Pappus

SALVAR A UN MATEMÁTICO DO ESQUECEMENTO
· PAPPUS ·
ÍNDICE
· Vida
· Teorema do centroide
· O tesoro da análise
· O teorema harmónico
· Teorema do hexágono
· Herdanza VIDA
Viviu aproximandamente, entre os seculos III e IV.
Foi un gran matemático grego da escola alexandrina, e escribiu comentarios ós Elementos de Euclides e á
Gran Sintaxe Matemática de Tolomeo, chamada Algamesto polos árabes.
A súa obra principal , a Colección matemática, escritta hacio o 340, ten unha gran importancia dende o punto
de vista histórico posto que, ademáis de ser unha exposición completa e sistemática dos coñecementos da súa
época, recolle anacos, en ocasións íntegros, das obras que constituíanos fundamentos da ensinanza das
matemáticas na cidade de Alexandría, hoxe en gran parte perdidas.
A colección, composta por oito libros, case todos conservados (agás o primeiro e parte do segundo), contén
unha serie de proble que introducen nocións geométricas importantes, coma o foco dunha parábola o a
directriz dunha cónica, e os enunciados de moitos teoremas, entre eles, o que expresa a superficie e o volume
das figuras de revolución.
En xeometría, existen varios teoremas que son coñecidos co nome xenérico de Teorema de Pappus, atribuidos
a Pappus de Alexandría.
Entre eles están:
TEOREMA DO CENTROIDE DE PAPPUS:
Este teorema di que a área dunha supercine de revolución xenerada mediante a rotación dunha curva plana (C)
sobre un eixe externo a C sobre o mesmo plano, é igual á lonxitude de C multiplicada pola distancia
percorrida polo seu centroide.
Por ejemplo,
O área da superficie dun toriode de eixe menor (r) e eixe mayor (R)
1
O TESORO DA ANÁLISE
Pappus nos explica que a análise é un método que consiste en considerar como coñecido aquello que se busca,
e obter as consecuencias de ello ata cegar a algo que se admite xa coma un resultado de síntese.
Recoñece a análise coma unha solución á inversa cunhas etapas que teñen que percorrerse despois en orde
oposto para que constituan unha demostración válida no sentido usual.
Se a análise conduce a algo imposible, entón o problema tamén será imposible, xa que unha conclusión falsa
implica unha premisa falsa.
TEOREMA HARMÓNICO DE PAPPUS
Di así:
Se se fai xirar unha unha curva pechada e plana arredor dunha recta que non a corta e situada no seu mesmo
plano, entón o volume do sólido enxendrado se obtén multiplicando o área pechada pola curva, pola lonxitude
da circunferencia que descibe o centro da gravedade de esa área nun xiro completo.
Se trata do teorema máis xeneral pertenecente ó dominio do cálculo infinitesimal que nos encontramos na
antigüidade.
TEOREMA DO HEXÁGONO DE PAPPUS
No libro V, Pappus demostrou que dos polígonos có mesmo perímetro, o que ten maior número de lados é o
que ten maior área.
Así sacou a conclusión de que as abellas demostraban ter algunha forma de inteligencia matemático ó
construír as súas celdillas en forma de prisma hexagonal e non triangular nin cadrado. Así, estes insectos,
terán un maior espacio para gardar a mel.
No libro VII, Pappus, seguindo a súa tendencia ás xeneralizacións, estivo preto do principio fundamental da
geometría analítica.
Os únicos medios coñecidos polos antigos para para definir curvas planas eran:
• A definición cinemática na que se considera un punto movéndose sometido a dous movementos
simultáneos.
• A sección por un plano dunha certa superficie geométrica tal como un cono, unha esfera ou un cilindro.
Entre estas últimas curvas estaban certas cuárticas que se poden obter cortando o anel de áncora ou toro por
un plano.
Nalgunhas ocasións, chamou a atención dos gregos algunha curva alabeada, entre as que hai que contar a
hélice cilíndrica e análoga da espiral arquimediana sobre unha superficie esférica, coñecida−las dúas por
Pappus, pero o certo é que a xeometría grega limitouse básicamente ó estudio das curvas planas e, de feito, a
unha contidade moi limitada de curvas planas.
No libro VII da Colección, Pappus propón a generalización dun problema máis antigo, que implica a
consideración de infinitos tipos novos de curvas planas.
Este problema sole ser coñecido, incluso na súa forma máis sinxela, coma o teorema de Pappus, pero o
2
plantexamento original relativo a tres ou catro rectas parece remontarse á época de Euclides. Este
identificabao lugar geométrico en cuestión, pero solo para algúns casos especiais, mentres que Apolunio
parece haber dado coa solución completa, nunha obra que se perdeu. Sen embargo, Pappus da a impresión de
crer que os geométricos anteriores fracasaran nos seus intentos de obter unha solución xeneral, e quere dar a
entender que foi el quen demostrou primeiro que o lugar geométrico buscado é unha sección cónica en tódolos
casos.
HERDANZA DE PAPPUS
A Colección de Pappus é o último tratado matemático antigo verdaderamente importante, dado que os intentos
do autor de revitalizar e relanzar a xeometría non tiveron éxito.
Siguéronse escibrindo obras matemáticas en grego durante outros mil anos máis aproximadamente,
continuando a tradición que había comezado outros mil anos antes, pero os autores que sucederon a Pappus xa
non alcazaron a elevarse nunca o seu nivel, sendo as súas obras casi exclusivamente comentarios de tratados
anteriores.
Pappus mismos é en parte o responsable dos omnipresentes comentarios que ían seguir, porque tamén el
escribiu comentarios sobre os Elementos de EUclides e sobre Almagesto de Ptolomeo, entre outros, dos que
solo se conservan algúns fragmentos.
Os comentarios posteriores, tales como os de Teón de Alexandría sonnos máis últiles dende o punto de vista
da información histórica que dos resultados matemáticos que conteñen.
3