UNIDAD

UNIDAD
3
Polígonos
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TRIÁNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. CONSTRUCCIONES ELEMENTALES DE TRIÁNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Criterios de igualdad de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Construcción del triángulo dados dos lados y el ángulo que forman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Construcción del triángulo dados un lado y dos ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Construcción del triángulo dados los tres lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Construcción del triángulo dados dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos . . . . . . . . . . . .
3. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS CONOCIDA LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS LADOS .
3.1. Construcción del triángulo dado un lado, el ángulo opuesto y la suma de los lados que lo forman
3.2. Construcción del triángulo dado un lado, el ángulo opuesto y la diferencia entre los lados que lo forman
4. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE CUADRILÁTEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. CONSTRUCCIÓN DE TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Construcción del trapezoide dados cuatro lados y una diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Construcción del trapezoide dada la suma de una diagonal y un lado, los otros tres lados y un ángulo
5.3. Construcción del trapezoide dada la diferencia de una diagonal y un lado, los otros tres lados y un ángulo
5.4. Construcción del trapecio dados tres lados y una diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Construcción del trapecio dados dos ángulos que no compartan el mismo lado, una base y un lado
5.6. Construcción del trapecio dadas las bases, un lado y uno de los ángulos opuestos . . . . . . . . . . .
6. CONSTRUCCIÓN DE PARALELOGRAMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Construcciones de paralelogramos dados dos lados y un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Construcciones de paralelogramos dados un lado y dos diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Construcciones de paralelogramos dada una diagonal, un lado y un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Aunque no seamos conscientes de ello, los polígonos están presentes en nuestro
entorno. En la naturaleza, los brazos de la estrella de mar y los pétalos de algunas flores definen un pentágono, las celdillas de un panal son hexágonos, los cristales de
nieve se organizan creando estructuras hexagonales,... El hombre utiliza los polígonos
para organizar y dar forma a sus edificios, objetos, espacios urbanos, parques,... Los
técnicos se ayudan de los polígonos para trazar planos de la superficie terrestre o de
construcciones y terrenos de la ciudad y el medio rural...
Se dedica este tema al conocimiento de los polígonos y al estudio de sus construcciones, y se inicia haciendo tres consideraciones:
56
La realización de las construcciones requiere el dominio de las operaciones elementales y de las construcciones fundamentales.
La sistematización de las construcciones se ha efectuado a partir de los criterios de
igualdad de triángulos y de la triangulación, para facilitar la orientación entre un gran
número de casos.
Estos son los contenidos esenciales de la Unidad:
T
Conceptos básicos y clasificación de triángulos, cuadriláteros y polígonos.
T
Casos elementales de construcción de triángulos. Construcción de triángulos a partir de la suma de sus lados.
T
Reducción de los casos de construcción de cuadriláteros y polígonos a los de construcción de triángulos.
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UNIDAD
POLÍGONOS
1. Conceptos básicos sobre triángulos
El triángulo es la porción de plano limitada por tres rectas secantes.
Los puntos de intersección se llaman vértices y los segmentos comprendidos
entre ellos, lados. Ángulos interiores son los comprendidos entre cada dos lados y
sus adyacentes son los ángulos exteriores.
La notación que se va a emplear asigna a los vértices las mayúsculas A, B, C, a
cada uno de sus lados opuestos las minúsculas a, b, c, e identifica los ángulos
mediante su vértice ( Â , B̂ , Ĉ ).
Los triángulos pueden clasificarse por el valor de sus ángulos o por el número de
lados iguales que tienen, como puede verse en la Ilust. 1.
A
A
c
Aˆ , Bˆ , Cˆ ⟨ 90º
B
Acutángulo
b
B
a
C
B
C
c
B
Bˆ = 90º
Rectángulo
b=c
c
b
a=b=c
a
Equilátero
Isósceles
Bˆ ⟩ 90º
Obtusángulo
c
b
a≠b≠c
Escaleno
Ilustración 1
Los elementos del triángulo, o relacionados con él, son: lados, ángulos, puntos
y rectas notables, circunferencia inscrita y circunscrita, perímetro, suma de dos
lados, semejanza con otro,... y todos ellos pueden ser datos para construirlo.
