0 =12 ©¨¨ − 4 f + 8 z +
− 3 4 b ( 1 + i 3 )¸¸
b
12 ©
2
¹
x = z0 − r − (z − z0 )2
2
2
(
(
(8)
(8)
¹
(9)
2
x = z − r − (z − z0 )
x = z0 −0 r2 − (z − z0 )2
)
)
(9)
(9)
(9)
3.
OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE
OFFSET
UNA
ELIPSE
3. OFFSET
OFFSETANALÍTICO
ANALÍTICODE
DE
UNA
ELIPSE
3.3.
ANALÍTICO
DE
UNA
ELIPSE
Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como
Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como
Se considerandos
dossemielipses
semielipses con
en en
el origen,
que se
expresan
como
2 expresan como
Se consideran
convértices
vértices
el origen,
que
xse
z = ±A # A 1−
B2
x2 2
2
2 x x
zz==±±AA#A AB
1 −1 −2
z = ±A # A 1−
(10)
(10)
(10)
donde A y B semiejes, y A > B, donde elBsigno
está definido según el sentido (10)
de
B2
maquinado,
ya sea
o convexo.
donde A
y B semiejes,
y cóncavo
A > B, donde
el signo está definido según el sentido de
maquinado,
sea cóncavo
donde
A y Byasemiejes,
y oAconvexo.
> B, donde el signo está definido según el sentido de
y ya
B semiejes,
y Amétodo
B, donde
el signo
está para
definido
según el sentido
donde AUsando
mismo
analítico
utilizado
determinar
offset dede
la maquinado,
parábola se
maquinado,
seaelcóncavo
o>convexo.
el mismo
método
utilizado para determinar el offset de la parábola se
obtiene
elo offset
deanalítico
una elipse.
yaUsando
sea cóncavo
convexo.
obtiene el offset de una elipse.
Usando el mismo método analítico utilizado para determinar el offset de la parábola se
En los puntos
P(x0método
, z0) la ecuación deutilizado
las rectas normales
a las elipses
respectivas son de
Usando
el mismo
determinar
el offset
obtiene
offsetP(x
de
En losel
puntos
, z0) elipse.
la ecuación deanalítico
las rectas normales apara
las elipses
respectivas
son dede la parábola
0una
la forma:
selaobtiene
forma: el offset de una elipse.
En los puntos P(x0, z0) la ecuación
de las rectas normales a las elipses respectivas 2son de
2
·
x2 § x
x
2
rectas
la forma:En los puntos P(x
B z2 = # Bx02 0,§ z1x0)− la0·ecuación
¨ − 1¸ +de
z 0 ,lascon
x0 ≠ normales
0 y z 0 = ±xA0a #las
A elipses
1 − 0 respectivas
(11)
z=#
son de la forma:A
1 − A2 ¨¨ −B1¸¸2 +¨zx0 , con
¸ x0 ≠ 0 y z 0 = ± A # A 1 − 2
¹
B © x0
B
¹ © 0
(11) B 2
·
x02 § x
x02
B2
¨
¸
z=#
1
−
−
1
+
z
,
con
x
≠
0
y
z
=
±
A
#
A
1
−
0
0
2x 2¨  x
¸ 0
x2 2
B2
z = A
1 −B 02© x 0 −¹1 + z 0 , con x0 ≠ 0 y z 0 = ± A  A 1 −B 02
A
B  x0
B

(11)
(11)
Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos
P(x0, z0):
z = z0 ± r 2 − ( x − x0 ) 2
34
(12)
Revista EIA
Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x0, z0):
z = z0 ± r 2 − ( x − x0 ) 2
(12)
Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x0, z0):
2circunferencias
Construyendo
circunferencias
respectivas
radio r, 2con centros
en los puntos
z0): si
0,(12)
Donde las
normales intersecan
lascon
respectivas
en dosP(x
puntos,
z = zcircunferencias
0 ± r − ( x − x0 )respectivas en dos puntos, si
Donde las normales intersecan las
r > 0, que
2
2
r > 0, que pertenecen al offset cóncavo
z = z0y ±convexo,
r − ( xsegún
− x0 ) el sentido del maquinado. Igualando
(12)
pertenecen al offset cóncavo y convexo, según el sentido del maquinado. Igualando (11)
(11) con
(12) y elevando
al cuadrado
a ambos lados,
y resolviendo
x para>obtener
la
Donde
intersecan
las circunferencias
respectivas
en dos para
puntos,
0, que
obtener la
con
(12)lasynormales
elevando
al cuadrado
a ambos lados,
y resolviendo
para0 six0r para
Donde las
normales
intersecan
las circunferencias
respectivas
en dos puntos,
si r > 0,(11)
que
pertenecen
offsetexplícita
cóncavo
y convexo,
según el sentido
del maquinado.
Igualando
función
delal
offset
y real
función
del offset
explícita
y yreal
pertenecen
al offset
cóncavo
convexo,
del maquinado.
Igualando
obtener(11)
la
con
(12) y elevando
al cuadrado
a ambossegún
lados,el ysentido
resolviendo
para x0 para
con (12)
elevando
al cuadrado
función
delyoffset
explícita
y real a ambos lados, y resolviendo para x0 para obtener la
· (13)
función
y real 2
a2
1 § del offset explícita
1
6 x (2B 4 − a + ( A2 − B 2 ) x 2 )
2
2
¸
(13)
x0 = ¨ x + d #
A
−
B
x
+
−
a
−
−
c
6
(
)
4
4
2
2
2
2
·
¸
d
c
21 ¨©§¨
x
B
−
a
+
A
−
B
x
a
6
(2
(
)
)
12 − B2 )
A
3
(
2
2
2
¸
¹
(13)
x0 = 1 x§ + d #
6 ( A − B ) x + 6 x (2B 4 − a + ( A2 − B 2 ) x 2 )− 4a − a 2− c ·
21
2
d
(13)
x0 =2 ¨© ¨ x + d # 3 ( A − B ) 6 ( A2 − B 2 ) x 2 +
− 4a − c − c¸¹ ¸
2 ¨©
44
2
d
3 ( A2 −2 2B 2 ) 2
22
c
¸
¹
2 2 2
2 2 2 22
BA( B
A2 −( AB222 −
) rB22x222), rc2=x 23 , ac3 =
+ b3 +a 3 b+(b2a+3 + b )(2a 3 + b)
Conaa==BB −− A rr ++((AA −−BB) x) x, b, =b54
Con
= A54
4
2 2
2
2
2
2 2
3
Con a = B − A r + ( A − B ) x , b = 54 A B ( A − B ) r x , c = 3 a 3 + b + b (2a + b)
Con a =2 2B 4 − (Aa2 −−r 2cc)+2)22( A2 − B 2 ) x 2 , b = 54 A2 B 2 ( A2 − B 2 ) r 2 x 2 , c = 3 a 3 + b + b (2a 3 + b)
y
y d d== xx2 ++ (a 22− c) 22 . .
y d = x + 33((A(2a −−
−B
cB2) 2))cc.
y d = x 2 +3( A 2− B )2c .
