Procesos estocásticos de memoria larga

Procesos estocásticos de memoria larga
Natalia Bahamonde
Instituto de Estadística–PUCV.
Escuela Verano Matemática 2013
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Antecedentes : Un resultado elemental en estadística
“La varianza de la media muestral es igual a la varianza de una
observación dividida por el tamaño muestral”
X1 , . . . , Xn
µ = E(Xi ),
σ
2
i ∈ {1, . . . , n}
= Var (Xi )
Sea
X=n
−1
n
X
Xi
−→
Var (X) = σ 2 n−1
i=1
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¿Bajo que supuestos esto es verdadero ?
1
La media poblacional µ = E(Xi ) existe y es finita.
2
La varianza poblacional σ 2 = Var (Xi ) existe y es finita.
3
X1 , . . . , Xn son no correlacionados, i.e.
ρ(`) = 0,
donde ρ(`) =
∀` 6= 0,
γ(`)
.
σ2
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¿Son reales estos supuestos ?
1 y 2 dependen de la distribución poblacional de los datos, asi si
suponemos que :
• X1 , . . . , Xn corresponden a observaciones muestreadas
aleatoriamente de una población → X1 , . . . , Xn v.a. con la misma
distribución marginal F .
• Asi los supuestos 1 y 2 se cumplen fácilmente ya que siempre se
puede suponer lo anterior.
• El objetivo se centra en el supuesto 3.
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Procesos
√
n consistentes
• Si las correlaciones para i 6= j son cero, entonces Var (X) = σ 2 n−1 y
llamamos a estos procesos
√
n-consistentes.
• Si las correlaciones para i 6= j no son cero, entonces
Var (X) = σ 2 δn n−1 y estos procesos no son
√
n-consistentes.
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Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Procesos de larga memoria
• Clase particular de ST lineales.
• Existen muchas posibles maneras de definirlas, pero como lo dice
Hall (1997) y como se viene de ver, la motivación original para este
concepto está estrechamente ligada con la estimación de la varianza
de la media muestral de un proceso estacionario.
• Para procesos estacionarios cuya autocovarianza es absolutamente
√
sumable, entonces la media muestral es n-consistente, donde n es
el tamaño muestral. De manera general a estos procesos se les llama
de corta memoria.
• Por el contrario, un proceso es de larga memoria si sus
autocovarianzas no son absolutamente sumables.
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Procesos de larga memoria : definiciones
Definición
Un proceso {Yt }t∈Z es dicho ser de larga memoria si
∞
X
|γY (`)| = ∞.
`=−∞
Existen sin embargo definiciones alternativas :
En la definición anterior, γY (`) puede ser reemplazado por :
• Las autorrelaciones del proceso ρY (`),
• La función de densidad espectral del proceso fY (λ),
• Los coeficientes de la representación de Wold del proceso ψj
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Descomposición de Wold de un proceso
La descomposición de Wold de un proceso consiste a escribir este proceso
como la suma infinita de ruidos blancos.
Yt =
∞
X
ψj t−j = ψ(B)t ,
j=0
donde, para el caso de los procesos de LM se tiene que
ψj ≈ j d−1 δ(j),
j>0
donde δ(·) es una función de variaciones lentas.
• La secuencia de valores ψj corresponden a los coeficientes de la
representación de Wold de este proceso.
• Esta representación recibe también el nombre de representación
MA(∞).
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Funciones de variaciones lentas
Recordemos que una función definida positiva medible en algún intervalo
[a, ∞] se dice ser de variaciones lentas (en el sentido de Karamata), si y
solo si para algún c > 0 ,
δ(cy)
converge a 1 cuando y tiende a infinito.
δ(y)
Algunos ejemplos de funciones de variaciones lentas son
• δ(y) = log(y),
• δ(y) = b, donde b es una constante positiva.
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Características de segundo orden de una serie con “corta
memoria”
• La función de autocorrelación decrece rápidamente a cero. La tasa
de decrecimiento es dicha exponencial ;
∞
X
|γY (`)| < ∞.
