TEMA 9: MOVIMIENTOS EN UNA Y DOS DIMENSIONES

MOVIMIENTOS EN UNA DIMENSION
1. ¿Cómo se describen los movimientos?
La descripción física de un fenómeno, como por ejemplo los movimientos, se hace en
términos de la constancia de determinada magnitud.
1.1 Las ecuaciones de movimiento de los cuerpos
Las ecuaciones de movimiento permiten conocer los valores de las magnitudes
cinemáticas en función del tiempo.
Para resolver problemas de movimientos se sigue el siguiente proceso:
- Se establece primero la magnitud que permanece cte.
- A partir de la expresión matemática de dicha magnitud cte, se deduce el resto de
magnitudes necesarias.
1.2 Las gráficas del movimiento:
Los movimientos pueden ser representados tanto mediante una ecuación como
a través de una gráfica. Las gráficas que representan el movimiento son de:
Posición-tiempo, velocidad-tiempo y Aceleración-tiempo.
2. Movimientos en una dimensión: Movimientos rectilíneos.
Son aquellos en las que el cuerpo solo se desplaza en una dirección. El
desplazamiento o variación posicional coincide con la distancia o espacio recorrido siempre
que no exista cambio de sentido en el transcurso del movimiento.
Dentro del Sistema de referencia se tomará el eje x cuando el movimiento sea
horizontal y el eje y cuando sea vertical.
Las magnitudes cinemáticas vectoriales operan en el movimiento rectilíneo en la
dirección del movimiento, por lo que se emplean signos + y -.
2.1 M.R.U
El movimiento rectilíneo uniforme es aquel que transcurre con velocidad cte.
El m.r.u es un movimiento bastante raro, pero se toma como referencia para
otros tipos de movimiento.
Un cuerpo que se desplaza con m.r.u recorre la misma distancia en intervalos de
tiempo iguales.
Ecuación del m.r.u
Como v = cte no existe aceleración. Así pues, la única ecuación es la de
posición;
La velocidad media en un movimiento que va solo en una dirección es igual a:
Vm =
x
.
t
Con esta ecuación es posible determinar el valor de la posición x en función de
t. Quedando pues: x - xo =  (t - to).
Cuando to = 0 la ecuación es: x = xo +  t.
Esto es + si el cuerpo se aleja del punto de referencia.
Es decir si x > xo.
Pero puede ocurrir que xo > x por lo que el cuerpo se acerca al sistema de
referencia y el valor se pone .
La ecuación general es: x = xo  vt.
 

La ecuación general en forma vectorial es r  r o  v  t
1
Gráficas del m.r.u
Cuando el móvil se aleja del sistema de referencia:
Cuando se acerca al sistema de referencia:
La representación gráfica de v frente a t es una recta horizontal:
El área coloreada representa el desplazamiento o
camino recorrido en t.
El área coloreada es un rectángulo cuya base es el
valor del tiempo transcurrido y cuya altura es la
velocidad, por lo que su área es v · t. Considerando la
ecuación de posición queda: x – xo = vt ó  x = vt
Por tanto el área representa el desplazamiento  x.
2.2 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIÓN CTE.
Cuando el movimiento de rectilíneo y con aceleración cte, en intervalos de tiempos
iguales, la velocidad aumenta o disminuye en la misma cantidad.
La velocidad en el m.r.u.a
Ecuación de la velocidad:
v – vo = a (t – to)
Si to = 0 la ecuación es:
v = vo + at
Estas ecuaciones son cuanto la aceleración tiene signo +. Se pone signo + a la
aceleración cuando v se hace mayor que vo, es decir, cuando su sentido
coincide con vo.
Se le pondrá – cuando v sea menor que vo, es decir, cuando su sentido sea el
contrario.
