La estimación del ritmo de variación en series económicas

ESTADiSTiCA ESPAÑOLA
Vol. 33, Núm. 126, 1991, págs. 7 a 56
La estimación del ritmo de variación en
series económicas
por
F. MELIS MAYNAR
Agosto 1990
1.
INTRODUCCION (*)
2.
TASAS Y FI LTROS LI N EALES
3.
LA FUNCION DE GANANCIA
3.1 LECTURA DE LA FUNCION DE MODULO. TIPOLOGIA.
3.2 FILTROS DE PASO BAJO: INTERPRETACION Y CRITICA DE
LA FUNCION DE GANANCIA DE LAS MEDIAS MOVILES.
4.
EL COSTE DEL FILTRADO: EL DESFASE DE LOS FILTROS
4.1 LAS FUNCIONES DE FASE Y DESFASE EN LOS FILTROS DE
PAS O BAJ O .
4.2 LAS FUNCIONES DE FASE Y DESFASE EN LOS
DIFERENCIADORES.
(")
Este artículo es una reelaboración de "EI empleo correcto de tasas de variación"
publicado en la colección de Documentos de Trabajo del INE y se ha beneficiada de diversas
discusiones con Toi^i Espasa y Agustín Maravall y, especialmente, de la mantenida en el
Seminario sobre "EI crecimiento en las variables económicas'" que tuvo lugar ei 3 de Mayo de
1989 en el INE.
La solución aportada en el apartado 5.2 a la estimación conjunta de nivel y ritmo es fruto de
un periodo de trabajo con Agustín Maravall en el Instituto Universitario Europeo de Florencia.
Los comentarios de María Jesús Aguado, Pedro Díaz y Enrique Quilis del I N E a versiones
anteriores de este documento han permitido ordenar la exposición.
E-^^;^i A f)IS^T IC'.4 F^.Sf'A ÑOLA
5.
LA EST! MACI O N DE LA VARlAC 1 O N
5.1 LA INTERPRETACION DE LOS ESTIMADURES DE RITMO.
5.2. ESTRATEGIAS DE ESTIMACION DEL RITMO.
5.3. LA VARIACIOI^t DE REFEREIVCIA.
6.
CONCLUS1011^ES
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
RESUMEN
EI crecimiento en series económicas sue(e estimarse con tasas
intermensuales suavizadas calculadas sobre series desestacionalizadas por procedimientos que, como e( X11 o el SCA, no
explicitan la ganancia del filtro utilizado ni su desfase temporal,
es decir, e( número de predicciones necesarias.
De este modo se mezclan (as estimaciones definitivas con las
sujetas a revisión, se inducen ciclos espúreos y se introducen
desfases artificiales enfre (as series tratadas.
En este trabajo se emplea una aproximación frecuencial para
mostrar el problema de (a estimación de( ritmo
y de la extracción de señal en general
como una cuestión distinta a la de la
predicción cuyo objetivo es la obtención de una señal fiable,
robusta y actual o de mínimo coste.
^
La fiabilidad se identi#ica con la relevancia de la banda frecuencia( extraída, la robustez con el cociente de ganancias entre
las bandas de paso y de rechazo y la actualidad con e! desfase
de( filtro.
Como banda de paso re(evante se postula el entorno dei ciclo
de dos años que, por pertenecer a la banda cíclica, permite que
el estimador de crecimiento aproxime y anticipe el ciclo económico. Se defiende también e( emp(eo de la oscilación bianual
como variación de referencia para la sincronización de los diversos estimadores.
1_A E:;STIMAC'ION DE:I. RITMO C^E V.ARIAC"I(^11 E^:N SE_RIES E-(^ONOM1CAs
9
Se analizan críticamente los estimadores más habituales y se
presenta una tasa anual suavizada recursivamente (TAS) como
estimador fiable, robusto y actual del crecimiento que puede
aplicarse con rapidez y sencillez, en una hoja electrónica, sobre
cualquier tipo de series.
Se presenta asimismo una solución fiable y robusta a la estimación conjunta de nivel y ritmo.
.
Palabras clave.• Tasas de variación, extracción de señal, ciclo
económico, filtros ARMA, función de ganancia, función de
fase, desfase temporal, filtros pasa-banda, filtros paso-bajo,
fiitros de medias móvi{es simétrieos y antisimétricos.
Clasificación AMS: 62 P20, 90A 16, 90A20.
1.
INTRODUCCIQN
" - i.Subimos señor Ciro?
- No, bajamos,..., mejor dicho, caernos ".
Julio Verne. La isla misteriosa.
" Pero la recesión ya está aquí, asomando su fea cabeza bajo la forma de una desaceleración de las tasas de variación ".
Samuelson. Economics.
^
En el análisis de coyuntura, como en otros campos del análisis empírico,
el problema básico o más elemental, es el de la estimación de la dirección
y la velocidad de los movimientos esenciales de los procesos observados.
Pero aún cuando la estimación de la "dirección", en el sentido de nivel
local, tendencia local o componente de ciclo-tendencia, sea a menudo
necesaria, el análisis de coyuntura se realiza fundamentalmente en términos de las velocidades o ritmos de variación de las variab!es estudiadas,
hasta el punto de que la mayor parte de los instrumentos del anáiisis, como
los números índices, las encuestas de opinión y las encuestas en pane{ o
con rotación de la muestra están concebidos precisamente para la estimación de la variación.
Esta no se acomete en abstracto: para el analista de la coyuntura como
para el hombre de la calle, los movimientos relevantes o de mayor interés
son las fluctuaciones que se registran, a veces de forma rnuy brusca, entre
las épocas de prosperidad, de empleos fáciles, salarios crecientes y rápidos
beneficios, y ias épocas de recesión o depresión, de quiebras numerosas,
desempleo masivo y pesimismo generalizado, de forma que cualquier estimación de la velocidad deberá poder utilizarse en el seguimíento y la
anticipación de la^ fluctuaciones cíclicas.
1O
! ^ I ^^OIti I I( •^ E ^!' ^ti(^! •^
Estas oscilaciones de la producción, el empleo y por tanto del bienestar y
la seguridad económica colectiva, que caracterizan el '"ciclo de los negocios'" de las economías de mercado, son difíciles de observar en presencia
de fuertes movimientos tendenciales o a largo plazo. En este caso, como
ocurriá en el periodo 1960-73 en nuestro país o en 1950-73 en nuestro
entorno, el ciclo económico se observa bajo la forma de desviaciones
respecto a la tendencia a largo o como oscilaciones de un ritmo de crecimiento siempre positivo.
En este trabajo se exponen las relaciones existentes entre la estimación
del ritmo y la extracción del componente cíclico y se dernuestra que toda
estimación fiable y robusta de la variación en variables económicas proporciona una anticipación de las oscilaciones cíclicas de dichas variables.
Aunque la determinación de las velocidades sea el objetivo más elemental del análisis de covuntura, no puede decirse que se haya obtenido una
solución de aceptación generalizada. Por citar algunos ejemplos:
1. En el verano de 1 988 y de nuevo en el primer semestre de 1 990 los
analistas de la coyuntura han mantenido puntos de vista enfrentados sobre
el carácter expansivo o contractivo de los movimientos. Para la D.G. de
Previsián y Coyuntura y el I N E, los ritmos de crecimiento de los principaies
indicadores registran en e) primer semestre de 1990 una significativa
desaceleración mientras que el Servicio de estudios del Banco de España
considera que se mantiene un ritmo de crecimiento sostenido.
I ndependientemente de !as diferencias de acento sobre las diversas fuentes de información, aquí deben existir discrepancias importantes entre las
"señales" extraídas de los mismos datos.
2. Observando en 1930 series largas de construcción, S. Kuznets, premio Nobel de 1971, afirmó la existencia de oscilaciones entre quince y
veinticinco años. Sin embargo, Harvey (1 981 ) muestra que el ciclo puede
estar inducido por el proceso de filtrado, de modo que debiera de hablarse
de "error Kuznets" y no de "ciclo Kuznets".
3. Las evoluciones de los ritmos de variación de las magnitudes monetarias y el índice de produccián industrial que aparecen en los gráficos del
Boletín Económico del Banc^ de España están dominadas por oscilaciones
de periodo corto, de seis a ocho meses de periodo. Por el contrario, las
representaciones del ritrno de las mismas variables en el Boletín Trimestral
de Coyuntura del INE aparecen dominadas por oscilaciones de periodo
superior a dos años.
4. AI observar el índice de precios de consurno
u otras series de
parecida suavidad
quienes utilizen 1a tasa intermensual pueden afirmar
LA f-Si'I^ti1.^C'lOti [)FL RlT^ti1() C)E^^ V-^R11Ct()^ Eti ^E RIE ^ E('C)ti()ti1t('.^ti
{ 1
que la inflación se reduce mientras los usuarios de tasas interanuafes
pueden estar observando una inflacián creciente.
Algunos de estos problemas se derivan de una incorrecta interpretación
de las tasas. Gran parte de los economistas se resisten a contemplar las
tasas o sus análogos lineales
las diferencias
como riltros caracterizados por una función de ganancia y una función de fase. Y sin embargo
desde 1928 se conocen los "efectos de Slutzky y Yule", descritos detalladamente en Gottman (1980), que explican los movimientos cíclicos espúreos o artificiales que pueden introducirse en series aleatorias o no informativas con los adecuados filtros de medias móviles (efecto Slutzky) o
autoregresivos (efecto Yule).
Otros se derivan de diferencias de interpretación sobre el desfase de las
tasas. Puesto que la salida de una tasa adelanta, en general, a la serie de
entrada con un adelanto tanto mayor cuanto mayor es el periodo de la
oscilación, es preciso establecer una variación como referencia. Algunos
autores consideran que el ritmo de referencia debe ser la tasa intermensual
mientras que otros toman el ritmo interanual como referencia. Otros utilizan, en eI mismo informe, tasas anuales, mensuales o trimestrales sin
.
,
previa sincron^zacion.
Y si en el terreno teórico existen discrepancias, la práctica de la coyuntura está Ilena de auténticas "cajas negras"
como la mayor parte de las
procedimientos convencionales de desestacionalización y extracción del
ciclo-tendencia
que contribuyen a oscurecer la discusión ya que no suele
explicitarse el coste informativo o desfase temporal de los filtros empleados. AI aplicar tasas de variación sobre series desestacionalizadas o de
ciclo-tendencia se hace abstracción del desfase de 42 meses dei filtro de
extracción del ciclo-tendencia utilizado por el procedimiento XII de la oficina del Censo de EEUU ^estudiado en Melis t 1 986) capítulo 7) o del
desfase de 84 meses del filtro desestacior^alizador del XII. Y sin embargo
ése es el número de extrapolaciones que se están utilizando ir^plícitamente
para obtener la señal correspondiente al mornento actual y ése también es
el número de estimaciones sujetas a revisión conforme van apareciendo
nuevas observaciones.
En este trabajo se enfatiza {a idea, a menudo olvidada, de que los
procedimientos de estimación, ya sea de niveles (desestacionalización y
suavizado), de ritmos (tasas y diferencias suavizadas} o del componente
cíclico, y en general todo proceso de extracción de señal, implica un coste
informativo o pérdida de actualíáad que se rnanifiesta en las observaciones
que se pierden en el tramo final de la serie y que es necesario sustituir con
predicciones sujetas a revisión.
1?
EST.^f)ISTIC'^^ ESPAÑOL.a
EI coste informativo es el desfase temporal del filtro y puede afirmarse
que en la estimación de niveles el coste será tanto mayor cuanto mayor
sea el periodo de !os componentes que quieren extraerse y en la estimación de ritrnos será tanto mayor cuanto mayor sea la robustez exigida a la
salida. De hecho, el diseño de filtros de extracción de niveles y ritmos se
rnueve en el marco de estos dos objetivos contrapuestos: robustez o ausencia de falsas señales y actualidad o minimiiación del coste informativo.
EI desarrollo de las técnicas AR I MA ha contribuido indirectamente, al
facilitar la predicción a corto, a oscurecer la frontera entre estimación de
señal y predicción, pero el objetivo de los métodos de extracción de señal
es precisamente el de minimizar, para una robustez o suavidad fijada de
antemana, el número de predicciones necesarias para estimar la señal en el
momento presente.
Entre los trabajos anteriores sobre el empleo de tasas de variación en
economía debe destacarse el de Poveda y Martínez Mendez (1973) cuyo
titulo destaca la estrecha relación que debe existir entre la estimación del
crecimiento y el seguimiento del ciclo.