`=−∞
• La densidad espectral es acotada ;
f (λ) < C > ∞, λ ∈ (−π, π).
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Ejemplo de una serie con “corta memoria”
Ejemplo
Sea un proceso AR(1) : Yt = a1 Yt−1 + ε, que admite una solución
estacionaria si |a1 | < 1,
γ(`) =
f (λ) =
σ2
a` ,
1 − a21 1
σ 2 = Var (ε).
σ2
σ2
|1 − a1 eiλ |−2 =
(1 − 2a1 cos λ + a21 )−1 .
2π
2π
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Características de segundo orden de una serie fuertemente
dependiente
Definición
Sea {Yt , t ∈ R} un proceso estacionario de segundo orden. Este proceso
es un proceso con larga memoria si su espectro fY (λ) es tal que en una
vecindad próxima positiva de la frecuencia cero,
fY (λ) ∼ cf λ−2d ,
λ → 0+,
cf ∈ (0, ∞),
o de una manera equivalente, si su función de autocorrelación (FAC)
ρY (`) decrece de manera hiperbólica como sigue :
ρY (`) ∼ `2d−1 ,
d ∈ (0, 1/2).
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Larga memoria= persistencia
• La propiedad de LM suele relacionarse con la persistencia que
muestran las autocorrelaciones muestrales de ciertas ST
estacionarias, que decrecen a un ritmo muy lento pero finalmente
convergen hacia cero.
• Este comportamiento no es compatible ni con los modelos
estacionarios AR, MA ni ARMA, que imponen un decrecimiento
exponencial en las autocorrelaciones, ni con el grado extremo de
persistencia de los modelos integrados no estacionarios (ARIMA).
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Larga memoria : definiciones alternativas
Se puede decir que una serie estacionaria con función de autocorrelación
ρ(·) y densidad espectral f (·), tiene memoria larga si :
1
Las
P autocorrelaciones no son absolutamente sumables, es decir
|ρ (`)| = ∞, para ` ∈ Z.
2
La función de densidad espectral f (λ), no está acotada en las bajas
frecuencias, y por tanto limλ→0+ f (λ) = +∞.
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Notar que
• Es importante señalar que las definiciones entregadas corresponden
definiciones asintóticas : solo nos informan del comportamiento
último de las correlaciones cuando ` → ∞ (o del espectro cuando
λ → 0+ ).
• La propiedad de larga memoria sólo determina la tasa de
convergencia hacia cero de las correlaciones, pero no la magnitud de
cada una de ellas.
• Cada correlación individual puede ser arbitrariamente pequeña, pero
el decrecimiento debe ser lento.
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Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Procesos ARFIMA
• Las series de tiempo ARFIMA o FARIMA Autoregresivos de medias
móviles fraccionario integrado fueron diseñadas para modelar series
de tiempo con larga memoria.
• Estos procesos fueron introducidos por Granger & Joyeaux (1980) y
Hoskings (1981).
• Esta es una clase bien conocida y estudiada de modelos de ST con
larga memoria.
• Sin embargo, las aplicaciones en esta clase de modelos es mas
reciente debido a limitaciones computaciones en el cálculo de los
estimadores de los parámetros de estos modelos.
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Evidencia de procesos ARFIMA
• La evidencia empírica sobre datos con LM se remonta a mucho
tiempo atrás ; quizás el ejemplo más celebrado sea el trabajo Hurst
(1951), en el campo de la hidrología.
• Sin embargo, muchos de los trabajos aplicados a otras ciencias y,
sobre todo, muchos de los desarrollos formales sobre estimación y
contrastes de hipótesis en el contexto de LM, son relativamente
recientes.
• En concreto, el interés por los modelos con memoria larga para la
modelización de series económicas surge a partir de los trabajos de
Granger (1980) y Granger y Joyeux (1980).
• Estos últimos advierten que la práctica habitual de diferenciar una
serie hasta conseguir estacionaridad, puede tener consecuencias
negativas en la correcta modelización de algunas series.
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Evidencia de procesos ARFIMA (cont.)