El mínimo número de datos para construir un triángulo son tres. En el caso de
los triángulos isósceles, rectángulos o equiláteros, pueden reducirse a dos o uno si
el dato es un elemento del que existen dos o tres iguales. También son precisos
menos datos cuando el triángulo tiene algún elemento de valor conocido, como el
ángulo de noventa grados del rectángulo.
No se pueden tener en cuenta datos que se deduzcan de otros, por ejemplo, los
tres ángulos de un triángulo cuentan como dos datos, ya que el valor del tercer
ángulo se deduce a partir de los dos primeros.
58
En algunas construcciones, para que exista solución, los datos deben cumplir
ciertas condiciones. También es posible con unos mismos datos encontrar varias
soluciones. Por ello, en algunas ocasiones la construcción se acompaña de un texto,
en el cual se discuten las condiciones de existencia de solución.
2. Construcciones elementales de
triángulos
2.1. Criterios de igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tienen iguales todos sus lados y ángulos, pero es
suficiente que se cumplan unas condiciones mínimas llamadas criterios:
Primero. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo que
forman.
Segundo. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos ángulos y el lado común.
Tercero.
Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus tres lados.
Cuarto.
Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
Los criterios de igualdad definen cuatro grupos de datos mínimos para construir triángulos, por lo que son la base de las cuatro construcciones elementales de
triángulos. Cada una de ellas admite simplificaciones para triángulos isósceles, rectángulos o equiláteros, cuya construcción es idéntica considerando los datos conocidos o repetidos, por ello se presentan acompañando al caso general con un texto
común.
2.2. Construcción del triángulo dados dos
lados y el ángulo que forman
Sean a y c dos lados de un triángulo escaleno y B̂ el ángulo que forman (Ilust.
2 arriba).
Se dibuja una semirrecta cuyo origen será B y a partir de ella se transporta el
ángulo B̂ . Sobre sus lados se transportan a y c, obteniéndose los vértices A y C.
La construcción se particulariza en los triángulos isósceles y rectángulo de
acuerdo con los títulos de la Ilust. 2. Su construcción sigue los mismos pasos que la
del triángulo escaleno.
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UNIDAD
POLÍGONOS
a
A
c
c
c
B
B̂
B̂
a
a
B
C
Escaleno dados dos lados y el ángulo que forman
a
a
B
c
a
a
c
A
B̂
c
c
B̂
B
A
c
a
C
a
Isósceles dados un lado y un ángulo
a
B
C
Rectángulo dados los dos catetos
Ilustración 2
2.3. Construcción del triángulo dados un
lado y dos ángulos
A
a
B
B̂
Ĉ
B̂
a
B
a
C
Escaleno dados dos ángulos y el lado común
C
a
a
B̂
B̂
B
B̂
a
A
Ĉ
A
a
B
Ĉ
a
C
Isósceles dada la base y un ángulo
Ĉ
C
B
a
C
Rectángulo dado un cateto y un ángulo
Ilustración 3
Siguiendo lo establecido en el segundo criterio los datos serán dos ángulos
B̂ , Ĉ , y el lado común a (Ilust. 3), pero en el título de esta construcción elemental
se generaliza para dos cualesquiera, ya que dados dos ángulos es posible deducir
el tercero.
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Sobre una semirrecta se transporta el lado común a. En los vértices B y C se
transportan los ángulos B̂ y Ĉ
cuyos lados cierran el triángulo.
La condición para que exista solución es que B̂ + Ĉ < 180º ya que en caso
contrario no se cierra el triángulo.
La construcción se particulariza en los triángulos isósceles y rectángulo de
acuerdo con los títulos de la Ilust. 3. Su construcción sigue los mismos pasos que la
del triángulo escaleno.
2.4. Construcción del triángulo dados los
tres lados
A
a
b
c
c
c
b
b
a
B
a
C
Escaleno dados los tres lados
a
b
a
b
A
A
a
b
b
a
B
a
a
C
Isósceles dada la base y un lado
B
a
a
C
Equilátero dado un lado
Ilustración 4
Sean a, b, c los lados del triángulo (Ilust. 4).
Sobre una semirrecta se transporta el lado a y con centro en los vértices B y C
se trazan dos arcos de radios c y b respectivamente, que se cortan en el tercer vértice A.
