funciones elípticas y elementos de modularidad

FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
AUTOR: MIGUEL HERNAIZ
DIRECTOR: IGNACIO SOLS
PROYECTO FIN DE MÁSTER EN INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA,
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS,
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
CURSO ACADÉMICO 2008-2009
1
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Elliptic Curves, Complex Tori, Modular Forms, Cusp Forms, Modular Curves
MSC 2000: 11F03, 11F11, 11F12, 14H52
2
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Resumen. (English ) This article intends to be a (modest) introduction to
some essential concepts in a central eld of Number Theory called Modularity.
SL2 (Z) and the upper halfH where there is a well dened action of SL2 (Z). Moreover, H is actually
the natural space for parametrizing a special type of C subgroups called lattices
which happen to act on C and allow us to dene a new kind of objects we will
Our starting point will be the modular group
plane
refer to as complex tori or complex elliptic curves. Complex elliptic curves are
actually endowed with several structures and concretely with an abelian group
structure which is at the very heart of most of nowadays work on Number
Theory.
Now,
SL2 (Z)
H suggests the denition of
H that transform in a nearly
action on the upper half-plane
a certain kind of complex valued functions on
invariant way under the action of
SL2 (Z)
and satisfy some holomorphy or
meromorphy condition. The formers will be called modular forms and the
latters automorphic forms.
Finally, if we consider now some special subgroups of
action on
H
SL2 (Z)
and their
we will obtain a third type of objects called modular curves. After
an easy compactication, modular curves present a Riemann surface structure
on which we will use some algebraic techniques to extract a great amount
of dimensional information concerning the vector spaces spanned by modular
and automorphic forms. Nevertheless, the most important structure modular
curves are endowed with is a moduli space structure for equivalence classes of
complex elliptic curves enhanced by associated torsion data.
(Castellano ) Este artículo pretende ser una (modesta) introducción a algunos conceptos esenciales en un campo de la Teoría de Números llamada
Modularidad.
SL2 (Z) en el semiH. Dicho semiplano resulta ser el espacio natural para parametrizar
subgrupos de C llamados retículos. La actuación de dichos retículos en C
El punto de partida es la actuación del grupo modular
plano superior
unos
permite denir unos objetos que llamaremos toros complejos o también curvas elípticas complejas que presentan, entre otras, una estructura de grupo
abeliano que se halla en el corazón de gran parte del trabajo que se realiza
actualmente en Teoría de Números.
La actuación de
H
SL2 (Z) en H sugiere la denición de ciertas funciones sobre
que presenten unas determinadas características de invariancia respecto del
grupo modular así como otras de holomorfía o de meromorfía. Las primeras se
llamarán formas modulares y las segundas formas automorfas.
Al considerar, a su vez, la actuación de determinados subgrupos de
en
H,
SL2 (Z)
obtenemos unos nuevos objetos llamados curvas modulares. Las curvas
modulares, tras una adecuada compacticación, presentan una estructura de
supercie de Riemann que permitirá mediante técnicas algebraicas acotar las
dimensiones de los espacios generados por las formas. Sin embargo, más importante es que constituyen espacios de móduli para las clases de equivalencia
de curvas elípticas junto con determinadas informaciones de torsión.
3
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
1.
Llamamos
grupo modular
4
Introducción
al grupo
SL2 (Z)
de las matrices 2x2 de determinante
igual a 1 y cuyos coecientes son números enteros. Más escuetamente:
SL2 (Z)
a
c
=
b
d
: a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1 .
1
Es un resultado sencillo (aunque tedioso ) de comprobar que
SL2 (Z) está generado
por las matrices
1
0
1
1
a
c
b
d
−1
0
0
1
y
.
El grupo
GL2 (C)
=
actúa sobre la esfera de Riemann
a
c
: a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0 .
Ĉ = C ∪ ∞ de la forma
aτ + b
b
: τ 7→
d
cτ + d
siguiente
Ĉ llamados transformaciones
GL2 (C), hereda esta
negativa −I actúan igual en la
y, de hecho, dando lugar al grupo de automorsmos de
de Möbius.
El grupo modular
SL2 (Z),
como subgrupo de
actuación. Nótese que las matrices identidad
I y su
±γ de
esfera de Riemann. Más en general, todo par
elementos del grupo modular
da una única transformación.
Más aún, dada
γ=
a
c
b
d
∈ SL2 (Z),
se comprueba fácilmente que la parte imaginaria de
γ(τ )
viene dada por
=(τ )
|cτ + d|
2
y ahora, denido el semiplano de Poincaré como el semiplano superior
H = {τ ∈ C : =(τ ) > 0} ,
resulta que la actuación de
SL2 (Z)
se puede restringir a
H
(y a
−H).
De ahora en
adelante, y por razones que serán obvias en breve, consideraremos únicamente la
actuación de
SL2 (Z)
en
H.
Los objetos que nos interesarán en este trabajo se dividen en tres grupos. El
primero de ellos son las curvas elípticas complejas que resultan del cociente del plano
complejo por subgrupos discretos de rango 2 de
C
a los que llamaremos retículos.
La estructura de aquellas resulta ser extraordinariamente rica al tratarse a la vez de
grupos abelianos, de supercies de Riemann de género 1 y, bajo una cierta biyección
en estrecha relación con las funciones elípticas, de una curva compleja de grado 3.
τ que
H y que es único salvo transformación por elementos del grupo modular.
Además, veremos que cada curva elíptica viene caracterizada por un número
se halla en
Los segundos objetos son las formas modulares y las formas automorfas, siendo
éstas funciones denidas en el semiplano
1Una
H
y que satisfacen ciertas condiciones de
demostración de este hecho puede hallarse por ejemplo en [LAN].
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
5
invariancia por la acción del grupo modular y ciertas condiciones de holomorfía o de
meromorfía, respectivamente. También veremos cómo al restringir nuestra atención
a la actuación de ciertos subgrupos de
SL2 (Z)
llamados grupos de congruencia
surgen nuevas formas modulares y automorfas.
Finalmente, llamamos curvas modulares a los cocientes de
H
por la acción de
los grupos de congruencia. Estos cocientes tienen también una estructura muy rica.
Veremos como heredan de
H
una estructura de supercie de Riemann la cual com-
pacticaremos para poder tratarlos como curvas algebraicas y abrir la puerta a usar
sobre ellos algunos resultados básicos de Geometría Algebraica como el teorema de
Riemann-Roch con el que se pueden obtener datos muy precisos sobre la cantidad
que podemos esperar hallar de formas modulares y automorfas. Sin embargo, lo más
importante de las curvas modulares es que algunas de ellas son isomorfas a espacios
de móduli, clases de equivalencia de curvas elípticas junto con cierta información
de torsión.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
6
Parte 1. Toros complejos y curvas elípticas
2.
Toros complejos e isogenias
retículo complejo
C de la forma Λ = ω1 Z ⊕
C visto como R-espacio vectorial. Por convención
supondremos que el cociente τ = ω1 /ω2 se halla en H. Sin embargo, un retículo no
está caracterizado por una base {ω1 , ω2 } sino más bien por la clase de equivalencia
de la base
ω1
SL2 (Z)
.
ω2
0
0
0
Es decir, que dados dos retículos Λ = ω1 Z ⊕ ω2 Z y Λ = ω1 Z ⊕ ω2 Z, tenemos que
0 a b
ω1
ω1
a b
=
Λ = Λ0 ⇔
para
un
cierto
∈ SL2 (Z).
ω20
c d
ω2
c d
Llamamos
ω2 Z
siendo
{ω1 , ω2 }
a todo subgrupo de
una base de
En efecto, si los dos retículos son iguales la base de uno debe poder expresarse en
función de la del otro y obtenemos así dos matrices con coecientes enteros inversa
la una de la otra. Ahora, por esta misma razón el determinante no puede ser más
que
±1
y el signo positivo es el único acorde a nuestra convención
τ = ω1 /ω2 ∈ H.
Un
toro complejo
es el objeto que resulta de cocientar el plano complejo por un
retículo
C/Λ = {z + Λ : z ∈ C} .
Resulta fácil ver que cada toro complejo hereda de
abeliano. Si llamamos ahora
C
paralelogramo fundamental
una estructura de grupo
al conjunto
P = {t1 ω1 + t2 ω2 : |t1 | , |t2 | < 1/2} ,
resulta que la aplicación cociente restringida a cada abierto
tuye una carta para un entorno de
z+Λ
z+P
del plano consti-
dotando a nuestro toro complejo de una
estructura de supercie de Riemann. Se ve sin dicultad que dicha supercie es un
toro, lo cual justica el nombre de nuestro cociente.
Aprovechando la estructura de supercie de Riemann de nuestro toro complejo
podemos utilizar el resultado bien conocido que arma que cualquier aplicación
holomorfa entre dos supercies de Riemann es o bien suprayectiva o bien constante
para demostrar que las aplicaciones holomorfas entre toros complejos tienen una
forma muy sencilla.
φ : C/Λ −→ C/Λ0
y hallemos su elevación al espacio recubridor universal C de cada toro: φ̃ : C −→ C.
Ahora, dado un elemento cualquiera λ ∈ Λ, resulta que la función fλ : z 7→ φ̃(z +
λ) − φ̃(z) es holomorfa y constante por tomar imágenes en el conjunto discreto Λ0
0
0
de C. Derivando obtenemos las igualdades φ̃ (z + λ) = φ̃ (z) para cada λ ∈ Λ. Es
0
decir, que φ̃ es holomorfa y Λ−periódica, luego acotada. Haciendo ahora uso del
0
teorema de Liouville obtenemos que φ̃ es una función constante y que existen por
tanto m, b ∈ C tales que φ̃(z) = mz + b.
En efecto, supongamos una función holomorfa entre dos toros
φ̃ es una elevación de una aplicación entre cocientes, tenemos
mΛ ⊂ Λ0 . Más aún, si dicho contenido es propio, resulta que existe
z ∈ Λ0 con z/m ∈
/ Λ pero tal que φ(z/m + Λ) = b + Λ0 = φ(0 + Λ) o, lo que
Recordando que
necesariamente
algún
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
es lo mismo, ocurre que
entonces
φ
7
mΛ = Λ0 ,
ψ : w+Λ →
7 (w − b)/m + Λ es la
no es inyectiva. Si, por el contrario, tenemos
0
(1/m)Λ = Λ y la
φ y ambos toros
aplicación dada por
inversa de
0
resultan ser holomorfamente isomorfos.
Resumiendo, tenemos la proposición siguiente.
Proposition 2.1. Sean C/Λ y C/Λ0 dos toros complejos y φ una aplicación entre
ambos. Tenemos que existen m, b ∈ C tales que mΛ ⊂ Λ0 y
φ : z + Λ 7→ mz + b + Λ0 .
Además, φ es invertible si y sólo si es mΛ = Λ0 .
φ
La sencillez de la forma de
nos permite obtener inmediatamente el corolario
siguiente.
Corollary 2.2. Sean
ambos con
C/Λ
y C/Λ0 dos toros complejos y φ una aplicación entre
φ : z + Λ 7→ mz + b + Λ0
y mΛ ⊂ Λ0 . Son equivalentes:
• φ es homomorsmo de grupos,
• b ∈ Λ0 , y por tanto φ(z + Λ) = mz + Λ0 ,
• φ(0) = 0.
En particular, existe un homomorsmo holomorfo y no nulo de grupos entre
los dos toros complejos del enunciado si y sólo si existe algún m ∈ C∗ que hace
mΛ ⊂ Λ0 . Es más, existe un isomorsmo holomorfo de grupos entre los toros C/Λ
y C/Λ0 si y solamente si existe algún m ∈ C que haga mΛ = Λ0 .
Este corolario nos permite obtener para cada retículo
mo dado por el caso
m = 1/ω2
entre
C/Λ y C/Λτ
Λ = ω1 Z⊕ω2 Z el isomorsτ = ω1 /ω2 y Λτ = τ Z ⊕ Z,
siendo
lo cual demuestra que todo toro complejo es isomorfo a otro toro complejo generado por un elemento
grupo modular sobre
H
τ ∈H
y por 1. Más aun, si recordamos que la acción del
no modica el retículo resulta claro que, salvo isomorsmo
holomorfo, cada toro complejo dene un elemento de
H
único salvo la acción de
SL2 (Z).
Concluida esta pequeña observación que será completada más tarde, vamos ahora
a estudiar un poco el aspecto que tienen estos homomorsmos entre toros complejos.
De ahora en adelante nos referiremos a los homomorsmos holomorfos entre toros
complejos como
isogenias. Obsérvese en primer lugar que las isogenias deben tener
núcleo nito puesto que éste debe ser un conjunto discreto (de otro modo la isogenia
sería nula, lo cual es una contradicción) contenido en un compacto.
Las isogenias más elementales son las que representan la multiplicación por un
n ∈ N y un
[n] : C/Λ −→ C/Λ dada por
número entero positivo. Es decir, dado
tipo de isogenia sería
retículo
Λ,
un ejemplo de este
[n] : z + Λ 7→ nz + Λ.
Esta aplicación es efectivamente una isogenia puesto que
compuesto por los puntos
z+Λ
tales que
nz ∈ Λ
nΛ ⊂ Λ
y su núcleo,
es claramente isomorfo como
Z/nZ × Z/nZ y sus elementos se llaman puntos de n-torsión. Finalmente,
E para referirnos al toro C/Λ, denotaremos por E[n] a los puntos de
n-torsión de E .
grupo a
si escribimos
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
8
Otro ejemplo de isogenia, menos trivial, es el de las aplicaciones cociente cíclico.
Sean
n∈N
y
C
un subgrupo cíclico de
E[n]
isomorfo a
verse también como un superretículo dentro de
cíclico como la isogenia
π : C/Λ −→ C/C
Λ,
Z/nZ.
Puesto que
C
puede
denimos la aplicación cociente
dada por
z + Λ 7→ z + C
y cuyo núcleo es exactamente
C.
Resulta ahora que todas las isogenias son composición de isogenias de los dos
tipos anteriores. En efecto, consideremos una isogenia cualquiera
φ : C/Λ −→ C/Λ0
dada por
z + Λ 7→ mz + Λ0
y sea
K = ker(φ). K puede ser visto como subgrupo de C/Λ o bien como el
Λ dado por m−1 Λ0 . Sea N el orden de K como subgrupo. Tenemos
superretículo de
entonces la inclusión
K ⊂ E[N ] ∼
= Z/N Z × Z/N Z
luego tiene que ser
K∼
= Z/nZ × Z/nn0 Z
para unos ciertos n, n ∈ N. Ahora, [n] lleva K a un subgrupo cíclico nK isomor0
fo a Z/n Z y entonces la isogenia cociente π de C/Λ a C/nK tiene núcleo nK .
0
Finalmente hacemos seguir a π la isogenia C/nK −→ C/Λ dada por
0
z + nK 7→ (m/n)z + (m/n)nK,
nK como retículo; observando que dicha isogenia es
(m/n)nK es exactamente mK = Λ0 . La composición de
donde estamos considerando
un isomorsmo puesto que
las tres isogenias es la aplicación dada por
z + Λ 7→ nz + Λ 7→ nz + nK 7→ mz + Λ0 = φ(z)
y concluimos que, como anunciamos,
φ
es una composición de dos isogenias de los
tipos denidos anteriormente:
[n]
π
∼
φ : C/Λ −→ C/Λ −→ C/nK −→ C/Λ0 .
De forma análoga se prueba que las isogenias denen una relación de equivalencia.
Supongamos, en efecto, que tenemos una isogenia
φ : C/Λ −→ C/Λ0
que viene por
tanto dada por
z + Λ 7→ mz + Λ0
m 6= 0 y mΛ ⊂ Λ0 . Existen por tanto una base {ω1 , ω2 } de Λ0 y unos enteros
positivos n1 , n2 tales que {n1 ω1 , n2 ω2 } constituye una base de mΛ y de aquí se
0
0
sigue que n1 n2 Λ ⊂ mΛ y (n1 n2 /m)Λ ⊂ Λ y podemos pues construir una isogenia
0
φ̂ : C/Λ −→ C/Λ a la que llamaremos isogenia dual y que es tal que aplica
siendo
z + Λ0 7→ (n1 n2 /m)z + Λ.