EI trabajo refleja las limitaciones del análisis en el dominio del tiempo y
es parcialmente responsable del empleo, todavía generalizado, de tasas
intertrimestrales o intersemestrales, suavizadas u originales, que tanto han
contribuido a oscurecer el análisis de coyuntura.
Una aproximación más moderna, pero también desde el dominio del
tiempo, es la de Espasa (1988, 1990), cuyas conclusiones son próximas a
las que se obtienen en este trabajo, salvo en io que se refiere a la variación
que debe tomarse como referencia.
^a aproximación frecuencial al estudío de ias tasas que en el presente
trabajo se utiliza es consistente con la interpretación, también frecuencial,
de la hipótesis de componentes subyacentes expuesta en Melis (1989) y
está articulada con el planteamiento del problerna de la estimación de
niveles contenida en el citado trabajo.
La óptica frecuencial permite obtener una interpretación sencilla de los
efectos de los diversos filtros sobre las series y establecer una tipología
funcional de los filtros. Permite, en consecuencia, evaluar las distintas
estrategias de filtrado desde la perspectiva del riesgo de falsas señales y el
coste informativo asocíado y permite, finalmente, establecer un programa
de diseño encaminado a perfeccionar Ios filtros existentes.
En este sentido, el filtro AR MA (1 5,1 3) de extracción del ciclo-tendencia
presentado en e1 apartado 5.2 y construído sobre el núcleo del filtro de
extracción presentado por Maravall (1987} supone un avance importante,
LA ESTIMAC"ION DEL RlTMO [^E VARIACION EN SERIE:S EC'ONOMIC'AS
I 3
desde el punto de vista del desfase, sobre los fíltros ARMA de !a familia
Butterworth utilizados previamente por el autor y permite aportar una
solución satisfactoria al problerna de la estimación conjunta de niveles y
ritmos.
Avanzando algunos de los resultados obtenidos puede afirmarse que:
1. La estimación del ritmo relevante de variación de una variable es
menos costosa que la estimación del nivel relevante (desestacionalización y
extracción del ciclo-tendencia).
2. Los filtros de estimación del ritmo son diferenciadores suavizados. En
su forma más simple una primera diferencia por una media móvil de
periodo estacional. Funcionalmente son filtros "pasabanda"' que acentúan
determinadas oscilaciones (banda de paso) y eliminan las restantes (banda
de rechazo).
3. Sólo los filtros cíclicos, que acentúan el entorno de los dos años, son
buenos estimadores del ritmo de variación relevante en conyuntura y el
que se propone aquí es una diferencia interanual suavizada con un filtro
autoregresivo de paso bajo. Extracción del ciclo y estirnación del ritmo de
variación anual son operaciones prácticamente idénticas.
4. Deben compararse tasas que acentúen bandas sirnilares. Y al compararlas deben sincronizarse o ponerse "en fase" con aiguna que se utilize
como referencia.
5. La primera diferencia forma parte de cualquier otro estimador de
crecimiento y posee el máximo adelanto. Es por tanto, el bloque básico de
todo estimador de crecimiento, pero no debe utilizarse como variación de
referencia, salvo que se esté dispuesto a utilizar ocho o más predicciones.
6. La diferencia interanual no tiene desfase con las oscilaciones de dos
años y adelanta los ciclos mayores. Adernás está en fase con la primera
diferencia de las series anuales si se asigna esta última, como es usual, a la
mitad del último año observado.
Es la referencia que se propone en este trabajo, medio año retrasada
respecto a la primera diferencia.
La organización de la exposición será la siguiente: En el epígrafe 2 se
enuncian las tasas que van a estudiarse y se justifica la sustitución de las
tasas por las diferencias como objeto de estudio. En este mismo epígrafe
se introducen las ideas básicas del filtrado en la frecuencia y los conceptos
necesarios del análisis de filtros: función de módulo o ganancia, función de
fase y de desfase temporal, tipología funcional de los filtros.
EI epígrafe 3 estudia las funciones de ganancia de los filtros estudiados y
proporciona una interpretación funcional de los estimadores de ritmo, Dado
que un estimador típico es el producto de un diferenciador o filtro de paso
alto y un sumador o filtro de paso bajo, se estudian ambos tipos de filtro.
Se critica el empleo de filtr©s de paso bajo de medias móviles.
EI epígrafe 4 se dedica a las funciones de fase y desfase temporal que
determinan ei coste del filtrado.
Ei epígrafe 5 utiliza los elementos introducidos en los epígrafes anteriores para interpretar, en el apartado 5.1, los estimadores de ritmo en términos de su fiabilidad, robustez y actualidad. EI apartado 5.2 compara la
estrategia usual de estimar primero el nivel y luego la variación con la
estimación directa del rítmo e indica las ventajas de este último enfoque.
Se presenta, no obstante, una estrateyia de coste mínimo para la estimación conjunta de nivel y ritmo. EI último apartado discute la cuestión de la
variación de referencia.
2.
TASAS Y FILTROS LINEALES
Las tasas de vdriación que van a estudiarse en primer lugar son las que
aparecen en el Cuadro 1 y que gozan de la mayor difusión, gracias probablemente a1 trabajo de Poveda y Martínez Mendez (1 973i ya citado.
Una tasa T(h,m) (en el cuadro 1, h es el subíndice y m el superíndice) se
calcula sobre el intervalo h y sobre una media móvil aritmética de tamario
m. T(h,m^ es el porcentaje de variación registrado en h unidades de tiempo,
calculado sobre una media móvil de m términos y expresado en términos
anuales ó, como suele decirse, "elevado a anual'".
La expresión de las diversas tasas en términos anuales (elevación), que
asegura la comparabilidad de las magnitudes de las diversas tasas, no
afecta a la interpretación de las tasas y será ignorada en lo sucesivo. Así,
T(1,3) será la tasa intermensual de una media móvil de tres términos.
1_r^ F=.STIMAC`I(^ti^ [)F [, RITMC) [^E VARIAC'If)V Fti 4f RIF:^ FC^(71^OMI('^1S
15
Cuadro 1.- TASAS DE VARIACI4N Y FILTROS LINEALES EQUIVALENTES
Expresión
Filtra lineal equivalente
Ttt
](Xt/Xt_t)12-1].100
[1] 1-8
Tót
[( Xt /Xt^) 2.1).100
[3] 1-6 6
T12t ]( Xt 1 Xt-t2) -1 j.100
( 4] 1-B t^
Tt^
[(Zt 1 Zt_t)12-1 J.100
Zta {Xi + Xt_t + Xt_.^) ! 3
[2J (1-6}(1 + B+ 6?) = 1-6^
T^3 ](Zt / Zt_3) °-1 ].100
Zt = (Xt + Xt--1 + Xt-2} 13
I 5] (1-B 3}(1 + B+ B?) = { 1-B j(1 + 8+ 6 3)2
^(Zt 1 Zc-t} t2_1 ].100
Zt = (Xi + Xt-i +... Xt-s) t 6
[ 3] (1-8}(1 + B+ 62 +. .. + B5^ = 1-66
Ttt^ [(Zt/It_t)tz-1].100
Zt= (Xt + Xt_t+.,.Xt--tt)/12
( 4[ (1-B)(1 +B+BZ+...+Btt)=1-Bt2
Tt^12^(Ic/Zt_t^) t2-1].100
Zts (Xt + Xt_t+.. _Xt_tt)/12
[6] (1-6t2)(1 +8+...+Btt)=(1-8t2)2/(1-8)
T t6
Nota:B es el operador de retraso; B°° Xt
X ^.m
Las tasas de variación son operadores invariantes en el tiempo pero no
lineales. Dado que la teoría elemental de filtros se refiere a los operadores
lineales e invariantes, conviene restringir e^ estudio a las aproximaciones
lineafes de las tasas, es decir a las diferencias, lo que no constituye una
simplificación exagerada.
La primera diferencia del logaritmo de ^una variable constituye a menudo
una buena aproximación a la tasa de variación intermensual.
Sea R f la tasa de variación intermensual:
Rt = {Xr
- xt-l^ ^ Xt-1
y B el operador universal de retraso, el filtro lineal e invariante más e^emental:
B rn%^ ^ _ /^ t-m
ló
E^TA[)Iti11( ^> t ^I`^ ^ ^^J(11 A
Podemos escribir:
LnXt - LnX^ , _ ( 1-B)LnXt = Ln(X^/X^ , ) -.^ Ln(1 +Rr) _
-Rr-R^12+Ri/3..
Y la aproxirnación ser^ buena siempre que la tasa sea reducida.
Las aproximaciones lineales correspondientes están incluídas en el cuadro 1 y expresadas con la notación popularizada con los modelos ARIMA,
es decir como polinomios o producto de polinomios en B.
Una diferencia D{h,m) es la diferencia de orden h calculada sobre la
media móvil simple de tamaño m, o , dicho de otro modo, el producto de
una diferencia de orden h por una media móvil aritmética sirr^ple de tamaño m que denotamos como MM {m).
Se observa que D { 1,m) y D( m,1 ), equivalentes lineales de T(1,m) y
T(m,1), proporcionan el mismo resultado salvo por un factor de escala.
D {m,1) _ (1-Bml = (1-B) (1 +B+B2+...+B„^ ') _
= D(1,1)*MM(m)*m = D(1.m)*m_
De modo que los filtros que van a considerarse son:
1.
D(1,1) = 1-B, el operador diferencia bien conocido por los especialistas en modelización A R I MA.
2.
D(1,3) = D(1,1)* M M(3) = D(3,1)/3.
3.
D(6,1) = D(1,6)*6 = D(1,1)*MM(6)*6
4.
D(12,1) = D(1,^12)* 12 = D(1,1)*MM(121* 12
5.
D(3,3) = D(3,1)*MM(3) = D(1,1)*A/IM(3)^MM(3)*3
6.
D(12,12) ^ D(1,1)*MM(12)*MM(12)* 12
Y todos, salvo el primero, son el producto de la pr^imera diferer^cia por un
sumador o producto de sumadores. Llan^aremos funcíón de transferencia
del filtro al polinornio o, en yeneral, a la función racior^al en B. Así, la
función de transferencia del fiftro 1 será:
H,(BI = (1 - B)
Los seis filtros considerados, cuya función de tra^^sferencia es un polinomio en B, son filtros de medias móviies (filtros MA) Ilamados tarr^bién r^o
recursivos © de respuesta finita. Este último término alude a la respuesta
del filtro frente al impulso unidac^:
r7
l.^A ESTIti1At'I(}N [)EL RITti1() [)[: V,1RI:^C'lt)ti [^!^+ ^Lkl[ ^ Et^()N()!^11C`,>S
br-1
=0
t=O
t^0
que en el caso de filtros MA coincide con la sucesión de pesos o coeficientes del polinornio.
Los coeficientes de los filtros MA pueden no poseer ninguna condición
de simetría pero en general serán simétricos como las medias móviles
simples o las de Henderson que utiliza el X 1 1 o antisimétricos, como las
diferencias.
Por el contrario, Ios filtros cuya función de transferencia es una función
racional en B, como el que se propone en el epígrafe 3, se denominan
autoregresivos (filtros AR o ARMA) Ilamados también recursivos o de
respuesta infinita.
La función de respuesta { ht } al impulso unidad basta para describir
adecuadamente a cualquier filtro lineal e invariante, puesto que si una
entrada { Xr } se somete a la acción de un filtro H( B) con función de
respuesta { ht }, la salida { Yt } puede expresarse como la convolución de la
entrada y la función de respuesta:
{ v, l = 1 x, 1 ' { n,}
La Figura 1 ilustra la respuesta de la primera y la cuarta diferencia al
imputso unidad y a la sucesión escalón unidad:
Ut= 1
t> 0
0
t< 0
Flqura l. k^ueetas de b prlme{o y lo Cuorta diferencb d impukso y al escal^xr unldad
INPUT
f IlTRO
•
2
. .. .I
•
0
i-ga
( U,
•
.
•
OUTPUT
.
.
.
.
La respuesta de la cuarta diferencia (la diferencia interanua^ en series
trimestrales) al escalón unidad indica que cuando se producen cambios
bruscos de nivel en las series, como ef que introdujo en las series de la
Encuesta de Pobiación Activa el cambio metodológico del segundo trimestre de 1987, las series de tasas interanuales experimentan una modificación simultánea del nivel que dura todo un año.
Pero aún cuando el conocimiento de la respuesta def filtro a estas
funciones artificiales (irnpulso, escalón y rampa) es necesario para la correcta interpretación de las salidas, el método idóneo de análisis de filtros
es el estudio de las correspondientes funciones de respuesta frecuencial
(FRF}, que se obtienen al sustituir en ia función de transferencia el operador de retraso por la exponencial compleja e^'w.