La construcción se particulariza en los triángulos isósceles y equilátero de acuerdo con los títulos de la Ilust. 4. Su construcción sigue los mismos pasos que la del
triángulo escaleno.
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3
UNIDAD
POLÍGONOS
2.5. Construcción del triángulo dados dos
lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos
a
A
b
c
B
b
B̂
b
B̂
a
a
B
C
Escaleno dados dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos
b
A
a
b
b
c
a
B
a
C
Rectángulo dada la hipotenusa y un cateto
Ilustración 5
Sean a, b los lados del triángulo y B̂ el ángulo opuesto al mayor de ellos b (Ilust. 5).
Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta el lado a. En B y a
partir de a, se transporta el ángulo . Con centro en C y radio b se traza un arco que
corta al lado c en el tercer vértice A.
Si h es la altura del vértice C sobre el lado
c, los valores que puede tomar b determinan la existencia de solución:
A
A
3 Cuando a > b > h existen dos soluciones.
3 Cuando b > a la solución es única.
3 Cuando b = h o b = a se obtiene un
triángulo rectángulo o isósceles.
b
A
3 Cuando b < h no se cierra el triángulo.
h
A
B
b
b
b
b
a
C
La construcción se particulariza para el triángulo rectángulo en la Ilust. 5. abajo. Su
construcción sigue los mismos pasos que la del triángulo escaleno.
62
3. Construcción de triángulos conocida la suma o la diferencia de dos lados
3.1. Construcción del triángulo dado un lado, el
ángulo opuesto y la suma de los lados que lo forman
a+b
c
D
Ĉ 2
Ĉ
A´
b
180 − Ĉ
b
A
Ĉ
A
C
c
a+b
Ĉ
a
c
B
B
C
D
a+b
Ilustración 6
Sea c un lado, Ĉ el ángulo opuesto y a + b la suma de los lados que lo forman
(Ilust. 6).
Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta a + b. Tomando D
como vértice, se transporta el ángulo Ĉ a partir de a + b y se halla su bisectriz. Se
traza un arco con centro en B y radio c, que cortará a la bisectriz en dos posibles vértices A y A´. Elegimos uno cualquiera y trazamos la mediatriz del segmento AD , que
corta a a + b en el tercer vértice C.
En la figura de análisis se parte del triángulo solución ABC, y se transporta el
lado b a continuación de a, obteniendo el triángulo isósceles ACD. El valor del ángu-
(
)
lo D̂ se obtiene de la expresión: 180º −Ĉ + D̂ + D̂ = 180º de donde D̂ = Ĉ 2
Es posible construir primero el triángulo ABD del cual conocemos dos lados c,
a + b y el ángulo opuesto al menor de ellos D̂ = Ĉ 2 . La mediatriz de la base AD, del
triángulo isósceles ACD, determinará sobre el lado BD el vértice C.
63
3
UNIDAD
POLÍGONOS
3.2. Construcción del triángulo dado un lado, el
ángulo opuesto y la diferencia entre los lados
que lo forman
a-b
c
A
b
90 − Cˆ 2
90 + Cˆ 2
B
a-b
Ĉ
Ĉ
c
Ĉ
A
C
c
b
D
a
B
a-b
D
C
Ilustración 7
Sea c un lado, Ĉ el ángulo opuesto y a - b la diferencia entre los lados que lo
forman (Ilust. 7).
Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta a - b. Tomando el
punto D obtenido como vértice, se construye un ángulo de 90º, a partir de a - b.
Yuxtapuesto al ángulo de 90º se transporta el ángulo Ĉ y se halla su bisectriz. Se
traza un arco con centro en B y radio c, que cortará a la bisectriz en el vértice A. La
mediatriz del segmento AD corta a la prolongación de a - b en el tercer vértice C.
En la figura de análisis se parte del triángulo solución ABC y se transporta b
sobre el lado a, a partir de C, obteniendo el triángulo isósceles ADC, cuyos ángulos
iguales son 90º − Ĉ 2 .
Es posible construir primero el triángulo ABD, del cual conocemos dos lados c,
a - b y el ángulo opuesto al mayor de ellos 90º − Ĉ 2 . La mediatriz de la base AD del
triángulo isósceles ADC, determinará sobre la prolongación del lado BD el vértice C.
