Distribución de asentamientos elásticos producidos por una

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos
e Ingeniería Geotécnica
Sociedad Mexicana de
Ingeniería Geotécnica, A.C.
Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo
Distribución de asentamientos elásticos producidos por una configuración de
carga superficial compleja
Elastic settlement distribution produced by a complex surface load configuration
Miguel MÁNICA
1
1
Estudiante de posgrado, Universidad Nacional Autónoma de México
RESUMEN: A pesar de que el suelo generalmente presenta un comportamiento no lineal, la teoría de la elasticidad ha
sido satisfactoriamente utilizada para el cálculo de asentamientos inmediatos en suelos finos saturados y suelos que
exhiben un comportamiento aproximadamente lineal en los rangos de esfuerzos de trabajo. Algunas de las soluciones
para el cálculo de asentamientos elásticos disponibles consideran geometrías regulares, por lo que importantes
simplificaciones son necesarias en el caso de cimentaciones de planta irregular. En el presente artículo se expone un
procedimiento para el cálculo simultáneo de los asentamientos elásticos debajo de cada una de las áreas formadas por
una retícula bidimensional, sometida a una distribución de carga cualquiera, en la superficie de un medio elástico
estratificado. Se presentan algunos ejemplos con diferentes distribuciones de carga. Los resultados son comparados con
el programa de elemento finito PLAXIS. Finalmente, se proporciona una liga para descargar el código fuente y la
aplicación generada en el lenguaje de programación FORTRAN, para la fácil y rápida aplicación del procedimiento
descrito.
ABSTRACT: Although the soil generally exhibit a non-linear behavior, the elasticity theory has been satisfactorily used for
immediate settlement calculations in saturated fine grain soils and soils showing an approximate linear behavior for
working stresses. Some of the solutions for elastic settlement calculations consider regular geometries, and important
simplifications must be done for irregular shape foundations. In the present paper a procedure is described for the
simultaneous elastic settlement calculation under each area formed by a bi-dimensional grid subject to any load
distribution, in the surface of a stratified elastic half-space. Some examples with different load distributions are presented.
Results are compared with the finite element program PLAXIS. Finally, a web link is supply to download the source code
and the application built in FORTRAN, for the easy and quick application of the described procedure.
1 INTRODUCCIÓN
εz =
1.1 Antecedentes
Los asentamientos son producto del cambio en el
estado de esfuerzos en el suelo, el cual produce el
rolado, deslizamiento, aplastamiento y distorsión
elástica de sus partículas en una determinada zona
de influencia. Es posible definir de manera general a
los asentamientos como la acumulación de éstos
movimientos en la dirección de interés (Bowles
1997) y expresarlo mediante la ecuación (1).
H
ΔH = ∫ ε z dH
(1)
0
donde: ΔH = asentamiento; εz = deformación unitaria
en dirección z; y H = espesor del estrato.
En el marco de la teoría de la elasticidad, la
deformación unitaria puede ser expresada por la
ecuación (2).
Δq z
Em
(2)
donde: Δqz = incremento de esfuerzo en la dirección
z; y Em = módulo edométrico.
El módulo edométrico puede relacionarse con el
módulo de Young, E, obtenido de pruebas triaxiales
mediante la ecuación (3).
Em =
(1 −ν )
1
=E
(1 + ν )(1 − 2ν )
mv
(3)
donde: mv = módulo de compresibilidad volumétrica;
E = módulo de Young; y ν = relación de Poisson.