3( A − B )c
Reemplazando
en
(12)
se obtiene
eldeoffset
de
elipses
suplementarias,
sisiysi,
Reemplazando
(13)enen(13)
(12)
obtiene
el offset
deelipses
laslaselipses
suplementarias,
ysolo
solo si,
Reemplazando
(13)
(12)
sese
obtiene
el offset
las
suplementarias,
si y solo
(13)
en
(12)
se
obtiene
el
offset
de
las
elipses
suplementarias,
si
y
solo
si,
el
radio
de
corrección
es
menor
que
el
radio
de
curvatura
del
círculo
osculador
en
elelsiReemplazando
radio
de
corrección
es
menor
que
el
radio
de
curvatura
del
círculo
osculador
radio de corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el elen el
el
radio
de
corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el
origen,
es
origen,
decir,
origen,
esesdecir,
decir,
origen, es decir,
3
3
2
2
§ §§ dz ·dz
· 22
§¸ 2 ¸·· 32 ·¸
¨1§ +¨¨ dz
+
1
§
·
¨ ¨1¨+© ¨dx¨¹ ¸x =0 ¸ ¸ ¸ B 2
2
¹
© dx
r < ρ = © ¨© © 2© dx
¹ x =0 ¸¹x =0=¹ B=2 B
r
ρ
<
=
r < ρ = d z2 2
= A
d z
A A
d
2z
dx 2x =02
dxdxx =0 x =0
(14)
(14)
(14)
(14)
2
§1§
·· 2
1
6 x (2 B 4 − a + ( A 2 − B 2 ) x 2 )
a2
2
¨ § ¨ x§ + d #
6 ( A 2 − B 2 ) x 2 + 6 x (2 B 4 − a 4+ ( A 2 − B 22) x 2 )−24a −2 a 2− c ¸ ·¸ · 2
··
¨§¨2¨11¨§¨ x + d # 3 ( A 2 1−1B 2 )
¸
2
2
2
¸
¸
6
(
2
(
)
)
a
x
B
a
A
B
x
−
+
−
c
d
2
2
2
¸
6 (6A( A− B− )Bx )+x +
− 4a − − 4−ac¹−¹
¸
©¨
¸¸ − c ¸¸
c
d
z = ± A # A 1 − ©¨ ¨22¨¨©x + d # 3 ( A 2 2− B 2 )2
2
d
¹¹c
©
3
(
)
A
B
−
B
¹¹
z = ±A # A 1− ©
z = ±A # A 1− ©
B2 2
B
2
§
·· 2
1 §
1
6 x (2 B 4 − a + ( A 2 − B 2 ) x 2 )
a2
+ r − ¨ x§ − 1¨ x§ + d #
6 ( A 2 − B 2 ) x 2 + 6 x ( 2 B 4 − a + ( A 2 − B 2 ) x 2 )− 4 a − a 2− c ¸ ·¸ ·
1
2
d
(15)
+ r 2 §−¨© ¨ x −2 ¨©§ ¨ x + d # 3 ( A 2 − B 2 )
6 ( A2 − B 2 ) x 2 +
− 4 a − c − c¸ ¸ ¸
··
21
2
6 x ( 2 B 4 d− a + ( A 2 − B 2 ) x 2 ) c ¹ ¸¹ ¸a 2
¨ 12¨¨
2
2
2
2
¨
¸
3
(
A
−
B
)
¸
©x + d #
+ r − x© −
6 (A − B ) x +
− 4 a −¹ ¹ − c
2
¨
©
2 ¨©
3 ( A2 − B 2 )
d
c
¸¸
¹¹
(15)
(15)
La2figura
2 muestra
offsetuna
para
una semielipse
normalizada
sin considerar
el sentido
(15)
La figura
muestra
el offsetelpara
semielipse
normalizada
sin considerar
el sentido
del
La
figura
2
muestra
el
offset
para
una
semielipse
normalizada
sin
considerar
el
sentido
del
del
maquinado
en
el
eje
z.
maquinado en el eje z.
maquinado en el eje z.
La figura 2 muestra el offset para una semielipse normalizada sin considerar el sentido del
Las interfases
elípticas e hiperbólicas
de revolución
son importantes
en la óptica
industria
Las interfases
de revolución
son importantes
en la industria
maquinado
enelípticas
elelípticas
eje z.e ehiperbólicas
Las
interfases
hiperbólicas
de
revolución
son
importantes
en
la
industria
óptica
óptica
para la fabricación
deespeciales
lentes especiales
alta precisión,
por lo el
tanto,
el uso
del
offset
para
la fabricación
de lentes
de alta de
precisión,
por lo tanto,
uso del
offset
es
para
la
fabricación
de
lentes
especiales
de
alta
precisión,
por
lo
tanto,
el
uso
del
offset
es
es
necesario
para
garantizar
la
calidad
geométrica.
necesario para garantizar la calidad geométrica.
Las
interfases
e hiperbólicas
de revolución son importantes en la industria óptica
necesario
paraelípticas
garantizar
la calidad geométrica.
para la fabricación de lentes especiales de alta precisión, por lo tanto, el uso del offset es
necesario para garantizar la calidad geométrica.
Escuela de Ingeniería de Antioquia
35
Curvas paralelas explícitas de las curvas cónicas no degeneradas...
Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para z = A − A 12− x 22 / B 2
Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para z = A − A 1 − x / B con A = 200,
con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado
=100,
r =de
5, una
sin considerar
sentido del
maquinado.
FiguraB 2.
Offset
semielipse,elcóncavo
y convexo,
para z = A − A 1 − x 2 / B 2 con A = 200,
B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
OFFSET
ANALÍTICO
DEHIPÉRBOLA
UNA
Figura4.
2. Offset
de una
semielipse,
cóncavo
convexo,
para z =HIPÉRBOLA
A − A 1 − x / B con A = 200,
4.
OFFSET
ANALÍTICO
DEy UNA
2
2
B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
4.
OFFSET ANALÍTICO DE UNA HIPÉRBOLA
Se
seseexpresan
como
Seconsideran
consideranlas
lassemihipérbolas
semihipérbolascon
convértices
vérticesenenelelorigen,
origen,que
que
expresan
como
4. consideran
OFFSET
ANALÍTICOcon
DEvértices
UNA HIPÉRBOLA
Se
las semihipérbolas
en el origen,2que se expresan como
x
z = # A ± A 21 + 2
(16)
x xque
2 Bse expresan como
Se consideran las semihipérbolas con vértices en el origen,
z =z=A#±AA± A1 +1 + 2
(16)(16)
2
B B 2
donde A y B semiejes, y A > B, donde el
x signo está definido según el sentido de
= # A ± A 1+ 2
(16)
maquinado, ya sea cóncavo o zconvexo.
B
donde
B semiejes,
> B,eldonde
el signo
estásegún
definido
segúndeelmaquinado,
sentido de
y A > yB, Adonde
signo está
definido
el sentido
con A yAB ysemiejes,
maquinado,
sea
cóncavo
ya
seaUsando
cóncavo
omismo
convexo.
algoritmo
en las
cónicas
anteriores
obtiene
el offsetdeanalítico de
donde
A y Byaelsemiejes,
y A o>convexo.
B, que
donde
el signo
está
definido se
según
el sentido
la hipérbola:
maquinado,
ya sea cóncavo o convexo.