64
Aplicación
F
B
c
a
a/ b = 5/ 3
5u
E
c
Ĉ
Ĉ
C
3u
C
D
A
b
Datos
Figura de análisis
Construcción
Construcción de un triángulo dado un lado c, el ángulo opuesto Ĉ y la razón
entre los lados que lo forman a / b = 5 / 3.
En la figura de análisis se han dibujado el triángulo solución de lados a, b y
otro de lados 5u y 3u donde u es una cantidad de longitud cualquiera. Según el
Primer Criterio ambos son semejantes ya que a / 5u = b / 3u y Ĉ es común.
En el procedimiento ideado se construye el triángulo CDE y se obtiene su
semejante ABC, superponiendo el lado c = DF sobre su correspondiente DE y
trasladándolo mediante la paralela FB a DA.
4. Conceptos básicos sobre
cuadriláteros
El cuadrilátero es la porción de plano limitada entre cuatro rectas secantes.
Los elementos del cuadrilátero son los mismos del triángulo, con la excepción de
las diagonales, que son los segmentos cuyos extremos son vértices opuestos del
cuadrilátero. En el trapecio los lados paralelos reciben el nombre de bases y se llama
paralela media al segmento paralelo que equidista de ambas, cuyos extremos son
las intersecciones con los lados.
La notación que se va a emplear asigna las mayúsculas A, B, C, D, a los vértices, y las minúsculas a, b, c, d, e, f, a los lados correlativos y a las diagonales
AC y BD.
Los cuadriláteros se clasifican atendiendo al paralelismo entre sus lados y
sus propiedades definen relaciones entre ángulos y lados, como puede verse en
la Ilust. 8.
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3
UNIDAD
POLÍGONOS
D
Trapezoide
c
d
f
4 Lados
A
e
C
a
b
B
D
Trapecios
2 Lados paralelos
Aˆ + Dˆ = Bˆ + Cˆ = 180º
C
A
B
T. Escaleno
T. Isósceles
T. Rectángulo
2 Lados iguales
2 Ángulos rectos
Diagonales iguales
C
D
Paralelogramos
2 Pares de lados paralelos
Lados opuestos iguales
Aˆ = Cˆ y Bˆ = Dˆ
Aˆ + Bˆ = Bˆ + Cˆ = L = 180º
B
A
Romboide
Rombo
Rectángulo
Las diagonales se cortan
4 Lados iguales
4 Ángulos rectos
en el punto medio
Diagonales
Diagonales iguales
perpendiculares
Cuadrado
4 Lados iguales + 4 Ángulos rectos
Diagonales iguales y perpendiculares
Ilustración 8
El número de datos necesarios para construir un cuadrilátero es cinco, e igual
que en el triángulo se pueden reducir hasta uno para los cuadriláteros especiales.
Las diagonales son, tanto un dato, como un elemento auxiliar que permite dividir el
cuadrilátero en dos o cuatro triángulos y así reducir sus construcciones a los casos
conocidos de construcción de triángulos.
Consecuentemente la existencia de solución está condicionada a la de los triángulos que se construyen.
5. Construcción de trapecios y
trapezoides
5.1. Construcción del trapezoide dados
cuatro lados y una diagonal
C
C
c
a
D
c
b
d
f
b
f
c
D
d
A
a
f
B
B
d
a
A
Ilustración 9
66
e
Sean a, b, c, d los lados y f la diagonal del trapecio que se desea construir.
La construcción se reduce a la de los triángulos ABD y BCD cuyos lados son
conocidos. En la Ilust. 9, se transporta la diagonal f sobre una semirrecta y se determinan los vértices A y C mediante dos pares de arcos de centros D y B y radios (d,
a), y (c, b).
5.2. Construcción del trapezoide dada la
suma de una diagonal y un lado, los otros
tres lados y un ángulo
a+f
b
c
E
C
d
C
c
f
D
D
B
a+f
d
Â
b
c
Â
a
A
b
d
Â
A
f
B
a
E
a+f
Ilustración 10
Sea a + f la suma del lado a y la diagonal f, Â el ángulo y b, c, d tres lados
(Ilust. 10).