Sustituyendo la ecuación (2) en la (1) tenemos:
H
ΔH =
Δqz
∫ Em
dH
(4)
0
En la integración de la ecuación (4), Δqz debe ser
sustituido por una función que represente la
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
2
Distribución de asentamientos elásticos producidos por una configuración de carga superficial compleja
variación del incremento de esfuerzo vertical
respecto a la profundidad. Boussinesq (1885) obtuvo
dicha función a partir de la teoría de la elasticidad,
para una carga puntual vertical, en la superficie de
un medio semi-infinito, homogéneo, isótropo y
linealmente elástico. Soluciones similares fueron
presentadas por Westergaard (1938) para medios
con deformación lateral restringida y por Fröhlich
(1934) para medios anisotrópicos. Mediante la
integración de estas soluciones, se obtuvieron las
expresiones para la distribución de esfuerzos
producida
por
diferentes
áreas
regulares
uniformemente cargadas, tales como rectángulos,
círculos y triángulos (Fadum 1941, Zeevaert 1980,
Damy y Casales 1985). Una recopilación de las
expresiones para diferentes tipos de cargas puede
encontrarse en Poulos y Davis (1974). En el caso de
áreas con formas arbitrarias, Newmark (1942)
presentó un método gráfico mediante cartas de
influencia, y Damy y Casales (1985) presentaron un
método donde se realiza la adecuada adición y
sustracción del esfuerzo producido por áreas
triangulares parciales. Por la naturaleza de ambos
métodos, éstos no proveen una expresión que
pueda sustituir a Δqz en la integración de la ecuación
(4), aunque en casos de aplicación práctica, pueden
ser utilizados sustituyendo a dH por un espesor finito
Hi, calculando así el asentamiento con la ecuación
(5).
n
ΔH = ∑
i =1
Δq zi
E mi
Hi
(5)
donde: n = número de estratos; Δqzi = incremento
del esfuerzo vertical al centro del estrato i; Emi =
módulo edométrico del estrato i; y Hi = espesor del
estrato i.
Debido a que la ecuación (5) considera la
deformación unitaria al centro del estrato como
representativa del mismo, en el caso de grandes
espesores o suelos de alta compresibilidad ésta
expresión puede conducir a errores considerables.
Un procedimiento aproximado para el cálculo de
asentamientos bajo áreas con formas arbitrarias
puede consultarse en Gazetas et al. (1985).
En el caso de formas regulares, sí es posible la
integración de la deformación unitaria con la
profundidad a partir de una determinada función de
distribución de esfuerzo. Mediante la integración de
la solución de Boussinesq, Schleicher (1926)
presentó una expresión para el cálculo de
asentamientos elásticos bajo la esquina de un área
rectangular uniformemente cargada, en la superficie
de un medio homogéneo y semi-infinito (ecuación 6).
1 −ν 2
(6)
Ip
E
donde: q = carga uniformemente distribuida; B =
dimensión más pequeña del rectángulo; e Ip = factor
de influencia.
ΔH = qB
En el caso de un estrato de espesor finito, el
factor Ip se obtiene a partir de la ecuación (7), donde
I1 e I2 son determinados según Steinbrenner (1934)
con las ecuaciones (8) y (9) respectivamente.
I p = I1 +
1 − 2ν
I2
1 −ν
(7)
⎡
(1 + M 2 + 1 ) M 2 + N 2
⎢M ln
1 ⎢
M (1 + M 2 + N 2 + 1 )
I1 = ⎢
π ⎢
(M + M 2 +1 ) 1 + N2
+
ln
⎢
M + M 2 + N 2 +1
⎣
I2 =
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎛
⎞
N
M
⎟ (radianes )
tan −1 ⎜
⎜
⎟
2
2
2π
⎝ N M + N + 1 ⎠
(8)
(9)
donde: M = L/B; N = H/B; L = dimensión más larga; y
H = espesor del estrato medido desde la superficie.
En el caso de suelos estratificados es posible
utilizar un promedio ponderado del módulo de
Young, E, o utilizar la ecuación (10) referida a la
Figura 1.
n
⎡ΔH (H i , E i ,ν i ) −⎤
ΔH (H i −1 , E i ,ν i )⎥⎦
i =2 ⎣
ΔH total = ΔH (H1 , E1 ,ν 1 ) + ∑ ⎢
(10)
donde: ΔH(Hi, Ei, νi) = valor obtenido con las
ecuaciones (6), (7), (8) y (9) utilizando los
parámetros Hi, Ei, νi correspondientes al estrato i
(Fig. 1).