La función e'^` es, como señala Hsu (1970), la función propia o característica (autofunción) de los operadores iineales e invariantes porque al
someterla a la acción del filtro obtenemos como salida la misma función
multiplicada por una expresión que no depende de t y que es, precisamente, la FRF. Si aplicamos una primera diferencia, por poner el ejemplo más
simple, a la función característica, obtenemos como salida:
H { B ) e;,^ _ (1 _ B } e;^ _ { ^ _ e-;W} e;^ _ H ^ ^,) e; ^^
^a función de respuesta H(w) es una función compleja de la frecuencia
cuyo módulo se conoce como función de ganancia de! filtro y cuyo argu.
mento se denomina función de fase del filtro.
Abundando en el ejemplo utilizado:
1
e,-;w^2 ( ^,iw^2 _ e-;w^2 }
= e-;w^2 2isen ( w/2 )= e%r^^z - W^z^ 2 sen ( w/2 )
donde se ha hecho uso de la igualdad e'n`2 = i
Así, la función de ganancia de la primera diferencia es la funcián.
G(w} = 2sen(w/2^ y la función de fase es
^(w) = n/2 - w/2.
Dividiendo la fase por la frecuencia angular w obtenemos la función de
desfase temporal del filtro, que no expresaremos en función de la frecuencia sino en función del periodo P de la oscilación, con P y w relacionados
por:
l.^ ESTIh1.-1(:'IOti DF.I_ RITMO DE. ^'.^RIAC'IOti Eti SERIE=_S E(^(.)ti(1ti11(^:\S
w = 2^r/P
d(P) _ ^(w)/w= (n/2 - n/P) / (2n/P) _ (P-2)/4
La función de ganancia indica la atenuación o arnplificación que experimenta una oscilación de frecuencia w al someterse a la acción del filtro y la
función de desfase indica el despla2amiento temparal de la salida. Consideremos, por ejemplo, una entrada Xr sinusoidal de periodo P:
X t= cos { wt)
w= 2 ^r / P
y sometamosla a la primera diferencia. La salida Y^ es otra sinusoidal de la
misma frecuencia pero con distinta intensidad y fase:
Yl = 2sen(w/2) cos(wt - rr/2 + w/2) _
= 2sen(^/P) cos(Zn (t - [ (P-2)/4) )/P) _
= 2senl ^c/P) cos(2n (t-d)/P) con d={P - 2}/4
Una oscilación de intensidad unidad y 48 meses de periodo (cíclica)
sometida a la primera diferencia proporciona una salida de intensidad
0.1 308 y con un desfase (adelanto) de ^ 1.5 meses.
Una oscilación de dos meses (irregular o estacional) arroja una salida de
intensidad 2 y desfase nulo.
Puesto que las oscilaciones de bajas frecuencias se atenúan y las de
frecuencias altas se amplifican diremos que la primera diferencia es un
filtro de paso alto o que su banda de paso está constituída por las altas
frecuencias.
Considérese ahora, para obtener farniliaridad con los conceptos introducidos y para ilustrar la diferencia entre filtros sumadores o de paso bajo y
diferenciadores o de paso alto, la suma móvil de dos términos que es e^
filtro sumador más sencillo:
a
H(B) = 1 + B
H ( w) = 1 -^- e ;w = e ;w^z ( e;w^^ + e ;w^^)
= 2 e-""'2 cos ( w/2 )
G (w) = 2coslw/2)
^ ( w) _ -w/^
d(P)=-1/2
EST-^f)IS1_IC ,^ F S('-^tiO1 1
La fase es también lineal, pero con ordenada en el origen nula, de modo
que el desfase (retraso en este caso) es constante.
Una entrada sinusoidal de intensidad unidad y de 4$ meses de periodo
produce una salida de intensidad 1.957 y medio mes de retraso, mientras
que una entrada de periodo 2 es eliminada por la acción del filtro.
Puesto que 1as oscilaciones de frecuencias altas se atenúan y las de baja
frecuencia se amplifican diremos que 1a suma o media móvil de dos términos es un filtro de paso bajo o que su banda de paso son las bajas
frecuencias.
EI lector interesado en la teoría y práctica de filtros puede acudir a
Antoniou ^ 1979), Hamming (19E7), Papoulis (19E8) o Harvey (19$1). En
Melis (19$6) se encuentran la mayor parte de los resultados utilizados en
este trabajo.
,
IVo obstante, para los lectores no familiarizados con el anélisis en la
frecuencia conviene destacar que ia construcción de !as funciones de ganancia y desfase temporal de un filtro puede abordarse sin abandonar el
dominio del tiempo introduciendo sinusoidales de intensidad unidad y diversos periodos y anotando, para cada periodo, la intensidad y el desfase
temporal de la salida. EI proceso puede realizarse rápidamente y para
cualquier función de transferencia en una hoja electróníca.
La interpretacíón frecuencial de !os filtros que acaba de exponerse debe
articularse con una interpretación del mismo tipo de las series tempor,ales
que se someten al proceso de filtrado o extracción de señal. Desde este
punta de vista, consideraremos a toda serie tempora! de tamaño T como
una suma ponderada de oscilaciones sinusoidales de frecuencias:
2 nk/T k=o, 1, 2,..., T/2 con T par.
(T-1 )/2 con T impar.
La frecuencia angular 2^r/T, o en términos rotacionales 1/T ciclos por
unidad de tiempo, es la frecuencia fundamental. Todas las demás se denominan armónicos de la fundamental.
Para los objetivos de este trabajo, no es preciso acudir al concepto de
espectro ni conocer los procedimientos de estimación de la densidad espectral. Basta conocer (a expresión de la Transformada Discreta de Fourier
(TDF1 de una sucesión finita { XI } de tamaño T:
Wk = (1 /^1 ^ Xt exp { -ik(t-1 )^n/T }
t-^
f_A ESTIMA('IC)^J DEI. RITMO nf= V:ARIAC'1(^N F.N SERIES E<'O^IOMIC'AS
21
Y la Transfarmada ínversa:
Wk exp { ik{t-1)2 ^/T }
X=(1
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t
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t: 1,2,...,T
Esta última expresión precisa el concepto de suma ponderada que se ha
utilizado antes e indica que los pesos o factares de ponderación son las
cantidades complejas Wk definidas por la TDF.
EI gráfico de los cuadrados de los módufos { ^ Wk ^2 } frente a la frecuencia
lo denominamos periodograrna o espectro empírico de la serie y el gráfico
de los argumentos { Arg(Wk^ } espectro empiríco de fase.
Si se tiene en cuenta la relación de Parseval, que expresa la partición de
la variania de la serie:
Tcr^ = 2^^ ^ Wk^2 + ^ Wr^z^2 con q= T/2
k=1
al utilizar el periodograma se está estudiando la distribución de la varianza,
intensidad o potencia de la serie sobre !os distintos armónicos.
En términos coloquiales puede decirse, por tanto, que una serie temporal
es una distribución de información (intensidad y fase) sobre los distintos
armónicos de la frecuencia fundamental.
Si ahora sometemos la serie { Xr }, con TDF { Wk }, a la acción de un filtro
con función de transferencía H(B} obtendremos una salida { Y^ } cuya TDF
{ Zk } será:
Z k-- F1( Wk) W k c o n Wk -' 2?ik ^^% o bien:
^Zk^= Glwk) ^^Nk^ Y
Arg (Zk) _ ^ ( wk) + Arg (Wk)
donde G y^ son las funciones de ganancia y fase del filtro H.
Estas expresiones constituyen la nnejar ilustración de la utilidad del acercamiento frecuencial al problema del filtrado pues la expresión del filtro en
el dominio del tiempo (una convolur,ión en el caso de filtros MA) se
fransforma en un sencillo produc^o de módulos y suma de fases en el
dominio de la frecuencía.
EI filtro compuesto por^ la aplicación sucesiva (o en cascadai de varios
filtros posee un módralo igual al producto de los módulos de los filtros
componentes y una fase ig^,al a la suma de las fases de los filtros componentes. Así, el móciulo de 1a D(^,1 ) es el praducto del módulo de la prirnera
E:STAUISTIC'A E.SF'A!tiULr^
diferencia por el módulo de la suma móvil de tres términos y su fase es la
suma de las fases correspondientes.
Figura 2. Serie original y de c^clo-tendencia
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1..A EST^IMAC.'IUN DEL R1TM0 DE VARIACION EN SERIES EC'UNOMIC'AS
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La Figura 2 ilustra el proceso de filtrado en el dominio del tiempo y en el
dominio de la frecuencia, para el caso de una serie económica típica. La
figura recoge, en su parte superior, la serie mensual del Indice de Producción Industrial ( IPI) y una estimación del ciclo-tendencia obtenida con un
filtro ARMA que tiene módulo unidad en la banda de paso (o, 2n/20) y
módulo nulo en el resto del eje de frecuencias ( ver Melis ( 1989) ). En la
parte inferior se representan los correspondientes periodogramas, observándose que el periodograma del ciclo-tendencia coincide con el original en
la banda de paso y decae rápidamente en la banda de rechazo.
Resumiendo lo expuesto:
a) Una oscilación de frecuencia w, sametida a un filtro lineal e invariante registra una modificación de la intensidad y la fase, pero la frecuencia de
entrada no varía.
b) EI módulo de la función de respuesta frecuencial indica la "ganancia"
(atenuación o amplificación) del filtro para cada frecuencia. Así, un filtro
debe considerarse como un selector de frecuencias o'"bandas" de frecuencias. En otras palabras, filtrar es seleccionar o extraer parte de 1a inforrnación transportada por la señal.
c) EI argurnento o función de fase de la funcián de respuesta indica,
para cada frecuencia, el desfase angular experimentado por la oscilación de
entrada.
d) EI desfase temporal de la salida se obtiene diviciiendo el desfase
angular por la frecuencia de la oscilación.
En el cuadro 2 se recogen las funciones de módulo, fase y desfase
temporal de los seis filtros considerados. Para obtenerlas basta, como se ha
dicho, sustituir B por la exponencial compleja e'w y aplicar resultados de
trigonometría elemental.
24
FSTADiSTiC'A ESPAÑOLA
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LA ESTIMACION DEL RlTMC) DE VARIAC`ION EN SERIES EC'ONOMIC'AS
Figura 3. Módulo, fase y desfase de los diferenciadores elementales
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ESTADISTIC'A ESP^Ñ()LA
Figura 4. !1/lódulo, fase y desfase de los diferenciadores suavizados
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Figura 5. Módulo, fase y desfase de los filtros de paso bajo
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Las Figuras 3 a 5 recogen las funciones de módulo, fase y desfase
temporal de los filtros considerados en el Cuadro 2, del filtro propuesto por
el autor y de tres sumadores o filtros de paso bajo.
Nótese que en el eje de abscisas no se representan las frecuencias (k/T)
sino sus recíprocos, los periodos (T/k) de las oscilaciones de entrada. La
oscilación de mayor frecuencia observabie directamente es la de dos unidades de tiempo de periodo y las oscilaciones de menor periodo aparecerán
en las frecuencias "alias" (ver Melis (1 986) epígrafe 3.3). Así, el efecto
trading-day inducido por el ciclo semanal (oscilación de periodo
7/30.4375 meses) se apreciará como un pico en la frecuencia 2n/2.873,
confundiéndose con los ciclos de 2,87 meses.
EI periodo de muestreo deterrnina por tanto !a interpretación del eje de
frecuencias. Si es anual, la banda cíclica coincide con la de altas frecuencias, ya que la duración mínima de los ciclos económicos es aproximada-
2ó
ESTADISTICA ESPAÑULA
mente de dos años. Si es mensual, la banda cíclica estará situada en el
primer sexto del eje de frecuencias entre el armónico fundamental (1 /T) y
el armónico estacional fundamental (1 /12). Más precisamente, la banda
cíclica sería (1 /80, 1/2f}1, si la expresamos en términos de frecuencias
rotacionales, (2 ^r/8o, 2 n/20), en frecuencias angulares o, simplemente,
($O, 20) si la expresamos en períodos.
Para mayor facilidad de lectura se han dibujado líneas verticales en las
frecuencias 2nk/ 12 (k:1,2,...,6) correspondientes a los períodos 12, fi, 4, 3,
2.4 y 2 unidades de tiempo que en series mensuales corresponden a los
armánicos estacionales.
Supondremos sin perder generalidad que tratamos con series mensuales
y expresaremos ios periodos en meses.
3.