Usando
el mismo
algoritmo
delas
las cónicas
secciones
2 y 3, se se
obtiene
el offset
analítico
de la
Usando
el mismo
algoritmo
que en
anteriores
obtiene
el offset
analítico
de
hipérbola:
la
hipérbola:
Usando el mismo
algoritmo que en las cónicas anteriores se obtiene
el offset analítico de
·
1§
1
6 x ( 2 B 4 − a + ( A2 + B 2 ) x 2 )
a2
la hipérbola:
6 ( A2 + B 2 ) x 2 +
x0 = ¨ x + d #
− 4a − − c ¸
2
2
2 ¨©
d
c · ¸¹
1 §¨
13 ( A + B ) 2
6 x4( 2 B 4 − a2 + ( A2 2 +2 B 2 ) x 2 ) 2
a2
2
2
6 ( A + B ) x6 x+( 2B − a + ( A + B ) x )
x0 = 1 § x + d #
−c¸
1
a− 4a −· (17)
¸
d
x0 = 2 ¨¨©x + d # 3 ( A2 + B 2 )6 ( A2 + B 2 ) x 2 +
− 4a − − c ¸ c (17)
¹
¸
d
c
3 ( A2 + B 2 )
2 ¨©
¹
con a = B 4 − A2 r 2 + ( A2 + B 2 ) x 2 , b = 54 A2 B 2 ( A2 + B 2 ) r 2 x 2 , c = 3 a 3 + b + b (2a 3(17)
+ b)
(17)
2
4
2 c) 2
2
2 2
22 2 2
2 A
con
r + +( A((2aA2+−
+2B
B2 +( AB22 )+rB2 x22),rc2 x=23, ac =+ 3b a+ 3 +b b(2+a 3 +bb()2a 3 + b)
con aay==dBB4=−−AxA2 r +
B
)2 x)2 ,xb. ,=b54=A54
B2 ( A
3(A + B ) c
(a− −c)c2) 2
(
a
22
yy dd == xx ++ 2 2 2 2 . .
( A + +B B) c) c
33( A
3
36
Revista EIA
Se obtiene el offset de las hipérbolas suplementarias, si y solo si, el radio de corrección r
es menor Se
queobtiene
el radio
de curvatura del mínimo círculo osculador, es decir,
el offset de las hipérbolas suplementarias, si y solo si el radio de corrección
Se obtiene el offset de las hipérbolas suplementarias, si y solo si, el radio de corrección r
resesmenor
menorque
queelelradio
radio
curvatura
mínimo
círculo
osculador,
es decir,
dede
curvatura
deldel
mínimo
círculo
osculador,
es decir,
B2
B2
Br 2A
<
r<
A
A
r<
(18)
(18) (18)
2
§1§
··
1
6x (2B4 − a + ( A2 + B2 ) x2 )
2a
2
2
2
¨ §¨ x§+ d #
¸¸
4
2
2
2
2 4a·−
·
A
B
x
+
+
−
−
c
6
(
)
¨ 2¨¨1 ¨ x + d # 3 ( A21+ B2 ) 6 ( A2 + B2 )x2 + 6x (2B − a + ( A +dB ) x ) − 4a − a − c ¸¸ c
¸¸
©
¹¹
¸¸
d
c
3 ( A2 + B2 )
z = ± A # A 1 + © ¨© 2 ¨©
¹¹
2
z = ±A # A 1+
B
B2
2
2
4
2
2
2
§ § § §
··
· · a2
11
2xB(4 2−Ba +−( Aa2++(BA2 ) x+2 )B ) x )a2
2 ¨2 ¨ 1 ¨1 ¨
22
2 2 2 26x (6
(19)
¸
¸−
¸¸
6
(
)
4
d#
A
+
B
x
+
−
a
−
−
c
6
(
)
4
# r #− r x−−¨ x − x ¨+xd+ #
A
+
B
x
+
−
a
−
c
2
22
¸
2
¸
d
c
¨ © 2 ¨2 ©
B ))
d
33( (AA ++ B
¹ ¹ c ¸¹ ¸¹
©
©
(19)
(19)
2
de hipérbola
una hipérbola
realizado
con ayuda
la figura
3 se muestra
un ejemplo
del offset
En la En
figura
3 se muestra
un ejemplo
del offset
de una
realizado
con ayuda
de
En la
figura
3 para
severificar
muestra
ejemplo
del
offset(19)
de de
una
hipérbola
realizado
con
ayuda de
de
software
verificar
la
validez
expresión
(19),
de
mismamanera
manera
que
efectuó
software
para
la un
validez
dede
lalaexpresión
la la
misma
que
sese
efectuó
software
verificar
la validez de la expresión (19) de la misma manera que se efectuó
para
parábola
para lapara
parábola
yy la elipse.
para la parábola y la elipse.
Figura 3. Offset cóncavo y convexo de la hipérbola para z = A − A 1 + x 2 / B 2 con A = 200, B =
100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
2
Figura
3. Offset
cóncavo
y convexode
delalahipérbola
hipérbola para
A =A200,
Figura
3. Offset
cóncavo
y convexo
para zz==AA−−AA 1 1++x x/2 B/ B con
con
= 200, B =
B
=
100,
r
=
5,
sin
considerar
el
sentido
del
maquinado
100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
2
Escuela de Ingeniería de Antioquia
2
37
Curvas paralelas explícitas de las curvas cónicas no degeneradas...
5.
SOLUCIONES NUMÉRICAS
La solución recurrente expuesta para el offset explícito de las curvas cónicas es mucho
más simple que cualquier método con análisis numérico, ya que se reduce considerablemente
el tiempo de cómputo y maximiza el acabado superficial usando interpolación fina de una
etapa, en lugar de técnicas usuales como interpolación lineal segmentaria, interpolación
circular segmentaria e interpolación circular usando elementos finitos (Aigner, 1997).
Las soluciones presentadas permiten desarrollar software de alta calidad geométrica y
numérica para efectuar la corrección de herramienta en el torneado CNC de superficies de
revolución, con sección longitudinal correspondiente a una cónica no degenerada, para su
uso en la fabricación de lentes y espejos asféricos. Los métodos de interpolación permiten
producir la geometría especificando un error máximo ei predeterminado, que generalmente
es inferior a 0,1 µm, magnitud inferior a la longitud de onda de la luz violeta.
Existen circuitos integrados especializados para realizar interpolaciones de orden superior, como los fabricados por Toko en Japón, en especial para la parábola, usando técnicas
de interpolación lineal segmentaria sin corrección de herramienta. Como los procesos de
análisis numérico son por lo general extensos, se presenta a continuación un refinamiento
de la interpolación circular segmentaria para el offset de una parábola. Procesos similares
puede desarrollar el lector para cualquier geometría de orden superior.
5.1 Aplicación: Fundamentos matemáticos para la fabricación de
moldes cóncavos con sección longitudinal parabólica
Para la fabricación de un molde o un espejo correspondiente a un paraboloide de
revolución con resolución y rugosidad total inferior a un cuarto de longitud de onda de la
luz ultravioleta (λ/4 ≈ 50 nm) se requiere el siguiente modelo que segmenta una parábola en
tramos circulares para compensar la geometría de corte, según el radio de la herramienta
rh, utilizando usualmente un buril de diamante con radio (0,5 ±0,001) mm, con líneas de
Fourier claramente continuas1, para tornear la superficie con control numérico computarizado
CNC, con interpolación compilada de una sola etapa, ya que los procesos de interpolación
multietapa interpretados generan pausas entre instrucciones de segmentación, si el control
de la máquina no tiene feed-forward enclavado entre ejes, usando un husillo aerodinámico
de mando directo, sin rodamientos y carros cartesianos con lubricación aerodinámica con
superficies de apoyo de bronce sinterizado, para minimizar la vibración de la máquina y
aumentar la eficiencia del proceso. Dicho modelo se basa en un refinamiento de la interpolación segmentaria (spline) lineal que se describe en la sección 5.1.1.