Figura 1. Medio estratificado
1.2 Objetivos
El objetivo del presente artículo es exponer un
procedimiento para el cálculo de asentamientos en
el que a partir de la expresión de Schleicher
(ecuación 6) para áreas rectangulares, sea posible la
obtención de la distribución de asentamientos
producida por una configuración de carga irregular
flexible, en la superficie de un medio elástico
estratificado.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
MÁNICA M.
1.3 Alcances
Se presenta de manera general, el desarrollo del
procedimiento antes descrito. Se obtienen las
distribuciones de asentamientos producidas por
diferentes configuraciones de carga con el uso de la
aplicación ESETTLE, generada en el lenguaje de
programación FORTRAN, a partir del procedimiento
presentado.
Los
resultados
obtenidos
son
comparados con el programa de elemento finito
PLAXIS. Adicionalmente, se proporciona una liga
para descargar el código fuente y la aplicación
generada.
2 DESARROLLO
Se considera un área rectangular de dimensiones A
y B como la mostrada en la Figura 2, la cual es
discretizada en n número de filas y m número de
columnas, para formar una retícula de cuadrantes
rectangulares. Suponiendo válido el principio de
superposición, el asentamiento al centro de uno de
los cuadrantes será igual a la suma del
asentamiento producido en ese punto, debido a la
carga aplicada en cada uno de los cuadrantes de la
retícula, tal como lo expresa la ecuación (11).
ΔH ji =
n
m
∑ ∑ δ jixy
d j = a( j ) −
a
,
2
d i = b( i ) −
b
2
3
(12)
donde: dj = distancia en dirección “x” del origen al
punto bajo análisis; di = distancia en dirección “y” del
origen al punto bajo análisis; a = A/m; b = B/n; j,i =
identifican el punto bajo análisis (Fig. 2).
Análogamente, la posición del centro del
cuadrante cargado podrá determinarse a partir de
las de las siguientes expresiones:
d x = a( x ) −
a
,
2
d y = b( y ) −
b
2
(13)
donde: dx = distancia en dirección “x” del origen al
centro del área cargada; dy = distancia en dirección
“y” del origen al centro del área cargada; x,y =
identifican el cuadrante cargado (Fig. 2).
Pueden presentarse cuatro casos diferentes en el
xy
cálculo de δ ji, los cuales pueden identificarse en la
Figura 3 y se describen en las siguientes secciones.
(11)
y =1 x =1
donde: ΔHji = asentamiento total en el punto ji; n =
xy
número de filas; m = número de columnas; y δ ji =
asentamiento en el punto ji debido a la carga
aplicada en el cuadrante xy.
Figura 3. Diferentes casos de análisis presentes en el
procedimiento descrito.
2.1 Caso 1
Ocurre cuando el punto donde se calcula el
asentamiento pertenece al cuadrante donde está
ubicada la carga. Se identifican cuatro áreas iguales
designadas como C1, tal como se muestra en la
Figura 4, por lo que asentamiento puede ser
calculado con la ecuación (14).
Figura 2. Discretización del área bajo análisis
xy
La forma en la que δ ji es calculado, depende de
la posición relativa entre el punto ji bajo análisis y el
cuadrante xy cargado. Tomando como origen el
punto O (Fig. 2), la posición del punto bajo análisis
podrá determinarse como se indica a continuación:
Figura 4. Esquema del caso 1
⎛
δ jixy = 4⎜⎜ q xy BC1
⎝
⎞
1 −ν 2
IC1 ⎟⎟
E
⎠
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(14)
4
Distribución de asentamientos elásticos producidos por una configuración de carga superficial compleja
donde: qxy = magnitud de la carga en el cuadrante
xy; BC1 = dimensión más pequeña del área C1; e IC1
= factor de influencia calculado con las ecuaciones
(7), (8) y (9) tomando en cuenta que B=BC1 y L=LC1.