LA FUNCION DE GANANCIA
3.1. LECTURA ©E LA FUNClfJN DE MODULO. TIPOLOGIA
La función de módulo o ganancia indica la atenuación o amplificacic^n
que ei filtro introduce para cada frecuencia. En los filtros MA, de expresión
general:
H( B) = a0 + a, B + a2 B 2+ .. + am_, B m^'
que llamamos simétricos si a; = am_, ^
y antisimétricos si a; =- am_,;
1os valores de la función de respuesta en las frecuencias 0 y n son reales,
proporcionando directamente la ganancia, cumpliéndose:
H ( 0 ) = a^ + a, + a2 + . . + a^.,_, y
H ( ^) = ao - a, + a2 + . . + (-1)m-' am_,
ya que:
e'^k^ - 1 k. . ., -1, 0,1, .
e;r2k-^a^ _ _1 k: 1,2, . .
LA ESTIMACION DEL RITMO UE VARIAC.`ION EN SERIES EC'ONOMIC'AS
29
Todos los filtros diferenciadores que van a estudiarse y que aparecen
representados en las figuras 3 y 4 tienen ganancia nula en el origen de
frecuencias, ya que la suma de sus pesas o coeficientes (sucesión de
respuesta al impulso unidad} es nula. Pero esta es la única característica
común.
La primera diferencia D^ 1,1 j, cuya función de ganancia aparece representada en la parte superior izquierda de la Figura 3, concede ganancia superior a la unidad a las oscilaciones de periodo inferior a seis unidades de
tiempo (frecuencias superiores a 1/6} y atenúa las oscilaciones de mayor
periodo. Por ello es el instrumento básico de la modelización ARIMA, que
exige series estacionarias o, dicho de otro modo, series sin predominio de
las bajas frecuencias.
La primera diferencia sirve a dos finalidades: por una parte proporciona
una estimación del componente estacional-irregular, ya que la salida es, en
general, una mezcla o composición de los componentes estacionales e
irregulares (o de alta frecuencia} de las series de entrada y de otra parte, en
series muy suaves y sin estacionalidad, proporciona una estimación del
crecimiento.
Como instrumento de extracción del componente estacional-irregular la
primera diferencia apenas se utiliza, prefiriéndose el filtro, también de paso
alto, 1- MM (12), que por ser de tamaño par se apfica siempre como 1M M(12} * M M(2 }. Su función de transferencia es:
H(B} = B6 - (ao + a, B + azB2 + . . . + a12Br2}
con a^ = 1/12 j: 1,2, ..., 1 1
a^= 1/24 j:0,12.
y
que es el utilizado por el X 1 1 para la prirnera estimación del componente
estacional-irregular.
Ei lector puede comprobar que la función de ganancia de este filtro
posee cierta similitud con la correspondiente a Ia primera diferencia, ya que
ámbos son filtros de paso alto. Sin embargo, sus funciones de fase son,
como se verá, muy distintas.
Como estimador de crecimiento la primera diferencia se utiliza sobre
series desestacionalizadas o sin estacionalidad pero, salvo en el caso de
series de extraordinaria suavidad, proporciona una salida errática inútil para
el análisis de la coyuntura en donde la minimización del riesgo de falsa
señal es un objetivo prioritario. La errática evolución de la tasa intermensual del I PC o de los ALP desestacionalizados ilustran la imposibilidad
3f}
F^STADIST7C'A FSPAÑnI_.A
de asentar ninguna estrategia de análisis o control sobre la primera diferencia.
Por ello, los fíltros que van a estudiarse a continuación aplican la primera
diferencia sobre rnedias rnóviles de diversa longitud, intentando conseguir
una salida más suave.
La diferencia de orden tres ( D(3,1 ^ figura 3), obtenida como producto
de una media móvi! de tres términos y una primera diferencia es un filtro
pasabanda en peine, ya que acentúa o selecciona dos bandas del eje de
frecuencias: las situadas en torno a los seis y a los dos meses (se utiliza
principalmente sobre series mensuales).
G(wy > 1 para w E(2 n/18, 2n/3.6)
w > 2 n/2. 57
Puesto que las frecuencias 2n/6 y 2^/2 son frecuencias estacionales
(armónicos de 2 n/ 12 ) la diferencia de orden tres se aplica sólo sobre
series desestacionalizadas, es decir sometidas a un filtro de ganancia nula
en 2 nk/12 (k:1,2, .., 6), por lo que el máximo en el periodo 6 se transforma en máximos en 8 y 5 meses y el máximo en la frecuencia 2n/2 se
traslada hacia 2^/2.2.
E! interés de este filtro para el análisis de la coyuntura es más que
dudoso, incluso en series muy suaves, ya que la salida tenderá a estar
dominada por oscilaciones de corto periodo.
Las representaciones de !as series monetarias (ALP, M3, etc.) de! Boletín
económico de! Banco de España ilustran el anórnalo predominio de las
oscilaciones de ocho meses que se registran en series suaves y desestacionalizadas sometidas a una tasa intertrimestral.
La diferencia de orden seis (D(6,1 y, figura 3) se obtiene aplicando una
primera diferencia a una media móvil de seis términos. Funcionalmente es
otro pasabanda en peine que acentúa !os entornos de 12, 6 y 2.4 meses y
que merece los mismos comentarios que el filtro anterior.
La diferencia estacional o interanua! ( de orden cuatro en series trimestrales) ( D(12,1), figura 3) se obtiene aplicando la primera diferencía a una
media móvil de 12 términos. Funcionalmente es otro pasabanda en peine
que acentúa las oscilaciones de 24, $, 4.8, 3.43, 2.67 y 2.18 meses, pero
posee dos ventajas fundamentales:
ay Es un fíltro desestacionalizador, que se anula en 2 P 1 k/ 12
(k.o,1,2,..,6), por lo que puede aplicarse sobre cualquier tipo de serie sin
ajustes previos. Acentúa, sín embargo, el efecto del ciclo-semanal o
trading-day que aparece, cuando existe, en la frecuencia 1/2.87 muy próxima al cuarto armónico estacional.
l.A E-:S-T-IM,•^C'ION DE=:L RITti10 E7E: VAR1.1C'IO1( EN SE=:EZIE:S I C^ON(i411( -^S
3Í
b^ Entre las bandas seleccionadas se encuentra la banda cíclica, ya que
todas las oscilaciones de periodos comprendidos entre 7 2 y 14.4 meses
reciben ganancia superior a la unidad.
EI problema radica en la amplificación concedida a las bandas centradas
en los 8, 4.$,.. y 2.18 meses, que convierten la salida de una diferencia
interanual en una señal inútil, en general, para la coyuntura. La Figura 6
tomada del BTC del I N E indica que, salvo en el caso de EEU U y Japón, las
tasas interanuales del íní^ice de producción industrial no pueden emplearse
sin ulterior transformación.
Figura 6. Producción industrial: Internacional
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La ciíferencia de orden tres de la media móvit de tres términos, (D(3,3),
figura 4) análogo lineal de la T(3,3i es, funcionalmente, un pasabanda
estricto puesto que acentúa una única banda: la centrada en las oscilacianes de ocho meses.
Si definimas como ratio señal/ruido del filtro el cociente entre la máxima
ganancia (la concedida al centro de la banda seleccionada) y la ganancia en
el centro de la banda seieccionada en segundo lugar (periodo 2 en este
casol, el ratia señal/ruido de este fiitro es 2.23.
^as oscilaciones cíclicas típicas, de 4 años de periodo, reciben una ganancia de 0,39, por lo que puede decirse que el filtro elimina prácticamente
la banda cíclica.
Las representaciones gráficas del índice de producción industrial que
aparecen en el Boletín Económico del Banco de España muestran el potente ciclo de acho rneses que este filtro induce, proporcionando una moderna
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ilustración del efecto Slutzky.
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En este caso no sóia es alto el riesgo de falsa señal, dada el alto peso
otorgado a las oscilaciones de dos meses sino que se introduce, probablemente, un ciclo espúreo.
La díferencia interanual de la media móvil de período estacional
(D(12,12), figura 4) es el primer filtro, entre los estudiados, que selecciona
predomínantemente la banda cíclica.
La ganancia máxima es 1.451 y se alcanza en las oscilaciones de 32
meses de periodo. AI comparar esta función de ganancia con la de la
diferencía estacional se aprecia que el efecto de la nueva aplicación de la
M M(12 ) se traduce en:
a) U na atenuación importante de las bandas centradas en 8, 4.8, 3.43,
2.67 y 2.1 8 meses transformándase el pasabanda en peine en un pasabanda cíclico estricto.
periodo de máxima ganancia desde Ios 24 a
b) Un desplazamiento del
.
los 3 2 m eses.
c}
Una pérdida importante en 1a máxima ganancia desde 2 a 1.451.
La banda de ganancia superior a la unidad es la comprendida entre 68 y
2a.4 meses:
G(w) > 1 para w^ (2n/68, 2^/20.4)
EI ratio señal/ruido o cociente entre la ganancia en 32 meses y ia
ganancia en 8 meses es 3.33.
EI último filtro representado en la Figura 4 es el propuesto en Melis
(1 985) que viene utilizándose desde entonces en las representaciones
L:1 F^STIMA(^I(^ti' ^^F^L RI^T^1O C7f^^^ V.ARIA(^ION ^-:1i ^F^^RIF^+ f^C^(^y(^)MI('^S
gráficas del BTC del I N E. Es el producto de la diferencia interanual por un
filtro autoregresivo de paso bajo más eficiente y de menor coste informati^
vo que la MM (1 2 ^ .
Lo Ilamaremos tasa interanual suavizada (TAS) y sus características de
módulo, que podrán interpretarse mejor tras la lectura del próximo apartado dedicado a los filtros sumadores o de paso bajo, son las siguientes:
a) La ganancia máxima de 1.739 se alcanza en las oscilaciones de 29
m eses.
b) La banda de ganancia superior a la unidad es la comprendida entre
las 72 y 17.4 meses.
G(w) > 1 para w^(2^r/72, 2^t/1 7.4)
c) EI ratio señal/ruido entre la ganancia en 29 meses y la ganancia en
8.57 meses lperiodo de máxima ganancia de la banda seleccionada en
segundo lugar) es 4.88.
La tabla adjunta recoge la ganancia de la D(12,12) y la TAS para algunos
periodos seleccionados en la banda de paso y el periodo de ocho meses de
la banda subcíclica.
GANANCIA DE LA D(12,12) Y LA TAS PARA ALG UNOS PER IODOS
SELECCIONADOS
Periodos
84
fi0
48
36
24
20
$
D(12,12)
0.839
1.100
1.274
1.434
1.277
0.964
0.436
TAS
0.866
1.168
1.393
1.654
1.641
1.345
0.330
3.2 Filtros de paso bajo: interpretación y critica de la función de
^
ganancia de las medias móviles
Todos los filtros estudiados son el producto de la primera diferencia, que
es el filtro antisimétrico más elemental, por filtros de medias móviles
simétricos. EI producto es un filtro pasabanda centrado sobre ciertas bandas del eje de frecuencias: el filtro D13,1 } acentúa los entornos de 6 y 2
meses, el filtro D{3,1 1)* M M{3) el entorno de 8 meses, el filtro
D(12,1 )*MM(12) acentúa las oscilaciones de 32 meses, etc.
3 ^4
E-:STA[)IS^TI('A E^SF'AÑ()LA
Las medias móviies simétricas son filtros de paso bajo que dejan inalteradas las bajas frecuencias y eliminan o acentúan las restantes. Definiremos ia banda de paso como aquella para la cual el cuadrado de la ganancia es superior a 1/2 y denominaremos frecuencia de potencia mitad a la
frecuencia para la cua! el cuadrado de la ganancia es 1/2.
La funcián de transferencia de (as medias mcíviles de pesos iguales es la
función conocida como "núcleo de Dirichlet" que aparece al truncar una
sucesíán infinita (ver Melis (1986) epigrafe ^4.7):
H(B) _ {1 + B + ... + B^-')/m =
={1/m)(1-Bm)/(1-B)
H { w) _ { 1 /m) ^ e-;,^W^2 ( e;mw^z _ e-;mw^z) j -/ ^ e-;W^^ { e;w^z _ e-;W^^ ) ^ `
= { 1 /m) e-'^m-'^W'2 sen{mw/2) / sen{w/2)
G (w) ^ (1 /m) sen(mw/2) / sen(w/2)
^+{ P) _ - (^-1) r 2
Como en todos los filtros de paso bajo, la ganancia en la frecuencia cero
es la unidad, de forma que e! filtro no rr^odifique e! nivel de tendencía de la
serie. En los filtros MA Ia ganancia en la frecuencia cero es la suma de los
pesos.