1
38
Las líneas de Fourier son causadas por la difracción de la luz en el filo, que indican su estado. Si las
líneas de Fourier observadas bajo el microscopio con un aumento típico de 400x tienen cambios
abruptos, es porque el filo de la herramienta está deteriorado en sus vecindades.
Revista EIA
5.1.1
segmentaria
lineal
dede
una
parábola
5.1.1Interpolación
Interpolación
segmentaria
lineal
una
parábola
5.1.1
interpolar
sección
longitudinal
parabólica
dada
porpor
la ecuación
(1), tomando
ParaPara
interpolar
la lasección
longitudinal
parabólica
dada
la ecuación
(1), tomando el
Interpolación
segmentaria
lineal
de una parábola
5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola
elsigno
signo positivo,
se se
procede
a determinar
el error
la interpolación
segmentaria
lineal en el lineal en
positivo,
procede
a determinar
el de
error
de la interpolación
segmentaria
Para interpolar
la
sección
longitudinal
parabólica
dada
por
la
ecuación
(1),
tomando
el pendiente del
intervalo
[a,
b],
el
cual
es
máximo
cuando
la
derivada
es
igual
a
la
pendiente
del
el intervalo
[a,sección
b], ellongitudinal
cual es máximo
es tomando
igual asegmento,
Para
interpolar la
parabólicacuando
dada porlala derivada
ecuación (1),
ella
signo positivo,
se
procede
a
determinar
el
error
de
la
interpolación
segmentaria
lineal
en
signo
positivo,
se procede
a determinar
eleserror
demáximo
la medio:
interpolación
segmentaria
así,
el punto
donde
error
es máximo
el es
punto
segmento,
así,
elelpunto
donde
el error
es el punto
medio:lineal en
el intervalo
[a, b], el
máximo
cuando
la derivada
es esigual
del
el intervalo
[a, cual
b], elescual
es máximo
cuando
la derivada
iguala alala pendiente
pendiente del
1
segmento,
así,
el
punto
donde
el
error
es
máximo
es
el
punto
medio:
segmento, así, el punto donde el error es máximo
(20)
x = (a es
+ bel) punto
1 medio:
x = ( a + b)
2
1
2
1
x(=a +(ba)+ b)
2
x
=
El versor
del
2
2 segmento es:
del segmento es:
El versor
2
2
2El versor del segmento es:
El versor del segmento es:
(20)
(20)
(20)
ª
º
4f
(a º+ b)
ªv =
4f
(a, + b)
ª v = « 4«f 22ab +2 a 2 + b2 2, + 16(af 2+ 2b) 22ab + aº22 »+ b 2 + 16 f 2 »(21) (21)
2ab + a + b + 16 f » ¼»
¬« + a + b + 16, f
¼»(21)
v=«
¬« 22ab
2
2
2
2
2
2
ab
+
a
+
b
+
16
f
2
ab
+
a
+
b
+
16
f
¬«
¼»
El
deldel
punto
medio,
es decir,
vectorelsagital
es:sagital es:
Elvector
vector
punto
medio,
es eldecir,
vector
El vector
del es
punto
medio,
es decir,
el vector
El vector del punto
medio,
decir,
el vector
sagital
es: sagital es:
1
ª1
º
(1b − a) (13a + b)»
v m = « 1(b − aª ),
(22)
º
ª¬ v2 m = 1 (16
b1− a(),
((b3º −
)bº()3ºa + b)»
¼a
)
−
+
),
b
a
a
ªv1m = ª«1 (b −1«¬ a
¼
+) (b3)a + b)» »¼
a()b(3−aa16
v m = v«m =(b«−¬ 2a(),b − a2),(b −16
(22)
(22)
2 ¬2
16 16vectorial de »¼los vectores:
¼
El error se define como la ¬norma
del producto
(21)
(22)
El error se define como la norma del producto vectorial de los vectores:
2
El error se define
comoseladefine
normacomo
del producto
de
a )vectores:
(b los
−vectorial
El error
la norma vectorial
del producto
de los vectores:
[v, 0]× [v m , 0]
=
2
2
4 2ab + a 2 +
2 b + 16
(bf − a ) 2
2
(23)
[v,v,[0v0,]]×0×][[×vv[mv,,m00,][]0v]=,=0=]× [v m , (0b](b−2=−a )a4) 22ab + a22 + b 2 + 16 f 2 (23)
[
m
4 2máxima
ab + a2 2de+una
b2 2 cuerda
+ 16 2f 2al arco, define el radio
La sagita s de un círculo, o sea,
la distancia
(b − a2)
2ab+ +a a + +b b ++1616f f
4 42 ab
sagital ρs como:
(23)
(23)
s de un
círculo,
o sea, máxima
la distancia
máxima
de una
cuerda
al
define el radio
La sagita sLa
desagita
un
o sea,
la distancia
de una
cuerda
arco,
define
el arco,
radio
un círculo,
o sea, la distancia
dealuna
cuerda
al arco,
define el
La círculo,
sagita s de
(l 2 / 4 + s 2máxima
)
como:
sagital
ρ
s
ρ s (d , s) =
(24)
sagital ρradio
s como:
sagital r como:
2s
s
2
2 2
22
2
2
(l / 42 +(ls /)4++()sl−s)z/)(4a,f+))s2
donde l es la magnitud de laρcuerda
=
(d , sρ) =((lb,−sρ)a)=((d+l ,(s/z)(4b,f
2
s
ρ s s( l , s) =s
2s
22s s
)
2s
(24)
(24)
(24)
2
2
Construyendo
función
para
donde l es
la magnitud
de
ladecuerda
(labcuerda:
−cuerda
a)= + ( z((b(b,f
)(2b,f
donde
es launa
magnitud
de la
b−−a) )−
a2)z+2(a,f
+( z((z)b,f
z (a,f
) −) z−(a,f
)) 2))
donde
la lmagnitud
la cuerda
es l
(b − a ) 2
c(a, b, f ) =
a + 2ab + b 2 + 16 f 2
4f
Construyendo
unalafunción
Construyendo una
función para
cuerda:para la cuerda:
(25)
Construyendo una función para la cuerda:
Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b
c(a, b, f ) =
2
(b − a ) 2 (b − a ) 2
2
c(4a,fb, f )a= + 2ab + b a+2 16
+ 2f ab + b 2 + 16 f 2
4f
Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.
Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b
(25) (25)
(25)
Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b
2
2
Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario, cuyo empleo debería
rescatarse.
Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.
2
Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.
Escuela de Ingeniería de Antioquia
39
Curvas paralelas explícitas de las curvas cónicas no degeneradas...
Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b
a 4 + 4a 3b + 6a 2 (b 2 + 6 f 2 ) + 4ab (b 2 + 14 f 2 ) + b 4 + 36 b 2 f 2 + 256 f 4
ȡs (c ( a, b, f ), e( a, b, f )) = 4
3
2
2
2
a + 4a b + 6a (b + 6 f )32
+ 4fab a
(b22 ++ 14
f 2+) +bb2 4++16
36 fb 2 f 2 + 256 f 4
2ab
(26)
ȡ (c ( a, b, f ), e( a, b, f )) =
s
32 f a 2 + 2ab + b 2 + 16 f 2
a 4 + 4a 3b + 6a 2 (b 2 + 6 f 2 ) + 4ab (b 2 + 14 f 2 ) + b 4 + 36 b 2 f 2 + 256 f 4
ȡslo
(c (anterior
a, b, f ), e( a, b, define
f )) =
con
el radio
radiototal:
total:32 f
con
lo anteriorse
se define el
(26)
a 2 + 2ab + b 2 + 16 f 2
con lo anterior se define el radio4 total:3
2
2
a + 4a b + 6a (b + 6 f 2 ) + 4ab (b 2 + 14 f 2 ) + b 4 + 36 b 2 f 2 + 256 f 4
ȡ s (c ( a, b, f ), e( a, b, f )) =
2 2
2
2 2
con lo anterior se define el (radio
b 2 +f 16(fab
2f a f + 2
2 − 16 f )
a + b2total:
) 2 (( a +2 b) 2 32
+ 36
)ab−2 +16
36 f ) − 16 f ( ab − 16 f )
ρρ ((aa,,bb,a, f f+) )4=a=(ba++6ba )(b(( a+ 6+fb)) ++4ab
2 (b + 14 f )2+ b + 36 b2 f + 256 f
4
3
2
2
2
2
2
4
2
++b16)f f +2( ab
16−f16 f
ȡs (c ( a, b, f ), econ
( a, blo
, fanterior
)) =
a +f(ba)) −
se define
( a + b) ((radio
a 32
+ bff32
) a+2f(+36
32
2ab + b 2 16
+ 16 f
ρ ( a , b, f ) =
22
total:
el2
2 2
2
2
22
2
2
2
)
4
(26)
(26)
(26)
(27)
(27)
(26)
(27)
(27)
322 f ( a +2 b) + 162 f
enelellímite
límite cuando
cuando bb==a a+ +
ΔxΔyx(hallando
límite
tiende
atiende
0:− 16 fa20:
ay
+hallando
b) ((ela (27),
+ el
b) límite
+cuando
36 fcuando
)Δ−x16
f Δ2 (xab
)
con loenanterior
se define
radio
total:
Como prueba
delρel
acierto
de
la
expresión
en el límite,
cuando b
= a + Dx y hallando
( a , b, f ) =
(27)
2
2
2
f ( a + b) + 162 f a 0:2
el el
límite
cuando
en
límite
cuandoDxb tiende
= a + Δax y0:hallando el 32
2límite 2cuando Δ2x tiende
1 16 f (16 f − a ) 2+24a (4a +2362 f 2)
ȡ(a,a
+bΔ)x2,((f)a=+ b ) 22 1+ 3616f 2f )2 −
(16
a ) +2− 416
a f(4)a + 36 f 2 ) (28)
(
a
+
16f 2f −( ab
Lím
+
Δ
x
,
f)
=
(28)
32
f
,límite
ρ (ena,elbLím
Δxf→)0 = ȡ(a,a
4
a
+
16
f
2
2
2
2
2
(27)
cuando b = a + Δ1x y2 hallando
tiende
2 f ) a 0:
162f (16 fel
− a ) + cuando
42 a (24a Δ+x36
2 límite
Δx → 0 ȡ(a,a + Δx, f) =32 f32 f( a + b ) + 16 f 4a + 16 f
(28)
(28)
Lím
32 f 2
→0
4a 2 +2 16 f 2
2
2
2
2
se obtiene alΔxsimplificar
el radio de curvatura
f 1 16 f (16 f − a ) + 4a (4a + 36
)
ȡ(a,a
+ Δx, de
f)el=curvatura
(28)
obtiene
al simplificar
elhallando
radio
2 cuando Δx tiende
en el se
límite
cuando
b = aLím
+
Δ
x
y
límite
a
0:
2
2
32
f
Δx → 0 el radio de curvatura
4
a
+
16
f
se obtiene al simplificar
1
ρ =curvatura:
(a 2 + 4 f 2 ) 3
(29)
Se obtiene al simplificar el radio de
2
24 f
2
2
2
2
1
2
2
3
16 f ρde(1=
16
f −2 a )(a
+ 4a (4a + 36 f )
se obtiene al simplificar1el radio
curvatura
(29)
ȡ(a,a + Δx, f) =
(28)
(a2 2 + 24 f 2+)23 43 2f )
(29)
2 ρ= 12
f
4
32
f
(29)
= 4 f 2 de
(a4una
f )f
0
a+ 4+parábola
16
5.1.2 Δx →
Interpolación
segmentariaρ circular
1
4f
ρ=
f 2 )3
(a 2 + 4 (29)
2
4 funa
5.1.2al Interpolación
Interpolación
segmentaria
circular
de
5.1.2
segmentaria
deparábola
una
A continuación
se describe
el circular
procedimiento
paraparábola
calcular las coordenadas del
se obtiene
simplificar
el radio
de curvatura
a+b
a+b
5.1.2 5.1.2
Interpolación
segmentaria
circular
de
una
parábola
z(
, f ))del
centro
del
círculo
que pasa
por
los puntos
(a,
z(a, f)),de
(b,una
z(b,parábola
f))
y ( las ,coordenadas
:
Interpolación
segmentaria
circular
A
continuación
se
describe
el
procedimiento
para
calcular
A continuación se describe
para calcular
las
1 el procedimiento
2
2 coordenadas del
2
2 3
ρ=
(a + 4 f )
a+b
a + b (29)
2
b , f ))a :+centro
b del
, za(las+ coordenadas
