Capítulo 4

Métodos Analíticos para la Estimación de los Tensores de Tensión y Deformación Elasto-Plásticos en
las Inmediaciones de una Entalla
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+3 Δ =3
̌
= 3 ( ̌−Δ )
Ec. 3.10
Ahora bien, como una vez iniciada la plastificación debe cumplirse el criterio de Von Mises
debido a la condición de consistencia, se tiene:
=
−
=0
= 3 ( ̌−Δ )
3 ( ̌−Δ )−
=0
Ec. 3.11
¿Qué términos son conocidos y cuáles incógnita en la ecuación anterior para cada instante
de resolución?
Δ
̌=
Incremento de la deformación plástica efectiva
( ( ) + Δ ): ( ( ) + Δ )
Incógnita
( ) es conocido en el instante
y Δ es el incremento
de deformación total que se conoce en instante actual a partir del campo de desplazamientos
en y del Δ considerado de acuerdo al método de diferencia centrada (ver sección 10.1)
Límite elástico, que depende de la deformación plástica en caso de que exista
endurecimiento (= ( )).
De este modo, para resolver la Ec. 3.11 lo que se hace es usar el método de Newton.
Según este método, sea una ecuación no lineal representada por
(Δ ) = 0 como en este
caso, se puede escribir:
+
Δ
Δ + é
!"2º!
& =0
Ec. 3.12
Aplicando esto, la Ec. 3.11 quedaría:
3 ( ̌−Δ )−
+ '−3 −
()*
(+
, Δ =0
Δ =
-(./ 01+)0)*
34*
35
-2
Ec. 3.13
Teniendo en cuenta que Δ ( + Δ ) = Δ ( ) + Δ , la Ec. 3.13 permite obtener de forma
iterativa el valor de Δ en cada instante de modo que el problema queda resuelto.
4 Métodos analíticos para
deformaciones plásticas
el
cálculo
de
tensiones
y
En este apartado se describen los principales métodos estudiados para la estimación de
tensiones y deformaciones elasto-plásticas en el entorno de entallas analizados en los
apartados siguientes.
Los métodos analizados son válidos solo en aquellos casos en los que la tensión nominal
permanece por debajo del límite elástico del material, es decir, cuando no existe plastificación
de la sección neta (no existe colapso plástico). Además, se basan en la hipótesis de que, en los
casos en los que la plastificación se localiza en el entorno del borde de la entalla, la zona
plástica está controlada por el campo de tensiones elástico de los alrededores.
En estas condiciones se analizarán 5 métodos diferentes para la estimación de tensiones y
deformaciones en el entorno de una entalla.
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Las reglas de Neuber y Molski-Glinka se formulan para estados de carga uniaxial. Los
métodos restantes extrapolan las reglas anteriores al caso multiaxial para el caso de
magnitudes equivalentes, y completan la estimación del resto de términos de los tensores de
tensión y deformación mediante la introducción de ciertas hipótesis de cálculo.
4.1 Regla de Neuber
En mecánica de la fractura, se define el factor de intensificación de tensiones elástico, 67 ,
como:
67 =
8
Ec. 4.1
..donde:
Tensión en la entalla
entalla
8
Tensión nominal, tensión de referencia medida lejos de la zona de influencia de la
Esta definición es aplicable para el rango de comportamiento elástico. En estas condiciones,
la relación entre tensión y deformación es unívoca a través del módulo elástico, de modo que:
67 =
8
=
9
=
9 8
8
Ec. 4.2
Así, en régimen elástico, la relación entre tensión máxima y tensión nominal es igual a la
relación entre deformación máxima y deformación nominal.
Una vez superado el régimen elástico la definición de un único valor para relacionar valores
máximo y nominal de tensión y deformación en la entalla carece de sentido. En estas
condiciones se definen el factor de concentración de tensiones plástico,6) , y el factor de
concentración de deformaciones elástico, 6. ,como:
6) =
6. =
)
):
.