La función de ganancia tíene ceros en:
2 ^ck/m k: 1,2,...
y Ios lóbulos laterales ^véase la figura 5) tienen máximos en ( aproximadamente):
n{2k + 1) / m k: 1,2,..,
Estas bandas o lóbulos laterales, característicos de !as medias móviles
simples, constituyen una de sus principales deficiencias como filtros de
paso bajo, ya que su existencia implica que parte de la varianza de la seríe
correspondiente a la banda de rechazo se "filtra" hacia la salida, contaminándola de oscilaciones cortas.
La suma mvvil de tres térmínos, representada en la parte superior de ia
Figura 5, forma parte del filtro D(3,1) y se aplica dos veces en el filtro
D(3,3).
Es un suavizador elemental caracterizado por una banda de paso restringida a las oscilaciones de más de 6.4 meses:
^S
F,A F:STIMAC')ON [^FL RITMO DF VARIACiON EN Sf:RIF=:S F^C'(^NOMICAS
g(w)2 > 0.5
w> 2 n/6.44
Posee un cero en la frecuencia 2^/3, anulando las oscilaciones de tres
meses y un potente lóbulo latera! con ganancia máxima 10.33) en el
periodo 2.
La suma móvi/ de período estaciona/ (MM(12), figura 5) se utiliza una
^vez en la D(12,1) y dos veces en la D(12,12 ). Es el filtro más elemental
para la extracción de! ciclo-tendencia dado su poder desestacionalizador.
Su banda de paso incluye las oscilaciones de periodo superior a los 27
meses y posee ceros en los arrnónicos estacionales.
Posee cinco lóbulos laterales con máximos en los periodos, ya citados
repetidamente, de 8, 4.8, 3.43, 2.67 y 2.18 meses, por io que su eficiencia
como filtro de paso bajo es muy limitada.
Considerando ahora el ratio señal/ruido como el cociente de ganancias
entre 36 y 8 meses, la MM(12) posee un ratio de 3.8.
Para utilizar una simbología que pueda generalizarse a los filtros autoregresivos, designaremos las medias móviles por su tamaño y su banda de
paso, de modo que la M M3 la denoraremos con M M3 (6.4) y la M M 12
con M M 12 (2 7).
Junto a la filtración inducida por la existencia de lóbulos laterales, las
medias móviles simples poseen otra severa limitación: el rápido decrecimiento de la ganancia en la banda de paso, que convierte a las medias
móviles simples en filtros muy alejados del fi/tro idea/ correspondiente, de
ganancia unidad en la banda de paso y ganancia nula en el resto de! eje de
frecuencias o banda de rechazo.
Considérese, por ejemplo, el fí/tro autoregresivo de orden 2 y potencía
mitad en 20 meses (AR2(20^, figura 5), de expresión:
Yt = bo X t.,.d - a, Yr_, - a2 Yt_2 donde
bo = O.o7839 a, _-1.56291 a2 = 0.641306
y d es el desfase en la banda de paso (d= 3 0 4).
'
H(B) = bo/(1 + a,B + a2B2) ; H(0) = 1
Este filtro AR2(20) de la familia Butterworth, presentado en Melis
(1983) y que puede alimentarse de manera sencilla con los valores iniciales:
24
Y, = Y2 = ^ ^ Xt/2.4
36
^S I A[)!S I!('A f SPA Ñ()1.A
cumple la misma función de extracción del ciclo-tendencia que la
MM 12(27) (salvo la desestacionalización) de manera mucho más eficiente,
dada su mejor (más próxima a!a ideal) banda de paso, la inexistencia de
lóbulos laterales y su mayor ratio señal/ruido, que con la definición empleada antes, alcanza 5.79. La mayor eficiencia se deriva de la mayor
piasticidad de las funciones racionales (filtros ARMA) frente a los polinomios (filtros MA), que perrnite conseguir bandas de transición estrechas
con pocos parár^etros.
La tabla ad junta recoge la ganancia de la M M 12 (2 7) y el A R2 (20) para
algunos periados seleccionados.
GANA^ NC1A DE LA MM12(27) Y EL ARZ(20) PARA ALGUNOS
PERIODOS SE^.ECCIONADoS
Periodos
84
60
48
36
24
20
8
MM 12(27)
0.967
0.936
0.901
0.828
0.638
0.507
0.218
AR2(20)
0.998
0.994
0.985
0.955
0.821
0.707
0.165
Er^ Melis (1989) se presenta un filtro AR 10(20) de ganancia suficientemente reducida en 2 n/ 12 como para poder aplicarse directamente sobre
series de fuerte estacionalidad.
Nótese que en los filtros AR el número que acompaña a las siglas indica
el orden del filtro (grada del polinomio del denominador) y no el tamaño.
En la búsqueda de estimadores de crecimiento se ha visto que la diferencia estacíonal posee las dos veritajas fundamentales de seleccionar (entre
otras} la banda cíclica y de desestacionalizar, convirtiéndose por tanto en
un instrumento de base muy apropiado.
Para eliminar las cinco bandas no deseadas es necesario aplicar un fíltro
de paso bajo adicional, que en la D(12,12) es la MM 12(27).
Dada que esta media móvil estacional acentúa precisamente esas bandas indeseadas y posee una banda de paso ineficiente, quienes defienden,
como hace Espasa (1 988), este filtro D(1 2,12) recomiendan como norma
general su aplicación sobre el componcnte de ciclo-tendencia de la serie
original.
La estrategia de estimación del crecimiento que aquí se defiende se
resume en el filtro D(1 2,1 )*AR2120) que, por tener un ratio señal/ruido
mayor, puede y debe aplicarse sobre la serie original y tiene además, como
se verá, menor coste o desfase que la D(12,12 ).
L,^> ESTIMA('It)N i^FL FtITMO [7E V.^RI,>(^IOti EN SE^RIES E(^t)NO!^1!(^^^15^
4.
37
EL COSTE DEL FILTRADO: EL DESFASE DE LOS FILTROS
4.1 La^ funciones de fase y desfase en los filtros de paso bajo.
Las medias móviles simétricas de tamaño m poseen, como ya se ha visto
en el caso de pesos iguales y puede verse en Melis (1985) para el caso
general de pesos simétricos, una función de fase lineal y de ordenada en el
origen nula:
^lw)=-(m-1)w/2
EI desfase temporal, que es el cociente entre la fase y el ángulo, es por
tanto constante y negativo (retraso):
d = -(m-1) / 2
Este es el coste informativo o pérdida de actualidad asociada al empleo de
sumadores simétricos que se refleja en la operación de centrado y pérdida
por tanto de las ( m-1 )/ 2 observaciones finales ( e iniciales). Puesto que los
filtros de tamaño par no tienen desfase entero se aplican en convolución
con la MM(2). Así, el filtro inicial de extracción de ciclo-tendencia del X1 1
es la MM(12)*MM(2) que tiene tamaño 13 y retraso constante e iguai a
seis unidades de tiempo.
La función de desfase indica que el coste informativo o desfase de los
filtros de medias móviles simples ( MM) aumenta al disminuir la banda de
paso. Así, la MM3(6.4) tiene un coste de 1.5 meses, la MM 12(27) un
coste de 5. 5 meses y la media móvil simple de 7 5 térm inos [ M M 7 5(1 71 )]
que suele utilizarse para extraer la tendencia tiene uri coste de 37 observaciones. Conviene observar que en estos filtros de medias móviles el periodo
correspondiente al primer cero de la función de ganancia proporcíona una
índicación intuitiva pero poco precisa de la anchura de la banda de paso.
Este principio es general para todos las filtros de paso bajo y se cumple
por tanto en los diseños AR o ARMA: cerrar la banda de paso implica
aumentar el desfase temporal de! filtro.
En los gráficos de las funcianes de fase y desfase temporal de ^a
MM3(6.4) y la MM12(27) que aparecen en las cofumnas segunda y tercera de la figura 5, la función de fase no aparece c©mo una función lineal en
todo el eje de frecuencias, sino con puntos de discontinuidad en los ceros
de los filtros. Esta disc;or^tinuidad se deriva del cálculo de la fase con la
expresión:
^s(w) = Arg { H (w) } = ATAN2 { Imag(H ( w) ) / Real(H (w) ) }.
siendo la función ATAIV2 la función arcotangente en (-n, n) e Imag1 .) y
Real (.) las partes imaginaria y real de H(w).
E s^ .^r^^^ r ic ,^ r^r>,>^c^r .^
Par^ la M M3 (6.4), por ejemplo, se tiene:
sa ( w) = ATA N 2 { 1 sen ( w) + s en ( 2 w) )/(1 + cos ( w) + cos ( 2 w) )}.
Esta función de fase y la correspondiente función de desfase temporal
son las que deberían utilizarse en la práctica ya que, para poner un ejemplo,
si introducimos una sínusoidal de periodo $ en una MM 12 (sin centrar)
apreciaremos la salida con un retraso de un mes y medio, de acuerdo con
el correspondiente gráfico de la Figura 5.
Pero en la práctica, los filtros se utilizan como extractores de señal, que
definimos precisamente como la información contenida en la banda de
paso, de forma que no irnporta el desfase de las oscilaciones fuera de
banda que se suponen muy atenuadas o eliminadas.
.
^
EI filtro AR2{20^ representado en la parte inferiar de la Figura 5 también
posee fase aproximadamente linea! en la banda de paso y un desfase
aproximadamente constante, pero menor que el de ia MM 12(27). Esta
última se retrasa respecto a la entrada 5.5 meses en series mensuales y
para las oscilacianes de más de un año y el AR2 (20) se retrasa entre tres
o cuatro meses.
La tabla adjunta muestra el retraso del AR2(20) para algunos periodos
seleccionados de la banda de paso:
DESFASE DEL AR2(20) PARA ALGUNOS PERIODOS SELECCIONADOS
Periodos
Desfases
84
72
60
48
36
24
20
-3.7
-3.7
-3.7
-3.8
-3.9
-4. ^
-4.1
La diferencia de 1.7 meses entre los desfases de uno y otro filtro,
medidos en el periodo cíelico típico de cuatro años, expresa la reducción
de coste informativo o la ganancia en actualidad que puede obtenerse
con diseños de extracción distintos a las medias móviles.
EI filtro AR 10(20) que se ha citado en ei apartado 3.2., mucho más
próximo al filtro ideal (de ganancia unidad en { 0, 2^r / 20 } y ganancia nula
en { 2n / 20, n}) que el AR2(20) posee un desfase muy superior: 16.3
observaciones para oscilaciones de 40 meses (ver Melis (19$9) gráfico 9.B
y cuadro 2).
Por tanto, los dos principios que gobiernan el diseño de filtros de paso
bajo son los siguientes:
a)
EI desfase temporal aumenta al reducir o cerrar la banda de paso.
I_,^ ^^;S^7^IMA(^IC)!V I^^FL F^17^R1(7 [)E VARIAC`IC)ti E^-:`^ Sf^^:RIES F(^Oti(7!^11(^^AS
^9
b) A igual banda de pasa o igual frecuencia de potencia mitad, el coste
aumenta al aproximarse al filtro ideal y aumentar, por tanto, el ratio
señal/ruido.
4.2 Las funciones de fase y desfase en los diferenciadores
Los filtros antisimétricos, que incluyen a las diferencias, poseen fase
también lineal, pero con ordenada en el origen positiva e igual a 90 grados
(n/2).
EI desfase temporal ya no es constante, sino que depende del periodo (P ^
de la oscilación de entrada, como ocurre en los filtros MM fuera de la
banda de paso.
La primera díferencia, cuyas funcianes de fase y desfase están representadas en la parte superior de la Figura 3, posee una función de fase
positiva para todas las frecuencias superiores a^, y adelanta por tanto
todas !as oscilaciones, salvo la de dos meses, para la que el desfase es
nulo.
La primera diferencia de una oscilación de periodo P presentará sus
máximos con (P-2)/4 unidades de tiempo de adelanto. Si la oscilación
fuera de 48 meses y alcanzara la cim,a en el momento presente, un observador de la tasa intermensual habría observado el máximo hace 11.5
meses. Si el periodo fuera de ^cinco años, el observador de la tasa habría
observado el máximo hace 14.5 meses.
EI lector puede comprobar que este adelanto de la primera diferencia no
es cornpartido por el filtro
H ( B j = B 6 - (ao + a, B + a2B2 + . . . + a12 Bf2 }
con a^ = 1/ 12 j:1, 2,...,1 1
y
a^ = 1/2 4 j: 0,12 .
que se ha presentado en el apartado 3.1 como estimador alternativo del
componente estacional-irregular. De hecho, este filtro retrasa seis meses
todas las oscilaciones de periodo superior al año.