centro del
círculo
que pasa
por se
los2 describe
puntos
(a,
z(a, f)), (b,
z(b,
f))
y ( calcular
4elf procedimiento
A continuación
para
A continuación
describe
para
las
coordenadas
2el procedimiento
2calcular
(
centro del
círculo
que se
pasa
por
los
puntos
(a,
z(a,
f)),
(b,
z(b,
f))
y
2
2 , z (del
ρ = ( a − h) + ( z ( a, f ) − k )
(30) , f )) :
a + b2
a + b2
la circunferencia
queque
pasa
por
(a,
, z(
, f )) :
centro del segmentaria
círculo
pasa
porloslospuntos
puntos
(a,z(a,
z(a,f)),
f)),2(b,
(b,z(b,
z(b,f))
f))yy (
5.1.2 de
Interpolación
circular
de
2
2 una parábola
2
2(31)
2
2
2
ρρ == ((ab −− hh)) ++ ((zz((ab,, ff )) −− kk ))
(30)
Lím
ρ = 2(a − h) +2 ( z (a, f ) − k )2
(30)
yA continuación se describe 2 el
procedimiento
2f 2) − k ) las coordenadas del
ρ−hh=))22(a+ −( zh()ba,,+fpara
())z−(−akk,)calcular
(30)
ρ 2=a=(+a(bb−
(31)
(30)
ρ
f
)
a+b
2 a + b
a+b
ρ 2puntos
= ( 2 (a,
) 2 +f)),
, z(
, f ))(32)
centro ydel círculo que pasa por los
:
ρ2 =ρ−2(b=hz(a,
− h)(2z (+2(b,
(2zz(b,
(b, ,f f)f))
)− −ky)k()22
(31)
(
b
−
h
)
+
(
z
(
b
,
f
)
−
k
)
(31)
2
2
a
+
b
a
+
b
2
2
2
y
ρ =(
− h) + ( z (
, f ) − k)
(32)
y
2
2
2
simplificando
las ecuaciones2 ρ
(30),
(31)
se
tiene
2ba−2+yhb(32)
2 f )que:
2
=
(
)
+
(
z
(
b
,
−
k
)
(31)
ρ =ρ (2a=ρ−(2h=) (+a (+z−b(ah−,)h2f)+
)2 −+( zk((z)(aa++bb ,, ff ))−−kk) (30)
22
)
(32) (32)
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
simplificando las ecuaciones
(30),
(31)
y
(32)
se
tiene
que:
a
+
8
a
f
(
2
f
−
k
)
−
32
af
h
+
16
f
(
h
+
k
)
ρ2 = 2
(33)
y
ρ = (b − h) 2 + ( z (b16
, f f) 2− k ) 2
(31)
4
2 (30), (31) y (32)2se tiene que:
2
2
2
simplificando
las
ecuaciones
a + 82 (30),
a f a(2+(31)
fb− k y
) −(32)
32afseah+
+b16 f que:
(h + k )
tiene
y simplificando las ecuaciones
(32)
ρ2 =
(33)
ρ =(
− h) 2 + ( 2z (
, f ) − k )2
4
2
2
2
2 2 22
16
f
4
2
2
2
2
2
a
+
b
a
+
b
b2 + 8b f ( 2 f −2 k ) − 32bf hf32
16
h f+2(k h )2+ k ) 2
)+af
−af
k2)hf2 +(16
(32)
(34)
ρ 2 = ρ2 =ρ(a2 4=+a8−a+h28)fa(+2f(f(z2(−f k−)k2−) ,−32
(33)
2 h + 16 f ( h + k )
2
2
16 f 2 16 f2
ρ4 = 2
(33)
2
2
2
b + 8b f ( 2 f − k ) − 32bf 16h f+ 16 f ( h + k )
yevaluando el sistema
y
(32),
se
tiene
que:
ρ 2 = de las ecuaciones (30), (31)
(34)
2
2
2
2
simplificando las ecuaciones (30), (31)
y (32) se tiene
que:
b 4 + 8b 2 f ( 2 f 16
− kf ) − 32bf 2 h + 16 f 2 ( h 2 + k 2 )
2
ρ
=
4
2
2
2
2
2
(34)
y
2 32
bf
f 2f 2h(h+2 16
2 4 b
(33)
+ 8a+2 8f b
(2 ff −( 2k )f −−32kaf) −
h16
+ 16
+ k f2 ) ( h + k )
2ρ a
=
(34)
ρ =
(33)
2
y
16 f 2 16 f
y
b 4 + 8b 2 f ( 2 f − k ) − 32bf 2 h + 16 f 2 ( h 2 + k 2 )
ρ =
16 f 2
2
40
y
(34) Revista EIA
ρ2 = (
a+b
a+b
− h) 2 + ( z (
, f ) − k )2
2
2
(32)
simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:
ρ2 =
y
ρ2 =
a 4 + 8a 2 f (2 f − k ) − 32af 2 h + 16 f 2 (h 2 + k 2 )
16 f 2
(33)
b 4 + 8b 2 f ( 2 f − k ) − 32bf 2 h + 16 f 2 ( h 2 + k 2 )
(34) (34)
16 f 2
y
4
2
2
3
2
a 32ba+2 (23ab22(+
3b32
+f 32
+ 16
f 2 h)...
a 4 +a4a+3b4+
−f16−fk16
) +fk4)a+(b43a+(b16bf
(2bff (−2kf) − k64) −f 264
h)...
2
ρ =ρ = 2 a 4 + 4a3b + 2a 2 (3b 2 + 32 f 2 − 16 fk ) + 4a(b3 + 16bf (2 f − k ) − 64 f 2h)...
4
3
2
2
2
3
2
2
ρ2 =
ρa =+ 4a b + 2a (3b + 32 f − 16 fk ) + 4a (b + 16bf (2 f − k ) − 64 f h)...
4
2
2
2
2
2
+b4 232
b(22bf2 (f−2(2kf f)−−
kk256
)) −
256
h++256
256
... + ...
b 4+...
+b32
f32
bf
hbfbf+2 h256
f 2f(h2 f(2h+2(h
k k2 )+
2 k )
+
b
+
−
−
256
+
)
2
2
2
2
... + b 4 + 32b 2 f (2 f − k 256
) − 256
256
f 2bf ff 2h2 + 256 f (h + k )
256
(35) (35)
(35)
(35) (35)
256
f22
4
3
2
2
a
+
4
a
b
+
2
a
(
3
b
+
32
f − 16 fk ) +34a (b3 + 16bf (2 f − k ) − 264 f 2 h)...
4ρ = 3
2
2
2
Resolviendo
el
sistema
las
últimas
ecuaciones
yhk)...