(φ̂ ◦ φ)(z + Λ) = n1 n2 z + Λ = [n1 n2 ](z + Λ).
exactamente el grado de la isogenia original φ puesto que
de ker(φ) y {n1 ω1 /m, n2 ω2 /m} es base de Λ y por lo tanto
Esta isogenia cumple que
Nótese que n1 n2 es
{ω1 /m, ω2 /m} es base
es
ker(φ) ∼
= Z/n1 Z × Z/n2 Z
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
probando que
φ
es
n1 n2
9
a 1. De forma más escueta:
φ̂ ◦ φ ≡ [deg(φ)]
y esta ecuación funcional determina
φ̂
por completo puesto que
φ
es suprayectiva.
Muchas de las propiedades de la isogenia dual se reducen ahora a meras observaciones. Puesto que
[deg(φ)]
tiene grado
(deg(φ))2
y el grado de una composición
es el producto de los grados resulta que tenemos
deg(φ̂) = deg(φ)
y que por tanto la isogenia dual de una isogenia del tipo
[n]
es ella misma y que la
de un isomorsmo es la isogenia inversa. La isogenia dual de una composición es la
composición de las duales en el orden inverso. Dada una isogenia
su dual es
0
φ̂ : w + Λ 7→ (deg(φ)/m)w + Λ
0
φ : z+Λ 7→ mz+Λ0
y así
φ ◦ φ̂ ≡ [deg(φ)] ≡ [deg(φ̂)],
por lo que
φ
es la dual de su dual
ˆ
φ̂ = φ.
Antes de estudiar la estructura de curva que presentan los toros complejos introducimos un último concepto de gran importancia.
Si consideramos un retículo
complejo
Λ,
el subgrupo de los puntos de N-torsión del toro
E = C/Λ
E[N ] = {P ∈ C/Λ : [N ]P = 0} = hω1 /N + Λ, ω2 /N + ΛiZ ,
es análogo al subgrupo de puntos de N-torsión del grupo multiplicativo
C∗ /R+ = {z ∈ C : |z| = 1} ,
el grupo de las raíces N-ésimas de la unidad
µN = z ∈ C : z N = 1 = he2πi/N i.
De hecho, es posible denir una especie de producto interior en
valores en
µN
al que llamaremos
Weil pairing
E[N ]
que tome
eN : E[N ] × E[N ] −→ µN .
Dados dos puntos de N-torsión
H,
P
y
Q siendo {ω1 , ω2 } una base de Λ con ω1 /ω2 ∈
tenemos
P
Q
=γ
y el Weil pairing de
P
ω1 /N + Λ
ω2 /N + Λ
y de
Q
para un cierto
γ ∈ M2 (Z/N Z)
viene dado por
eN (P, Q) = e2πi det(γ)/N .
Nótese que está bien denido al ser los coecientes de
γ
enteros módulo N y que
no depende de la base elegida puesto que con las condiciones impuestas cualquier
cambio de base vendría dado por una matriz de determinante 1. Por otro lado es
fácil ver que si
de la unidad.
P
y
Q generan E[N ] el Weil pairing será una raíz primitiva N-ésima
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
3.
10
Toros complejos y curvas elípticas
Como veremos a continuación, los toros complejos tienen una estructura de curva
algebraica. La forma más sencilla de obtener esta estructura es estudiar el cuerpo
de funciones meromorfas de los toros complejas que son lo que llamamos funciones
elípticas.
Más precisamente, jado un retículo
Λ,
llamamos función elíptica (relativa a
Λ)
a una función meromorfa que satisface las ecuaciones funcionales
f (z + λ) = f (z)
para cada
λ∈Λ
y cada
z ∈ C.
Es evidente que éstas son exactamente las funciones meromorfas del toro complejo
C/Λ
y que forman un cuerpo. Aunque, en rigor, deberíamos escribir
referirnos a dicho cuerpo escribiremos simplemente
C(C/Λ)
para
C(Λ).
Una primera propiedad de las funciones elípticas es consecuencia inmediata de
una observación anterior: todas, salvo las constantes, tienen que tener al menos un
cero y al menos un polo. En efecto, una función meromorfa sobre un toro complejo
puede verse como una aplicación holomorfa entre dos supercies de Riemann, a
saber, el propio toro y la esfera de Riemann
C∪{∞} por lo que si no es suprayectiva
(esto es, si no alcanza alguno de los valores de Ĉ como 0 o ∞) tiene que ser constante.
Sean
f ∈ C(Λ)
y
z ∈ C.
Puesto que
ordz (f )
resz (f )
Sin embargo, puesto que
si sustituimos
z
por
z+λ
f
f
es meromorfa, podemos denir:
=orden de anulación
=residuo de f en z .
de
f
en
z,
es elíptica, el orden y el residuo de
por cualquier
λ ∈ Λ.
f
en
z
es el mismo
Esto sugiere utilizar la siguiente
notación.
Por
P
z∈C/Λ nos referiremos a un sumatorio sobre los elementos de P , siendo
Λ. Tenemos entonces el siguiente resultado.
P
un paralelogramo fundamental para
Theorem
P 3.1. Sea f ∈ C(Λ).
(a)
res (f ) = 0.
Pz∈C/Λ z
(b)
ordz (f ) = 0.
P z∈C/Λ
(c)
res
z (f )z ∈ Λ.
z∈C/Λ
Demostración.
Sea
P
un paralelogramo fundamental para
ni polos ni ceros en la frontera
∂P
de
P.
Λ
tal que
f
no tenga
Las tres armaciones del enunciado se
demuestran aplicando el teorema de los residuos a determinadas funciones en
P.
(a) De acuerdo con el teorema de los residuos,
X
z∈C/Λ
y, por la periodicidad de
f,
1
resz (f ) =
2πi
ˆ
f (ζ)dζ;
∂P
las integrales a lo largo de lados opuestos del paralelo-
gramo se cancelan con lo que obtenemos el resultado deseado.
(b) La periodicidad de
la función elíptica
f
0
implica la de su derivada
f0
por lo que al aplicar (a) a
f /f , obtenemos:
ˆ
X
f 0 (ζ)
1
ordz (f ) =
dζ = 0.
2πi ∂P f (ζ)
z∈C/Λ
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
11
z 7→ zf 0 (z)/f (z),
ˆ
ˆ a 0
a+ω1
a+ω1 +ω2
a+ω2
ζf (ζ)
+
+
+
dζ.
f (ζ)
a
a+ω1
a+ω1 +ω2
a+ω2
(c) Aplicando ahora el teorema de los residuos a la función
ˆ
2πi
X
ordz (f )z
=
∂P
z∈C/Λ
ζf 0 (ζ)
dζ =
f (ζ)
ˆ
ˆ
Realizando en la segunda (respectivamente tercera) integral el cambio de variable
ζ 7→ ζ + ω1
ζ + ω2 ) y usando la periodicidad de f 0 /f , obtenemos
ˆ a+ω1 0
ˆ a+ω2 0
X
f (ζ)
f (ζ)
ω2
ω1
ordz (f )z = −
dζ +
dζ.
2πi a
f (ζ)
2πi a
f (ζ)
(respectivamente
z∈C/Λ
Ahora, dada una función meromorfa cualquiera
la integral
es el índice alrededor de 0 del
g
tal que
ˆ b 0
g (ζ)
1
dζ
2πi a g(ζ)
lazo γ : I → C dado
por
g(a) = g(b) para a, b ∈ C,
γ(t) = g((1 − t)a + tb) y en
f 0 /f garantizan que
particular un entero. Esta observación y la periodicidad de
X
ordz (f )z
∈ Λ,
z∈C/Λ
como queríamos demostrar.
Diremos que el
orden
de una función elíptica es su número de polos (contados
2
con su multiplicidad) en cualquier paralelogramo fundamental . Resulta que dicho
orden tiene que ser mayor o igual que 2 para que la función no sea constante.
Supongamos por el contrario que una función elíptica no constante tiene orden 1;
es decir, solamente tiene un polo simple. Entonces, por el teorema anterior el residuo
en dicho polo tiene que ser 0 y por tanto nuestra función elíptica sería holomorfa y
no constante, lo cual contradice una observación anterior.
Vamos a denir ahora una función que, además de ser nuestro primer ejemplo
de función elíptica no constante, será una pieza fundamental para la comprensión
de aquellas y, por lo tanto, de la geometría de los toros complejos.
Así pues, llamamos
función ℘ de Weierstrass relativa a Λ como la serie
℘(z; Λ) =
X
1
1
1
+
− 2.
2
z
(z − ω)2
ω
ω∈Λ\0
Denimos además la
serie de Eisenstein de peso 2k relativa a Λ como
X
G2k (Λ) =
ω −2k .
ω∈Λ\0
Con estos ingredientes podemos atacar el siguiente resultado.
Theorem 3.2. Dado un retículo complejo Λ, tenemos:
(a) La serie
X
ω −α
ω∈Λ\0
es absolutamente convergente si y sólo si α > 2. En particular, la serie de Eisenstein
de peso 2k para Λ es absolutamente convergente para todo k > 1.
2Nótese
que por el teorema anterior, el orden también coincide con el número de ceros.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
12
(b) La serie a la que hemos llamado función ℘ de Weierstrass converge absoluta y
uniformemente en cualquier compacto de C\Λ con lo que dene, efectivamente, una
función meromorfa en C. Además, todos los polos de la función ℘ de Weierstrass
son dobles, de residuo 0 y localizados en los elemento del retículo Λ.
(c) La función ℘ de Weierstrass es una función elíptica par.
Demostración.
(a) Sea
ω1
y
ω2
una base de
Λ
y sean
m
y
M
las distancias mínima
y máxima, respectivamente, del origen a la frontera del paralelogramo de la gura
3.1.
Si
ω 6= 0 es cualquiera de los 8 números de la gura, tendremos que m ≤| ω |≤ M .
Si ahora añadimos los 12 paralelogramos que rodean a los 4 de la gura tendremos
16 nuevos elementos de
3m ≤| ω |≤ 3M
Λ para los cuales 2m ≤| ω |≤ 2M , los 24 siguientes cumplen
8j nuevos elementos de Λ que cumplen
y obtenemos en general
1
1
1
≤
≤
.
(jM )α
| ω |α
(jm)α
Figura 3.1.
En denitiva, tenemos
X
2·8
3·8
1
8
2·8
3·8
8
+
+
+
.
.
.
≤
≤ α+
+
+ ...
Mα
(2M )α
(3M )α
| ω |α
m
(2m)α
(3m)α
ω∈Λ\0
o, equivalentemente,
∞
∞
X
8 X 1
1
8 X 1
≤
≤ α
.
M α n=1 nα−1
| ω |α
m n=1 nα−1
ω∈Λ\0
Ahora, si
α > 2,
la serie de la derecha es convergente mientras que si es
la serie de la izquierda diverge.
(b) Observemos que si tenemos
| ω |> 2 | z |,
| ω || 2ω − z |<| ω | (| 2ω | + | z |) <
entonces
5
| w |2 < 10 | w − z |2
2
por lo que
1
1 z(2ω − z) 10 | z |
(z − ω)2 − ω 2 = ω 2 (z − ω)2 < | ω |3 .
α ≤ 2,
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
℘
De (a) tenemos que la serie correspondiente a la función
absolutamente convergente para cualquier
z ∈ C\Λ
13
de Weierstrass es
y que es uniformemente con-
vergente en cualquier compacto de
C\Λ por lo que dene un a función holomorfa en
C \ Λ. Por el aspecto de la serie es inmediato que ℘ tiene sus polos en los elementos
de Λ, que estos son doble y que su residuo es 0.
(c) Sustituyendo en la serie de la función
℘(z) = ℘(−z)
luego ya tenemos que
Puesto que la serie de
la derivada
℘0
℘
℘
de Weierstrass
ω
por
−ω
obtenemos
es par.
℘ es uniformemente convergente por (b), podemos calcular
diferenciando término a término
℘0 (z) = −2
X
ω∈Λ
1
.
(z − ω)3
℘0 es una función elíptica (e impar) por lo que, integrando, tenemos
que ℘(z + ω) − ℘(z) es una función constante para cada ω ∈ Λ. Ahora, si tomamos
z = −ω/2, tenemos
Es claro que
℘(z + ω) − ℘(z) = ℘(ω/2) − ℘(−ω/2) = 0
por lo que
℘(z + ω) − ℘(z)
es la función nula y, equivalentemente,
℘
es elíptica.
A continuación demostraremos que toda función elíptica (es decir, toda función
denida sobre un toro complejo), se expresa como función racional de
℘
y
℘0 .
Theorem 3.3. Dado un retículo Λ = hω1 , ω2 iZ , tenemos
C(Λ) = C(℘, ℘0 ).
Demostración.
Dada una función elíptica cualquiera
f ∈ C(Λ),
podemos escribirla
como suma de una función par y una función impar
f (z) =
f (z) + f (−z) f (z) − f (−z)
+
2
2
por lo que basta con demostrar el teorema para funciones elípticas pares e impares.
Más aún, puesto que si
f
es impar entonces
℘0 f
es par podemos restringirnos a
estudiar el caso par.
Ahora, puesto que
f
es par, tenemos para cada
ordw f
Es más, si
2w ∈ Λ, entonces ordw f
w∈C
que
= ord−w f.
es par. En efecto, si diferenciamos
f (z) = f (−z)
repetidas veces obtenemos que
f (j) (z) = (−1)j f (j) (−z).
y si
2w ∈ Λ
entonces
f (j) (w) = f (j) (−w)
por lo que
f (j) (w) = 0
siempre que
j
sea
impar luego ordw f es necesariamente par.
P un paralelogramo fundamental para Λ y sea H
H sea un dominio fundamental para (C/Λ)/ {±1}.
consideraciones anteriores, tenemos que los ceros y los polos de f
Sea ahora
de forma que
la mitad de
P
En virtud de las
están dispuestos
de forma simétrica respecto del origen en P y tienen órdenes iguales a los de sus
3
nw negativo para un polo de orden |nw |,
nw = 0 cuando en w no haya ni polos ni ceros y un nw positivo para un cero de
orden |nw |, tenemos nw = n−w para cada w ∈ H .
simétricos ; es decir, que si atribuimos un
3Nótese
que aquí estamos usando que si
2w ∈ Λ
entonces ordw f es par.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
14
Consideremos ahora la función
Y
g : z 7→
[℘(z) − ℘(w)]nw .
w∈H\0
℘(z) − ℘(w) toma ceros simples en w y en −w y un polo doble en
f y g tienen exactamente los mismo ceros y polos salvo,
posiblemente, en w = 0. Ahora, por el teorema (3.1b) sabemos que también tienen
en 0 el mismo orden por lo que f /g resulta ser una función elíptica holomorfa y,
por lo que sabemos, dicha función tiene que ser constantemente κ para un cierto
κ ∈ C. En denitiva,
f = κ · g ∈ C(℘, ℘0 )
con lo que concluye la demostración.
Puesto que
el origen, vemos que
A continuación vamos a calcular la serie de Laurent de la función
℘. Al diferenciar
℘0 .
esta serie, obtendremos una relación algebraica fundamental entre℘ y
Theorem 3.4.
(a)
La serie de Laurent de ℘ alrededor del origen viene dada por
℘(z) = z −2 +
∞
X
(2k + 1)G2(k+1) (Λ)z 2k .
k=1
(b)
Para cada z ∈ C tal que z ∈/ Λ se cumple la siguiente relación
(℘0 (z))2 = 4(℘(z))3 − g2 (Λ)℘(z) − g3 (Λ),
siendo g2 (Λ) = 60G4 (Λ) y g3 (Λ) = 140G6 (Λ).
Demostración.
(a) Suponemos
|z| < |ω|.
Tenemos
(z − ω)−2 − ω −2 = ω −2 [(1 − z/ω)−2 − 1] =
∞
X
(n + 1)z n /ω n+2 .
n=1
Ahora, sumando sobre
ω
y teniendo en cuenta que las series convergen absoluta-
mente, obtenemos
℘(z) = z −2 +
∞
X
(n + 1)z n
n=1
Finalmente, puesto que
X
1/ω n+2 = z −2 +
ω∈Λ\0
∞
X
(n + 1)Gn+2 (Λ)z n .
n=1
℘ es una función par, las series de Eisenstein de peso impar
deben ser nulas y nos queda la expresión del enunciado.
(b) Si escribimos los primeros términos de las series de Laurent siguientes
℘0 (z)2 = 4z −6 − 24G4 z −2 − 60G6 + . . .