La diferencia de orden 12 (D(1 2,1 }, figura 3) adelanta las oscilaciones
de periodo superior a los dos años, posee fase nula para las oscilaciones de
dos años y retrasa las restantes.
Puesto que es el producto de una D(1,1) y una M M(12 } y!as fases o
argumentos se surnan, su desfase temporal será 5.5 unidades de tiempo
inferior al de la primera diferencia. Dicho de otro modo, estará 5.5 rneses
retrasada respecto a la primera diferencia.
ao
I^:S^^TADlSTI('A ESPAÑOLA
DeI mismo modo, Ia diferencia de orden 12 de /a media móvi/ de 12
térmínos ( D(12,12), figura 4j, que es el producto de una primera diferencia
por dos MM(12), posee un adelanto 1 1 meses inferior al de la primera
diferencia.
Aún asi, las oscilaciones de más de 46 meses se observarán en la
D(12,12 ) con adelanto sobre la serie original.
EI fi/tro D(12, 1)*AR2(20) ( figura 3) yue hemos Ilamado TAS tiene el
adelanto de la diferencia estacional menos el retraso de 3 ó 4 meses del
filtro suavizador. Adelanta las oscilaciones de 40 meses o más y retrasa las
restantes.
La tabla adjunta recoge, para algunos periodos de la banda de paso, los
desfases de la D (12,12 ) y la TAS.
DESFASE DE LA D(12,12) Y LA TAS PARA ALGUNOS PERIODOS
SELECCIONADOS
Periodos
D(12,12^
TAS
84
72
60
48
36
24
20
9.5
6.5
3.5
0.5
-2.5
-5.5
-6.5
1 1.3
8.3
5.3
2.2
-0.9
-4.1
-5.1
Es evidente, por tanto, que al comparar tasas o diferencias, como suele
hacerse por ejemplo en ei caso del I PC, sobre el que se calculan a menudo
las tasas intermensual e interanual, se introducirá un elemento de confusión si no se tienen en cuenta estas diferencias de fase ya que la tasa
interanual puede estar creciendo y la intermensual reduciéndose. Es el caso
discutido por Rhoades (1983).
Es obligado en este caso poner "en fase" o en sincronía ambas tasas,
adelantando ia interanual 5.5 meses o retrasando la intermensual en la
misma magnitud. A! trasladar la tasa interanual 5.5 meses no hablaremos
de centrado, reservando este término para poner en fase la salida con la
entrada.
La primera diferencia, cuyo adelanto determina el de los restantes estimadores de variación, juega un papel de bloque o filtro elemental, pero no
debe utilizarse como variación de referencia para la puesta en fase del
estimador utilizado.
Como variación de referencia conviene utilizar, por las razones que más
tarde se exponen, la variación interanual D(12,1).
41
L_A ESTIMA('ION UE!_ RI"TMGl DE VARIAC`ION EN SERIt-:S t_C'ONOMI('AS
EI producto de una D(12,1) por algún filtro de pasa bajo tar como el
AR2(20) que elimina los máximos no deseados de 8, 4.8, 3.43, 2.67 y
2.18 será un razonable filtro cíclico sin desfase para los ciclos bianuales y
que adelantará los ciclos mayores.
Figura 7. IPI General
CIGLO POR COCIEN7E
---
1 e^ . •
te2.e
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lee.e
p8.0
oo.e
ii 4 . •
..._^ ......
21.8
TA943 INTERANUALCS
TA
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83
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4?
F ST ^^^ f)1SI I("A f.SP^1tiOL 1
La Figura 7 que compara, para el caso del i PI español, la salida de una
TAS con el componente cíciico obtenido con procedimientos convencionales de desviaciones respecto a la tendencia, ilustra adecuadamente este
poder de adeianto de la TAS.
Siguiéndoia podremos afirmar sin error y en general con adeianto, fa fase
cíclica en que se encuentra la serie observada.
EI componente cíclico representado en la parte superior de la figura 7 se
ha Obtenido corno cociente entre un AR2(20) y un AR2(80) aplicados
sobre ia seríe desestacionalizada. Obviamente el primero proporciona el
cornponente de ciclo-tendencia y el segundo e! componente de tendencía.
EI camponente cíclico de la parte central de la figura se ha obtenido
como cociente entre el componente de ciclo-tendencia del X 1 1 y una
tendencia ca(culada con el procedimiento Phase-average-Trend (PAT) del
Rlational Bureau of Economic Research.
En los dos gráficos superiores se ha compensado el desfase de Ios filtros
con predicciones AR I MA de la s+erie original.
5.
LA ESTIMACION DEL CRECIMIENTO
5.1 La interpretación de los estimadores de ritmo de variación de series
temporales puede concebirse, como todo problema de extracción de señal,
como la búsqueda de un equiiibrio entre ia fiabilidad y la robustez de la
señal obten^da y la actualidad o el coste inforrnativo de la salida (ver
Rhoades (1980) ).
EI objetivo de fiabilidad y robustez está determínado por la función de
ganancia e implica dos condiciones:
a) La relevancia o pertinencia de la banda seleccionada, que dependerá
del contexto en que se plantea ei problema. En el marco del análisis de la
coyuntura, la banda relevante para la estimación del crecimíento es la
banda cíclica, que podemos definir en series mensuales como la camprendida entre 80 y 20 meses { 2 n/8o, 2 n/20 } o, como prefiere Rhoades
(1980) como la banda { 2^/60, 2 n/24 }.
b) La existencia de una ganancia nula o muy reducida en la banda de
- rechazo y, en particufar, la inexístencia de "rizos'" o lóbulos iaterales que
contaminen la salida con oscilaciones indeseadas. Esta segunda condición,
de la que depende el ratio señal/ruido del filtro es ia que determina fa
robustez de la señal.
I_A ES^TIMAC'ION UEL R11^M0 DE VARIAC'ION f:N SE^RIES E(_'ON(>MIC`AS
EI objetivo de actualidad o de mínimo coste depende de !a función de
fase y en los filtros de estimación del crecimiento basados en el suavizado
de la primera diferencia, que son los que aquí se consideran, dependerá del
coste o desfase del filtro de paso bajo utilizado para el suavizado de la
D(1,1).
En los filtros de extracción del ritmo el desfase puede ser positivo,
indicando que los máximos y mínimos de !a salida adelantan los correspondientes puntos críticos del cornponente cíclico de la serie original, del
mismo modo que la primera derivada "'adelanta" la función original.
^No obstante, en este tipo de filtros la salida no se "centra" o sincroniza
con ia entrada, sino que la salida se sincroniza o se pone en fase con
a[guna variación que se toma como referencia.
Consideraremos a continuación, con mayor detenimiento, las exigencias
de fiabilidad o pertinencia de la banda seleccíonada, robustez o magnitud
dei ratio señal/ruido y actualidad o desfase del filtro, dejando para el
último apartado la cuestión de la variación de referencia.
La selección de la banda cíclica { 2n/80, 2rc/20 } como objetivo de la
estimación del ritmo en series económicas viene aconsejada o impuesta
por los siguientes motivos:
a) EI objetivo primordial del análisis de coyuntura y de las políticas de
gestión económica a corto plazo puede definirse como el seguimiento, la
anticipación y el control de las fluctuaciones económicas de carácter cíclico, entendiendo el término control en el sentido de atenuación de la intensidad de las fluctuaciones.
Por tanto, como indican ya desde el título de su trabajo Poveda y Martínez Mendez (1973), el cálculo de tasas de variación intentará aproximar y
anticipar las oscilaciones cíclicas.
Pero aún cuando !a pertinencia de la banda cíclica se reconoce implícita
o explícitamente, la renuncia al estudio de las funciones de ganancia de los
filtros utilizados, conduce a menudo al empleo de tasas de variación que
acentúan bandas no cíclicas.
EI conocimiento de la función de ganancia es una exigencia indispensable
en el manejo de filtros si quiere evitarse ei '"error Kuznets" descrito por
Harvey (1 981 ), es decir, la introducción de ciclos espúreos. Es vital precisar
de antemano la banda del eje de frecuencias que quiere analizarse y
cornprobar si existe en ella potencia .espectral o varianza significativa.
Este es el error en que incurren quienes emplean la T(1,3) y la T(3,3), al
amplificar las oscilaciones de 6 y 8 meses respectivamente. No sólo es
posible que en el entorno de 8 meses no haya varianza significativa, en
cuyo caso estaríamos ante ciclos espúreos, sino que aún er^ e! caso de
existir potencia, su relevancia para la coyuntura es nula. Adviértase además
44
E:ST ^1[)Iti^Tlt'A F SP Zti(>1 A
que la frecuencia 1/6 es el segundo armónico estacional cuya potencia
habrá sído en todo caso eliminada con una desestacionalización previa,
desplazando el máxirno hacia los periodos 8 y 4,8 meses.
b) Desde perspectivas distintas a la frecuencial utilizada en este trabajo,
diversos analistas de la coyuntura han terminado por decantarse, en el
proceso de búsqueda de estimadores fiables del crecimiento de series
económicas, a favor del empleo de una tasa interanual suavízada. EI estimador propuesta por Espasa (1988, 1990) es un pasabanda cíclico con
máxima en las oscilaciones de 32 meses y lo mismo ocurre con el indicador de aceleraciones y desaceleraciones construido por Fernández Macho
(19901 en el marco de un modelo estructural o de estado y en el que el
estimador de crecimiento es la pendiente de un componente de tendencia
definido como una caminata aleatoria con una deriva o pendiente que varía
también como una caminata aieatoria.
c) En una serie anual, la primera diferencia o su análogo no lineal, la
variación porcentual entre un dato y el anterior, constituye el estimador de
cambio más utilizado. Las series de tasas de las crónicas anuales proporcionan además una buena áproximación a la evolución cíclica correspondiente, puesto que como ya hemos dicho, la banda cíclica coincide en 1as
series anuales con las altas frecuencias acentuadas por la primera diferencia.
^
Parece lógico, por tanto, proponerse como banda objetivo en las series
mensuales, el entorno de los 24 meses que se corresponde con la máxima
frecuencia observable en una serie anual. De este modo, el estimador de
crecimiento de la serie mensual será un aproximador de la serie de crecimientos anuales.
EI objetivo de robustez o suavidad está relacionado con la inexistencia en
la señal de salída de oscilaciones pertenecientes a la banda de rechazo. La
presencia de oscilaciones contaminantes se traduce en la aparición de
falsas señales o movimientos que sugieren erróneamente una modificación
de la senda de la señal procedente de la banda de paso. La búsqueda de
robustez implica:
a) Reducir al mínimo el uso de filtros de medias móviles simples que se
caracterizan precisamente por la presencia de potentes lóbulos laterales. Si
el suavizado inicial de la D(1,1) con una M M 12 (2 7} está justificado por el
poder desestacionalizador de este último filtro, el suavizado adicionat con la
misma M M i 2 que introducen quienes defienden la D(12,12 } na puede
justificarse en modo alguno, ya que mantiene (aunque atenuados) los mismos lóbulos laterales que la D(12,1 ), contaminando a la salida con oscilaciones de 8 y 5 meses o incluso de menor periodo.
l 1 F tii IM^1('IO^l f)F I_ RI^1 MO f)F^ ^'ARIA(`IOti F ti tiF RIF S F(^Oti(l!111( AS
ds
b) Aumentar el ratio señal/ruido del filtro suavizador. En filtros recursivos de paso bajo, elevar el cociente de ganancias entre la banda de paso y
la banda de rechazo manteniendo la misma banda de paso equivale a
aumentar el orden del filtro o a adoptar la forma ARMA en lugar de la
forrna AR, lo que se traduce en ambos casos en un incremento del desfase
dei filtro. Este trade-off entre robustez y desfase nos conduce directamente
al requisito de a^ctualidad del estimador.
Los estimadores de crecimiento y, en general, los filtros pasabanda, como
el de la familia óutterworth utilizado en Melis (1983) para la extracción del
componente cíciico, se construyen aplicando filtros de paso bajo a la primera diferencia. Por ello el incremento de la actualidad del estimador debe
conseguirse minirnizando el desfase temporal del filtro de paso bajo.
Puesto que ya se ha visto que la ampliación de la banda de paso se
traduce en una reducción del desfase conviene analizar el efecto que sobre
el filtro D(12,1)*AR2 (20) ejerce la sustitucián de1 AR2 (20) por un filtro de
mayor banda de paso.