• Por ejemplo, muchas series económicas aparentemente no estacionarias con espectro no
acotado en el origen suelen diferenciarse para conseguir varianza finita. Sin embargo, la
serie diferenciada se convierte a menudo en una serie con espectro nulo en cero,
indicando que se ha eliminado de la serie original la componente de las bajas
frecuencias, tan importante en las predicciones a largo plazo.
• Puede pensarse entonces que para modelizar este tipo de series, la diferenciación es
excesiva (llamandose a este fenómeno sobre diferenciación) pero la no diferenciación (no
estacionaridad) tampoco es adecuada.
• Para cubrir este vacío entre los casos extremos de los modelos con raíces unitarias,
típicamente utilizados para series no estacionarias, y modelos estacionarios que imponen
un decrecimiento exponencial de las autocorrelaciones, y por lo tanto un espectro
acotado en la frecuencia cero, se propone una clase de procesos intermedios en los que
el orden de integración sea fraccionario.
• Al permitir que el orden de integración d sea un número no entero, estos modelos
actúan como un puente entre los procesos con raíces unitarias ARIMA(d = 1) y los
procesos ARMA estacionarios que no requieren integración (d = 0).
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Procesos ARFIMA : Definición
Definición
Consideremos un proceso centrado Yt , t=1,...,n . Diremos que {Yt } es un proceso
ARFIMA(p,d,q) si está definido de la manera siguiente :
Φp (B)Yt = Θq (B)(1 − B)−d εt
donde,
• Φp (B) es el polinomio de operadores en B de la parte AR(p) del proceso, i.e.
Φp (B) = 1 − φ1 B − φ2 B 2 − · · · − φp B p .
• Θq (B) es el polinomio de operadores en B de la parte MA(q) del proceso, i.e.
Θq (B) = 1 + θ1 B + θ2 B 2 + · · · − θp B q .
• εt es iid (0, σε2 ).
• (1 − B)−d es el operador de diferencias fraccionarias que se escribe a partir de la
expansión binomial de la serie.
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Expansión binomial
Se puede definir para cualquier número real d > −1 el operador de
diferencias ∆d = (1 − B)d por medio de la expansión binomial :
d
∆ = (1 − B)
d
=
∞
X
πj (−B)j
j=0
= 1 − dB +
1
1
d(d − 1)B 2 − d(d − 1)(d − 2)B 3 + . . .
2!
3!
donde
ηj =
Γ(j − d)
,
γ(j + 1)Γ(−d)
para d < 1/2, d 6= 0, −1, −2, . . . .
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Función Gamma
La función Γ(·) es la función Gamma t.q :
 R ∞ x−1
exp−t dt x > 0,
 0 t
∞
x = 0,
Γ(x) =
 −1
x Γ(1 − x)
x < 0.
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Ruido fraccionario integrado
Definición
Sea el proceso ARFIMA(0, d, 0) definido por la ecuación :
Yt = (1 − B)−d εt .
Este proceso es llamado FI(d) y recibe el nombre de ruido fraccionario
integrado.
Notar que este proceso contiene componentes de larga memoria.
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Ruido fraccionario integrado : Propiedades
Primer caso : Si d < 1/2
En este caso, el proceso es estacionario y posee la representación MA(∞)
Yt = (1 − B)−d εt =
∞
X
ψj εt−j = Ψ(B)εt ,
j=0
donde
Ψj =
Γ(d + j)
.
Γ(d)Γ(j + 1)
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Ruido fraccionario integrado : Propiedades
Segundo caso : Si d > −1/2
En este caso, el proceso es invertible y posee la representación AR(∞)
(1 − B)d Yt = Θ(B)Yt =
∞
X
θj Yt−j = εt ,
j=0
donde
Θj =
Γ(j − d)
.
Γ(−d)Γ(j + 1)
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Valores asintóticos de los coeficientes
Los valores asintóticos de los coeficientes πj y ψj están dados por :
limj→∞ ψj =
limj→∞ πj =
γ d−1
Γ(d)
γ −d−1
Γ(−d)
y decrecen a una velocidad hiperbólica (que es más lenta que la tasa
exponencial).