.:
Ec. 4.3
…de modo que: 67 ≠ 6) ≠ 6. .
La regla de Neuber establece que, en régimen plástico y para el caso uniaxial, se cumple
que:
67 = <6) 6.
Ec. 4.4
Sustituyendo la definición de cada uno de estos factores en la expresión anterior y usando
la condición de proporcionalidad existente entre las tensiones y deformaciones de puntos
diferentes en régimen elástico se tiene:
· =
∗
·
∗
Ec. 4.5
…siendo ∗ y ∗ la tensión y deformación elástica en el punto en el que se desean calcular
y suponiendo un material elástico lineal, también llamadas tensión y deformación pseudoelásticas.
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Gráficamente, representando la expresión dada por la regla de Neuber en los mismos ejes
− de la ley de comportamiento del material se obtiene una hipérbola. Efectivamente:
=
·
·
1
Ec. 4.6
Evidentemente, si la regla de Neuber es cierta, la tensión y deformación reales en un punto
afectado por el comportamiento plástico debe cumplir tanto la regla de Neuber como la ley de
comportamiento del material, de modo que será posible determinar la respuesta elasto-plástica
en dicho punto mediante la intersección de ambas curvas.
Hipérbola
de Neuber
Ley de
comportamiento
(D)
(D)
Figura 4-1.- Obtención gráfica de tensión y deformación reales mediante la regla de Neuber
Nótese que esta regla está formulada en términos de magnitudes monoaxiales. Se puede
demostrar sin embargo que, para carga proporcional, las relaciones dadas por ley de
comportamiento monoaxial (ensayo de tracción) y la ecuación Ec. 4.6 (hipérbola de Neuber),
pueden formularse en términos de la tensión y deformación equivalentes sin más que sustituir
en la hipérbola de Neuber tensión y deformación pseudo-elásticas por tensión y deformación
equivalentes pseudo-elásticas. Será ésta (en términos de las magnitudes equivalentes) la
forma en la que se utilizará esta regla en este proyecto tal y como se verá en los métodos
siguientes.
4.2 Regla de Molski-Glinka
La regla de Molski-Glinla se basa en los mismos principios o hipótesis que la regla de
Neuber, pero incluye además la hipótesis de que la energía de deformación elasto-plástica en
los puntos afectados por el comportamiento plástico es igual a la energía de deformación en el
mismo punto para un material elástico lineal.
5
Para el caso de un material cuya ley de comportamiento sigue la ley de Ramberg-Osgood ,
la regla de Molski-Glinka se formula como:
9
5
=
9
+'
,
, siendo '
,
+
∗
B/8@
2
'
,
=
@ + 1 6′
9
La ley de Ramberg-Osgood para la definición de la curva de comportamiento de un material se establece como:
6′
1/ ′
6′
1/ ′
la parte plástica de la deformación.
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Ec. 4.7
Esta expresión de nuevo puede ser representada en ejes uniaxiales − y la intersección
de la curva resultante con la ley de comportamiento del material definirá la respuesta elastoplástica del material.
Al igual que en el sucedía con la regla de Neuber, aprovechando las características de la
carga proporcional es posible re-escribir la ecuación Ec. 4.7 en términos de la magnitudes
equivalentes correspondientes. Será ésta la forma en la que se utilizará esta regla como se
verá en los métodos siguientes.
4.3 Método de Hoffmann & Seeger
El método desarrollado por Hoffmann & Seeger (ver Ref-2 y Ref-3) para la estimación de las
tensiones y deformaciones elasto-plásticas en zonas de concentración de tensiones se basa en
las hipótesis de partida siguientes:
-
Material de Von Mises
Se pretender calcular las tensiones y deformaciones multiaxiales en el punto de tensión
máxima.
Se conoce la solución elástica en el punto objeto de estudio.
Carga proporcional o en fase
Estas hipótesis llevan de forma inmediata a los resultados siguientes:
-
-
La tensión equivalente se definen según lo establecido en la Ec. 2.7.