^
EI nuevo filtro considerado es un autoregresivo de orden 4, de potencia
mitad (ganancia
0.5) en 2 n/12 que denotaremos como AR4(12}. EI
desfase en la banda de paso oscila entre 3.2 y 4.2 meses pero para las
oscilaciones típicas de 40 meses es 3.3 rneses, por io que puede utilizarse
un desfase constante de 3 meses. Para oscilaciones de este periodo el
AR2 (20) tiene un desfase de 3.9 observaciones.
EI cuadro adjunto resume las características de este filtro y las compara
con las de la D(12,12) y la D(12,1)*AR2(20).
CARACTERISTICAS DE LOS FILTROS DE ESTIMACION DEL RITMO DE
VARIACION
D(12.12)
D(12.1)*AR2(20^
D(12.1)*AR4{ 12)
Coste (1) . . . . . . . . . . .
11
9
8
Máxirno (2) . . . . . . . . .
32
29
24
Ganancia en:
Máximo ..........
1.45
1.74
2.0
8 meses . .. . . . . . . .
5 meses . . . . . . . . . .
0.44
0.26
0.33
0.13
0.41
0.07
8 m eses . . . . . . . . . .
3.3
5 .3
4.9
5 meses
5.6
Seña!/ruido (3)
13
18.6
Notas: (1 ) Coste o desfase en 4a meses en relacián con la primera diferencia.
(2 ) Periodo de ganancia máxima.
(3) Cociente entre la yanancia máxima y la ganancia en el periodo señalado.
Si consideramos las oscilaciones de cinco meses como representantes
del ruido el filtro D(12,1 ^*AR4(2) es claramente superior, pero en series
económicas !a potencia en el entorno de ocho meses suele ser elevada y, a
efectos de estimación del crecimiento, clararnente indeseable. EI ratio
señal/ruido en los ocho meses es significativamente superior en ei filtro
D(12,1)*AR2(2o), lo que ilustra que la reducción del desfase implica una
disminucíón de la robustez o suavidad de la salida.
En series de irregularidad muy elevada, o cuando se desee eliminar por
completo las oscilaciones de 8 meses, deberá ampliarse el orden de los
filtros autoregresivos empleados o acudir, dentro de la familia Butterworth,
a diseños ARMA. EI cuadro 2 de Melis (1989) estudia la reducción de la
ganancia en 1/12 y el aumento del coste conforme se aumenta el orden
de un autoregresivo de poiencía mitad en los veinte meses. Un fiitro de
orden 4, con desfase de 7 observaciones "limpiará" totalmente la banda de
rechazo.
5.2 Estrategias de estimación del ritmo
E! análisis de la coyuntura económica se realiza principalmente en términos de las velocidades de las variables observadas, de los movimientos
cíclicos de las series y de los adelantos o retrasos entre los mavimientos
cíclicos de las mismas.
A pesar de este decidido protagonismo de las velocidades, la estrategia
usual en la estimación del ritmo de variación de una serie es la de obtener
primero una estimación del nivel relevante y calcular después su primera
diferencia.
EI caste de esta forma de proceder, en relacíón con la primera diferencia,
será por tanto el desfase del filtro empleado en la extracción del nivel
relevante, que debe estar desprovisto de estacionalidad, de irregularidad y
de fenómenos de alta frecuencia como los inducidos por el ciclo semanal
en las series mensuales.
Puesto que las procesos de desestacionalización y de extracción de!
ciclo-tendencía suelen acometerse sin reparar en el coste de la extracción,
conviene destacar aquí que la mayor parte de los procedimientos habituales, basados como e! X 1 1 en filtros de medias móviles, poseen un desfase
temporal muy alto, que se subsana empleando en los extrernos de las
series filtros MA asimétricos que ímpfican extrapolaciones lineales de los
componentes. EI éxito del X 1 1-AR I MA de la Oficina de Estadística Canadiense, radica precisamente en la sustitución de estas extrapolaciones
implícitas en el X11 de la Oficina del Censo de EEUU por predicciones
AR I MA, reduciendo la magnitud de las revisiones.
1.:^ F S I Itit:^(^IOti [)f L RI^r^1O [)t'= ^'.-^R1 1(^IOti f ti Sf KIE ti E(()tiO1tl( iti
Un estimador de nivel muy utilizado es la media móvil de periodo MCD
(número de meses necesarios para que el componente de ciclo-tendencia
domine sobre el irregular) de la serie desestacionalizada que proporciona el
X1 1. EI coste medio (en series de irregularidad media, en las que el procedimiento aplica la media de Henderson de 1 3 términos) de la desestaciona-iización X1 1 es de 84 rneses (Las características de módulo y fase de los
filtros centrales de! X1 1 se estudian en el capítulo 7 de Melis (1 986) ).
EI coste medio de extracción del ciclo-tendencia con el procedimiento
X 1 1 es de 42 observaciones.
EI procedimiento de extracción del ciclo-tendencia y simultánea desestacionalización propuesto en Melis (1 989) para el caso de series de fuerte
estacionalidad es un AR 10(24) que posee un coste de 21 observaciones.
EI procedimiento más sencillo (utilizado por el X 1 1 en su primera iteración) es el empleo de la media móvil MM(12 ^ *MM{2) que tiene un coste
de 6 observaciones, pero su eficacia, como ya se ha dicho, es muy reducida, al atenuar en exceso 1as bajas frecuencias y permitir el paso excesivo
de las oscilaciones de 8, 4.8, 3.4, 2.7 y 2.2 r^neses.
AI aplicar una primera diferencia sobre cualquiera de estas versiones del
ciclo-tendencia se obtiene un fiitro cíclico, que deja paso preferente a las
oscilaciones de periodo próximo a los 24 meses, pero que también permite
(salvo en el caso del AR 10124) ) el paso de oscilaciones de mayores frecuencias.
La mejor ilustración del carácter habitualmente contaminado del componente de ciclo-tendencia puede encontrarse en la propuesta de Espasa de
aplicar la D(1 2,12) sobre el componente de ciclo-tendencia. Esto equivale a
extraer el ciclo-tendencia, aplicarle dos medias móviles de periodo estacional y calcular la primera díferencia de la serie resuitante. Si el componente
de ciclo-tendencia es ei del X 1 1 (medio), el coste de! proceso es de 53
observaciones.
Una ilustración extrema la proporciona el ciclo-tendencia extraído con el
filtro MM(12)*MM(2). La aplicación de la primera diferencia produce ^un
filtro "'en peine" prácticamente idéntico a la D(1 2,1 ), por lo que la contaminación es máxima pero el desfase se reduce a 6 observaciones.
Esta estrategia de estimar primero el nivel y luego diferenciar es obviamente inadecuada. z Qué sentido tier^e soportar el alto coste de extracciór-^
del ciclo-tendencia para eliminar después las oscilaciones ter^denciales o de
menor frecuencia ?
La estrategia que se sugiere, cuando el objetivo es la estimacióri del
ritmo, está representada por el filtro D(12,1 )*AR2(20) a TAS y tiene dos
1 ti i^i)I^,1 1! ^ E^E' 1tit11 ^
etapas:
1 j Aplicar directamente sobre la serie original una diferencia estacional
consiguiendo simultáneamente:
a) efiminar 1a tendencia
b^ elimínar la estacionalidad
c) acentuar (entre otras) la banda cíclica.
2^ Eliminar las bandas subcíclicas con un filtro de paso bajo de coste
mínimo y eliminar en particular, el ciclo semanal. EI uso de diseños
Butterworth de tipo ARMA o de diseños de aproximación mínimocuadrática aI filtro ideal, como los empleados por Rhoades (19$O), pueden
reducir el coste del AR2 (20} que aquí se postula.
Cuando el objetívo es la estimación conjunta dei nivei y del ritmo, el
problerna tiene, como acaba de exponerse, una solución más costosa. No
obstante, la recíente aparición de procedimientos de extracción de señal
basados en ^a descomposición de modelos AR I I1/1A, como el expuesto en
Maravafl (1 987 } ha abierto perspectivas a los diseñadores de filtros que
pueden modificar radicalmente el panorama de estimación conjunta de
nívef y ritmo. Así, el filtro de función de transferencia:
t^(B) = k { (1 - a,B - a2B2) S(B} ]/[ (1 - fI^B) (1 - ^^zB'2) )
c©n S(B) = 1 + B + 62 + . . . + B "}, k^ = C}.23o5
a,--o.039, a2-0.9$^ 1 , t),.--0.1915 f)2-0.6228
aplicado en cascada con el AR2(20), posee una función de ganancia muy
próxima a la del filtro medio de extracción del ciclo-tendencia del X 1 1 pero
con un ratio señall'ruido mayor y un desfase de 5 observaciones frente a
las 42 de1 X 1 1. Un análisis detallado de este filtro y de los valores iniciales
óptimos se encuentra en Gómez y IUIe{is t 1989i, pero interesa destacar
aqui, que el filtro MA(2 ) del r^umerador es muy próximo a la segunda
diferencia en módulo y fase y es precisamente e1 grar^ adelanto de este
filtro ei que explica el reducid© desfase del filtro global.
EI lector familiariZado con los pracedimientos de descomposición de
modelos AR I MA reconocerá esta función de transferencia H(B) como la
parte en B del filtro de extracción del ciclo-ter^dencia estudiado en Maravail
(1 987) para un modelo de líneas aéreas de la serie original.
49
Ln f^^.S^1^IMA( 1Oti l)f=L RITMO f)E V^R1^1^ I(lN r ti tif RIF^^S f(()tiOti11(^;^5
Figura 8. Fstimadc,res de crecim^ento del I P!
Ultimo volof obs^rvodo:Moyo 1990
5.4
5.2
5
4.6
^4.6
4.4
4.2
4
0
-..
v
N
3.6
C
m
^
3.6
a
3.4
0
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1988
o
H^e)^n>?2(20)^0(^2.^
1990
1989
©(12, t )'nR2(20)
La aplicación de una D(1,1) sobre la salida del filtro producto
H(B)*AR2(20) es demasiada errática e inútil para el análisis, pero la
D(1 2,1 ) proporciona ur^a salic^a prácticamente idéntica a la del
D(1 2,1 )*AR2 (20) aplicada a la serie original. Tenemos, por tanto, dos estimaciones del ritmo muy similares^ la D(12,1)*AR2(20), con un desfase de
3 a 4 observaciones respecto a la D112,1) y la H(B)*AR2(2o)*D(12,1) con
un desfase de 5 a 6 observaciones.
Aunque este último tiene rr^ayor coste, resuelve el problema de la obtención conjunta de estimaciones robustas, fiables y consistentes de nivel y de
ritmo. La Figura 8 recoge la salida de ambos filtros para el caso del índice
de producción industrial español.
Adviértase que el filtro H(B), aunque generado a partir de un modelo
ARIMA de líneas aéreas se toma aquí como un filtro fijo, que se aplicará
sobre cualquier tipo de series aún cuando no puedan modelizarse con un
líneas aéreas. Desc^e la perspectiva del diseñador de filtros no es necesario
que el filtro provenga de un mot^elo áptimo de prediccián: basta que su
funcián de ganar^cia sea apropiada y que el desfase sea mínimo. La aportación de los pr^ocedirr^^errtc^s de Pxtracr,ión hrt^sacios eri modelos no radica,
f^^) ,A [)l^^r It ,1 F^ til'A ti( ll_^1
para e! diseñador, en !a integración de los problemas de predicción y
extraccián sino en !a aparicicín de filtros de paso bajo que, por incluir entre
sus componentes a un diferenciador, tiener-^ un desfase muy reducido.
5.3 ^a var^ación de referencia
Hemos mostrado que el estimador óptimo de la velocidad o ritmo de
variación de una serie económica es, desde el punto de vista de! módul© o
ganancia, un filtro del tipo DN 2,1 )*AR2(20) o D{ 12,1 )*AR4(1 2) o, en otros
términos, una diferencia estacional suavizada. Puesto que el filtro acentúa
!as oscilaciones de 2 años debemos interpretar la salida como una estimación robusta y fiable de !a variacián anual de !a serie observada.
Esta interpretación de la salida como una estimación del crecimiento
interanua! deber^ mantenerse aún cuando el filtro utilizado fuera del tipo:
D(1,1 )*A,R 10(24)
cuya función de rnódulo puede verse en e! gráfico 16 de Melis { 1 989), ya
que la banda acentuada o banda de paso es e! entorno de 2 ^r/24.