La función de autocorrelación de los procesos FI(d) hereda este
comportamiento y es lo que caracteriza a los procesos de larga memoria.
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Propiedades procesos FI(d)
Así, para el proceso FI(d) se tiene que :
• Si d < 1/2 el proceso es estacionario y posee una representación
MA(∞).
• Si d > −1/2 el proceso es invertible y posee una representación
AR(∞).
Notar que el proceso FI(d) es estacionario e invertible para
−1/2 < d < 1/2.
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Conclusiones ARFIMA
Conclusiones :
• Si 0 < d < 1/2 el proceso es de larga memoria.
• Si −1/2 < d < 0 el proceso no es de larga memoria, pero no tiene el
mismo comportamiento que los procesos ARMA. El proceso puede
ser llamado anti-persistente (que corresponde a alternancias altas y
bajas del proceso).
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Modelos ARFIMA y LM
• Los procesos ARFIMA producen memoria larga si 0 < d < 1/2, en el
sentido de que para ese rango de valores se verifican las definiciones
entregadas.
• Además estos modelos proporcionan una gran flexibilidad en la
interpretación de la persistencia, entendida ésta cómo el efecto que
tiene un cambio unitario en la perturbación del modelo sobre las
predicciones del nivel futuro de la serie.
• Mientras en los procesos integrados d = 1, el efecto de un shock
persiste indefinidamente, en un proceso fraccionalmente integrado
con 0 < d < 1, el efecto de un shock acaba desapareciendo y la serie
revierte finalmente a su media, incluso en el intervalo 1/2 ≤ d < 1,
donde el proceso no va a ser estacionario.
• En este sentido suele decirse que un proceso ARFIMA no estacionario
es menos no estacionario que los procesos con races unitarias.
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Propiedades modelos ARFIMA
Teorema
Consideremos un modelo ARFIMA definido por
φ(B)Yt = θ(B)(1 − B)−d t
(1)
Asumamos que los polinomios φ(·) y θ(·) no tiene raices comunes y que d ∈ (−1, 1/2).
Entonces
1 Si las soluciones del polinomio φ(·) están fuera del círculo unitario, entonces existe una
única solución estacionaria y está dada por
Yt =
∞
X
j=0
ψj t−j ,
donde
ψ(Z) =
(1 − Z)−d θ(Z)
.
φ(Z)
2 Si las soluciones de φ(·) están fuera del círculo unitario, entonces la solución Yt es
causal.
3 Si las soluciones de θ(·) están fuera del círculo unitario entonces la solución Yt es
invertible.
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Propiedad
Propiedad
Si la solución Yt es estacionaria, entonces la función de autocovarianza y
la densidad espectral satisfacen para d 6= 0 ρY (`) c · `2d−1 , cuando
` → ∞, donde c 6= 0.
2
−2d
σ 2 θ(e−iλ ) σ 2 θ(1) 2 −2d
−iλ f (λ) =
λ ,
∼
1 − e 2π |φ(e−i` )|2
2π φ(1)
cuando |λ| → 0.
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Función de Autocovarianza
La función de autocovarianza (ACF) de un proceso ARFIMA(0, d, 0) está
dada por :
γY (`) = σ 2
Γ(1 − 2d)Γ(` + d)
,
Γ(d)Γ(1 − d)Γ(1 − d)Γ(` + 1 − d)
γY (` = 0) = σ 2
` ≥ 1,
Γ(1 − 2d)
,
Γ(1 − d)2
donde Γ(·) es la función gamma, y la función de autocorrelación es :
ρY (`) =
γY (`)
Γ(1 + d)Γ(` + d) Y i + d − 1
=
=
,
γY (0)
Γ(d)Γ(` + 1 − d)
i−d
` ≥ 1.
