Experimentos aleatorios

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Tema 9.- Cálculo de Probabilidades
Experimentos aleatorios
Existen experimentos en los que podemos predecir el resultado antes de que finalicen o incluso de que comiencen,
son los llamados experimentos deterministas. Por el contrario, hay otros experimentos en los cuales no se
puede predecir el resultado antes de realizarlos, son los experimentos aleatorios.
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en
un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro
o relaciones parecidas.
Suceso
Espacio muestral (E ó  )
Suceso aleatorio
Cada uno de los resultados posibles
de una experiencia aleatoria
Conjunto de todos los posibles
resultados de una experiencia
aleatoria
Cualquier subconjunto del espacio
muestral
Suceso elemental
Suceso compuesto
Es cada uno de los elementos que forman parte del
espacio muestral
Es cualquier subconjunto del espacio muestral
Suceso seguro (E)
Suceso imposible ()
Está formado por todos los posibles resultados (es
decir, por el espacio muestral)
Es el que no tiene ningún elemento
Sucesos compatibles
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen
algún suceso elemental común
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no
tienen ningún elemento en común
Sucesos independientes
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la
probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque
haya sucedido o no B
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la
probabilidad de que suceda A se ve afectada porque
haya sucedido o no B
Diagrama de Venn
Los sucesos admiten una representación gráfica que facilita su interpretación
S
A
Si el espacio muestral tiene n elementos, el espacio de sucesos tiene 2n elementos.
Operaciones con sucesos
Igualdad de sucesos
Intersección de sucesos
Unión de sucesos
Están compuestos por los mismos
elementos
El suceso intersección es “ocurren A
y B a la vez”
El suceso unión es “ocurre A u
ocurre B o ambos a la vez”
A=B
AB
AB
S
A
B
Si A y B son incompatibles
AB=
S
A
B
La intersección de dos conjuntos
siempre es menor que la unión (es
menor que el propio conjunto)
á
á
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Matemáticas _ CCSS _ 2º Bachillerato
Suceso Contrario
Diferencia de Sucesos
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza
cuando no se realiza A
Diferencia entre A y B es el suceso que consta de los
elementos que están en B pero no están en A
A
B−A
S
S
A
A
B
B−A=B−AB
B−A=AB
Propiedades de las operaciones con sucesos
Intersección
Unión
Conmutativa
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
Asociativa
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Idempotente
A∩A=A
A∪A=A
Simplificación
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A
Distributiva
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Elemento neutro
A∩E=A
A∪=A
Absorción
A ∪  = A
A∪E=A
Leyes de De Morgan
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B
Asignación de probabilidades. Regla de Laplace
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables,
entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:
P A =
nº casos favorables a A
nº casos posibles
El inconveniente que plantea la definición de Laplace es que necesariamente los sucesos elementales tienen que
tener la misma probabilidad de ocurrir. Esto se resuelve con la definición axiomática de probabilidad
(Kolmogorov): una probabilidad P es una función que asocia a cada suceso A del espacio de sucesos S, un número
real P(A), y que cumple las propiedades:
1. 0  P(A)  1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1: P(E) = 1
3. Si A y B son incompatibles, es decir A  B = , entonces: P(AB) = P(A) + P(B)
Definición de Probabilidad
Si w1, w2, . . ., wn son los n sucesos elementales de un suceso aleatorio cualquiera, P una función P : S  R de
modo que cumple las propiedades:

0  P(wi)  1 ∀ i ∈ {1, 2, . . . ,n}

P(w1) + P(w2) + . . .+ P(wn) = 1
Entonces P es una probabilidad.
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Tema 9.- Cálculo de Probabilidades
Consecuencias de la definición de probabilidad
1) P(A) = 1 – P(A)
2) P() = 0
3) Si A y B son dos sucesos cualquiera: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
4) Si A, B y C son tres sucesos cualquiera: P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) +
P(ABC)
5) Si A  B, entonces P(A)  P(B)
6) Si E es infinito y S = {x1, x2,…, xn}, entonces P(S) = P(X1) + P(x2)+…+P(xn)
Probabilidad condicionada
La información obtenida B, modifica la probabilidad de A. Lo expresaremos como P(A/B) y se lee probabilidad de A
condicionada a B o probabilidad de A conociendo B.
P A =
P(A∩B)
P(B)
Sucesos independientes
Si bien el conocer cierta información adicional modifica la probabilidad de algunos sucesos, puede ocurrir que otros
mantengan su probabilidad, pese a conocer dicha información, es decir, p(A/B) = p(A). Cuando esto ocurre
diremos que los sucesos A y B son independientes (el hecho de que ocurra B no modifica la probabilidad de A).
P(AB) = P(A) · P(B)
No se deben confundir los conceptos de sucesos incompatibles y sucesos independientes. Dos sucesos son
incompatibles cuando no tienen elementos en común (AB = ):
S
A
B
Dos sucesos son independientes si P(AB) = P(A) · P(B). Son conceptos totalmente distintos: uno se refiere a
conjuntos y otro se refiere a probabilidades.
Experimentos compuestos. Teorema de la probabilidad total.
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.
P(AB) = P(B) · P(A/B)
P(AB) = P(A) · P(B/A)
0.6 €
La forma más sencilla de calcular probabilidades en experimentos
compuestos es un diagrama de árbol, donde en cada rama situamos la
probabilidad que le corresponde al suceso del final de dicha rama. Estas
probabilidades que se van poniendo en el árbol son probabilidades
condicionadas, porque dependen de los resultados anteriores.
A
0.4 $
0.5
0.6 €
0.25 B
0.4 $
0.25
0.6 €
C
0.4 $
á
á
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Matemáticas _ CCSS _ 2º Bachillerato
Teorema de la probabilidad total:
Si A1, A2, ..., An son sucesos incompatibles 2 a 2, y cuya unión es el espacio muestral (A1  A2  ...  An = E), y B
es otro suceso, resulta que:
P(B) = P(A1) · P(B/A1) + P(A2) · P(B/A2) + . . .+ P(An) · P(B/An)
El conjunto A1, A2, ..., An que verifica la incompatibilidad 2 a 2 y que la unión de todos ellos es el espacio muestral
se denomina sistema completo de sucesos y divide el espacio muestral en partes que no se solapan. Mediante
representación gráfica:
A1
A4
A2
A0
A3
Tablas de contingencia
Las tablas de contingencia están referidas a 2 características que presentan cada una dos o más sucesos.
Hombres
35
20
55
Casados
Solteros
Mujeres
45
20
65
Total
80
40
120
Teorema de Bayes
Como consecuencia del teorema de la probabilidad total y de las propiedades de la probabilidad condicionada,
resulta este importante teorema que permite calcular probabilidades condicionadas.
Si A1, A2, ..., An son sucesos incompatibles 2 a 2, y cuya unión es el espacio muestral (A1A2...An = E), y B es
otro suceso, resulta que:
P Ai B =
P Ai · P B Ai
P A1 ∙ P B A1 + P A2 ∙ P B A2 + ⋯ + P An ∙ P B An

Las probabilidades P(Ai) se denominan probabilidades a priori

Las probabilidades P(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori

Las probabilidades P(B/Ai) se denominan verosimilitudes