Los valores de BC1 y LC1 son determinados de la
siguiente forma:
Si a ≥ b,
BC1 =
de lo contrario,
b
2
BC1
LC1 =
a
=
2
a
2
LC1
b
=
2
2.3 Caso 3
Ocurre cuando el punto en el que se calcula el
asentamiento está en la misma fila donde se ubica el
cuadrante cargado. El asentamiento puede ser
calculado con la ecuación (19) considerando las
áreas mostradas en la Figura 6.
(15)
2.2 Caso 2
Ocurre cuando el punto en el que se calcula el
asentamiento está en la misma columna donde se
ubica el cuadrante cargado. El asentamiento puede
ser calculado con la ecuación (16) considerando las
áreas mostradas en la Figura 5.
Figura 6. Esquema del caso 3
1 −ν 2
(19)
(BC4 IC4 − BC5 IC5 )
E
Los valores de BC4, LC4, BC5 y LC5 son
determinados de la siguiente forma:
δ jixy = 2q xy
Si d j − d x +
a b
≥ ,
2 2
b
a
LC 4 = d j − d x +
2
2
de lo contrario ,
a
b
BC 4 = d j − d x +
LC 4 =
2
2
BC 4 =
Figura 5. Esquema del caso 2
1 −ν 2
(16)
(BC2 IC 2 − BC3 IC 3 )
E
Los valores de BC2, LC2, BC3 y LC3 son
determinados de la siguiente forma:
δ jixy = 2q xy
Si d i − d y +
b a
≥ ,
2 2
a
b
LC 2 = d i − d y +
2
2
de lo contrario ,
b
a
BC 2 = d i − d y +
LC 2 =
2
2
BC 2 =
Si d i − d y −
a b
≥ ,
2 2
b
a
LC 5 = d j − d x −
2
2
de lo contrario ,
a
b
BC 5 = d j − d x −
LC 5 =
2
2
BC 5 =
(21)
2.4 Caso 4
b a
≥ ,
2 2
a
b
LC 3 = d i − d y −
2
2
de lo contrario ,
b
a
BC 3 = d i − d y −
LC 3 =
2
2
BC 3 =
(17)
Si d j − d x −
(20)
(18)
Finalmente el caso cuatro ocurre cuando el punto en
el que se calcula el asentamiento no está ni en la
misma fila, ni en la misma columna donde se ubica
el cuadrante cargado. El asentamiento puede ser
calculado con la ecuación (22) considerando las
áreas mostradas en la Figura 7.
δ jixy = q xy
1 − ν 2 ⎛ BC6 IC6 − BC7 IC7 ⎞
⎜
⎟
E ⎝ − BC8 I C8 + BC9 IC9 ⎠
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(22)
MÁNICA M.
Los valores de BC6, LC6, BC7, LC7, BC8, LC8, BC9 y LC9
son determinados de la siguiente forma:
Figura 7. Esquema del caso 4
5
Para tomar en cuenta en los cálculos un medio
estratificado, bastará con aplicar la ecuación (10) en
xy
el cálculo de δ ji. De esta forma, evaluando la
ecuación (11) en los puntos centrales de cada uno
de los cuadrantes de la retícula, se obtendrá la
distribución de asentamientos en el área
considerada. Es importante hacer notar que la
magnitud de la carga en cada uno de los cuadrantes
(qxy) puede ser diferente e incluso igual a cero.