se obtiene:
Resolviendo
últimas
h) h−y64
obtiene:
Resolviendo
detres
tres
ykh
kfse
se
obtiene:
a +el4asistema
b +el
2asistema
(de
3b las
+de
32
flas−tres
16 fkúltimas
) + 4ecuaciones
a (becuaciones
+ 16bf (2para
f para
− kpara
ρ 2 = Resolviendo
h y k se obtiene:
sistema
las tresecuaciones
últimas ecuaciones
Resolviendo
el sistemaelde
las tresdeúltimas
para h y kpara
se obtiene:
(35)
2
... + b 4 + relativa
32b 2 f (2 fdel
− k centro
) − 256bfdel
h +segmento
256 f 2 (h 2 +
k 2la
) interpolación circular
(35)
La
coordenada
de
enenx xcon
4 relativa
2del del
2
2
La La
coordenada
centro
segmento
circular
coordenada
centro
deinterpolación
la interpolación
circular
encon
x con
... +
+ 32relativa
b 2relativa
f (2 f del
−
k )del
−
256
bf del
hf 2+segmento
256
f segmento
(segmento
h 2 +dekde
) la
256
Lab coordenada
relativa
del
centro
del
de la interpolación
en x con
La coordenada
del
centro
la
interpolación
circularcircular
en x con
respecto
al
punto
(a,
z(a,
f))
es
2
respecto
al
punto
(a,
z(a,
f))
es
respecto
al
punto
(a,
z(a,
f))
es
f
respecto
al punto
(a, (a,
z(a,z(a,
f)) 256
es
respecto
al punto
f)) es
Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones
para h y k se obtiene:
3(a +3b) 3 +3 4ab(a + b)
3
Resolviendo el sistema de las tres últimas3h3(ecuaciones
para
h
=
(aa++3b()ba)+++
4) ab
a) obtiene:
+ b)
4b
ab
(+
af (2+4ayab
b+
)k (bse
128
= segmento
hh == hdel
La coordenada relativa del centro
de
la
interpolación
circular en x con
2
2
2
(36)
128
f interpolación
128
f 2 la
128
f
respecto alrelativa
punto (a,
f)) esdel segmento
La coordenada
delz(a,
centro
de
circular
en x con (36) (36) (36)
7(a + b) − 4ab
k = b) 2 −2 4ab
+2f
respecto al punto (a, z(a, f)) es
7(ba)32
+−b)422ab
−24fab kk == 77((aa++
3 f
+
+
(36)
k 3=(a + bf )2 +2 4ab2(a + b2) f+ 2 f
h = 332
32
f
2
32
f
128
3(a + b) + 4ab
(af+ b)
h = circular será
de lo cual el radio del segmento
(36)
22 igual a:
7será
(128
a + igual
bf ) − 4a:
ab
de lo cual el radio del segmento circular
(36)
2
k
=
+
f
de lo
cual
elelradio
del
circular
seráigual
igual
a: a:
radio
delsegmento
segmento
circular
será
dedonde
lo cual
el radio
del
segmento
circular
será
igual
f 2 a:
2
7(a + b) 2 −32
4ab
k=
+
2
f
§ a2
·
ȡ32
= f 2(a − h§) 2a+2 ¨¨ · 2− k ¸¸
(37)
2
de lo cual el radio del segmentoȡ circular
= (a −será
h) 2 igual
+ ¨ a:©−24kf ¸ 2 2¹
(37)
2
¨ § a §¸ · ·
ȡ =será
−(ha)a:2−©+h4¨¨) 2f + ¨−¹ak ¸¸− k ¸
(37) (37)
ȡ (=aigual
(37)
de lo cual el radio del segmento circular
¨
¸
4
2 f 4 2f ¹
©
©
¹
§
·
y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se
obtiene
a
= (ase− obtiene
h) 2 + ¨¨ 2− k ¸¸
(37)
y sustituyendo
las ecuaciones (36) enȡ (37)
2 ©4f
¹
§a
·
2
2− k ¸
¨2 obtiene
ȡ = en
−
h) +
(37) 2
(a (37)
y sustituyendo
las
(36)
2 en (37)
y ysustituyendo
las
ecuaciones
(36)
se
§ 1 ecuaciones
§¸¹ § 3a 3 + 13a 2b + 13ab 2 + 3b23 · ·
§ 7a 2 + 10
f· obtiene
4·obtiene
a 2 ecuaciones
ab(36)
+ 7ben
+(37)
f2¨©se
64se
sustituyendo
las
¸
¸ ¸ + ¨ a −3¨
2
2
2
ȡ§ =1 a¨¨2 § 7las
(38)
y sustituyendo
en (37)
se obtiene
a−2¨¨ecuaciones
+ 10ab + 732
b(36)
abf22+ 3b3 · · ¸¸ ¸
f+264 f ·¸ ·¸ +¸¹§¨¸¹a − ¨©§¨ 3a ¨©+ 13a b + 13
128
¸
¸
¹
ȡ = ¨¨ © 4− ¨¨f ©
(38)
¹
2
2
2
¸ 2
¨
¸
2
2(37) 2se obtiene
2¹ ¸ 2 ¨ 2 ©
2 ¹¸ 2 3
f §2ecuaciones
32+f7en
128
y sustituyendo
(36)
2 ab
3 2f b + 13
2
© 2a§2 7+a10
¹· · 2 ©· ·§ §§ 33a 3§+313
§ 1©a§421las
2¹3b · · 3
b
+
f
7
64
·
·
2 + 10
2b
2 f
2 a
2 bab
3 +
a
ab
+
+
a
+
a
+
ab
+
b
7
64
13
13
3
¸¸ ¸¸ ¸(38)
ȡ = ȡ ¨¨= ȡ ¨= −§¨ 1¨¨ a− ¨− §¨ 7a + 10ab2+ 7b + 64 f ¸¸·¸¸¸·¸ ++¸§¨¸¨¨aa−+−§¨¨3¨¨aa −+¨13a b + 13ab +2 3b ·¸ ·¸ (38)
(38) (38)
para4 llegar
(b, 2 z(b,
f))
y repetir
Así,
el segmento
circular
2
2
¨ ¨ final
¨ 128 128
¸¨¸© ¨el
¸ ¸¸
¨f 4 ¨ f4© alf punto
¨© proceso.
2
f
f
32
2 ¹¸¹¸
2f ¸ ¸
f
32
128
¹
f
f
32
©
¹
2 © punto
©+©13a 2b© + 13
para explícito
llegar
final
repetir
Así,
circular ¹ ¹
§ 1 ©a al
§¹ ¹ ¹§©¹3ela 3proceso.
del
está
determinado
§ 7offset
a 2©+©10
ab +(b,
+ 64f))
f 2 ·y·por
ab 2el+ 3segmento
b3 · · ¹ ¹ 7b 2z(b,
¸¸ ¸¸ + ¨¨ a − ¨¨
¸¸ ¸¸
ȡ = ¨¨ del offset
− ¨¨ está determinado
(38)
2
2
explícito
por
f ©
32 f
128 f
¹ ¹ y ©repetir
© el proceso.
¹
© 4 llegar
2
para
al
punto
final
(b,
z(b,f))f))
Así,Así,
el segmento
circular circular
parapara
llegar
al
punto
final
(b,
z(b,
y
repetir
el
proceso.
el ¹segmento
7
(
)
4
a
b
ab
+
−
llegar
al
punto
final
(b,
z(b,
f))
y
repetir
el
proceso.
Así,
el
segmento
circular
para
llegar
al
punto
final
(b,
z(b,
f))
y
repetir
el
proceso.