La construcción se reduce a la de los triángulos ABD dada la suma de los lados
a y f, el lado d y el ángulo  y BCD dados los tres lados f, b, c.
En la figura de análisis se ha transportado el lado f del triángulo ABD, sobre la
prolongación del lado a, obteniéndose el triángulo isósceles BED. La mediatriz de su
base ED corta en B el lado a + f del triángulo AED que construimos previamente,
pues conocemos sus dos lados d, a + f y el ángulo que forman  .
En la construcción se transportan primero  , a + f, d, obteniendo ED , cuya
mediatriz determina B. Obtenido el lado BD = f se trazan arcos de radios c, b y
centros D, B que se cortan en C.
67
3
UNIDAD
POLÍGONOS
5.3. Construcción del trapezoide dada la
diferencia de una diagonal y un lado, los
otros tres lados y un ángulo
a-f
b
C
c
Â
d
f
D
c
b
B
D
c
C
d
d
Â
E
f
a
b
Â
a-f
A
A
a-f
B
E
a
Ilustración 11
Sea a - f la diferencia del lado a y la diagonal f, Â el ángulo y b, c, d tres lados.
(Ilust. 11)
La construcción se reduce a la de los triángulos ABD dada la diferencia de los
lados a y f, el lado d y el ángulo  y BCD dados los tres lados f, b, c.
En la figura de análisis se ha transportado el lado f del triángulo ABD sobre el
lado a, obteniéndose el triángulo isósceles BDE. La mediatriz de su base ED corta
en B a la prolongación del lado a - f del triángulo AED que construimos previamente,
pues conocemos sus dos lados d, a - f y el ángulo que forman  .
En la construcción se transportan primero  , a - f, d, obteniendo ED , cuya
mediatriz determina B. Obtenido el lado BD se trazan arcos de radios c, b y centros
D, B que se cortan en C.
68
5.4. Construcción del trapecio dados tres
lados y una diagonal
D
d
A
α
e
α
b
C
α
a
d
A
a
c
a
d
e
b
D
e
α
B
B
C
b
Ilustración 12
Sean a, b, d tres lados y e la diagonal del trapecio que deseamos construir.
La construcción se reduce a la del triángulo ABC dados sus tres lados a, b, e y
a la del triángulo ACD dados dos lados e, d y el ángulo comprendido α.
En la Ilust. 12 se ha trasladado el lado b a partir del origen B de una semirrecta,
trazando después arcos de radios a y e, con centros en B y C, que se cortan en el
vértice A.
En el vértice A, a partir de la diagonal e, se transporta el ángulo α. Sobre el lado
obtenido se transporta d, quedando determinado el cuarto vértice D.
5.5. Construcción del trapecio dados dos
ángulos que no compartan el mismo lado,
una base y un lado
Los ángulos que comparten un mismo lado son suplementarios, así pues, conocidos un ángulo de cada lado, podemos deducir los cuatro ángulos del trapecio.
c
D
d
C
a
d
b
D
Â
f
A
a
f
d
B
Â
C
Ĉ
Â
Ĉ
A
a
B
Ilustración13
Sean a y d un lado y una base, Â su ángulo comprendido y Ĉ el opuesto.
69
3
UNIDAD
POLÍGONOS
La construcción se reduce a la del triángulo ABD dados dos lados a, d y el ángulo
comprendido  y a la del triángulo BCD a partir de su lado f y de los ángulos  y Ĉ
que definen la dirección de sus otros dos lados.
En la Ilust. 13, una vez construido el triángulo ABD, se transporta el ángulo Ĉ a
partir de la prolongación del lado a y el ángulo  a partir del lado c, pero con vértice en D. Aplicamos así la igualdad entre los ángulos alternos internos, determinando el vértice C en la intersección de los lados de dichos ángulos.
5.6. Construcción del trapecio dadas las
bases, un lado y uno de los ángulos opuestos
C
c
D
e
A
D
b
b
d
d
c
Â
c
a
a-c
E
a
c
d
B
C
d
b
Â
Â
A
c
E
a
a-c
B
Ilustración 14
Mediante la paralela CE al lado d por el vértice C, se reduce el problema a la
construcción del triángulo BCE dados dos lados b, a - c y el ángulo opuesto a uno de
ellos  y del triángulo ACD dados sus tres lados e, c, d.