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Ejemplos
200
150
100
50
0
contamina
250
300
350
Contaminacion Temuco
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
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Ejemplos
250
150
0 50
contamina
350
Contaminacion Temuco
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
0.0
ACF
0.4
0.8
ACF PM10 Temuco
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
Lag
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Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Métodos de estimación
Los métodos de estimación de parámetros en modelos de ST con LM
propuestos hasta el momento en la literatura pueden clasificarse en dos
grandes grupos :
• métodos paramétricos, en los que se conoce en forma explícita toda
la estructura de correlación, tanto en el corto como en el largo plazo,
o se conoce la densidad espectral en todas las frecuencias,
• métodos semiparamétricos, en los que no se específica un modelo
completo de la estructura de autocovarianzas (o del espectro) sino
sólo su comportamiento en los rezagos alejados (o en las bajas
frecuencias) .
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Métodos parámetricos de estimación
• El enfoque paramétrico tiene la ventaja que permite caracterizar todas las
autocorrelaciones y no sólo su decrecimiento hiperbólico.
• Los métodos propuestos se basan en maximizar la función de verosimilitud gaussiana, y
los estimadores máximo verosímiles (MV) resultantes tienen buenas propiedades : son
consistentes y asintóticamente normales, y adicionalmente bajo hipótesis de normalidad
son asintóticamente eficientes.
• Sin embargo, si el modelo paramétrico que se supone para ρ(`) o f (λ) está mal
especificado, los estimadores serán inconsistentes, y los métodos semiparamétricos
pueden hacer un mejor papel, ya que son más robustos a una mala especificación del
modelo.
• Además, los estimadores semiparamétricos también van a tener
√ buenas propiedades
asintóticas, aunque su tasa de convergencia será inferior a la
estimadores paramétricos gaussianos.
n típica de los
A continuación se revisarán los principales métodos paramétricos de
estimación de ST con de LM.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Estimación Máximo verosímil.
Asumimos que el proceso {Yt }t∈Z es gaussiano estacionario y de media
cero. Entonces la función de verosimilitud del proceso está dada por :
Ln (θ) = −1/2 log(det Γθ ) − 1/2Y t Γ−1
θ Y
donde
• Y = (Y1 , ..., Yn )
• Γθ = Var (Y )t
• θ es el vector de parámetros θ = (φ1 , φ2 , ..., φp , θ1 , θ2 , . . . , θq , d)
Así el EMV de θ, θ̂EM V se obtiene maximizando Ln (θ).
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Notar que :
• Para poder obtener θ̂EM V es necesario conocer el det(Γθ ) y la
inversa de Γθ .
• Esta inversa puede ser calculada usando la descomposición de
Cholesky o por el algoritmo de Durbin - Levinson.
• Este es el único método exacto de estimación y es bastante costoso
en tiempo, además de necesitar herramientas sofisticadas para
clculos matriciales, es por ello que existe una variedad de métodos
aproximados, sin embargo, las propiedades asintóticas de θ̂EM V han
sido estudiadas y se demuestra que el θ̂EM V es asintóticamente
gaussiano y consistente.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Propiedades asintóticas EMV
Teorema
Sea θ̂n es el valor que maximiza la log-verosimilitud exacta de un modelo ARFIMA(p, d, q),
donde θ = (φ1 , φ2 , ..., φp , θ1 , θ2 , ..., θq , d)0 y 0 < d < 1/2. Así θ es el vector de parámetros de
dimensión (p + q + 1).
Sea θ0 el verdadero valor del parámetro, bajo ciertas condiciones de regularidad se tiene :
P
1 Consistencia : θ̂n → θ0 , cuando n → ∞
√
P
2 Normalidad (TLC) : n(θ̂n − θ0 ) → N (0, Γ−1 (θ0 )) donde
Γ−1 (0) = Γ(i − j) = Γij (θ),
con
Γij (θ) =
1
4π
Z
π
−π
∂(log(fθ (λ)))
∂θi
∂(log(fθ (λ)))
dλ,
∂θj
donde f (θ) es la densidad espectral del proceso.
3 Eficiencia : θ̂n es un estimador eficiente de θ0 .
(En el sentido que Γ−1 (θ0 ) es el límite de la matriz de información de Fisher).