No es la intención del autor el uso del
procedimiento descrito mediante cálculos manuales,
si no la implementación de éste en cualquier
lenguaje de programación. Para el análisis de los
ejemplos que se describen a continuación se utilizó
la aplicación ESETTLE construida en el lenguaje de
programación FORTRAN, a partir del procedimiento
propuesto en el presente artículo. Dicha aplicación,
así como su código fuente pueden ser descargados
en la siguiente liga:
http://miguelmanica.webs.com/descargas
3 VALIDACIÓN
a
b
≥ di − dy + ,
2
2
b
a
BC 6 = d i − d y +
LC 6 = d j − d x +
2
2
de lo contrario
a
b
BC 6 = d j − d x +
LC 6 = d i − d y +
2
2
3.1 Ejemplo 1 “Área rectangular con distribución de
carga uniforme”
Si d j − d x +
(23)
La estratigrafía considerada en todos los ejemplos
consiste en dos estratos cuyas propiedades se
resumen en la Tabla 1. Por debajo de los mismos,
se encuentra un estrato resistente donde las
deformaciones son despreciables.
Tabla 1. Estratigrafía considerada
b
a
≥ d j − dx − ,
2
2
a
b
BC7 = d j − d x −
LC7 = d i − d y +
2
2
de lo contrario ,
b
a
BC7 = d i − d y +
LC7 = d j − d x −
2
2
(24)
b
a
≥ d j − dx + ,
2
2
a
b
BC 8 = d j − d x +
LC 8 = d i − d y −
2
2
de lo contrario ,
b
a
BC 8 = d i − d y −
LC 8 = d j − d x +
2
2
(25)
b
a
≥ d j − dx − ,
2
2
a
b
BC 9 = d j − d x −
LC 9 = d i − d y −
2
2
de lo contrario ,
b
a
BC 9 = d i − d y −
LC 9 = d j − d x −
2
2
(26)
Si d i − d y +
Si d i − d y −
Si d i − d y −
Estrato
#
1
2
Espesor
(m)
7.00
8.00
γ
(kN/m³)
16.0
18.0
E
(MPa)
15.0
30.0
ν
0.30
0.35
En el presente ejemplo se considera un área
rectangular uniformemente cargada con las
dimensiones mostradas en la Figura 8. El
asentamiento se evaluó en un área de 30 x 20 m, la
cual fue discretizada en 30 columnas y 20 filas para
el uso del programa ESETTLE. En el caso del
programa PLAXIS, se generó una malla
tridimensional de elementos finitos compuesta de
4,116 elementos y 12,255 puntos nodales. La
extensión de la malla en planta es de 45 x 30 m, a
fin de evitar efectos de frontera. Ambos estratos
fueron modelados con una ley elástica lineal.
Los resultados obtenidos con ambos programas
fueron procesados mediante un software para
construir mapas de contorno. En la Figura 9 se
presentan las distribuciones de asentamientos
obtenidas. En la Figura 10 se muestran los perfiles
de asentamientos a través de los cortes AA’ y BB’,
cuya ubicación puede observarse en la Figura 8.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
6
Distribución de asentamientos elásticos producidos por una configuración de carga superficial compleja
3.2 Ejemplo 2 “Área con forma y distribución de
carga irregular”
Figura 8. Configuración de carga considerada en el
ejemplo 1.
Se considera un área de forma irregular con la
distribución de carga mostrada en la Figura 11. El
área donde se evalúan los asentamientos es igual
que en el ejemplo 1, pero ésta fue discretizada en
120 columnas y 80 filas para el uso del programa
ESETTLE. El modelo generado en PLAXIS cuenta
con 6,816 elementos y 19,905 puntos nodales y su
extensión también es la misma que el ejemplo 1.
En la Figura 12 se presentan las distribuciones de
asentamientos obtenidas con ambos programas, y
en la Figura 13 los perfiles de asentamientos de los
cortes AA’ y BB’, identificados en la Figura 11.
Figura 11. Configuración de carga considerada en el
ejemplo 2.