Dicho todavía de otro modo: sí existe una serie no estacional de tanta
suavidad como para que su prir^r^era diferencia sea suficientemente suave,
Es que dicha serie no posee varianza o potencia significativa en !a banda
{2^/20, n) y por tanto, !a aplicación de !a prin^era diferer^cia produce un
pico en el entorno de 2n/24. Tod^ estimador fiable y robusto del crecimiento en una serie económica debe interpretarse como estimador del
crecimier^to ir^teranual.
EI estudio realizado en los epígrafes anteriores demuestra que en el
estado actual del diseño de filtros el coste de la estimación fiable y robusta
de! crecimiento es precisarnente e! coste del filtro de paso bajo utilizad©
para suavizar la D(1 2,1 ). En !a Tasa Anual Suavizacia propuesta el cost^: del
suavizado autoregresivo es de tres observaciones, por lo que serán necesarias tres predicciones para obtener una estimación aciecu^^cia de la v^:locidad en ei momento presente.
Pero esto es ^^sí sólo en e) caso de que asi ^^r^cimus I^^ D( ^l 2_,1 )=- X^ - Xf ,, ^^I
morl^enta r, es decir, si utilizan^os 1^-^ c^iferericia estacic^r7al o interar^^ual cr^n^o
varíación tie ref^:renCi^3.
Si se prefiere utilizar la primera diferencia eomo referencia la salida
deberá : nterpretarse como una predicción a 5.5 nneses de! crecimiento
interanua! y se requerirán otras 5.5 predicciones para poner en fase la
D(1 2,1 ) con la D(1 ,1 ) o, como suele decirse inader,uadarY^ente, para centrar
la D(1 2,1 ).
^,^ r.^ r i^^ ^^c i^>^ r^^ ^ k t r^^^^^ r^r ^^^^ ^z^ ^^^ i^,ti^ r.^ ^r k^r ^^ r^^^^,^^i^ ^^^
^1
La utilización de una u otra referencia no afecta, por tanto, a las caracteristicas de forma de la señal extraída (suavidad y pauta cíclica) sino al
desfase. EI estimador con referencia en la D{ 1,11, que podemos denotar
como V 1(t), es igual al estimador con referencia en la n(12,1 ), que Ilamamos V 12(t), pero con un adelanto de 5.5 meses. Es decir:
V12(t)=V1(t-5.5)
La postura de algunos autores como Espasa o Poveda y Martínez
Mendez a favor del uso de la primera diferencia coma referencia exige un
alto grado de confianza en la bondad de las predicciones utilizadas.
A lo largo de las fases cíclicas, cuando la dirección de los movimientos
permanece estable, un modelo AR I MA adecuado puede proporcionar raz^nables predicciones y cabe, por tanto, obtener una medida fiable de la
V 1(t). Pero en los momentos de transición entre fases cíclicas, en las
proximidades de los cambios de coyuntura, la predicción, sea univariante o
con indicadores adelantados es muy difícil.
^ Qué es preferible en estos momentos de máxima incertidumbre: una
estimación robusta de la variación anual actual V 12(t) basada en tres
predicciones o una estimación de V 1(t) (predicción a 5.5 meses de V12(t^ i
basada en más de ocha predicciones de calidad discutible?
Debemos exigir a quienes proponen el empfeo de cinco o rnás predicciones algún estudio de su fiabilidad en los momentos de cambio de coyuntura antes de aceptar su recomendación.
Recuérdese además que el estimador V12(t), aunque retrasado respecto
al V 1(t), adelanta la mayor parte de las oscilaciones cíclicas, como se ha
visto en la Figura 7.
Por otra parte, al utilizar la diferencia interanua! como referencia aseguramos que las representaciones de series anuales y mensuales o trimestrales
estén en fase, lo que resulta necesario cuando han de utilizarse o repres.entarse conjuntarnente series de diversa periodicidad.
,
Para representar una serie anual, corno la serie de crecimientos del VAB
en la industria estimada por la Contabilidad Nacional, en fase con el esti^mador V1(t) del Indice de Producción Industrial (IP11, habrían de asignarse
los crecimientos de la serie anual a los eneros de cada año. Si, por el
contrario y corno es usual, asignamos el crecimiento del VAB industrial en
un año al punto medio del mismo año, la serie estará en fase con la V 12 (t}
dei IPI.
En resúmen: la utilización de la diferencia interanual coma referencia
^^ti T^^^^r^ r i^ ^^+^ f tir > ^ti^.,r ^
S2
permite reducir a tres el nún^ero de predicciones necesarias para 1a estirrración del ritmo, asegura la cor^sistencia con las series anuales y proporciona
un adelanto suficiente respecto a las fluctuacrones cíclicas n^rás usuales.
á.
C41^CLUSIQNES
EI analista de la coyuntura realiza su actividad de seguirniento, previsión
y control de la situación económica rnanejando simultánearnente cientos
de series económicas que difieren extraordinariarnente (entre otras razonesy por la intensidad de sus compor^entes o, dicho de otro modo, por la
cantidad de inforrnación que transportan en las distintas bandas frecuenciales. Las series monetarias y de ^ precios poseen fuerte tendencia, las
series reales de empleo, paro, producción y gasto poseen gran potencia de
ciclo-tendencia y fuerte estacionalidad e irregularidad, las series de opiniones están dominadas por el ciclo y la irregularidad, etc.
Además, los desfases o encadenamientos temporales entre series varían
según el componente o banda estudiada, de forma que la sincror^ía entre la
estacionalidad de dos series no implica una sirr^ilar sincronía entre sus
componentes cíclicos o tendenciales.
EI analista típico estima los niveles con procedin^ier^tos como el X 1 1 o el
método modelo-basado contenido en el paquete comercial SCA, que no
explicitan ia banda seleccionada ni el número de predicciones que se han
utilizado en la estimación de la serie desestacionalizada o de ciclotendencia.
Sobre estos niveles, que en sus últimas treinta o cuarer^ta estimaciones
están sujetos a revisión, el analista estima las velocidacies con tasas intermensuales que suavizará con medias r^^^óvites de período tanto rliayor
cuanto más erráticas sean aquellas.
Con esta rr^anera de actuar se mezclan las estirriaciones defir^^itivas con
las que, por estar k^asadas en prediccic^r^es, están s^a jetas a revisión, se
extraen bandas frecuenciales irrelevar^tes para la coyuntura, se acer^túan
banrJas distintas en distinta5 s^:ries y st tar^ndn con^o contemporár^eas
señ^^les d^;sfas^^das er^tre 5i. fUe ^.^5 r-aru er^tor^c^;s car,e algunus anáfisis de
coyuntura ^arot;^^zc;an draynósti^;c.^s e^ rónev5 (uéasé la sorprendente, por lo
sincera, reuisiór^ de los diaynósticos del INSEE desc^e 1969 realizada por
Cling y Fayolle t 1 986)), ni que las r:strategias de cor7trol conduzcan frecuentemente a efectos opuestos a los perseguidos.
A lo largo de este trabajo se ha pretendic.lo cornbatir este estado de
easas señalando, en primer lugar, la n^:c:es^ciad c1e estak^lecer ^ana separa-
LA E:S^T^^Iti1^^(.^IU:^i Uf^-L RIT^h1O r)F. YA^R1,1( 1Oti E?^ SFF^Ir-^ E(^OtiO!^tl(^^->^
ción nítida entre el problema de la predicción y el problema de la extracción de señal, de modo que el analista de la coyuntura pueda diferenciar en
todo momento las estimaciones definitivas de la señal coyuntural de las
estimaciones sujetas a revisión por estar basadas en predicciones y desligar la calidad de la extracción de seña I de la calidad de la predicción. En
este sentido, se ha defendido implícitamente el abandono de los paquetes
standard de tratamiento de series en los que predicción y extracción se
confunden, confundiendo a los coyunturistas que no sear^ expertos en
series de tiempo.
En segundo lugar, se ha utilizado una aproximación frecuencial que permite plantear el problema del filtrado o extracción de señal en términos de
la fiabilidad, la robustez y la actualidad o el coste informativo de !a seña! y
reinterpretar operativamente (como se hace en Melis (1989) ) la hipótesis
de componentes subyacentes en la que descansa desde hace setenta años
el análisis de coyuntura. Desde esta perspectiva, una vez que el analista ha
definido la banda relevante o la banda de paso, deberá seleccionar el filtro
apropiado estableciendo un equilibrío entre la robustez exigida a la señal y
el coste informativo o pérdida de actualidad que está dispuesto a soportar.
En tercer lugar se han mostrado los procedimientos para e! análisis
funcional de cualquier tipo de filtros de forma que puedan determinarse a
priori los efectos del filtrado y quepa seleccionar el filtro más adecuada a
los objetivos del análisis, evitando incurrir en la introducción de ciclos
espúreos y desfases artificiales. Se han recomendado las siguientes normas
de actuación para la estimación de los ritmos de variación:
a) Puesto que la estimación del ritmo de variación es menos costosa
que la estimación del nivel, evitar cuando sea posible esta última y comparar, cuando sea necesario utilizar una estimación (basada en filtros de
ganancia y fase desconocidas) del nivel, !a tasa de variación de! nivel con la
TAS de la serie original.
b) Utilizar como banda de paso eri la estirnación del ritmo la banda
situada en el entorno de 1/24 en series merisuales, de 1/8 en series
trimestrales y de 1/2 en series anuales y ^^tilizar con^o variación de referencia para la sincronización de las salidas la oscilación bianual. Puesto que
este entorno pertenece a la banda cíclica la señal obtenida proporcianará
una antícipación de las fluctuaciones cíclicas de la serie estudiada.
Por últime, se ha presentado el estirnador TAS del ritmo de variación (y
el par de estimadores de nivel y ritrr^o descrito en el epígrafe 5.2 ) como un
instrumento que puede aplicarse con facilidad y rapidez sobre un gran
cualquiera que sea la magr^itud de los componentes en
número de series
y en el marco de un análisis orientado exclusivamente
cada una de ellas
^-^1
f 51 ^OI^ 1 t( 1 f Sf' ^\(1l 1
ai seguimiento de la coyuntura en el que importa más la actualidad que la
ausencia de falsas señales ya que la robustez del diagnóstico se asegura en
este contexto con otros instrumentos de carácter multivariante (índices de
difusión, par ejemplo).
Cuando el objetivo prioritario es el control (situación en que es necesario
reducir al máximo el riesgo de falsa señal) o el análisis se reali2a sobre un
número reducido de series, el diseño de estimadores puede adaptarse a las
características de las series en presencia para sacar la máxima ventaja de
!a concreta distribución de la varianza en cada una de ellas. Es obvio que si
una serie (como ocurre con los ALP) no posee potPncia estacional en 1/12
(aunque sí la tenga en los restantes armónicos estacionales) y es suficientemente suave, de forma que la potencia en las altas frecuencias sea muy
reducida, puede conseguirse un estimador de crecimiento centrado en
1/24 combinando la primera diferen.cia (o una diferencia de periodo inferior a 12) con un filtro AR de paso bajo consiguiendo la misma robustei de
la TAS con menor coste o desfase o mayor robustez con igual coste.
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56
ESTADIS'i^ICA ESPAÑOLA
ABSTRACT
Growth in economic time series is typically estimated by
means of smoothed monthly rates of change applied over series
as the X 1 1 or the
seas©nally adjusted with procedures that
don"t precise the gain of the filter used nor the phase
SCA
delay, that is to say, the number of forecasts required.
ln this way, definitive estimates are confused with the ones
subject to revisions, spurious cycles are induced and artificial
delays between the series used are also introduced.
In this paper a frequential approach is used to show the
and of signal extraction
problem of the estimation of rhythm
as an issue different to that of prediction whose
in general
goal is to obtain a reliable and robust sígnal with minimun delay
or cost ^data lost).
Reliability is identified here with the relevance of the frequency band extracted, smoothness with the ratio of gains between
the passband and the stopband and timeliness with the time
delay of the filter.
As the relevant passband the neighbourhood of the 2 years
cycle is postulated which, being part of the cyclical band, allows
the growth estimator to approximate and anticipate the business
cycle. The biannual cycle is also defended as the reference variation in order to the synchronisation of different estimators.
The most common estimators are analized critically and a
recursively Smoothed Annual Rate is presented as a reliable,
robust and minimum cost estirnator o# growth which can be
used quickly and easi(y on a electronic worksheet over any type
of series.
Also a reliable and robust solution to the joínt estimation of
level and velocity is presented.
Key words: Rates of change, signal extraction, business cycle,
ARMA fifters, gain function, phase function, time delay,
band-pass and low--pass filters, symmetrical and antisyrnetrical moving-average filters.
AMS c/assification: 62 P20, 90A 16, 90A20.