El punto en el que se pretende determinar la respuesta del material es un punto situado
en el contorno exterior de la pieza, de modo que en este punto, por condición de
ha de ser 0.
frontera, la tensión principal mínima,
Conocemos la tensión y deformación pseudo-elásticas en el punto objeto de estudio.
Es posible establecer una relación unívoca entre tensiones y deformaciones, o lo que
es lo mismo, la repuesta no depende del camino de carga. Son de aplicación las
ecuaciones de Hencky (ver sección 2.8).
Bajo estas condiciones, el procedimiento para la obtención de las componentes de los
tensores y es claro, obtención de las tensiones y deformaciones equivalentes en el punto
de tensiones máximas mediante la aplicación de las reglas de Neuber o Molski-Glinka en
términos de magnitudes equivalentes, y la posterior obtención de las componentes de los
tensores de tensión y deformación elasto-plásticos mediante la aplicación de las ecuaciones
establecidas por la teoría de la plasticidad.
Una vez obtenidas
establecen lo siguiente:
y
, las ecuaciones de Hencky planteadas en ejes principales
H
F
F
G
F
F
E
…siendo:
B
=
=
=
I@ =
·(
·(
·(
B
− I@ · (
− I@ · (
− I@ · (
B
B
+
))
+
))
+
6
))
1
1
− J − IK ·
2
2
9·
6
El planteamiento de las ecuaciones en ejes principales se establece para reducir el número de incógnitas del
problema.
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Ec. 4.8
En el sistema de ecuaciones anterior se tienen 3 ecuaciones con 6 incógnitas ( LM N LM ). Es
necesario por tanto completar el problema. Para ello se introduce una ecuación más, la
definición de la tensión equivalente según el criterio de Von Mises en ejes principales, es decir:
=
1
√2
<(
B
−
) +(
−
) +(
−
B)
Ec. 2.7
De este modo, se dispone de un sistema de 4 ecuaciones con 6 incógnitas, de modo que es
necesario imponer dos condiciones de contorno para la resolución del problema:
-
-
La primera condición de contorno propuesta por Hoffmann&Seeger ya se comentó en
las hipótesis de partida del método. Suponiendo que el punto en el que se desean
calcular las tensiones sea un punto de la superficie de la pieza se cumplirá, por
condición de frontera, que
= 0.
La segunda condición de contorno se basa en un resultado experimental obtenido por
Hoffmann & Seeger para ciertos materiales y probetas y según la cual, puede
considerarse que la relación / B se mantiene a lo largo de toda la respuesta del
material, esto es:
B
P
QRS7T0+QRS7LUR
=
B
P
QáS7LUR
Ec. 4.9
Con estas condiciones adicionales el problema quedaría cerrado y sería posible obtener
todas las componentes de los tensores de tensión y deformación reales mediante la resolución
del sistema de ecuaciones establecido por Ec. 4.8.
4.4 Método de Navarro
El método de A.Navarro (ver Ref-4) para la estimación de las tensiones y deformaciones
elasto-plásticas en zonas de concentración de tensiones se basa en las mismas hipótesis de
partida que el método de Hoffmann & Seeger con la salvedad de que no exige que el punto
objeto de estudio se encuentre sobre la superficie de la pieza.
El método es simple. Partiendo de la solución elástica en el punto objeto de estudio, cálculo
de la tensión y deformación equivalentes en ese punto mediante la aplicación de las reglas de
Neuber o Molski-Glinka en términos de magnitudes equivalentes, y estimación de las
componentes del tensor de tensiones elasto-plastico usando la hipótesis de proporcionalidad
derivada de la consideración de cargas en fase. En este sentido, el método propone calcular un
factor de proporcionalidad W definido como:
W=
∗
Ec. 4.10
∗
…donde
representa la tensión elástica equivalente asociada a la solución elástica
asociada o tensión equivalente pseudo-elástica.