Así,
el
segmento
circular
explícito
2
zexplícito
f
+
=
2
del
2 offset está determinado por
7(a del
4ab
+ b) offset
−32
foffset
explícito
está
determinado
por
explícito
del
está
determinado
por
2
z
f
=
+
del
offset
está
determinado
por
para llegar
al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular
32 f 2
2
2
2
2
§7(aoffset
·
explícito del
4ab determinado
+ b) 2 2− está
2
2 por 2
§ 3a 3 + 13a 2b + 13ab2 + 3b3 · · 2 ¸ § 3a 3 + 13a 2b + 13ab2 + 3b3 ·
z 2= ¨ § 1 a 2 § 7a
+ 2+f 10ab + 7b + 642f · · §
2
¨
¸
¸
2¨ 32 f −
2
¸
¸
¨
¸
¨
¨
a
r
x
7(a +7§−b(a)§+−¨b4)2ab
±
−
−
+
−
·
2
2
2
2
2
¸
47fab
· §¸ ¸ ¨ 3 ¨
3b3 ·
ab2f +2 3b3 · · ¸¹ ¸¹¸ § ¸¸ 3¨©a 3 + 13a 2b + 13
ab2f +
2a 2f +¨©+10
z = z = ¨ ¨ 122¨ a ¨© −
4§+
128
¹
2 ab
f + 72b32+f 64 f ·¸¸ ¸ + ¨¹ ¹a − §¨¨©3a +© 13a b + 13128
¸¸
¸¸ ¸¸ ± r ¸2 − ¨¨ ¹x −
− 7(a¨32
−2 ¨¨
+ b¨f) ©− 4ab
2
2
¨
¸
2
2
2
§ f f § ©+ 22 f
·¸ ©
z = ¨ © 432
32 f
128 f
f
2
§ 3a 3 + 13a 2b128
1 a § 7a 2 + 10ab + 7b 2 + 64¹f¹2 · · © § © § 3a 3 + 13a 2b + 13ab2 + 3b3 ¹·¹·
+ 13ab2 + 3b3 · ¹
¨ ¨
© 32
− f
−¨
¸¸ + ¨ a − ¨
¸
¸ ¸ ± r ¹ − ¨ x −2
¸
2
2
2
¸
¸¸
¸2 ¨ ·
¨ ¨
2
2¸ ¸
32
128
§ §§ 2 ¨¨ ¨© 4 2f ¨©
2 f
2
2 f
2 ¹¹2 3 ¸
2
3 2
¹2 2
© 2 § · 1283 f (39)
¹ ¹ ©2 §© 3
3 b2 + 13
2·
3 2
2ab + 7b + 64
2 f 2 ·· 2 §
3a b + 13
2 ab2 + 3·b2 · ·¹ 3
3a 2 §+313
3
13
3
+
+
a
a
ab
b
¨ § ¨¨1§ a§ 21© a§ 27a2§+710
¸
§
·
·
2 + 7b2 + 64¸f
3
2
3
3
2
2
3
·
§
·
10
13
13
3
3
13
13
a
ab
a
a
b
ab
b
+
+
+
+
+
+
a
a
b
ab
¸¸+ 3b ·¸
− ra¨¨ ¸xb−+−13
− −¨ ¨ ¨ ¨ 1 ¨a − ¨¨§ 7a− ¨+ 10ab + 7b 2 + 64 f · ·¸ ¸¸ §¨¸ +¸§¨¨¸3aa−++¨¨¨13
a−b¨ + 13ab + 3b2 · ·
+ 3b ·
ab
¸ ¸¸§¸¸ ±3¸ar¸¸+ 13
2
¨
a
x
±
−
(39)
¸
de
manera
recurrente
¸
¸
¨
¸
¨
¨
a
r
x
±
−
−
+
−
− ¨ ¨ que
−
2
32 f
128
f 128 f 2
¸
¸
¨ f 2 128 f 128
¨4¨ 4 f¨f4 ©¨f ¨
¸ f ¨2
¸ (39)
¸ ¸ f 2 ¸ ¹¨¹ ¸ ¸¸ ©128
¹
32 f 2 32 f ¸¹ ¸¹ ¹ ¨©¹ ¹¨©©¸¹ ©¨© 128
¨© manera
¸ (39)
¸ ©
¹
¹¹
© recurrente
¹
¹ ¹¹
©
©
©
© ¨© ©de
que
© ©
¹
z = k − (ρ ± r ) 2 − ( x − h) 2 ¹
(40)
2
2
que de manera recurrente
z = k − (ρ ± r ) − ( x − h)
(40)
z = k − (ρ ± r ) 2 − ( x − h) 2
(40)
(39)
(39) (39)
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
que
de
manera
recurrente
queque
de
manera
a y recurrente
b hasta
completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
de
manera
recurrente
Escuelavariando
de Ingeniería
variandode
a yAntioquia
b hasta completar
41
z = la
k −trayectoria
(ρ ± r ) 2 desde
− (x −
) 2 a0 hasta2 x = 0.
(40)
2 xh=
z = kz −= k (−ρ ± (rρ) ±−r )(2x −− (hx) − h) 2
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
x = 0.
variando
a y ba hasta
completar
la trayectoria
desde
x = ax0=hasta
x = 0.
variando
y b hasta
completar
la trayectoria
desde
a0 hasta
(40) (40)
Curvas paralelas explícitas de las curvas cónicas no degeneradas...
que de manera recurrente
z = k − (ρ ± r ) 2 − ( x − h) 2 (40)
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
ai = ai −1 + ∆x bi = ai + ∆x
6.
(41)
RECOMENDACIONES TÉCNICAS
Se debe considerar también que en el proceso de torneado de superficies cónicas de
revolución, con buril de diamante, el maquinado debe efectuarse en el cuadrante apropiado,
para que los tornillos de bolas recirculantes del torno CNC estén sometidos a esfuerzos de
tracción, y así obtener mayor rigidez, cuando se efectúa el avance del buril, desde la periferia
hasta el centro. Además, la altura del filo de corte de la herramienta, sin ángulo de ataque,
debe tener un acierto con relación al eje de revolución de husillo, inferior a 0,001mm, posicionando la herramienta, si es posible, mediante el uso de una cámara de video con aumento
de 100x. Siempre debe usarse, si se requiere acabado espejo, un husillo aerodinámico. Está
demostrado experimentalmente que cualquier velocidad del husillo superior a 6000 r. p. m.
no tiene incidencia sobre el buen o mal acabado superficial. El avance es el parámetro con
más influencia en el buen acabado. Es preferible usar velocidad de avance radial constante,
para maximizar la estabilidad dimensional del sistema de control.
Para maximizar el acabado se recomienda una pasada de corte con profundidad de
preacabado 0,1mm y una pasada con profundidad de corte de acabado 0,05 mm, y así minimizar las vibraciones inducidas por el corte regenerativo. En moldes se recomienda usar
aleaciones de níquel-titanio por su alta maquinabilidad o acero inoxidable premaquinado
y templado AISI420-54Rc puro o modificado, si se usan herramientas de cermet. También
existen en el mercado local otros aceros de fácil adquisición especiales para la fabricación
de moldes para lentes. En lentes plásticas con mecanizado directo, se puede usar PMMA
(polimetilmetacrilato) y sus copolímeros, como N-hidroxietilmetacrilato y flurocarbonacrilato; también se puede usar policarbonato. En el mecanizado directo de espejos se puede
usar aluminio prodax de alta resistencia y pureza, al final, se endurece la superficie para
maximizar la vida útil, dar resistencia al rayado y a la corrosión atmosférica o para fabricar
espejos fríos (cold mirrors).
7.
CONCLUSIÓN
Es válido concluir que es mucho más fácil usar el offset explícito de una curva cónica
no degenerada que un método de interpolación con análisis numérico, para los procesos
de manufactura de lentes y espejos, ya que los cálculos son más simples y más rápidos; y si
para la parábola es más complejo el offset numérico será aun más complejo para la elipse y
la hipérbola, ya que se involucran muchos radicales enclavados.
42
Revista EIA
Notación
A
a
B
b
f
h
k
l
r
r
rs
s
x
z
Semieje mayor de una elipse o una hipérbola
Abscisa de partida
Semieje menor de una elipse o una hipérbola
Abscisa de llegada
Distancia focal de una parábola
Abscisa del centro de curvatura
Ordenada del centro de curvatura
Longitud de una cuerda
Radio de curvatura
Radio de corrección o distancia de paralelismo
Radio sagital
Sagita
Abscisa cartesiana
Ordenada cartesiana
bibliografía
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PS_cache/math/pdf/0602/0602248v1.pdf.
Kincaid, D. y Cheney, W. (1994). Análisis numérico. Addison-Wesley Iberoamericana.
Aigner, K. (1997). Symbolic computation of and with offset curves. http://citeseer.ist.psu.edu/cache/
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Escuela de Ingeniería de Antioquia
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