Figura 9. Distribución de asentamientos del ejemplo 1
Asentamiento (cm)
0.0
1.0
2.0
3.0
Corte AA'
ESETTLE
PLAXIS
4.0
5.0
0.0
5.0
10.0
15.0
Distancia (m)
20.0
25.0
30.0
Asentamiento (cm)
0.0
1.0
2.0
3.0
Corte BB'
ESETTLE
PLAXIS
4.0
5.0
0.0
5.0
10.0
Distancia (m)
15.0
20.0
Figura 12. Distribución de asentamientos del ejemplo 2
Figura 10. Perfiles de asentamiento en los cortes AA’ y BB’
del ejemplo 1.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
7
MÁNICA M.
0.0
Asentamiento (cm)
0.5
1.0
Corte AA'
1.5
2.0
2.5
3.0
ESETTLE
PLAXIS
3.5
4.0
0.0
5.0
10.0
15.0
Distancia (m)
20.0
25.0
30.0
0.0
Asentamiento (cm)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Corte BB'
3.0
ESETTLE
PLAXIS
3.5
4.0
0.0
5.0
10.0
Distancia (m)
15.0
20.0
Figura 13. Perfiles de asentamiento en los cortes AA’ y BB’
del ejemplo 2.
3.3 Ejemplo 3 “Conjunto de áreas de forma
irregular y con diferentes distribuciones de carga”
Figura 15. Distribución de asentamientos del ejemplo 3
0.0
Asentamiento (cm)
0.5
1.0
1.5
2.0
Corte AA'
2.5
ESETTLE
PLAXIS
3.0
3.5
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
Distancia (m)
30.0
35.0
40.0
0.0
Asentamiento (cm)
Se considera un conjunto de cuatro áreas de forma
irregular y con diferentes valores de presión de
contacto tal como se muestra en la Figura 14. El
área donde se evalúan los asentamientos y la
descretización de dicha área, es la misma que en el
ejemplo 2. La malla tridimensional de elementos
finitos esta formada por 5,604 elementos y 16,471
puntos nodales.
En la Figura 15 se presentan las distribuciones de
asentamientos obtenidas, mientras que en la Figura
16 se muestran los perfiles de asentamientos
correspondientes a los cortes AA’ y BB’ identificados
en la Figura 14.
0.5
1.0
Corte BB'
ESETTLE
PLAXIS
1.5
2.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
Distancia (m)
30.0
35.0
40.0
Figura 16. Perfiles de asentamiento en los cortes AA’ y BB’
del ejemplo 3.
4 CONCLUSIONES
Figura 14. Configuración de carga considerada en el
ejemplo 3.
A pesar de que las dificultades que presentan las
geometrías irregulares han sido superadas con
ayuda de métodos numéricos como el método de
elementos finitos o el método de diferencias finitas,
en muchas ocasiones no se disponen de los
recursos para acceder a estas herramientas, o
simplemente no se cuenta con ningún procedimiento
alternativo para verificar sus resultados. El método
descrito y validado en el presente artículo, presenta
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
8
Distribución de asentamientos elásticos producidos por una configuración de carga superficial compleja
una alternativa para el cálculo de asentamientos
elásticos producidos por distribuciones de carga
superficiales irregulares. En los tres ejemplos
presentados, se verificó una gran congruencia entre
el método expuesto y el método de elemento finito,
siendo este último un poco más conservador en
todos los casos. Es importante mencionar que la
expresión de Schleicher (1926) es obtenida a partir
de la integración de la solución de Boussinesq
(1885), por lo que en casos donde esta distribución
de esfuerzos no sea adecuada para la estratigrafía
analizada, el método presentado no será la mejor
alternativa de solución.
REFERENCIAS
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l’etude de l’equilibre et du mouvement des solides
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pp. 121-124.
Westergaard, H.M (1938). “A Problem of Elasticity
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Material Reinforced by Numerous Strong
Horizontal
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Contributions
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the
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Anniversary Volume, Macmillan, New York, pp.
17-26.
Zeevaert, L. (1980). Interacción suelo estructura de
cimentación, México, Limusa.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.