℘(z)3 = z −6 + 9G4 z −2 + 15G6 + . . .
℘(z) = z −2 + 3G4 z 2 + . . . ,
vemos que la función
f : z 7→ ℘0 (z)2 − 4℘(z)3 + 60G4 ℘(z) + 140G6
es holomorfa alrededor del 0 y se anula en 0. Ahora,
f ∈ C(Λ)
y no tiene polos
luego es constantemente cero.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
15
Se llama curva elíptica a toda curva cúbica proyectiva no singular junto con un
punto
O
de referencia.
Proposition 3.5. Sean g2 y g3 las cantidades asociadas a un retículo Λ = hω1 , ω2 iZ .
(a) El polinomio en X
4X 3 − g2 (Λ)X − g3 (Λ)
tiene raíces distintas luego su discriminante
∆(Λ) = g23 − 27g32
es distinto de cero.
(b) Sea E la curva algebraica dada por
E : y 2 = 4x3 − g2 x − g3 ,
que es elíptica en virtud de
entonces que la aplicación
(a)
dada por
si tomamos por referencia O = [0, 1, 0]. Tenemos
φ : C/Λ → E ⊂ CP2
(
φ : z 7→
[0, 1, 0]
[℘(z), ℘0 (z), 1]
es una transformación conforme.
Demostración.
(a) Sea
ω3 = ω1 + ω2 .
si z = 0
en otro caso.
Puesto que
℘0
es una función elíptica impar,
tenemos
℘0 (ωj /2) = −℘0 (−ωj /2) = −℘0 (ωj /2)
0
por lo que ℘ (ωj /2) = 0. Utilizando (3.4b) concluimos que el polinomio se anula
en cada ej = ℘(ωj /2) para j = 1, 2, 3 luego sólo nos queda probar que estos tres
valores son realmente distintos.
La función
en
z = ωj /2
℘(z) − ℘(ωj /2)
es par y por tanto tiene al menos un cero doble
pero por tener orden 2, no tiene otros ceros (en un paralelogramo
fundamental adecuado) luego
℘(ωi /2) 6= ℘(ωj /2)
si
i 6= j .
φ está contenida en E luego
φ|(C/Λ)\0 : (C/Λ) \ 0 → C2 es holomorfa, luego
también lo es como aplicación en E. Así pues, φ es holomorfa salvo a lo sumo en
el 0. Tomamos ahora una carta alrededor del 0, por ejemplo la dada por f = x/y
(b) En virtud de (3.4b) tenemos que la imagen de
φ
esta bien denida. Es claro que
(una demostración de que esto es efectivamente una carta holomorfa puede hallarse
en [KIR] 5.28), y calculamos:
f ◦ φ = ℘/℘0
que es una función holomorfa en un
entorno del 0.
Veamos ahora que φ es biyectiva. Supongamos que tenemos φ(z1 ) = φ(z2 ) y sea
α = ℘(z1 ) = ℘(z2 ) con z1 6= z2 . Entonces zj 6= 0 puesto que ℘ sólo tiene un polo
en 0 luego α es nito y supongamos en primer lugar que 2z1 ∈
/ Λ. Consideremos
la función ℘(z) − α. Tiene orden 2 y ceros z1 , −z1 y z2 por lo que tiene que ser
z2 ≡ ±z1 [Λ] y
℘0 (z1 ) = ℘0 (z2 ) = ℘0 (±z1 ) = ±℘0 (z1 )
0
implica que z2 ≡ z1 [Λ] (nótese que por la demostración de (a), tenemos que ℘ (z1 ) 6=
0). Si por el contrario 2z1 ∈ Λ entonces ℘(z) − α tiene un doble cero en z1 y se
anula en z2 luego tiene que ser z2 ≡ z1 [Λ]. Con lo anterior concluimos que \phi es
inyectiva.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
16
Figura 3.2. Ilustración de la operación de grupo en una curva elíptica
[a, b, c] un punto de E . Si tenemos c = 0, por la
a = 0 y es [a, b, c] = [0, 1, 0] que está en la imagen de
φ. En otro caso, sea [a, b, 1] ∈ E . La función ℘(z) − a es una función elíptica no
0
2
2
constante luego debe tener un cero, digamos que en z = α. Así pues, ℘ (α) = b
0
luego, sustituyendo α por −α si fuese necesario, obtenemos que ℘ (α) = b y por lo
tanto φ(α) = [a, b, 1].
Veamos la sobreyectividad, sea
ecuación de
E
tiene que ser
La aplicación
φ
del teorema transporta la operación de grupo del toro complejo
a la curva elíptica. Para entender cómo es la suma en la curva elíptica, supongamos
z1 + Λ y z2 + Λ son dos puntos no nulos del toro complejo. Los puntos imágenes
φ (℘(z1 ), ℘0 (z1 )) y (℘(z2 ), ℘0 (z2 )) en la curva determinan una tangente o una
2
secante a la curva en C dada por la ecuación aX + bY + c = 0. Consideremos ahora
que
por
la función
f (z) = a℘(z) + b℘0 (z) + c.
b 6= 0 tiene un polo triple en 0 + Λ
z1 + Λ y z2 + Λ y por el teorema 3.1 sabemos que tiene el tercer cero
en el punto z3 + Λ que cumple z1 + z2 + z3 + Λ = 0 + Λ en C/Λ. Cuando, por el
contrario, tenemos b = 0, f tiene un doble polo en 0 + Λ y ceros en z1 + Λ y z2 + Λ
y, una vez más en virtud de 3.1, obtenemos que z1 + z2 + Λ = 0 + Λ en C/Λ o, lo
que es lo mismo tomando z3 = 0 + Λ, z1 + z2 + z3 + Λ = 0 + Λ. En este último caso,
Esta función es claramente elíptica y cuando es
y ceros en
puesto que se trata de una recta vertical la vemos como que contiene el punto
O ≡ (℘(0), ℘0 (0)).
b los puntos de la curva elíptica en la recta
(Xj , Yj ) = (℘(zj ), ℘0 (zj )) para j = 1, 2, 3. Puesto
que en todos los casos es z1 + z2 + z3 + Λ = 0 + Λ concluimos que la ley de grupo
se traduce en la curva como que los puntos alineados suman 0 = O .
Así pues, para cualquier valor de
aX + bY + c = 0
Dado
τ ∈ H,
son los puntos
denimos las funciones
g2
y
g3
en
g2 : τ 7→ g2 (Λτ )
H
como
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
17
y
Asimismo, denimos la función
g3 : τ 7→ g3 (Λτ ).
∆ denida en H y
dada por
3
∆ : τ 7→ (g2 (τ )) − 27(g3 (τ ))2 .
Tenemos ahora el corolario siguiente.
Corollary 3.6. La función ∆ no se anula en H.
Demostración. Basta ver que ∆ es el discriminante de la ecuación de la curva dada
en el teorema anterior y recordar que la curva en cuestión es no singular.
Concluimos la sección señalando que no sólo todo toro complejo
diante la función
φ
C/Λ
lleva me-
de antes a una curva elíptica
Y 2 = 4X 3 − a2 X − a3 , a32 − 27a23 6= 0
con
a2 = g2 (Λ)
y
a3 = g3 (Λ)
sino que el recíproco también es cierto. Una de-
mostración de esto puede hallarse en ([DIA] 1.4).
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
18
Parte 2. Formas modulares y grupos de congruencias
4.
El caso de
SL2 (Z)
En esta primera subsección vamos a denir las formas modulares y cuspidales
para el grupo modular del cuál hablamos brevemente en la introducción.
Dado un entero
k , decimos que una función meromorfa f : H −→ Ĉ es débilmente
modular de peso k si se cumple
k
f (γ(τ )) = (cτ + d) f (τ )
γ=
para cada
a
c
b
d
4.0.1. Pequeño paréntesis: factores de automorfía.
∈ SL2 (Z)
y cada
τ ∈ H.
Esta subsubsección está dedi-
cada a una pequeña digresión sobre los factores de automorfía; éstos nos serán de
gran utilidad sobre todo en la sección siguiente pero empezamos aquí a hablar de
ellos porque nos permiten concluir con una pequeña observación de interés para
comprobar la modularidad débil de una función meromorfa sobre
H.
Dado
γ=
y
τ ∈ H,
denimos el
a
c
b
d
∈ SL2 (Z)
factor de automorfía j(γ, τ ) ∈ C como el número
j(γ, τ ) = cτ + d,
y, dado también un entero
H −→ Ĉ
k,
el
operador de peso k [γ]k
sobre las funciones
f :
como
[γ]k : f 7→ f [γ]k : τ 7→ j(γ, τ )−k f (γ(τ )) .
Podemos dar ahora una nueva denición de las funciones débilmente modulares:
se trataría de las funciones que son meromorfas en
k,
es decir, invariantes por
SL2 (Z)
H
y
SL2 (Z)
invariantes de peso
bajo la acción de los operadores de peso
k.
Obsérvese que los conjuntos de ceros y polos contados con sus multiplicidades
de las funciones débilmente modulares de peso
los operadores de peso
k
k
son invariantes por la acción de
del grupo modular. Esto será de importancia más tarde.
Las propiedades más elementales de los factores de automorfía y de los operadores
de peso
k
están resumidas en el lema siguiente.
Lemma 4.1. Dados dos elementos cualesquiera γ y γ 0 del grupo modular y τ ∈ H,
tenemos:
0
0
0
(a) j(γγ , τ ) = j(γ, γ (τ ))j(γ , τ ),
0
0
(b) (γγ )(τ ) = γ(γ (τ )),
0
0
(c) [γγ ]k = [γ]k [γ ]k ,
−2
(d) =(γ(τ )) = |j(γ, τ )|
=(τ ),
2
(e) (dγ/dτ )(τ ) = 1/j(γ, τ ) .
Demostración. Dado un γ ∈ SL2 (Z), éste actúa sobre los puntos τ ∈ H como una
transformación fraccional lineal y puede representarse matricialmente haciendo uso
de los factores de automorfía:
γ
τ
1
=
γ(τ )
1
j(γ, τ ).
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
19
Aplicando ahora esta identidad repetidas veces obtenemos las dos ecuaciones
siguientes:
γγ 0 ·
γ · γ0
τ
1
τ
1
(γγ 0 )(τ )
j(γγ 0 , τ ),
1
0
γ (τ )
γ(γ 0 (τ ))
= γ
j(γ 0 , τ ) =
j(γ, γ 0 (τ ))j(γ 0 , τ ).
1
1
=
Ahora puesto que los lados izquierdos de las ecuaciones son iguales también lo son
los de la derecha y los asertos (a) y (b) del lema se obtienen leyendo las las primera
y segunda, respectivamente.
Sea ahora una función
f : H −→ C
0
para la cual calculamos
(f [γγ ]k )(τ )
=
j(γγ 0 , τ )−k f ((γγ)(τ )),
((f [γ]k )([γ 0 ]k )(τ )
=
j(γ 0 , τ )−k (f ([γ]k )(γ 0 (τ ))
=
j(γ 0 , τ )−k j(γ, γ 0 (τ ))−k f (γ(γ 0 (τ ))).
Puesto que los dos lados de la derecha son iguales por (a) y (b) también lo son los
de la izquierda y tenemos (c). Finalmente, para las partes (d) y (e), yuxtaponiendo
γ
dos copias de la relación entre las acciones de
γ
0
τ
1
τ
1
=
0
γ(τ ) γ(τ )
1
1
obtenemos
j(γ, τ )
0
.
0
j(γ, τ 0 )
τ 0 a τ resulta (e); y escribiendo
j(γ, τ̄ ) = j(γ, τ ) y tomando determi-
Ahora, tomando determinantes y haciendo tender
0
τ = τ̄ ,
observando que
γ(τ̄ ) = γ(τ )
y que
nantes obtenemos (d).
Cerramos el paréntesis con la observación prometida: en virtud del lema anterior,
determinar si una función f es débilmente modular de peso
k
se reduce a (además
de demostrar su meromorfía, claro) estudiar si es invariante bajo los operadores
correspondientes a un subconjunto de
SL2 (Z)
que genere el grupo modular. En
concreto, basta comprobarlo para las matrices
1
0
1
1
y
0
1
−1
0
,
o, lo que es lo mismo, a comprobar las igualdades
f (τ + 1) = f (τ )
y
f (−1/τ ) = τ k f (τ ).
Fin del pequeño paréntesis.
La modularidad débil de peso 0 es sencillamente la invariancia respecto de los
elementos del grupo modular, es decir que
f ◦γ ≡ f
para cada
γ ∈ SL2 (Z). También
la invariancia de peso 2 es natural en el sentido en que corresponde a la invariancia
en la integración por caminos puesto que ésta tiene que ver con la integración del
diferencial
f (τ )dτ
en
H
y un sencillo cálculo muestra que
dγ(τ ) = j(γ, τ )−2 dτ
y la relación buscada
f (γ(τ ))d(γ(τ )) = f (τ )dτ
se traduce en
f (γ(τ )) = j(γ, τ )2 f (τ ),
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
20
lo cual es exactamente la denición de la modularidad débil de peso 2.
Otras propiedad inmediata es que el producto de dos funciones débilmente modulares de pesos
k
y
l
es una función débilmente modular de peso
Si consideramos el caso para
k
peso
k + l.
γ = −I en una función débilmente modular de
f = (−1)k f lo cual demuestra que la única
obtenemos la ecuación funcional
función débilmente modular de cualquier peso impar es la función constantemente
nula.
Como vimos al nal de nuestra pequeña digresión, una función débilmente modu-
f
Z-periódica, en el sentido que tenemosf (τ +1) = f (τ ). Si escribimos
C {q ∈ C : |q| < 1}, Do para
2πiτ
referirnos al disco punteado {q ∈ C : 0 < |q| < 1} y q , e
, tenemos que la funo
ción Z-periódica τ 7→ q = q(τ ) aplica H en D . Así, si consideramos para una
4
o
función holomorfa y débilmente modular f la función g : D −→ C dada por
lar
D
es siempre
para referirnos al disco abierto de radio unidad en
g : q 7→ f (log(q)/(2πi))
f (τ ) = g(e2πiτ ). Ahora la holomorfía de f en H se traduce en la holomorfía
o
de g en D puesto que el logaritmo se puede denir localmente como una función
holomorfa y por lo tanto g tiene un desarrollo en serie de Laurent alrededor del
hace
origen
g(q) =
X
an q n
con
q ∈ Do .
n∈Z
|q| = e−2π=(τ ) muestra que q tiende a 0 a medida que =(τ ) tiende a
∞ situado lejos en la dirección imaginaria, podemos decir la
que f es holomorfa en ∞ si g lo es en el 0. Lo que es lo mismo, diremos que f es
holomorfa en ∞ cuando los coecientes del desarrollo en serie de Laurent de g sean
nulos si n < 0. O, de nuevo, diremos que f es holomorfa si tiene un desarrollo en
La relación
∞.
Así pues, si vemos
serie de Fourier
f (τ ) =
∞
X
an (f )q n ,
q = e2πiτ .
n=0
Finalmente, por una observación anterior, comprobar la holomorfía de
f
en
∞
se
reduce a ver que el límite
lı́m
=(τ )→∞
existe o sólo que
f (τ )
es acotado cuando
f (τ )
=(τ )
tiende a
∞.
Tiene ahora sentido la denición siguiente.
Denition 4.2. Sea k un entero. Diremos que f
de peso k si cumple
(1)
(2)
(3)
f
f
f
es holomorfa en
4Nótese
2πiZ.
forma modular
k,
∞.