En la Ilust. 14 se han transportado los lados a y c sobre una semirrecta a partir
de su origen A, obteniéndose a - c = EB . En el vértice E se transporta el ángulo Â
a partir del lado a - c. Con centro en B y radio b se traza un arco que cortará al lado
d en el vértice C.
Con centro en los puntos A y C se trazan dos arcos de radios d y c que se cortarán en D.
La solución será única si lo es la del triángulo BCE, es decir, sí b > a - c.
70
6. Construcción de paralelogramos
6.1. Construcciones de paralelogramos
dados dos lados y un ángulo
c=a
D
a
C
d
d
A
B
a
C
D
b=d
d
Â
Â
a
A
Romboide dados dos lados y un ángulo
B
a
Â
a
A
Â
A
Rombo dados un lado y un ángulo
a
a
d
d
d
a
a
A
Rectángulo dados dos lados
a
a
A
Cuadrado dado un lado
a
Ilustración 15
En la Ilust. 15 se presenta la construcción del romboide, acompañada de las del
rombo, rectángulo y cuadrado.
La construcción del romboide ABCD dados dos lados a, d y el ángulo que
forman  , se reduce a la de los triángulos:
•
ABD dados los lados a, d y el ángulo que forman  ;
•
BCD dados sus tres lados BD , b = d, c = a.
La construcción de los demás paralelogramos se diferencia únicamente en que
ambos triángulos pueden ser isósceles o rectángulos.
71
3
UNIDAD
POLÍGONOS
6.2. Construcciones de paralelogramos
dados un lado y dos diagonales
c=a
D
d
e
A
a
C
e
f
b=d
f
e/2
f/2
B
a
Romboide dado un lado y dos diagonales
e
f
f
a
A
e
B
e/2
A
B
f/2
Rombo dadas dos diagonales
a
e/2
e
e
e/2
a
Rectángulo dado un lado y una diagonal
a
A
B
e
e/2
e
A
e/2
B
Cuadrado dada una diagonal
Ilustración 16
En la Ilust. 16 se presentan dos métodos de construcción diferentes según de
qué tipo de paralelogramo se trate:
•
El romboide y el rectángulo se construyen dividiendo los lados e, f en dos
partes iguales, construyendo el triángulo de lados a, e / 2, f / 2 (en el rectángulo e / 2 = f / 2) y completando las diagonales.
•
Los cuatro vértices del rombo y del cuadrado quedan determinados al construir sus dos diagonales, que son perpendiculares entre sí y se cortan en el
punto medio. Para ello, se transporta la diagonal e, se halla su mediatriz y se
transporta sobre ella, a partir del punto medio de e y a ambos lados, f/2 (en
el cuadrado e / 2 = f / 2).
72
6.3. Construcciones de paralelogramos
dada una diagonal, un lado y un ángulo
c=a
D
f
d
F
b=d
D
α
α
α
α
D´
f
D
d
Â
B
a
Romboide dada una diagonal,
un lado y un ángulo
A
f
a
C
C
a
A
F
f
f
Â
B
Rombo dada una diagonal y un ángulo
A
B
a
D
a
f
C
d
Â
A
B
D
f
α
Â
f
a
A
Rombo dada una diagonal y un lado
a
B
Ilustración 17
En la Ilust. 17 se presenta una construcción del romboide, dos del rombo, y ninguna del rectángulo y cuadrado, pues al reducirse los datos al lado y a la diagonal
coinciden con las ya tratadas.
La construcción del romboide ABCD dados el lado a, el ángulo  y la diagonal
f, se reduce a la de los triángulos:
•
ABD dados los lados a, f y el ángulo opuesto a uno de ellos  . Esta construcción presenta dos soluciones, ya que al ser f < a, el arco de centro B y
radio f corta en dos puntos D y D´ al lado d. Obtendremos pues dos romboides posibles con estos datos.
•
BCD dados sus tres lados BD , b = d, c = a.
La construcción del rombo dada la diagonal f y el ángulo  parte de la del triángulo auxiliar ADF, isósceles e igual al ABD, como se deduce en la figura de análisis
de la igualdad de los ángulos α.