Nota : No existen resultados asintóticos para 1/2 < d < 0.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Conclusiones EMV
• Método muy atractivo por las propiedades asintóticas que presentan
sus estimadores.
• Este método es computacionalmente muy costoso (principalmente en
el cálculo de Γ−1 (·))
• En particular, si d es cercano a 1/2, las covarianzas no cambian
mucho y la matriz de var-cov puede ser singular.
Esto nos lleva a encontrar métodos alternativos que maximicen una
aproximación de la verosimilitud gaussiana, métodos dichos de quasi
máxima verosimilitud (QMLE).
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Estimación de Whittle
• También es un método paramétrico pero, es un método aproximado
de la función de verosimilitud gaussiana.
• Este método está basado en el cálculo del periodograma utilizando
las frecuencias de Fourier FFT (fast furier transformation).
• Este algoritmo tiene una complejidad numérica del orden
O(n log n) < O(n2 ) (que corresponde al número de operaciones
necesarias para obtener el resultado), la cual es inferior a aquella
presentada en el método exacto de EMV.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Estimador de Whittle
Supongamos que el vector Y = (Y1 , . . . , Yn )t es normalmente distribuido
con media cero y varianza Γθ . Luego, la función de log-verosimilitud
dividida por el tamaño de la muestra está dada por :
1 t −1
−1
log(det Γθ ) −
Y Γθ Y
2n
2n
Notar que la matriz de var-cov Γθ puede ser expresada en términos de la
densidad espectral fθ (·) del proceso como sigue : (Γθ )ij = γθ (i − j),
donde
Z π
γθ (`) =
fθ (λ) exp(iλ`)dλ.
L(θ) =
−π
Para utilizar el método de estimación de Whittle es necesario realizar dos
aproximaciones, una para cada término de la función de log-verosimilitud
−1
1
L(θ) =
log(det Γθ ) − Y t Γ−1
(2)
θ Y
2n
2n
|
{z
} |
{z
}
(a)
(b)
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Estimador de Whittle (cont.)
Utilizaremos para ambos casos la aproximación siguiente :
Z π
1
n→∞ 1
log(det Γθ ) −→
log[2πfθ (λ)]dλ
n
2π −π
De esta manera, ambos miembros en la ecuación (2) son aproximados
utilizando la relación anterior, de manera que quedan aproximados por :
Rπ
1
(a) ≈ 4π
−π log[2πfθ (λ)]dλ
R
π I(λ)
1
(b) ≈ 4π
−π fθ (λ) dλ,
donde I(λ) es el periodograma de la serie xt definido como :
2
n
1 X
iλj I(λ) =
Yj e .
2πn j=0
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Estimador de Whittle (cont.)
Así aproximamos L(θ) como :
Z π
Z π
1
I(λ)
1
log[2πfθ (λ)]dλ −
4π −π
4π −π fθ (λ)
Z π
Z π
1
I(λ)
= −
log[2πfθ (λ)]dλ +
.
4π −π
−π fθ (λ)
L2 (θ) = −
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Estimador de Whittle versión discreta
Esto se puede simplificar aún más, utilizando la versión discreta del
estimador de Whittle :
Z
π
log[2πfθ (λ)]dλ ≈
−π
n
2π X
log(fθ (λj )),
n
j=1
Z
π
−π
n
I(λ)
2π X I(λj )
dλ ≈
,
fθ (λ)
n
fθ (λj )
j=1
2πj
n
donde λj =
son las frecuencias de Fourier, así la versión discreta del
estimador de Whittle es :
L3 (θ) =
n
n
j=1
j=1
X I(λj )
−1 X
log(fθ (λj )) +
2n
fθ (λj )
Nota : L2 (θ) y L3 (θ) e incluso otras versiones del estimador de Whittle,
tienen las mismas propiedades asintóticas que el EMV.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Métodos aproximados de estimación ARFIMA
En la literatura existen muchos otros métodos de estimación aproximados
para modelos ARFIMA debido a que el cálculo por el método exacto de
MV es computacionalmente demandante. Se espera que los métodos
aproximados aumenten la velocidad del cálculo de los parámetros
estimados. Entre ellos destacan :
• Métodos basados en aproximaciones autorregresivas del proceso :
•
•
•
•
truncación de la representación AR(∞) del proceso.