Denotaremos al conjunto de las formas modulares de peso
salvo
es una
H,
es débilmente modular de peso
es holomorfa en
: H −→ C
k
como
Mk (SL2 (Z)).
que esta función esta bien denida puesto que el logaritmo complejo esta determinado
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Mk (SL2 (Z))
La primera observación es que cada
constituye un
21
C-espacio
vec-
torial puesto que las tres propiedades de la denición anterior son invariantes por
C-linealidad. De la misma forma que para las funciones débilmente modulares, tenemos que el producto de dos formas modulares de pesos k y l nos da una forma
5
modular de peso k + l, esta observación dota al conjunto de todas las formas
modulares de una estructura de anillo graduado
M(SL2 (Z)) =
M
Mk (SL2 (Z)).
k∈Z
Además de las función 0 que es un ejemplo de forma modular para todos los
pesos y de las constantes en general, que son ejemplos de formas modulares de peso
k > 2:
0, ya disponemos de un ejemplo de forma modular para peso
Eisenstein de peso
las series de
k
Gk (τ ) =
0
X
(cτ + d)−k ≡ Gk (Λτ ) τ ∈ H,
(c,d)
donde la prima del sumatorio signica que estamos sumando sobre todos los pares
(c, d) ∈ Z2 \{(0, 0)}. Como sabemos de la sección anterior, las series de Eisenstein de
peso k son absolutamente convergentes luego en particular sus términos se pueden
reordenar y constituye una función holomorfa. Tomando ahora
γ=
a
c
b
d
∈ SL2 (Z),
tenemos
Gk (γ(τ ))
=
−k
0
X
aτ + b
c0
+ d0
cτ + d
0 0
(c ,d )
=
(cτ + d)k
0
X
((c0 a + d0 c)τ + (c0 b + d0 d))
−k
(c0 ,d0 )
=
(cτ + d)k
0
X
(c0 ,d0 )
c0
d0
a
c
b
d
τ
1
−k
Z2 \ (0, 0) también lo hace c0 d0 · γ luego,
k
reordenando términos, podemos escribir Gk (γ(τ )) = (cτ +d) Gk (τ ). Sólo nos queda
comprobar que Gk es holomorfa en el innito, para lo cual basta demostrar que Gk
es acotada cuando =(τ ) tiende a ∞ o bien ponerse manos a la obra y calcular su
y puesto que el par
(c0 , d0 )
recorre
desarrollo en serie de Fourier. La primera posibilidad es un ejercicio algo tedioso
de análisis que puede hallarse en [LAN]. Un cálculo de la segunda posibilidad que
involucra el desarrollo en serie de la función cotangente puede hallarse en [DIA] y,
si bien no lo reproducimos, no nos resistimos a escribir al menos el desarrollo de
Fourier
Gk (τ ) = 2ζ(k) + 2
5Comprobar
∞
(2πi)k X
σk−1 (n)q n , k > 2
(k − 1)! n=1
y
k
par
que las dos primeras características de una forma modular se comportan bien
respecto a la multiplicación de formas es trivial. Tan sólo el caso de la holomorfía en el innito
puede no ser inmediato pero un pequeño cálculo da cuenta de él.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
siendo
σk−1 (n)
22
la función aritmética
X
σk−1 (n) =
mk−1
m|n, m>0
y
ζ
la función zeta de Riemann.
Denition 4.3.
de peso
Llamamos forma cuspidal de peso k a f si es una forma modular
k cuyo desarrollo en serie de Fourier tiene coeciente inicial a0 = 0, es decir,
si
f (τ ) =
∞
X
an q n , q = e2πiτ .
n=1
Denotamos por
Sk (SL2 (Z))
al conjunto de las formas cuspidales de peso
Igual que hicimos con las formas modulares, es fácil ver que
subespacio vectorial de
Mk (SL2 (Z))
k.
Sk (SL2 (Z))
es un
y algo menos ver que el conjunto de todas las
formas cuspidales es un anillo graduado
S(SL2 (Z)) =
M
Sk (SL2 (Z))
k∈Z
y un ideal de
M(SL2 (Z)).
Aparte del ejemplo trivial de la función constantemente nula, ya conocemos otro
ejemplo de forma cuspidal que no es otro que la función discriminante
∆ : H −→ C
dada por
∆(τ ) = (g2 (Λτ ))3 − 27(g3 (Λτ ))2 .
Es fácil ver, por las propiedades de g2 y g3 , que ∆ es una función débilmente modular
de peso 12 y que es holomorfa en H. A partir del desarrollo en serie de Fourier de
12
las series de Eisenstein, se calcula que tenemos para ∆ a0 = 0 y a1 = (2π)
luego
efectivamente se trata de una forma cuspidal de peso 12 distinta de la función
constantemente nula.
Podemos ahora denir otra función interesante
j : τ 7→
a la que nos referiremos como la
(12g2 (τ ))
∆(τ )
j : H −→ C
función modular.
y recordando que vimos en la sección anterior que
que j es holomorfa en
H
Por lo que hemos dicho antes
∆
no se anula en
y en el denominador son ambas de peso 12 resulta que
el
invariante modular.
H
tenemos
y puesto que las funciones que aparecen en el numerador
que es invariante por la acción de
Fourier de
dada por
3
SL2 (Z).
j
es de peso 0, es decir,
De hecho, esta función se llama también
Si intentamos escribir el primer término del desarrollo de
j
(2π)12 + . . .
1
= + ...
12
(2π) q + . . .
q
vemos que j tiene un polo simple en ∞ por lo que no se trata de una forma modular.
Sin embargo, el hecho de que j tenga peso cero y que, por tanto, sea invariante bajo
j(τ ) =
la acción del grupo modular la convierte en una función especialmente interesante
en la medida en que asocia a cada clase de isomorsmo de toros complejos (y por
lo tanto a cada clase de curvas elípticas) un número complejo. Es decir, que
j
es
un invariante de las curvas elípticas y se demuestra (véase [SER] VII.3.3 o [SIL]
III.1.4) que el número que asocia a cada clase es único.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
5.
Sea
N
N
23
El caso general: grupos de congruencias
un entero positivo. Llamamos
a
a
c
Γ(N ) =
subgrupo principal de congruencia de nivel
b
d
a
c
∈ SL2 (Z) :
b
d
≡
1
0
0
1
[N ]
donde interpretamos la congruencia coeciente a coeciente. Nótese que
Γ(1) =
SL2 (Z).
Si observamos que
Γ(N )
es exactamente el núcleo de la reducción natural
SL2 (Z) −→ SL2 (Z/N Z)
resulta que
Γ(N )
es un subgrupo normal del modular. No resulta muy difícil com-
probar que la reducción es suprayectiva y que por lo tanto tenemos un isomorsmo
SL2 (Z)/Γ(N )−→SL
˜
2 (Z/N Z)
y el índice
[SL2 (Z) : Γ(N )]
es nito; de hecho
Y
1
[SL2 (Z) : Γ(N )] = N
1− 2 .
p
3
p|N
Decimos que un subgrupo
Γ de SL2 (Z) es un subgrupo de congruencia si contiene
N para algún entero positivo N .
al subgrupo principal de congruencia de nivel
Diremos entonces que
Γ
es un subgrupo de congruencia
Resulta entonces que todo subgrupo de congruencia
de nivel N.
Γ tiene índice nito respecto
del grupo modular. Además del subgrupo principal, también son importantes los
subgrupos de congruencia
Γ0 (N ) =
a
c
b
d
a
c
b
d
∈ SL2 (Z) :
a
c
b
d
a
c
b
d
∗
0
∗
∗
[N ]
1
0
∗
1
[N ] ,
≡
y
Γ1 (N ) =
∈ SL2 (Z) :
≡
donde por * entendemos que la congruencia en ese coeciente es indiferente.
Una primera observación tras estas dos deniciones es la cadena de inclusiones
de subgrupos
Γ(N ) < Γ1 (N ) < Γ0 (N ) < SL2 (Z)
en la que resulta que las dos primeras inclusiones son en realidad inclusiones normales. En efecto,
Γ(N )
resulta ser el núcleo de la aplicación suprayectiva
Γ1 (N ) −→ Z/N Z
dada por
a
c
b
d
7→ b [N ]
y tenemos, por lo tanto
Γ(N ) C Γ1 (N )
y
Γ1 (N )/Γ(N )−→Z/N
˜
Z.
Con el índice
[Γ1 (N ) : Γ(N )] = N .
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
24
Para la segunda inclusión normal, consideramos la aplicación
Γ0 (N ) −→ (Z/N Z)∗
dada por
a
c
b
d
7→ d [N ] .
Esta aplicación también es suprayectiva y su núcleo es
Γ1 (N )
por lo que tenemos
Γ1 (N ) C Γ0 (N )
y
Γ0 (N )/Γ1 (N )−→(Z/N
˜
Z)∗ .
Con el índice
[Γ0 (N ) : Γ(N )1 ] = φ(N )
φ es la función de Euler.
Γ0 (N ) en SL2 (Z) a partir de los cálculos
donde
Podemos nalmente calcular el índice de
anteriores y tenemos
[SL2 (Z) : Γ0 (N )] = N
Y
p|N
1
1+
p
.
Vamos a desarrollar ahora el concepto de forma modular para subgrupos de con-
Γ del grupo modular.
f : H −→ C es débilmente modular de peso k para Γ si es meromorfa
e invariante de peso k respecto de Γ, es decir, si es invariante por el operador [γ]k
para cada γ ∈ Γ. Una vez más, el que f sea invariante de peso k para Γ implica
gruencias. Fijemos un entero k y un subgrupo de congruencia
Diremos que
entre otras cosas que sus ceros y sus polos son invariantes en orden y localización
para la acción de
Γ.
Obsérvese que ahora puede ser
−I ∈
/ Γ
y que por lo tanto
pueden existir funciones débilmente modulares de peso impar, contrariamente a lo
que ocurría con el grupo modular o a lo que ocurre para subgrupos de congruencia
que contengan a
−I .
Para denir el concepto de forma modular para
Γ
tenemos que describir una
nueva condición de holomorfía para las funciones débilmente modulares. Nótese en
primer lugar que cada subgrupo de congruencia contiene una matriz traslación de
la forma
1
0
h
1
: τ 7→ τ + h
h minimal. Esto es así porque todos los subgrupos
N ∈ N (aunque h puede ser un divisor propio de
N ). Así pues, si bien las funciones débilmente modulares para Γ no tienen porque
ser Z-periódicas, si deben ser hZ-periódicas para algún h ∈ N e, igual que antes,
o
podemos denir para nuestra f: H −→ C una función g : D −→ C donde, esta vez,
2πiτ /h
tenemos f (τ ) = g(qh ) con qh = e
. De la misma forma que antes, por ser f
o
holomorfa en H resulta que g lo es en D y tiene por tanto un desarrollo en serie
para un cierto entero positivo
contienen a
Γ(N )
para algún
de Laurent alrededor del 0. Análogamente a como hicimos para el grupo modular,
diremos que
f
es
holomorfa en ∞ si g
se extiende holomorfamente a
En tal caso tenemos un desarrollo en serie de Fourier para
f (τ ) =
∞
X
n=0
an qhn , qh = e2πiτ /h .
f
qh = 0.
dado por
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Sin embargo, nuestro estudio de la holomorfía en
asegurarse de que
f
∞
25
no es suciente; hay que
es holomorfa en todos los puntos límite. Además de
∞,
resulta
que los puntos racionales también pueden ser puntos límite. La razón por la que
hemos evitado este problema hasta ahora es porque, considerando
H
H ∪ Q ∪ {∞}
en
∞
pertenecen a la mismo coconjunto puesto que para cada s ∈ Q existe un α ∈ SL2 (Z)
tal que s = α(∞).
Más en general y considerando un subgrupo de congruencia Γ cualquiera, llamamos a cada Γ-clase de equivalencia de puntos de Q ∪ {∞} cúspides de Γ. La
vez de
resulta que bajo la acción del grupo modular los racionales y el punto
geometría que subyace a este término se explicará más en detalle en la sección sigu-
∞
Γ-equivalentes
iente. En el caso del grupo modular, sólo tenemos una cúspide, representada por
pero en el caso de un
Γ
cualquiera tendremos menos puntos serán
y puede darse el caso de que
Γ
tenga más cúspides, que estarán representadas por
números racionales.
Un forma un poco primitiva de calcular el número de cúspides puede ser la
s existe un elemento
∞ el número de cúspides6 de Γ será a
lo sumo el número de coconjuntos Γα en SL2 (Z) y por lo tanto nito ya que el
índice[SL2 (Z) : Γ] es nito por serlo [SL2 (Z) : Γ(N )] para cada N ∈ N.
Decíamos por tanto que una forma modular para un subgrupo de congruencia Γ
tiene que ser holomorfa en las cúspides. Escribiendo como antes cada s ∈ Q ∪ {∞}
como s = α(∞), la holomorfía en s se expresa naturalmente en términos de la holomorfía en ∞ a través del operador [α]k . Puesto que f [alpha]k es holomorfa en H
(recordemos que los operadores de peso k no modican el conjunto de polos) y dé−1
bilmente modular respecto de α
Γα, el cual es también subgrupo de congruencia,
la noción de holomorfía en ∞ tiene sentido.
Resumiendo, tenemos la siguiente denición para forma modular para Γ.
siguiente: puesto que, como dijimos antes, para cada racional
α
de
SL2 (Z)
para el cual es imagen de
Denition 5.1.
Una función
(1)
(2)
(3)
Sea Γ un subgrupo de congruencia de SL2 (Z) y sea k un
f : H −→ C es una forma modular de peso k respecto de Γ si
f es holomorfa,
f es invariante de peso k
f [α]k es holomorfa en ∞
entero.
Γ,
α ∈ SL2 (Z).
para la acción de
para cada
Si además se cumple que
(4)
a0 = 0
f [α]k para cada α ∈ SL2 (Z),
k respecto de Γ. Las formas
Mk (Γ) y las cuspidales Sk (Γ).
en el desarrollo en serie de Fourier de
entonces diremos que
modulares de peso
k
f
es una forma cuspidal de peso
respecto de
Γ
se escriben
Las condiciones (3) y (4) se mencionan independientemente del subgrupo
Γ
pero en realidad sólo necesitan ser comprobadas para el número nito de representantes de coconjuntos
que
f [γαj ]k = f [αj ]k
6Es
αj
en cualquier descomposición
para cada
γ∈Γ
SL2 (Z) =
S
j
Γαj
puesto
por la característica (2) de la denición.
habitual utilizar la letra s para referirse a una cúspide. Es una herencia de la notación
alemana para referirse a una spitz (cúspide). En francés se usa la expresión point parabolique.
Esto explica también por qué escribimos
S(Γ)
para referirnos a las formas cuspidales para
formas modulares que se anulan en las cúspides de
Γ \ H):
son las spitzenformen.
Γ
(las
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
26
Parte 3. Curvas modulares
6.
Las curvas modulares como espacios de móduli
Recordemos de las secciones anteriores que dos curvas elípticas
C/Λ
y
C/Λ0
son
holomorfamente isomorfas como grupos si y solamente si existe un número complejo
m
tal que
mΛ = Λ0 ;
podemos considerar esto como una equivalencia y clasicar
las curvas elípticas complejas en clases. Análogamente, podemos considerar dos
elementos
τ
y
τ0
de
H
como equivalentes si existe
γ ∈ SL2 (Z)
tal que
τ = γ(τ 0 ).
En esta sección demostraremos que existe una biyección entre los dos cocientes.
Es decir, las clases de equivalencia de puntos en el semiplano superior bajo la
acción del grupo modular son descritas por las clases de isomorsmo de las curvas
elípticas complejas. Más aún, probaremos que los cocientes del semiplano superior
por los subgrupos de congruencia expuestos en la sección anterior están descritos
en términos de las clases de equivalencia de las curvas elípticas complejas junto con
cierta información de torsión.
En primer lugar vamos a describir a qué nos referimos cuando hablamos de cierta
Γ0 (N ), Γ1 (N ) y Γ(N )
Γ0 (N ) a los
pares ordenados (E, C) donde E es una curva elíptica compleja y C es un subgrupo
cíclico de E de orden N y establecemos para este nuevo tipo de objeto la relación
información de torsión para los subgrupos de congruencia
para un entero positivo
N.
Llamamos curva elíptica aumentada para
de equivalencia siguiente
(E, C) ∼ (E 0 , C 0 ) ⇔
existe un ismomorsmo
E −→E
˜ 0
que lleva
C
a
C 0.
Denotaremos el conjunto de clases de equivalencia por
S0 (N ) = {curvas
y a los elementos de
elípticas aumentadas para
Γ0 (N )} / ∼
S0 (N ) por [E, C], donde los corchetes se reeren a que estamos
tomando clase de equivalencia.
Una curva elíptica aumentada para el subgrupo Γ1 (N ) es un par (E, Q) donde
E es una curva elíptica compleja y Q un punto de E de orden N (esto es, para cada
M ∈ Z, M Q = 0 ⇒ N |M ) y la relación de equivalencia que consideraremos es
(E, Q) ∼ (E 0 , Q0 ) ⇔
existe un ismomorsmo
E −→E
˜ 0
que lleva
Q
a
Q0 .