La ecuación en forma vectorial es:

 
v  v 0  at
2
Gráfica de velocidad:
Si se representa gráficamente la velocidad frente al tiempo fijando unos valores para v o
y la aceleración y dando unos valores al tiempo, el resultado es una recta:
La pendiente de esta recta de ecuación v = vo
representa la aceleración del movimiento
 at
El teorema de la velocidad media:
Si el producto de v·t representa el espacio recorrido cuando v es cte, entonces, cuando
la velocidad cambia de modo uniforme (con aceleración cte) desde un valor inicial vo hasta un
valor final v, el espacio recorrido debe ser el mismo que el que se recorrería con la velocidad
promedio entre vo y v ;
Vm =
(vinicial  v final )
2
Ecuación de posición:
La ecuación de posición que nos informa de la posición en función del tiempo cuando un
cuerpo que se mueve con m.r y aceleración cte es :
x = xo  vot 
1 2
at
2
Los signos + se ponen cuando el móvil se aleja del punto de referencia y – cuando se acerca.
Utilizando las dos ecuaciones de posición y velocidad obtenemos una útil fórmula:
v 2  vo 2  2  as
2.3 Los movimientos con aceleración constante en la naturaleza
La caída libre de los cuerpos: Un desafío al sentido común
Si no se considera la resistencia del aire, todos los cuerpos,
independientemente de su masa, caen con la misma aceleración y, por tanto,
llegan a la misma vez al suelo partiendo desde la misma altura.
La aceleración que la Tierra (u otro cuerpo celeste, como la Luna)
comunica a los cuerpos es independiente de la misma de la masa de éstos.
o Para un observador que deja caer un cuerpo, éste va alejándose
verticalmente en el mismo sentido de actuación de g. La posición inicial es
0. yo =0, pues coincide con el propio observador, y la velocidad aumenta
en el sentido de la caída.
Por tanto, las ecuaciones son:
o Ecuación de velocidad: v  g  t
o
Ecuación de posición (altura) : y 
3
1
g t
2
o
Para un observador situado en el suelo, el cuerpo se halla inicialmente a
una altura que designaremos yo . El cuerpo que cae hacia él, aumentando
la velocidad a medida que se acerca, debido a que g se dirige hacia el
observador.
Por lo que las ecuaciones son:
o Ecuación de velocidad: v   g  t
o
Ecuación de posición: y  yo 
1
g t2
2
El signo – no tiene valor real, indica que el objeto se acerca.
Lanzamiento vertical hacia arriba
Las ecuaciones que describen el lanzamiento vertical hacia arriba de un cuerpo son:
 Ecuación de velocidad: v  vo  gt

Ecuación de posición (altura): y  yo  vot 
1 2
gt
2
Si se lanza desde el suelo yo  0 .
En la altura máxima, la velocidad del cuerpo se hace 0. Se considera cero la velocidad y
se despeja el tiempo –ese es el tiempo que tarda en ascender:
v  vo  gt ; O  vo  gt
t
vo
.
g
AL sustituir ese tiempo en la ecuación de altura, se obtienen la altura máxima:
y max  vot 
1 2
gt .
2
2
2
 vo 
1  vo 
vo 2
y max  vo   g   
.
2 g
2g
g
Cuando se pide cualquier cosa relativo a la llegada al suelo del cuerpo, hay que saber que la
velocidad de llegada al suelo no es igual a 0. Aquí la velocidad tiene su máximo valor. 0 es la
altura.
Al llegar al suelo, la altura del cuerpo es cero.
Se considera cero la altura y se despeja el tiempo total de vuelo, quedando:
tvuelo 
2vo
.
g
Si se sustituye el tiempo total de vuelo en la ecuación de velocidad:
v  vo  gt
 vo 
v  vo  g  2   vo
 g
Con esto se saca que tarda lo mismo en ascender hasta la máxima altura que en
descender desde ese punto hasta el suelo. También la velocidad con la que llega al suelo es
igual a la que tenía inicialmente solo que de signo opuesto.
4
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Pedro, para trasladarse desde el colegio a su casa, realiza el siguiente recorrido: en su
bicicleta viaja 12 cuadras al norte y luego 5 cuadras al este. ¿Cuánto mide el camino
recorrido y el desplazamiento realizado por Pedro?