73
3
UNIDAD
POLÍGONOS
Se transporta el ángulo  sobre una semirrecta y se halla la bisectriz del ángulo exterior del mismo vértice, sobre la que se transporta f a partir de A. Se traza la
paralela al lado a por el punto F que cortará al lado d en D. Con centro en los puntos A y D se trazan dos arcos de radio d, que cortan a la semirrecta y su paralela en
B y C.
La construcción del rombo dada la diagonal f y el lado a se reduce a la de dos
triángulos de lados a, a, f.
7. Conceptos básicos sobre polígonos
Línea quebrada o poligonal es aquella formada por segmentos, ordenados de
tal modo, que uno intermedio tiene un extremo común con el anterior y otro con el
siguiente. Los extremos libres son el origen y el extremo de la quebrada.
Polígono es una línea quebrada cerrada, es decir, su extremo y su origen coinciden.
Se identificará un polígono ABCDEFG mediante sus vértices, que son los extremos de los segmentos que lo forman, que a su vez serán los lados a, b, c, d, e, f, g
del polígono.
•
Ángulos interiores son los formados por dos lados consecutivos y reciben
su nombre del vértice ( Â , B̂ , ...). Su suma es 180º × (n - 2) donde n es el
número de lados. Ángulos exteriores (α, β, χ, …) son los adyacentes de los
ángulos interiores. Su suma es 360º.
•
Diagonal es cada uno de los segmentos determinados por dos vértices no
consecutivos del polígono. En el heptágono regular de la Ilust. 18 se han
dibujado todas las diagonales posibles en trazo discontinuo.
d
D
C
E
e
F
c
B
D
f
C
a
E
G
A
Linea quebrada
o poligonal
C
E
D
F
Ĉ
β
A
G
b
B
χ
B̂
B
Â
α
F
G
A
Polígono
no convexo
Polígono
convexo
Ilustración 18
74
Polígono
regular
Polígono convexo es la porción de plano limitada por un polígono, tal que al
trazar la recta que contiene a cada uno de sus lados, ésta deja a todos los vértices
del polígono situados del mismo lado. En el heptágono no convexo de la Ilust. 18 se
puede ver que la recta AB divide el plano en dos semiplanos, quedando en uno de
ellos los vértices F, G y en el otro C, D, E, mientras que en el heptágono convexo
quedan C, D, E, F, G en un semiplano y en el otro ninguno.
Los polígonos se nombran atendiendo al número de sus lados, así tenemos:
triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono,
decágono, undecágono, dodecágono,...
Los polígonos convexos pueden ser equiláteros si tienen todos sus lados iguales, equiángulos si tienen todos sus ángulos iguales, regulares si cumplen simultáneamente ambas condiciones e irregulares en caso contrario.
El número de datos necesarios para construir un polígono de n lados es 2n - 3.
La triangulación del polígono permite reducir su construcción a los casos conocidos
de construcción de triángulos. Por ello los datos deben ser del mismo tipo que los
empleados para construir triángulos o cuadriláteros.
Recuerda
T
Todas las construcciones deben iniciarse dibujando una figura de análisis.
T
El número de datos necesarios para construir un polígono de n lados es 2n 3, pero si este tiene elementos conocidos o iguales, se reduce.
T
Las 4 construcciones elementales de triángulos permiten resolver la mayoría
de las construcciones de polígonos, mediante su triangulación y el empleo del
método de reducción.
75
UNIDAD
3
POLÍGONOS
Actividades
a
b
1. Construir el trapecio ABCD siendo a, b,
c, d sus cuatro lados.
c
d
2. Construir el triángulo rectángulo ABC
siendo a + c la suma de la hipotenusa
a y el cateto c y b el otro cateto.
a+c
b
c
3. Construir el triángulo ABC siendo
a / b = 6 / 5 la razón entre los lados a y
a/ b = 6/ 5
b, c el tercer lado y  un ángulo.
Â
26
4. El pentágono dibujado a trazo grueso
sobre el croquis de la sección de un
restaurante mirador define la forma de
su espacio interior. Dibujarlo a escala
1:700 utilizando las medidas acotadas
en metros.
20
15º
6
60º
40
COTAS EN METROS
p
5. Construir el triángulo ABC siendo p su
perímetro y  , B̂ dos ángulos.
Â
76
B̂