Denotaremos por
S1 (N ) = {curvas
elípticas aumentadas para
Γ1 (N )} / ∼
[E, Q] a los elementos de S1 (N ).
último, una curva elíptica aumentada para Γ(N ) es un para (E, (P, Q))
E una curva elíptica compleja y (P, Q) una pareja de puntos de E que
el grupo de puntos de N -torsión E [N ] y tales que su Weil pairing es
a las clases de equivalencia para esta relación y por
Por
siendo
genera
eN (P, Q) = e2πi/N .
eN (P, Q) debe ser una raíz N -ésima primitiva
Q generen E [N ] pero aquí estamos pidiendo algo
Sabemos desde la primera sección que
de la unidad si queremos que
P
y
más especíco. Denimos
(E, (P, Q)) ∼ (E 0 , (P 0 , Q0 )) ⇔
existe un ismomorsmo
E −→E
˜ 0
que lleva
Escribiremos el conjunto de clases de equivalencia como
S(N ) = {curvas
elípticas aumentadas para
Γ(N )} / ∼
P
a
P0
y
Q
a
Q0 .
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
y sus elementos como
27
[E, (P, Q)].
S0 (N ) como S1 (N ) y S(N ) son espacios de móduli de clases de isomorsmo
N -torsión. Desde luego cuando
N = 1, los tres espacios de móduli se reducen al mismo: al de las clases de
Tanto
de curvas elípticas complejas con información de
sea
equivalencia de las curvas elípticas, como anunciábamos al principio de esta sección.
Γ y considerando que actúa
H por la izquierda, la curva modular Y (Γ) se dene como el espacio de órbitas
H bajo la acción de Γ, es decir
Dado ahora un subgrupo cualquiera de congruencia
sobre
de
Y (Γ) = Γ \ H = {Γτ : τ ∈ H} .
Para las curvas modulares de los subgrupos
Γ0 (N ), Γ1 (N )
y
Γ(N )
escribiremos
Y0 (N ) = Γ0 (N ) \ H, Y1 (N ) = Γ1 (N ) \ H, Y (N ) = Γ(N ) \ H.
Tenemos ahora el siguiente teorema que relaciona estas curvas modulares con los
espacios de móduli descritos anteriormente.
Theorem 6.1. Sea N un entero positivo. Por Eτ nos referimos a la curva elíptica
compleja relativa al retículo Λτ = τ Z ⊕ Z.
(a) El espacio de móduli para Γ0 (N ) es
S0 (N ) = {[Eτ , h1/N + Λτ i] : τ ∈ H} .
Dos puntos [Eτ , h1/N + Λτ i] y [Eτ 0 , h1/N + Λτ 0 i] son iguales si y sólo si Γ0 (N )τ =
Γ0 (N )τ 0 . Existe por tanto una biyección ψ0 : S0 (N )−→Y
˜ 0 (N ) dada por
[C/Λτ , h1/N + Λτ i] 7→ Γ0 (N )τ.
(b)
El espacio de móduli para Γ1 (N ) es
S1 (N ) = {[Eτ , 1/N + Λτ ] : τ ∈ H} .
Dos puntos [Eτ , 1/N + Λτ ] y [Eτ 0 , 1/N + Λτ 0 ] son iguales si y sólo si Γ1 (N )τ =
Γ1 (N )τ 0 . Existe por tanto una biyección ψ1 : S1 (N )−→Y
˜ 1 (N ) dada por
[C/Λτ , 1/N + Λτ ] 7→ Γ1 (N )τ.
(a)
El espacio de móduli para Γ(N ) es
S(N ) = {[Eτ , (τ /N + Λτ , 1/N + Λτ )] : τ ∈ H} .
Dos puntos [Eτ , (τ /N + Λτ , 1/N + Λτ )] y [Eτ 0 , (τ 0 /N + Λτ 0 , 1/N + Λτ 0 )] son iguales
si y sólo si Γ(N )τ = Γ(N )τ 0 . Existe por tanto una biyección ψ : S(N )−→Y
˜ (N ) dada
por
[C/Λτ , (τ /N + Λτ , 1/N + Λτ )] 7→ Γ(N )τ.
Demostración.
Las tres partes de la demostración son muy semejantes así que in-
vitamos al lector que solamente quiera hacerse una idea general que lea sólo uno de
los apartados.
[E, C] un elemento de S0 (N ), habida cuenta de que E es isomorfa a un
C/Λτ 0 para un cierto τ 0 ∈ H podemos considerar que es E = C/Λτ 0 .
0
tenemos C = h(cτ + d)/N + Λτ 0 i para ciertos c, d ∈ Z con (c, d, N ) = 1
(a) Sea
toro complejo
Ahora
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
28
C tiene que tener orden N ), es decir, ad − bc − kN = 1
a, b, k ∈ Z, por lo que la matriz
a b
γ=
∈ M2 (Z)
c d
(recordemos que
ciertos
reduce, módulo
N,
SL2 (Z/N Z). Como modicar
Q = (cτ 0 + d)/N + Λτ 0 y
a una matriz de
de la matriz módulo
N
no afecta al punto
para
los coecientes
como teníamos
de la sección anterior una aplicación suprayectiva
SL2 (Z) −→ SL2 (Z/N Z)
resulta que podemos tomar la matriz
τ = γ(τ 0 )
y sea
m = cτ 0 + d.
γ
como un elemento de
Tenemos entonces
mτ = aτ 0 + b
SL2 (Z).
Sea ahora
y así
mΛτ = m(τ Z ⊕ Z) = (aτ 0 + b)Z ⊕ (cτ + d)Z = τ 0 Z ⊕ Z = Λτ 0
y
cτ 0 + d
+ Λτ 0 i = hQi = C.
N
Podemos pues, en general, tomar [E, C] = [C/Λτ , h1/N + Λτ i] con τ ∈ H.
0
0
Supongamos ahora τ, τ ∈ H que satisfagan Γ0 (N )τ = Γ0 (N )τ , es decir, que
0
0
0
existe γ ∈ Γ0 (N ) tal que τ = γ(τ ) = (aτ + b)/(cτ + d) con, recordemos, c ≡ 0 [N ]
hm (1/N + Λτ )i = h
y
ad − bc = 1 ⇒ ad ≡ 1 [c] ⇒ ad ≡ 1 [N ] ⇒ (d, N ) = 1.
Así pues, tomando como antes
m = (cτ 0 + d)
tenemos
mΛτ = Λτ 0
y
0
cτ + d
+ Λτ 0 i
N
= hd/N + Λτ 0 i
mh1/N + Λτ i = h
= h1/N + Λτ 0 i
donde en las dos últimas igualdades hemos usado
N |c
y
(d, N ) = 1.
Es decir,
obtenemos
[C/Λτ , h1/N + Λτ i] = [C/Λτ 0 , h1/N + Λτ 0 i] .
Recíprocamente, supongamos que tenemos[C/Λτ , h1/N
τ, τ 0 ∈ H. Existe entonces
hm/N + Λτ 0 i = h1/N + Λτ 0 i. La
con
un
tal que
+ Λτ i] = [C/Λτ 0 , h1/N + Λτ 0 i]
mΛτ = Λτ 0 y por lo tanto
primera igualdad signica que existe un
γ=
m ∈ C
a
c
b
d
∈ SL2 (Z)
tal que
luego, en concreto,
m = cτ 0 + d.
k tal que
mτ
m
=γ
τ0
1
La segunda igualdad, por su parte, signica que
existe un cierto entero
km/N ≡ 1/N [Λτ 0 ] ⇔ km ≡ 1 [N Λτ 0 ] ,
kd ≡ 1 [N ] y kc ≡ 0 [N ]. Ahora, la primera congruencia
(k, N ) = 1 y, junto con la segunda congruencia, tenemos entonces c ≡ 0 [N ]
0
como queríamos, γ ∈ Γ0 (N ) y en particular, Γ0 (N )τ = Γ0 (N )τ .
lo que a su vez equivale a
implica
y,
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
29
(b) Tomemos ahora un punto [E, Q] de S1 (N ). Como antes, podemos tomar
E = C/Λτ 0 para un cierto τ 0 ∈ H y será Q = (cτ 0 + d)/N + Λτ 0 para unos ciertos
enteros c y d con (c, d, N ) = 1 para que el orden de Q sea exactamente N . Esto es,
existen a, b, k ∈ Z tales que ad − bc − kN = 1 luego la matriz
a b
γ=
∈ M2 (Z)
c d
N,
reduce, módulo
a una matriz de
de la matriz módulo
N
SL2 (Z/N Z). Como modicar
Q = (cτ 0 + d)/N + Λτ 0 y
no afecta al punto
los coecientes
como teníamos
de la sección anterior una aplicación suprayectiva
SL2 (Z) −→ SL2 (Z/N Z)
resulta que podemos tomar la matriz
τ = γ(τ 0 )
y sea
m = cτ 0 + d.
γ
como un elemento de
Tenemos entonces
mτ = aτ 0 + b
SL2 (Z).
Sea ahora
y así
mΛτ = m(τ Z ⊕ Z) = (aτ 0 + b)Z ⊕ (cτ + d)Z = τ 0 Z ⊕ Z = Λτ 0
y
cτ 0 + d
+ Λτ 0 = Q.
N
Podemos pues, en general, tomar [E, Q] = [C/Λτ , 1/N + Λτ ] con τ ∈ H.
0
0
Supongamos ahora dos puntos τ, τ ∈ H que satisfagan Γ1 (N )τ = Γ1 (N )τ , es
0
0
0
decir, que existe γ ∈ Γ1 (N ) tal que τ = γ(τ ) = (aτ + b)/(cτ + d). Tomando como
0
antes m = (cτ + d) tenemos mΛτ = Λτ 0 y
m (1/N + Λτ ) =
m (1/N + Λτ ) =
Pero puesto que
(c, d) ≡ (0, 1) [N ]
cτ 0 + d
+ Λτ 0 .
N
la segunda igualdad queda
m (1/N + Λτ ) = 1/N + Λτ 0
[C/Λτ , 1/N + Λτ ] = [C/Λτ 0 , 1/N + Λτ 0 ].
0
Recíprocamente, supongamos [C/Λτ , 1/N + Λτ ] = [C/Λτ 0 , 1/N + Λτ 0 ] con τ, τ ∈
H. Existe entonces m ∈ C que hace mΛτ = Λτ 0 y
y, por tanto,
m (1/N + Λτ ) = 1/N + Λτ 0
y tenemos que la primera igualdad signica que existe un
γ=
a
c
b
d
∈ SL2 (Z)
tal que
luego, en concreto,
m = cτ 0 + d.
mτ
m
=γ
τ0
1
La segunda igualdad, por su parte, signica
0
lo cual demuestra que
1
cτ + d
+ Λτ 0 =
+ Λτ 0 ,
N
N
(c, d) ≡ (0, 1) [N ] y hace que γ ∈ Γ1 (N )
y que, en particular,
Γ1 (N )τ = Γ1 (N )τ 0 .
[E, (P, Q)] de S(N ). Como antes, podemos tomar E = C/Λτ 0
τ 0 ∈ H y P y Q tales que sean, respectivamente, (aτ 0 + b)/N +
(c) Tomemos ahora
para un cierto
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Λτ 0 y(cτ 0 + d)/N + Λτ 0
para unos ciertos enteros
30
a, b, c, d, o lo que es lo mismo, tales
que exista una matriz
γ=
a
c
b
d
∈ M2 (Z)
que haga
Puesto que el par
(P, Q)
P
Q
τ 0 /N + Λτ 0
1/N + Λτ 0
=γ
.
tiene Weil pairing
eN (P, Q) = e2πi det(γ)/N = e2πi/N ,
tenemos que
det(γ) ≡ 1 [N ]
γ ∈ SL2 (Z/N Z).
y
Usando una vez más la suprayec-
tividad de la aplicación
SL2 (Z) −→ SL2 (Z/N Z)
podemos suponer que tenemos γ ∈ SL2 (Z). Tomando, como ya viene siendo rutina,
τ = γ(τ 0 ) y m = cτ 0 + d, tenemos mτ = aτ 0 + b y así
mΛτ = m(τ Z ⊕ Z) = (aτ 0 + b)Z ⊕ (cτ + d)Z = τ 0 Z ⊕ Z = Λτ 0
y
aτ 0 + b
+ Λτ 0 = P,
N
cτ 0 + d
m (1/N + Λτ ) =
+ Λτ 0 = Q.
N
general, tomar [E, (P, Q)] = [C/Λτ , (τ /N + Λτ , 1/N + Λτ )]
m (τ /N + Λτ )
Podemos pues, en
=
τ ∈ H.
Consideremos ahora
τ, τ 0 ∈ H
que satisfagan
γ=
tal que
con
τ = γ(τ 0 ).
a
c
b
d
Γ(N )τ = Γ(N )τ 0
y sea
∈ Γ(N )
m = cτ 0 + d. Tenemos entonces mΛτ = Λτ 0 ,
τ
τ0
aτ 0 + b
m
+ Λτ
+ Λτ 0 =
+ Λτ 0 y
=
N
N
N
1
1
cτ 0 + d
m
+ Λτ
+ Λτ 0 =
+ Λτ 0 ,
=
N
N
N
Sea también
donde las dos últimas igualdades de cada línea vienen justicadas por las congruen-
(a, b) ≡ (1, 0) [N ] y (c, d) ≡ (0, 1) [N ], respectivamente. Es decir,[C/Λτ , (τ /N + Λτ , 1/N + Λτ )] =
[C/Λτ 0 , (τ 0 /N + Λτ 0 , 1/N + Λτ 0 )], como queríamos.
0
Finalmente, supongamos [C/Λτ , (τ /N + Λτ , 1/N + Λτ )] = [C/Λτ 0 , (τ /N + Λτ 0 , 1/N + Λτ 0 )]
0
para ciertos τ, τ ∈ H. Existe entonces m ∈ C tal que mΛτ = Λτ 0 ,
τ
τ0
m
+ Λτ
=
+ Λτ 0 y
N
N
1
1
m
+ Λτ
=
+ Λτ 0 .
N
N
cias
La primera igualdad signica que existe un
γ=
a
c
b
d
∈ SL2 (Z)
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
31
tal que
luego, en concreto,
Tenemos pues que
mτ
m
=γ
m = cτ 0 + d. Las dos
τ0
mτ
≡
[Λτ 0 ] ⇔
N
N
⇔
1
m
≡
[Λτ 0 ] ⇔
N
N
⇔
τ0
1
últimas igualdades nos dan
aτ 0 + b ≡ τ 0 [N Λτ 0 ]
(a, b) ≡ (1, 0) [N ]
y
cτ 0 + d ≡ 1 [N Λτ 0 ]
(c, d) ≡ (0, 1) [N ] .
γ ∈ Γ(N ) y que, en particular, Γ(N )τ = Γ(N )τ 0 , lo que concluye
la demostración.
Obsérvese que nuestra armación al principio de la sección se encuentra justicado a la luz de este último teorema. Basta en efecto tomar
N = 1 en cualquiera de los
tres casos para obtener que el espacio de clases de isomorsmo de las curvas elípticas
complejas parametriza la curva modular
Y0 (1) = Y1 (1) = Y (1) = SL2 (Z) \ H.
Otra consecuencia del teorema anterior es que las las aplicaciones entre las curvas
modulares a las que hace referencia dan lugar a aplicaciones entre los espacios de
móduli. Las primeras que vienen a la mente son las aplicaciones suprayectivas
Y (N ) Y1 (N ), Γ(N )τ 7→ Γ1 (N )τ
y
Y1 (N ) Y0 (N ), Γ1 (N )τ 7→ Γ0 (N )τ
a las que da lugar la cadena de inclusiones
Γ(N ) ,→ Γ1 (N ) ,→ Γ0 (N ).
Tenemos entonces el diagrama conmutativo siguiente
Y (N ) Y1 (N ) Y0 (N )
↓
↓
↓
,
S(N ) S1 (N ) S0 (N )
donde las echas verticales son biyecciones. Las echas horizontales de abajo reejan
entonces a las de arriban y resultan ser las aplicaciones siguientes
[E, (P, Q)] 7→ [E, Q]
y
[E, Q] 7→ [E, hQi] .