2. Observa atentamente el gráfico que representa el vuelo de una mosca entre dos
instantes y realiza los siguientes pasos:
1. Determina la posición inicial y final de la mosca en el plano cartesiano respecto del punto
(0, 0).
2. Representa el desplazamiento como una flecha que vaya desde el punto inicial hasta el
punto final, y determina su valor numérico.
3. Determina un valor aproximado para la longitud de la trayectoria del vuelo de la mosca.
a. ¿Cómo clasificarías la trayectoria de la mosca?
b. ¿Qué dificultad se te presentaría al tratar de determinar la longitud de la trayectoria en el
vuelo real de una mosca?
3. Una moto que parte del reposo hacia el sur alcanza una rapidez de 30 , al cabo de 5 s.
¿Cuál es su aceleración?
4. En la siguiente tabla se muestra la velocidad de una bicicleta en diferentes instantes:
1. Realiza un gráfico rapidez vs. tiempo
2. Responde las siguientes preguntas respecto del gráfico
a. ¿Cambia la velocidad de la bicicleta en el tiempo?
b. ¿La aceleración es siempre la misma?
c. ¿En qué intervalo de tiempo la aceleración es positiva?
d. ¿Entre qué valores del tiempo no hay aceleración?
e. ¿En qué intervalo de tiempo la aceleración es negativa?
f. Si en el tramo final la bicicleta mantuviera su aceleración, ¿en qué instante la velocidad de la
bicicleta será nuevamente igual a cero?
5
5. A partir de cada una de las siguientes situaciones, confecciona un gráfico en
papel milimetrado. En el eje horizontal (X), ubica la variable tiempo y en el eje
vertical (Y), la posición del móvil con los datos que representan cada situación.
Recuerda que cada gráfico debe presentar un título y que deben ir señaladas,
en los ejes, las magnitudes físicas y sus unidades correspondientes.
1. Una persona permanece en reposo durante 4 s a 10 m del origen.
2. Un automóvil que parte del origen (x = 0), se mueve en línea recta con una
velocidad constante en la dirección positiva del eje X durante 4 s. Los puntos
siguientes corresponden a los datos experimentales obtenidos: (0 s, 0 m); (1 s, 5 m);
(2 s, 10 m); (3 s, 15 m); (4 s, 20 m).
6.
7.
6
8. Un señor tira una piedra para arriba con una velocidad inicial de 40 m / s .
Calcular :
a ) – Qué tiempo tarda en llegar a la altura máxima.
b ) – Cuál es la altura máxima.
c ) - Trazar los gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
9. Un tipo está parado a 20 m de altura. Calcular qué tiempo tarda y con qué velocidad
toca el suelo una piedra si el tipo:
a)- La deja caer.
b)- La tira para abajo con V0= 10 m/s.
c)- La tira para arriba con V0= 10 m/s.
10. Un ladrillo se deja caer desde un punto a 80m sobre el nivel del agua. a)
Cuanto tiempo permanece el ladrillo en el aire? b) ¿con que velocidad
golpea el ladrillo el agua?
11. Una estudiante lanza un llavero verticalmente hacia arriba a su hermana del
club femenino de estudiantes, que esta en una ventana 4 m arriba. Las llaves
son atrapadas 1.5 seg. después por el brazo extendido de la hermana. (a) Con
que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves? (b) Cual era la velocidad de las
llaves justo antes que fueran atrapadas?
12. Una pelota de béisbol es golpeada de modo que sube directamente hacia
arriba después de ser tocada por el bat. Un aficionado observa que la pelota
tarda 3 seg. en alcanzar su máxima altura. Encuentre su velocidad inicial y la
altura que aIcanza.
13. Un globo aerostatico viaja verticalmente hacia arriba a una velocidad constante
de 5 m/seg. Cuando esta a 21 m sobre el suelo se suelta un paquete desde el.
a) Cuanto tiempo permanece el paquete en el aire?
b) Cual es su velocidad exactamente antes de golpear el suelo?
c) Repita a) y b) en el caso en que el globo desciende a 5 m/seg.
7