De este modo, el método proponer calcular las componentes del tensor de tensiones como:
LM
=W·
LM
∗
Ec. 4.11
…donde las
LM
∗
representan la solución elástica de partida para el punto objeto de estudio.
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Estimado el tensor de tensiones elasto-plástico, las componentes del tensor de
deformaciones pueden obtenerse de la aplicación de las ecuaciones de Hencky (Ec. 2.47).
4.5 Método de la respuesta elástica en deformación
Como se comentó en el apartado 1, la estimación de las tensiones en la zona de respuesta
plástica mediante la ley de respuesta elástica del material ofrece resultados muy superiores a
los reales. Esta estimación no es sin embargo tan conservativa en términos de la deformación
tal y como se representa en la imagen siguiente:
Predicción
elástica
(D)
Sobre-estimación
de la tensión
Incertidumbre en
la estimación de la
deformación
(D)
Figura 4-2.- Error en la estimación de tensión y deformación mediante la respuesta elástica
Parece claro que la deformación real debe estar en un rango mucho menor entorno al valor
predicho por la respuesta elástica. A priori este valor real de la deformación no es conocido. En
base a esto, el método propone suponer que la predicción dada por la respuesta elástica es
exacta para el caso de la deformación, y calcular a partir de ella los términos del tensor de
tensiones mediante las ecuaciones de Hencky.
El procedimiento de aplicación de este método se describe en detalle en Ref-5. Sin
embargo, en el procedimiento recogido en dicho informe se indica que las deformaciones
elásticas deben ser asumidas como plásticas, y que tras la aplicación de las ecuaciones de
Hencky para el cálculo de las componentes del tensor de tensiones, se debe llevar a cabo un
proceso iterativo hasta conseguir la convergencia de la solución obtenida en términos de
tensiones. Dado que se está partiendo de una solución en deformaciones no real, no es posible
llegar a tal convergencia. Además, la asunción de las deformaciones elásticas como plásticas
carece de sentido en el rango elástico, lo que lleva a errores importantes en esta zona de la ley
de comportamiento del material.
En base a lo anterior, se propone la siguiente variante del método descrito en Ref-5:
1. Obtención de la solución elástica en el punto de interés
2. Asunción del campo de deformaciones elástico obtenido como campo de deformaciones
total
3. Cálculo de la tensión elástica equivalente según el criterio de Von Mises (Ec. 2.8)
4. Cálculo de la deformación elástica equivalente a partir de la tensión elástica equivalente
y el módulo elástico del material
5. Asunción de la deformación elástica equivalente obtenida como deformación
equivalente elasto-plástica
6. Cálculo de tensión equivalente elasto-plástica a partir de la deformación equivalente y la
ley de comportamiento del material (Ec. 5.2)
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7. Cálculo
del
coeficiente
de
Poisson
y
módulo
elástico
I X y 9 X respectivamente (Ec. 2.45 y Ec. 2.46)
8. Cálculo de las componentes del tensor de tensiones (Ec. 2.48)
tangenciales, 5 Aplicación
5.1 Geometría analizada
Para el estudio de los métodos de estimación de las tensiones elasto-plásticas descritos en
puntos anteriores, se ha estudiado la probeta analizada por Hoffmann & Seeger según se
describe en Ref-2.
La geometría y dimensiones de la probeta se muestran en la imagen siguiente (imagen
extraída de Ref-2):
Zona de aplicación de
condiciones de contorno en
desplazamientos
Zona objeto de estudio
Punto de aplicación de la carga
Figura 5-1.- Dimensiones de la probeta analizada
5.2 Sistema de coordenadas local
El sistema de coordenadas local de la probeta se considera situado sobre el eje de la misma
en la sección que delimita el final del radio de acuerdo de la entalla, siendo el Z el eje de la
probeta y con sentido positivo hacia el punto de aplicación de la carga.
La imagen siguiente muestra el sistema de referencia local considerado:
X
Z
Figura 5-2.- Sistema de Coordenadas Local de la probeta.
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