Obsérvese que los grados de las aplicaciones son, respectivamente,
N
y
φ(N ), lo cual
coincide, como era de esperar, con los índices de las inclusiones de los subgrupos de
congruencia.
Las biyecciones entre los espacios de móduli y las curvas modulares dan lugar a
dan lugar a más ejemplos de formas modulares. La idea es que una clase de funciones de curvas elípticas aumentadas se corresponde con las funciones invariantes
H. Sea k un entero y sea Γ uno de los subgrupos
Γ0 (N ), Γ1 (N ) o Γ(N ). Una función compleja F sobre las curvas
elípticas aumentadas para Γ es homogénea de grado k para Γ si para cada complejo
de peso k en el semiplano superior
de congruencia
no nulo m tenemos
F (C/mΛ, mC) = m−k F (C/Λ, C)
si es
Γ = Γ0 (N ),
F (C/mΛ, mQ) = m−k F (C/Λ, Q)
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
si es
Γ = Γ1 (N )
32
y
F (C/mΛ, (mP, mQ)) = m−k F (C/Λ, (P, Q))
si es
Γ = Γ(N ).
Dada una función
F
de este tipo, denimos su correspondiente
geneizada f : H −→ C mediante la regla siguiente


F (C/Λτ , h1/N + Λτ i)
f (τ ) = F (C/Λτ , 1/N + Λτ )


F (C/Λτ , (τ /N + Λτ , 1/N + Λτ ))
Resulta ahora que
f
es invariante de peso
γ=
y para cada
Γ = Γ1 (N ),
f (γ(τ ))
τ ∈ H
sea
haciendo uso
a
c
si es
si es
si es
función deshomo-
Γ = Γ0 (N ) ,
Γ = Γ1 (N ) ,
Γ = Γ (N ) .
k
para la acción de
b
d
Γ.
En efecto, sea
∈Γ
m = (cτ + d)−1 . Tenemos entonces, por ejemplo para
de que (c, d) ≡ (0, 1) [N ] en la tercera igualdad, que
= F (C/Λγ(τ ) , 1/N + Λγ(τ ) ) = F (C/mΛτ , m(cτ + d)/N + mΛτ )
= m−k F (C/Λτ , 1/N + Λτ ) = (cτ + d)k f (τ ).
Un ejemplo de estos tipos de función son las series de Eisenstein invariantes de
peso
k
para
SL2 (Z)
que hemos pasado en las secciones anteriores de denidas en
H.
Recíprocamente, sea f una función invariante de peso k respecto de Γ donde Γ es
uno de los tres subgrupos de congruencia Γ0 (N ), Γ1 (N ) o Γ(N ). Tenemos entonces
que la fórmula para la deshomogeneización resulta denir una función F sobre las
curvas elípticas aumentadas del tipo (C/Λτ , (información de torsión)) en términos
de f . Si dos de estas curvas elípticas aumentadas son equivalentes, por ejemplo si
retículos a denidas en
(C/Λτ 0 , 1/N + Λτ 0 ) = ((C/mΛτ , m/N + mΛτ )
entonces
τ = γ(τ 0 )
y
m = cτ 0 + d
para algún
γ=
a
c
b
d
∈Γ
como en la demostración del teorema anterior. Así,
f (τ ) = mk f (τ 0 ) y por tanto, de
acuerdo con las deniciones anteriores,
F (C/Λτ 0 , 1/N + Λτ 0 ) = f (τ 0 ) = m−k f (τ ) = m−k F (C/Λτ , 1/N + Λτ ).
Puesto que cada curva elíptica aumentada es equivalente a una curva aumentada
7
típica , resulta que la ecuación anterior da pleno sentido a que
una función homogénea de peso
k
Como ejemplo de esta correspondencia, sea
vector cuya reducción
v̄
módulo
F
sea, efectivamente,
Γ.
v = (cv , dv ) ∈ Z2
de curvas elípticas aumentadas para
N
N >1
y sea
curvas elípticas aumentadas siguiente
F2v̄ (C/Λ, (P, Q)) =
7Como
un
sea no nula. Denimos entonces la función de
1
℘Λ (cv P + dv Q).
N2
demostramos al principio de cada apartado en el teorema anterior.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Se comprueba que
F2v̄
2
es homogénea de grado
respecto de
Γ(N )
33
y que le corre-
sponde la función
f2v̄ (τ ) =
7.
1
℘τ
N2
cv τ + d v
N
.
Las curvas modulares como superficies de Riemann
Hasta ahora hemos visto que cada subgrupo de congruencia
Γ ⊂ SL2 (Z) existe
Γ \ H, siendo
una correspondiente curva modular denida como el espacio cociente
el conjunto de órbitas
Y (Γ) = {Γτ : τ ∈ H} .
En esta sección probaremos que Y (Γ) se puede ver como una supercie de Riemann
y que se puede compacticar. Escribiremos X(Γ) para referirnos a la compacticación de Y (Γ).
El semiplano de Poincaré
H hereda la topología de trazas de la de C y la proyec-
ción natural
π : H Γ \ H = Y (Γ)
dota a
Y (Γ)
de la topología cociente. Como toda aplicación cociente
π
es abierta y
tenemos la siguiente equivalencia
π(U1 ) ∩ π(U2 ) = ∅ ⇔ Γ(U1 ) ∩ U2 = ∅
Observemos que por ser
H conexo y por ser π
H.
en
Y (Γ) es también
Y (Γ) es T2 . La idea subyacente
continua resulta que
conexa. A lo largo de esta sección demostraremos que
a esta prueba será que cada par de puntos de
H
pequeños para la imagen de uno de ellos por cada
tienen entornos sucientemente
γ ∈ SL2 (Z)
que no mande uno
de los puntos al otro sea disjunta del otro entorno. En esta situación decimos que
el grupo modular actúa
propia y discontinuamente
sobre
H.
El enunciado preciso de lo que queremos decir es el de la siguiente proposición.
Proposition 7.1. Sean τ1 , τ2 ∈ H cualesquiera. Existen entonces entornos U1 de
τ1 y U2 de τ2 tales que
para cada γ ∈ SL2 (Z), si γ(U1 ) ∩ U2 6= ∅ entonces γ(τ1 ) = τ2 .
Demostración. (incompleta) Sea Uj un entorno cualquiera de τj con clausura com0
pacta en
H
para
j = 1, 2.
Consideremos la intersección
γ=
Para casi todos los
c, d ∈ Z
a
c
tales que
b
d
0
0
γ(U1 ) ∩ U2
para
∈ SL2 (Z).
(c, d) = 1,
se cumple la condición siguiente
(7.1)
n
sup =(γ(τ ) : (c, d)
con lo que
es la la de abajo de
0
γ
y
o
n
o
0
0
τ ∈ U1 < ı́nf =(τ ) : τ ∈ U2
0
γ(U1 ) ∩ U2 = ∅.
Además para cada c, d ∈ Z con (c, d) = 1 las matrices γ ∈ SL2 (Z)
abajo está compuesta precisamente por esos c, d son
1 k
a b
:k∈Z
0 1
c d
cuya la de
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
donde
a
y
b
34
ad − bc = 1. Así pues,
0
0
0
a b 0
γ(U1 ) ∩ U2 =
U1 + k ∩ U 2 = ∅
c d
cumplen
para casi todas las
γ
cuya la inferior está compuesta por
Si combinamos ambos resultados obtenemos que
c
y
d.
0
0
γ(U1 ) interseca U2
sólo para un
número nito de elementos del grupo modular.
Sea el conjunto nito
n
o
0
0
F = γ ∈ SL2 (Z) : γ(U1 ∩ U2 6= ∅, γ(τ1 ) 6= τ2 .
Tenemos que para cada
H.
en
γ∈F
existen entornos disjuntos
U1,γ
de
γ(τ1 )
y
U2,γ
de
τ2
Denamos

0
U1
= U1 ∩ 

[
γ −1 (U1,γ )
y
γ∈F

0
U2
= U2 ∩ 

[
U2,γ 
γ∈F
como sendos entornos de
τ1
y
τ2
en
H.
Si tomamos ahora un elemento cualquiera γ del grupo modular tal que γ(U1 ) ∩
U2 6= ∅ para probar que es γ(τ1 ) = τ2 basta ver que necesariamente γ ∈
/ F . Supong−1
amos por el contrario que es γ ∈ F . En tal caso γ
(U1,γ ) ⊃ U1 y U2,γ ⊃ U2 por los
que U1,γ ∩ U2,γ ⊃ γ(U1 ) ∩ U2 6= ∅, lo cual contradice que U1,γ y U2,γ sean disjuntos
y concluye la demostración.
Γ tenemos que
π(τ1 ) y π(τ2 ) dos puntos
distintos de Y (Γ) y tomemos entornos Uj de τj para j = 1, 2 como en la proposición
anterior, Puesto que γ(τ1 ) 6= τ2 para cada γ ∈ Γ tenemos entonces que Γ(U1 ) ∩ U2 =
∅ en H por lo que la equivalencia del principio de la sección implica que π(U1 ) y
π(U2 ) son superconjuntos disjuntos de los π(τj ) correspondientes en Y (Γ).
Resulta fácil ahora ver que dado un subgrupo de congruencia
la curva modular
Y (Γ)
es efectivamente Hausdor. Sean
Se trata ahora de dotar a la curva modular de un sistema de cartas. Se trata de
hallar para cada punto
π(τ )
de
Y (Γ)
un entorno
Ũ
y un homeomorsmo
φ : Ũ −→ V ⊂ C
tal que los cambios de coordenadas sean funciones holomorfas.
π(τ ) tal que los únicos elementos de Γ que jan τ ∈ H son los del
Γ ∩ {±I} el caso es fácil puesto que basta con tomar un entorno pequeño
τ en H que sea homeomorfo por π a su imagen π(U) en Y (Γ). La existencia
En cada punto
conjunto
U
de
de tal entorno está garantizada por la proposición anterior y cualquier función
φ : π(U) −→ U
que sea inversa local de
π
sirve como carta.
El problema se halla, como es natural, en aquellos
un
grupo de isotropía
(esto es, el subgrupo de
Γ
π(τ ) para los que τ tenga
τ , escribiremos Γτ para
que ja
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Figura 7.1. Ejemplo de grupo de isotropía no trivial para
referirnos a él) no trivial. Considérese, por ejemplo, el caso
35
i
Γ = SL2 (Z)
y
τ = i,
que es punto jo de
1
γ=
.
0
Basta considerar el desarrollo de Taylor de γ : τ 7→ −1/τ para ver que, localmente,
γ constituye una rotación de ángulo π alrededor de i de forma que cualquier entorno
U de i en H tiene parejas de puntos equivalentes por γ y que por lo tanto no puede
aplicarse biyectivamente a un entorno de π(i) en SL2 (Z)\H (de hecho la proyección
0
−1
identica las dos mitades del entorno como puede verse en la gura 7.1).
Necesitamos por tanto un nuevo concepto.
Denition 7.2.
τ ∈H
Sea
Γ
un subgrupo de congruencia de
SL2 (Z).
Para cada punto
teníamos, recordemos, que el grupo de isotropía era
Γτ = {γ ∈ Γ : γ(τ ) = τ } .
Diremos que
τ ∈H
punto elíptico
para Γ si Γτ es no trivial como grupo de
{±I} ⊂ {±I} Γτ es una inclusión propia. También
correspondiente π(τ ) de Y (Γ) que es elíptico si τ lo es para Γ.
es un
transformaciones, es decir, si
diremos del punto
Adelantamos un resultado que demostraremos en la siguiente sección.
Proposition 7.3. Sea Γ un subgrupo de congruencias. Para cada punto elíptico de
resulta que el grupo de isotropía Γτ es cíclico.
Γτ ∈ H
En estas condiciones, se puede asociar a cada
llamamos
periodo de τ
τ ∈ H un entero positivo hτ
al que
dado por
(
hτ = |{±I} Γτ / {±I}| =
Como es evidente, tendremos que
hτ > 1
si es
si es
− I ∈ Γτ ,
−I ∈
/ Γτ .
es condición equivalente a que
τ
sea
γ(τ )
−1
bajo la acción de γΓγ
es exactamente el mismo que el de τ bajo Γ. En concreto, hτ
elíptico. Dado un elemento
γ
|Γτ | /2
|Γτ |
del grupo modular, es claro que el periodo de
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
36
Γτ lo cual prueba que el periodo está bien denido en Y (Γ).
Γ C SL2 (Z) entonces todos los puntos de Y (Γ) que yacen sobre uno
de Y (SL2 (Z)) tienen el mismo periodo. El espacio Y (Γ) depende de Γ como grupo
de transformaciones actuando en H, y −I actúa trivialmente, luego deniendo el
periodo como hicimos es más natural que denir simplemente hτ = |Γτ | y nuestra
denición contabiliza adecuadamente las transformaciones que jan τ .
depende únicamente de
Si además es
Para poner coordenadas en
Y (Γ)
en un punto
π(τ )
utilizaremos primero la apli-
cación dada por la matriz
δτ =
que lleva
τ
a
0
y
τ̄
a
∞.
−τ
−τ̄
1
1
∈ GL2 (C)
El subgrupo de isotropía del origen en el grupo conjugado
de transformaciones
δτ {±I} Γδτ−1
0
es el conjugado del subgrupo de isotropía de
/ {±I}
τ
δτ ({±I} Γτ / {±I}) δτ−1
y es por lo tanto cíclico de orden
hτ
como grupo de transformaciones por la proposi-
ción anterior. Puesto que este grupo de transformaciones de Möbius ja 0 e
que consistir de aplicaciones del tipo
z 7→ az
∞, tiene
y, puesto que este grupo es cíclico y
nito, tiene que tratarse de rotaciones de ángulo un múltiplo de
2π/hτ
alrededor del
origen, en el sentido que tras la transformación, los puntos equivalentes se hallan
separados por unos ángulos jos. Esto sugiere, como veíamos en la gura 7.1, que
un entorno coordenado de
por
π
π(τ )
Y (Γ) tiene que ser, a grandes rasgos, la imagen
2π/hτ alrededor de τ en H y que la acción
h
esencia, una aplicación del tipo τ 7→ τ τ .
en
de un sector circular de ángulo
de identicación de
π
es, en
Corollary 7.4. Sea Γ un subgrupo de congruencia de SL2 (Z). Cada punto τ
tiene un entorno U tal que para cada γ ∈ Γ tenemos
∈H
γ(U) ∩ U 6= ∅ ⇐ γ ∈ Γτ .
Un entorno de este tipo no puede tener más puntos elípticos que τ .
Y (Γ), tomemos un entorno U del tipo
ψ : U −→ C como ψ ≡ ρ ◦ δ siendo δ = δτ
h
0
0 h
y ρ la función z 7→ z con h = hτ . Ahora ψ(τ ) = (δ(τ )) actúa como en la gura
7.2. Sea V = ψ(U). V es un abierto de C por el teorema de la aplicación abierta y
puesto que π y ψ identican los mismos puntos de U debería existir algún tipo de
equivalencia entre las imágenes por estas dos aplicaciones de U ; Veamoslo. Tenemos
Dado ahora un punto
π(τ )
cualquiera de
de los del resultado anterior. Denamos
en efecto
π
U −→ π(U) ⊂ Y (Γ)
y para cada par de puntos
y
ψ
U −→ V ⊂ C
τ1 , τ2 ∈ U ,
π(τ1 ) = π(τ2 ) ⇔ τ1 ∈ Γτ2
⇔ τ1 ∈ Γτ τ2
⇔ δ(τ1 ) ∈ δΓτ δ −1 (δ (τ2 ))
⇔ δ(τ1 ) = µdh (δ (τ2 ))
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
37
Figura 7.2. Ejemplo de carta en un punto elíptico
para un cierto
d
y donde
h
maciones cíclico de
µh = e2πi/h ,
puesto que
δΓτ δ −1
es un grupo de transfor-
rotaciones. Así pues, como queríamos,
π(τ1 ) = π(τ2 ) ⇔ (δ (τ1 )) = (δ (τ2 )) ⇔ ψ(τ1 ) = ψ(τ2 )
y existe por tanto una inyección
φ
π
que hace que el diagrama siguiente
.
U
φ
π(U) ,→
conmute. Más aún,
&ψ
V
φ es suprayectiva por serlo ψ (por la denición de V ) y es la carta
π(τ ) en Y (Γ) es π(U) y φ : π(U) → V es
local. El entorno coordenado alrededor de
un homeomorsmo.
Necesitamos ahora comprobar que las funciones de transición entre cartas son
π(U1 ) ∩ π(U2 )
φ1 (π(U1 ) ∩ π(U2 )) lo es. Sean
efectivamente holomorfas; es decir, comprobar que si la intersección
es no vacía, entonces la restricción
φ2,1
de
φ2 ◦ φ−1
1
a
V1,2 = φ1 (π (U1 ) ∩ π (U2 ))
y
V2,1 = φ2 (π (U1 ) ∩ π (U2 )) .
Observemos ahora el diagrama conmutativo siguiente
π (U1 ) ∩ π (U2 )
φ−1
1
-φ2
%
V1,2
φ2,1
−→
V2,1 .
x ∈ π (U1 ) ∩ π (U2 ) basta probar la holomorfía en algún entorno de φ1 (x)
V1,2 . Escribamos x = π(τ1 ) = π(τ2 ) con τ1 ∈ U1 , τ2 ∈ U2 y τ2 = γ(τ1 ) para un
−1
cierto γ ∈ Γ. Sea U1,2 = U1 ∩ γ
(U2 ). Tenemos entonces que la proyección π(U1,2 )
es un entorno de x en π (U1 ) ∩ π (U2 ) y que, por lo tanto φ1 (π(U1,2 )) es un entorno
en V1,2 para φ1 (x).
Para cada
en
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
38
φ1 (x) = 0, o lo que es lo mismo, que δ1 ≡ δτ1 ; entonces,
q = φ1 (x0 ) para φ2,1 toma la forma
Supongamos primero que
en este entorno, un punto
q = φ1 (π (τ 0 )) = ψ1 (τ 0 ) = (δ1 (τ 0 ))
para algún
τ̄2
τ 0 ∈ U1,2
y siendo
h1
el periodo correspondiente a
para referirnos al punto que hace
φ2 (x0 )
h1
ψ2 (τ̄2 ) = 0
y
h2
τ1 . Si ahora escribimos
para su periodo, obtenemos
= φ2 (π (γ (τ 0 )))
= ψ2 (γ (τ 0 ))
h
(δ2 (γ (τ 0 ))) 2
h2
=
δ2 γδ1−1 (δ1 (τ 0 ))
h2
=
δ2 γδ1−1 q 1/h1
=
estando bien denido el tercer término por ser
γ(τ 0 ) ∈ U2 .
Este cálculo demuestra
que el único caso en el que las funciones de transiciones pudieran no ser holomorfas
es cuando
h1 > 1, es decir, cuando τ1 es elíptico (y por tanto también lo es τ2 = γ(τ1 )
U2 contiene a lo sumo un
con el mismo periodo. Recordando que, por construcción,
punto elíptico y que por lo tanto la carta lo lleva al origen, tenemos entonces que
cuando
h1 > 1 el punto τ2 coincide con el
δ = δτ2 y h2 = h1 . Así pues,
punto
τ̄2 ∈ U2
al que hacíamos mención
más arriba,
δ −1
γ
δ
δ −1
γ
δ
2
0
0 7−1→ τ1 7−→ τ2 7−→
y
2
∞,
∞ 7−1→ τ¯1 7−→ τ̄2 7−→
probando pues que
δ2 γδ1 −1 =
para ciertos
α, β ∈ C.
α
0
0
β
φ2,1 se convierte ahora en
h
α 0
h
1/h
q
= (α/β) q
0 β
La fórmula
q 7→
y la holomorfía de la función de transición es ahora clara.
φ1 (x) = 0 pero también cubre
φ2 (x) = 0 puesto que la inversa de una biyección holomorfa lo es también.
general, φ2,1 es una composición φ2,3 ◦ φ3,1 donde φ3 : π(U3 ) → V3 lleva x a 0
Nótese que hasta ahora estamos asumiendo que es
el caso
En
luego el razonamiento utilizado es suciente en general.
Aún tenemos que probar la proposición 7.3 que armaba que para cualquier
subgrupo de congruencia
Γ cada punto elíptico para Γτ
tiene grupo de isotropía
Γτ
nito y cíclico. La demostración nos permitirá dar una mejor visión de conjunto de
la curva modular
Y (Γ)
y probar que no tiene más que un número nito de puntos
elípticos.
Consideremos en primer lugar el caso más simple
Y (1) = SL2 (Z) \ H.
resultados siguientes probarán que el conjunto
D = {τ ∈ H : |<(τ )| ≤ 1/2, |τ | ≥ 1}
Los dos
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
39
Figura 7.3. Un dominio fundamental para la acción del grupo modular
Γ(1)
es un conjunto fundamental para la acción de
H.
en
Recordemos que
D
repre-
senta esencialmente las clases de equivalencia de las curvas elípticas complejas bajo
isomorsmo, donde
τ ∈D
representa la clase de
C/Λτ .
Lemma 7.5. La proyección natural π : D → Y (1) dada por π : τ 7→ SL2 (Z)τ es
suprayectiva.
Demostración. Dado un elemento τ ∈ H, basta probar que es equivalente bajo la
acción del grupo modular a un elemento de
T =
podemos trasladar
τ
1
0
1
1
sustituyendo
τ
|τ | < 1
T
o su inversa
a la banda vertical
mada en su lugar. Si tenemos
así. Tenemos por tanto
D.
τ ∈ D
Aplicando las veces necesarias
−1
=
1
0
{|<(τ )| ≤ 1/2}
−1
1
y considerar su transfor-
hemos terminado. Supongamos que no es
2
=(−1/τ ) = Im(−τ̄ / |τ | ) > =(τ );
y por lo tanto
por
0
S=
1
−1
0
(τ ) = −1/τ
y repitiendo el proceso nos aseguramos de situar nalmente
porque, como vimos, hay un número nito de
un número nito de parejas de enteros
= (γ (τ )) =
= (τ )
|cτ + d|
c
y
d
τ
γ=
a
c
implica entonces que hay a lo sumo un número nito de
imaginaria mayor que la de
La proyección
en
D.
|cτ + d| < 1 y
b
∈ SL2 (Z)
d
tales que
2 siendo
τ
Esto es así
equivalentes en un disco luego hay
τ 's
la fórmula
equivalentes con parte
τ.
π : D → Y (1) no es inyectiva. La traslación T : τ 7→ τ +1 identica
S : τ 7→ −1/τ las dos mitades del
los dos lados de la banda vertical y la inversión
arco. Sin embargo, resulta que estos fallos a la inyectividad son los únicos.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Lemma 7.6. Sean
Tenemos entonces
(1)
(2)
τ1 , τ2 ∈ D
tales que τ2 = γ(τ1 ) para un cierto γ ∈ SL2 (Z).
<(τ1 ) = ±1/2 y τ2 = ∓τ1 ,
|τ1 | = 1 y τ2 = −1/τ1 .
Demostración.
Supongamos que
Tenemos entonces
τ1 ∈ D
40
2
|cτ1 + d| ≤ 1
o bien
=(τ2 ) ≥ =(τ1 ) por
a b
γ=
.
c d
puesto que
simetría y sea
=(τ2 ) ≥ =(τ1 )
y
=(τ1 ) ≥
√
3/2
por ser
y así
|c| · = (τ ) = |= (cτ1 + d)| ≤ |cτ1 + d| ≤ 1.
c ∈ Z tiene que ser c ∈ {0, 1}.
Si es c = 0 entonces
1 b
γ=±
0 1
y <(τ2 ) = <(τ1 )+b lo cual obliga |b| = 1 y nos hallamos en el caso (1) del enunciado.
Como
Si es
|c| = 1
entonces la condición
2
2
(<(τ1 ± d)) + (=(τ1 )) ≤ 1
2
|cτ1 + d| ≤ 1
se convierte en
2
2
y por tanto
2
|τ1 ± d| ≤ 1
o
(<(τ1 ± d)) ≤ 1 − (=(τ1 )) ≤ 1 − 3/4 = 1/4
|<(τ1 ± d)| ≤ 1/2 y |d| ≤ 1.
Si |c| = 1 = |d| entonces en el cálculo precedente todas las desigualdades son en
√
3/2 y |<(τ1 ± 1| = 1/2 luego <(τ1 ) = ±1/2 y se
realidad igualdades y =(τ1 ) =
luego
cumplen tanto (1) como (2).
|c| = 1 y d = 0 entonces |cτ1 + d| ≤ 1 es |τ1 | ≤ 1 y de hecho|τ1 | = 1 puesto
τ1 ∈ D y así =(τ1 ) = =(τ2 ). Resulta también que |τ2 | = 1 y, por simetría ya
que ahora τ1 y τ2 tienen las mismas condiciones sobre sus partes imaginarias y
sobre el coeciente c de las matrices gamma que los relacionan. Así, nalmente, τ1
y τ2 tienen el mismo valor absoluto y la misma parte imaginaria pero son distintos
Si es
que
luego sus partes reales deben ser opuestas y nos hallamos entonces en el caso (2)
del enunciado.
D es un dominio fundamental para la acción del grupo
H. Topológicamente, D cocientado por el grupo modular resulta ser un
plano. La gura 7.4 muestra algunas de las traslaciones de D por el grupo modular
concentradas en la banda vertical {|<(τ )| ≤ 1/2}, ilustrando de alguna manera la
idea de que los equivalentes de un τ ∈ H dado se aglomeran únicamente cerca del
Tenemos por lo tanto que
modular en
eje real.
Volvamos ahora a los puntos elípticos. Sea
τ ∈ H
con grupo de isotropía no
trivial y sea
a
c
b
d
∈ SL2 (Z).
Tenemos entonces la ecuación cuadrática (c
6= 0
puesto que en otro caso es
τ ∈ Q)
2
cτ + (d − a)τ − b = 0
τ ∈ H hace |a + d| < 2 por lo que el polinomio característico de γ
X 2 + 1 o X 2 ± X + 1 y ya que γ es raíz de su polinomio característico,
y recordando que
sólo puede ser
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Figura 7.4. Representación de algunas traslaciones de
D
41
por el
grupo modular
tiene que ser
γ4 = I , γ3 = I
o
Los dos primeros obligan a que
γ
γ6 = I
y por tanto
γ
tiene orden 1, 2, 3, 4 ó 6.
sea la transformación identidad luego la siguiente
proposición describe todas las posibles transformaciones que jan puntos.
Proposition 7.7. Sea γ un elemento del grupo modular.
(a) Si el orden de γ es 3 entonces γ es conjugado a
0
−1
±1
1
−1
en SL2 (Z).
(b) Si el orden de γ es 4 entonces γ es conjugado a
0
1
±1
−1
0
en SL2 (Z).
(c) Si el orden de γ es 6 entonces γ es conjugado a
en SL2 (Z).
Demostración.
0
1
±1
−1
1
Dejaremos el apartado (a) para el nal al tratarse de una conse-
cuencia inmediata de (c).
(b) Puesto que tenemos que el orden de
de
Z [i]-módulo
en el retículo
L = Z2
γ
es 4 podemos dotar de una estructura
deniendo el producto siguiente
(a + bi) · w , (aI + bγ) w
donde
a
y
b
son enteros,
w
es un vector de
al producto matricial usual.
L
y el producto de la derecha se reere
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Sabemos que el anillo de los enteros de Gauss
principales y que
L
Z [i]
42
es un dominio de ideales
es nitamente generado sobre él por lo que podemos hacer uso
del teorema de estructura de módulos nitamente generados sobre un dominio de
Z [i]-módulos
ideales principales para asegurar la existencia de un isomorsmo de
M
∼
Z [i] /Ik −→ L
k
siendoIk ideales de
cada
Ik
Z [i].
Como grupo abeliano,
L
es libre de rango 2 y, puesto que
Z [i] /Ik sería un
L sea libre obliga a que ningún sumando sea de este
no nulo tiene rango 2 como grupo abeliano, resulta que
grupo de torsión. Ahora el que
tipo y, comparando rangos de grupos abelianos, concluimos que no puede haber
más que un sumando libre y que nos hallamos por tanto ante un isomorsmo de
Z [i]-módulos
∼
φ4 : Z [i] −→ L.
Si denimos ahora u = φ4 (1) y v = φ4 (i) y escribimos [u, v] para referirnos al
vector que tiene por columnas las coordenadas de u y v , tenemos que L = uZ ⊕ vZ
y por lo tanto det [u, v] = ±1. Haciendo los cálculos
γ(u) = iφ4 (1) = φ4 (i) = v
y
γ(v) = iφ4 (i) = φ4 (−1) = −u
tenemos que, en general
0
1
γ [u, v] = [v, −u] = [u, v]
−1
0
0
−1
1
0
0
1
−1
0
y
γ [v, u] = [−u, v] = [v, u]
por lo que tenemos
γ = [u, v]
−1
0
0
1
[u, v]
−1
= [v, u]
−1
−1
[v, u]
.
[u, v] resulta que [u, v] o bien
SL2 (Z) y hemos terminado.
6
2πi/6
(c) El caso de γ = I es completamente análogo al anterior tomando µ6 = e
en lugar de i. Ahora el producto a considerar es el dado por
Por la observación anterior sobre el determinante de
[v, u]
se halla en
(a + bµ6 ) · w , (aI + bγ) w
siendo
a, b ∈ Z
y
w
un vector de
L
como antes.
La discusión sobre el teorema de estructura de módulos es idéntico (y podemos
hacer uso de él puesto que también
Z [µ6 ]
es dominio de ideales principales) y
culmina con la obtención de un isomorsmo de
Z [µ6 ]-módulos
∼
φ6 : Z [i] −→ L.
Deniendo como antes
lo tanto
det [u, v] = ±1.
u = φ6 (1)
y
v = φ6 (µ6 ),
tenemos que
L = uZ ⊕ vZ
Haciendo los cálculos
γ(u) = µ6 φ6 (1) = φ6 (µ6 ) = v
y
γ(v) = µ6 φ6 (µ6 ) = φ6 (µ26 ) = φ6 (µ6 − 1) = v − u
y por
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
43
tenemos que, en general
0
1
1
−1
γ [u, v] = [v, v − u] = [u, v]
−1
1
1
0
y
γ [v, u] = [v − u, v] = [v, u]
por lo que tenemos
γ = [u, v]
0
1
Como antes resulta que
−1
1
[u, v]
[u, v]
o bien
−1
[v, u]
−1
1
0
1
= [v, u]
−1
[v, u]
SL2 (Z)
se halla en
y que si
γ
tiene orden 3 entonces
−γ
.
y hemos terminado.
(a) Finalmente, (a) es un caso particular de (c) observando que
Z [µ3 ] = Z [µ6 ]
−1
µ3 = µ6 − 1, que
tiene orden 6.
Podemos ahora comprender cómo son los puntos elípticos y sus subgrupos de
isotropía.
Corollary 7.8. Los puntos elípticos para SL2 (Z) son SL2 (Z)i y SL2 (Z)µ3 siendo
µ3 = e2πi/3 . La curva modular Y (1) tiene dos puntos elípticos que son i y µ3 y sus
grupos de isotropía son
SL2 (Z)i = h
y
SL2 (Z)µ3 = h
0
1
−1
0
0
1
−1
1
i
i.
Para cada punto elíptico τ de SL2 (Z) su subgrupo de isotropía SL2 (Z)τ es cíclico
y nito.
Demostración. Los puntos de H jados por las matrices de la proposición anterior
son
i
y
µ3
y es un mero cálculo comprobar que
i
y
µ3
no son equivalentes bajo
la acción del grupo modular y que sus grupos de isotropía son efectivamente los
descritos en el enunciado. Por último, habida cuenta de que los únicos grupos de
isotropía pueden ser los descritos en la proposición anterior, éstos han de ser cíclicos.
Corollary 7.9. Sea Γ un subgrupo de congruencia. La curva modular Y (Γ) tiene
un número nito de puntos elípticos. Para cada punto elíptico τ de Γ, el subgrupo
de isotropía Γτ es cíclico y nito.
S
Demostración. Si SL2 (Z) = dj=1 Γγj entonces los puntos elípticos de Y (Γ) son un
subconjunto de
EΓ = {Γγj (i), Γγj (µ3 ) : 1 ≤ j ≤ d} .
El segundo aserto es claro puesto que Γτ es un subgrupo del
SL2 (Z)τ para cada τ ∈ H.
to
grupo cíclico y nito
Para un subgrupo de congruencia Γ, si SL2 (Z) = ∪j {±I} Γγj entonces el conjunS
j γj D se aplica suprayectivamente sobre Y (Γ) y con una adecuada identicación
de los bordes resulta ser una biyección de la misma forma que antes. Nótese que el
conjunto no tiene por que ser necesariamente un dominio fundamental puesto que
éstos deben ser conexos.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Una forma sencilla de entender el punto
∞
44
como una cúspide en el sentido más
geométrico consiste en ver el dominio fundamental
D
bajo la proyección estereográ-
ca como un triángulo esférico. Resulta entonces claro que se trata de una cúspide y
uno tiene la tentación de compacticar el triángulo añadiendo el punto de innito.
Más en general, dado un un subgrupo de congruencia
para
Γ
eran las
Γ-clases
Γ, recordemos que las cúspides
Q ∪ {∞}. A continuación
de equivalencia de los puntos de
Y (Γ) las cúspides y deniendo cartas locales en ellas de
Y (Γ) y obtener una supercie de Riemann compacta a la que
X(Γ). También nos referiremos a X(Γ) como curva modular.
vamos a ir adjuntando a
forma a completar
denotaremos por
El grupo
GL+
2 (Q)
de las matrices con coecientes racionales y determinante
positivo actúa en el conjunto
Q ∪ {∞} de la forma siguiente
am + bn
m
a b
=
.
c d
n
cm + dn
∞
si c 6= 0 y dejamos jo ∞ si es
0/0 puesto que el determinante
+
de la matriz es no nulo. El grupo modular es un subgrupo de GL2 (Q) y actúa
transitivamente puesto que cualquier número racional se escribe s = a/c con a, c ∈ Z
y (a, c) = 1 implica la existencia de b, d ∈ Z tales que ad − bc = 1 y
a b
(∞) = s.
c d
Esto signica que llevamos
c = 0.
a
a/c
y
−d/b
a
∞
No hay posibilidad de indenición del tipo
α ∈ SL2 (Z) lleva ∞ a un número racional s entonces α transforma el dominio
D en una región alada en s (véase la gura 7.4), en el mismo sentido
en que D se ala en ∞ en la esfera de Riemann. El grupo de isotropía de ∞ está
Si
fundamental
compuesto por las traslaciones
SL2 (Z)∞ = h
1
0
Sea Γ un subgrupo de congruencia . Con el n
Y (Γ) = Γ \ H, denamos H∗ = H ∪ Q ∪ {∞} y
±1
1
i.
de compacticar la curva modular
tomemos el cociente extendido
∗
X (Γ) = Γ \ H = Y (Γ) ∪ Γ \ (Q ∪ {∞}) .
Los puntos
Γs en Γ \ (Q ∪ {∞}) se llaman también cúspides de X (Γ). Para los subΓ0 (N ), Γ1 (N ) y Γ (N ) escribimos X0 (N ), X1 (N ) y X (N ),
grupos de congruencia
respectivamente. Tenemos ahora el lema siguiente, que es consecuencia inmediata
de observaciones anteriores.
Lemma 7.10. La curva X (1) = SL2 (Z) \ H∗ tiene una única cúspide. Para
cualquier subgrupo de congruencia Γ, la curva modular X (Γ) a lo sumo tiene un
número nito de cúspides.
H∗ , consistente de las intersecciones con discos abierto complejos
(incluyendo en éstos a los entornos básicos del ∞ del tipo {z : |z| > r} ∪ {∞})
contienen demasiados puntos de Q ∪ {∞} para que el cociente X (Γ) pueda ser T2
así que, en su lugar, consideremos otra topología. Sea, dado M > 0, el entorno
La topología de
NM , {τ ∈ H : = (τ ) > M }
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
Figura 7.5. Entornos para la topología de
H otros conjuntos de H∗
y añadamos a los abiertos usuales de
45
H∗
que sirvan como base
de entornos en los puntos cuspidales
α (NM ∪ {∞}) : M > 0, α ∈ SL2 (Z),
H∗ .
y tomemos ahora la topología resultante en
Puesto que las transformaciones
de Möbius son conformes y llevan círculos a círculos, si
α (NM ∪ {∞}) es un
cada γ ∈ SL2 (Z) es
α (∞) ∈ Q,
entonces
disco tangente al eje real (véase gura7.5). En esta topología
un homeomorsmo en
H∗ .
Finalmente, dotamos a
topología cociente y extendemos la proyección natural a
X (Γ)
de
π : H∗ → X (Γ).
Proposition 7.11. La curva modular X (Γ) es Hausdor, conexa y compacta.
Demostración. Veamos en primer lugar que es Hausdor. Se trata de ver que dados
x1 , x2 ∈ X (Γ) tienen un par de entornos disjuntos. Los casos xj =
y τ1 , τ2 ∈ H ya está tratado.
Supongamos x1 = Γs1 con s1 ∈ Q y x2 como en el párrafo anterior. Tenemos
entonces que para un cierto α ∈ SL2 (Z) tenemos s1 = α (∞). Sea U2 un entorno
de τ2 con clausura compacta K . Tenemos entonces que la fórmula
dos puntos
Γτj , j = 1, 2
= (γ (τ )) ≤ máx {= (τ ) , 1/= (τ )}
τ ∈ H y γ ∈ SL2 (Z) prueba que para un M sucientemente grande, SL2 (Z) K∩
NM = ∅. Sea U1 = α (NM ∪ {∞}) y entonces π (U1 ) ∩ π (U2 ) = ∅.
Supongamos ahora que tenemos xj = Γsj y sj ∈ Q ∪ {∞} por lo que existe
αj ∈ SL2 (Z) tal que sj = α (∞), j = 1, 2. Sean también U1 = α1 (N2 ∪ {∞}) y
U1 = α1 (N2 ∪ {∞}). Tenemos ahora π (U1 ) ∩ π (U2 ) = ∅ puesto que si γα1 (τ1 ) =
α2 (τ2 ) para algún γ ∈ Γ y τ1 , τ2 ∈ N2 . entonces tendríamos que α2−1 γα1 lleva τ1 a
τ2 y, puesto que N2 esta teselado por las traslaciones por enteros de D y no contiene
para
puntos elípticos, tiene que ser
para algún
m ∈ Z.
Es decir, que
contradiciendo el que
x1
y
x2
1
0
α2−1 γα1
m
1
ja
sean distintos.
∞
y, en consecuencia, es
γ (s1 ) = s2 ,
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
46
H∗ = A ∪ B para un par de
conexo H resulta, por ejemplo, que
Veamos ahora la conexión. Supongamos que es
A y B disjuntos. Intersecando con el
H ⊂ A y que, por lo tanto, B ⊂ Q ∪ {∞}. Pero ahora la única manera que tiene
B de ser abierto es de ser B = ∅, lo cual demuestra la conexión de H∗ y la de su
proyección X (Γ).
∗
Por último, para la compacidad, nótese en primer lugar que el conjunto D =
∗
D ∪ {∞} es un compacto para la topología de H . Puesto que
[
H∗ = SL2 (Z)D∗ =
Γγj (D∗ ) ,
abiertos
j
γj
donde los
son representantes de los coconjuntos,
X (Γ) =
[
π (γj (D∗ )) .
j
Finalmente, como cada
γj
es continuo, así como
π,
y como
[SL2 (Z) : Γ],
tenemos
lo que queríamos demostrar.
Sin embargo, hacer de
X (Γ)
un supercie de Riemann compacta exige también
dotarla de unas cartas. Podemos conservar todo el trabajo que hicimos para los
puntos de
Q ∪ {∞}
H
H. Para las cúspides s ∈
δ = δs ∈ SL2 (Z) lleva s a ∞. Denamos el ancho de s como
hs = fs,Γ = SL2 (Z)∞ / δ {±I} Γδ −1 ∞ .
con entornos coordenados contenidos en
algún
Esta noción es dual de la de periodo para puntos elípticos y siendo, en este caso,
inversamente proporcional al tamaño del subgrupo de isotropía. Recordemos que
el periodo de un punto elíptico es el número de sectores del disco en el punto que
se identican por isotropía. En una cúspide, resulta que hay un número innito de
sectores que quedan identicados, viendo en este caso los sectores como las bandas
verticales
Z-periódicas,
y el ancho de la cúspide como como el número de bandas
que son distintas por isotropía (ver gura 7.6). El grupo
SL2 (Z)∞
1
= {±I} h
0
1
1
i
es cíclico de orden innito como grupo de transformaciones por lo que el ancho
queda caracterizado por las condiciones
{±I} δΓδ −1
siendo
h > 0.
∞
1
= {±I} h
0
El ancho es nito e independiente de
δ
h
1
i
puesto que, de hecho, es
hs = |SL2 (Z)s / {±I} Γs | .
s ∈ Q ∪ {∞} y γ ∈ SL2 (Z) entonces el ancho de γ (s) bajo γΓγ −1 es el mismo
que el de s bajo Γ. En particular, hs depende únicamente de Γs, haciendo así
que el ancho quede bien denido en X (Γ). Si Γ es subgrupo normal del modular,
entonces todas las cúspides de X (Γ) tienen el mismo ancho. Si denimos ahora
U = Us = δ −1 (N2 ∪ {∞}) y, como anteriormente, denimos ψ como la composición
ψ = ρ ◦ δ siendo ρ esta vez la aplicación h-periódica ρ : z 7→ e2πiz/h . También como
antes, sea V la imagen de ψ , un abierto de C, y obtenemos
Si
ψ : U −→ V
dada por
ψ : τ 7→ e2πiδ(τ )/h .
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
47
Figura 7.6. Denición de coordenadas locales en una cúspide
De la misma forma que con los puntos elípticos,
que nos ocupa
δ
expande los entornos de
s
ψ
imita la acción de
una traslación horizontal y entonces la aplicación exponencial
H
alrededor del
Para ver que
para
τ1 , τ2 ∈ U
∞.
ψ realiza
π.
En el caso
diferenciando puntos identicados por
la misma identicación que
π
ρ enrolla el semiplano
alrededor de
s,
veamos que
es
π (τ1 ) = π (τ2 ) ⇔ τ1 = γ (τ2 )
⇔ δ (τ1 ) = δγδ −1 (δ (τ2 ))
γ ∈ Γ. Sin embargo, esto convierte a δγδ −1 en una traslación
δ (τ2 ) yacen ambos en N2 ∪ {∞}. Así,
1 h
−1
−1
−1
δγδ ∈ δΓδ ∩ SL2 (Z)∞ = δΓδ
⊂ ±h
i
∞
0 1
para un cierto
que
δ (τ1 )
y
puesto
y
π (τ1 ) = π (τ2 ) ⇔ δ (τ1 ) = δ (τ2 ) + mh
⇔ ψ (τ1 ) = ψ (τ2 ) ,
para un cierto
m ∈ Z.
Igual que antes, existe una biyección
φ : π (U) → V
que hace que el diagrama
siguiente
π
.
U
φ
π(U) ,→
&ψ
V
π (τ ) en Y (Γ)
φ : π (U) → V es un homeomorsmo. Una vez más ψ : U → V
es la composición ρ ◦ δ y las coordenadas locales φ : π (U) → V está denida por la
condición φ ◦ π ≡ ψ .
conmute. También como antes, el entorno coordenado alrededor de
es
π (U)
y la carta
Comprobar que las funciones de transición son holomorfas es similar al proceso
que hicimos más arriba para dos entornos coordenados
U1 , U2 ⊂ H
pero ahora uno
de los dos tiene que ser entorno de un punto cuspidal.
U1 ⊂ H y que tenemos δ1 = δτ1 ∈ GL2 (C) siendo τ1 de
U2 = δ2−1 (N2 ∪ {∞}). Igual que antes, para cada x ∈ π (U1 ) ∩ π (U2 )
Supongamos que es
ancho
h1 .
Sea
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
48
x = π (τ̃1 ) = π (τ2 ) con τ̃1 ∈ U1 y τ2 ∈ U2 y τ2 = γ (τ̃1 ) para un cierto
γ ∈ Γ. Sea también U1,2 = U1 ∩ γ −1 (U2 ) un entorno de τ̃1 en H. Tenemos entonces
φ1 (π (U1,2 )) es un entorno de φ1 (x) en V1,2 = φ1 (π (U1 ) ∩ π (U2 )). Nótese que si es
h1 > 1 entonces τ1 ∈
/ U1,2 , en otro caso el punto δ2 (γ (τ1 )) ∈ N2 es un punto elíptico
para Γ pero N2 no contiene puntos elípticos ni siquiera para el grupo modular. Así
pues, si h1 > 1 entonces 0 ∈
/ φ1 (π (U1,2 )). Como antes, un punto φ1 (x0 ) para φ2,1
0 h1
y tenemos
en V1,2 tiene la forma q = (δ1 (τ ))
escribamos
φ2 (x0 )
= φ2 (π (γ (τ 0 )))
= ψ2 (gamma (τ 0 ))
0
= e(2πiδ2 γ (τ )/h2 )
−1
1/h1
)/h2 ) .
= e(2πiδ2 γδ1 (q
Luego el único caso en el que la función de transición pudiera no ser holomorfa es
cuando
h1 > 1 y 0 ∈ φ1 (π (U1,2 )) pero según hemos visto tal cosa no puede ocurrir.
U1 y U2 ya
Lo anterior también cubre el caso en que se intercambien los papeles de
que la inversa de una biyección holomorfa también lo es.
U1 = δ −1 (N2 ∪ {∞}) con δ1 : s1 7→ ∞ y ∈ = δ2−1 (N2 ∪ {inf ty})
−1
con δ2 : s2 7→ ∞. Si π (U1 ) ∩ π (U1 ) 6= ∅ entonces γδ1 (N2 ∪ {∞}) interseca
−1
−1
δ2 (N2 ∪ {∞}) para un cierto γ ∈ Γ; es decir, δ2 γδ1 lleva un punto de N2 ∪ {∞}
Supongamos
a otro y por lo tanto es una traslación
±
1
0
m
1
.
Así,
γ (s1 ) =
y, por lo tanto,
h1 = h2
γδ1−1
(∞) =
±δ2−1
1
0
m
1
(∞) = s2
y la función de transición lleva un punto de
φ1 (π (U1,2 )),
q = ψ1 (τ ) = e2πiδ1 (τ )/h ,
al punto
ψ2 (γ (τ ))
−1
= e2πiδ2 γδ1
= e
(δ1 (τ ))/h
2πi(δ1 (τ )+m)/h
= e2πim/h q,
lo cual es claramente holomorfo.
Para cualquier subgrupo
Γ
de congruencia, el cociente extendido
X (Γ)
es ahora
una supercie de Riemann compacta. Topológicamente toda supercie de Riemann
es la suma conexa de
g
toros para un cierto entero
g ∈ N
llamado el
género.
En particular, las curvas elípticas complejas tienen género 1. A través del estudio
del género de
X (Γ)
y del estudio de las funciones meromorfas y los diferenciales
denidos en dicha curva modular permite obtener resultados dimensionales que
facilitan el estudio de las formas modulares.
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
49
Índice
1.
Introducción
Parte 1. Toros complejos y curvas elípticas
2.
Toros complejos e isogenias
3.
Toros complejos y curvas elípticas
Parte 2. Formas modulares y grupos de congruencias
SL2 (Z)
4.
El caso de
5.
El caso general: grupos de congruencias
Parte 3. Curvas modulares
4
6
6
10
18
18
23
26
6.
Las curvas modulares como espacios de móduli
26
7.
Las curvas modulares como supercies de Riemann
33
Referencias
50
FUNCIONES ELÍPTICAS Y ELEMENTOS DE MODULARIDAD
50
Referencias
[DIA] Fred Diamond, Jerry Shurman, A First Course in Modular Form s, Springer, 2005.
[KIR] Frances Kirwan, Complex Algebraic Curves, London Mathematical Society Student Texts
23, Cambridge, 1992.
[LAN] Serge Lang, Elliptic Functions, Springer-Verlag, 1987.
[IVO] Carlos Ivorra, Curvas Elípticas.
[SER] Jean-Pierre Serre, Cours d'Arithmétique, Presses Universitaires de France, 1970.
[SHI] Goro Shimura, An Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions,
Princeton University Press, 1994.
[SIL] Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, 1986.