Enfoque de Beran : Fue propuesto por Beran (1994).
Método de Haslett - Raftery.
Métodos basados en aproximaciones de media móvil : truncación de
la expansión de Wold de un proceso de larga memoria.
Método de Regresión (GPH) : Método propuesto por Geweke y
Porter-Hudak (1983), y consiste en estimar sólo el parámetro de
larga memoria d.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Conclusiones modelos ARFIMA
• Los modelos ARFIMA son mucho más complejos que los procesos
comunmente estudiados, como los ARIMA, AR, MA, entre otros.
• Los procesos ARFIMA ofrecen la posibilidad de modelar dependencia
fuerte en media condicional.
• La estimación de parámetros en procesos de larga memoria no se
puede obtener de una manera sencilla, ya que en el caso de estimar
con un método exacto como lo es el de máxima verosimilitud, la
programación es muy compleja y costosa.
• La mayoría de los métodos aproximados de estimación no se
encuentran implementados en los paquetes computacionales y se
deben programar manualmente.
• Estos procesos son ampliamente utilizados en el ámbito de la
hidrologa, contaminación y finanzas entre otros.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Limitaciones de los modelos ARFIMA
• Existen procesos para los cuales los valores de las varianzas no son
constantes en el tiempo y llamamos volatilidad al grado de
fluctuación de una ST.
• Si el proceso de volatilidad es altamente dependiente, la complejidad
de los datos solo puede ser explicada bajo un modelo ARFIMA con
órdenes p y q muy elevados.
• La falta de parsimonia de estos modelos no es muy compatible con la
representación parsimoniosa de la dependencia fuerte en media
condicional reflejada en un único parámetro d.
• Asi nace la necesidad de utilizar otro tipo de procesos para
representar series con volatilidad.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Antecedentes : Sistema Bretton Woods
• EEUU es la mayor potencia económica después de la 2G.M.
• Nace la idea de conducir el crecimiento económico desde el plano
global.
• Se crea un Banco Central Mundial encargado de vigilar la liquidez de
cada pais.
• Total convertibilidad del dólar en oro.
Quiebre de este sistema en el año 1960 producto de la Guerra de Vietnan
−→ el dólar no pudo seguir cumpliendo con su función de dinero patrón.
−→ los paises se deciden por la liberalización total de sus tipos de cambio.
−→ mayores fuentes de variabilidad para todos los indicadores
económicos.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
1400
1000
600
ipsa
1800
Series financieras : IPSA
0
500
1000
1500
2000
2500
2000
2500
R.ipsa
−0.05
0.00
0.05
Time
0
500
1000
1500
0.02
−0.02 0.00
R.ipsa[1:100]
0.04
Time
0
20
40
60
80
100
Time
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
dj
4000
8000
12000
Series financieras : Dow Jones
0
500
1000
1500
2000
2500
2000
2500
0.00
−0.06
R.dj
0.04
Time
0
500
1000
1500
Time
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Modelamiento de rentabilidades
Dada la estructura de no estacionariedad de la serie, se acostumbra
trabajar con la serie del logaritmo de las rentabilides.
Rentabilidades :
rt = Xt − Xt−1
Rt = log rt
Xt
Rt = log
Xt−1
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Series cambio dólar/peso y rentabilidades
uss
500
520
540
Cambio diario dolar−peso 2007
0
50
100
150
200
250
200
250
−0.010
R.uss
0.000
0.010
Rentabilidades diarias dolar−peso 2007
0
50
100
150
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Series ipsa y rentabilidades
0.8
Partial ACF
0.6
ACF
0.4
0.0
−0.05
0.2
0.05 0.10 0.15 0.20
Series R.ipsa
1.0
Series R.ipsa
5
10
15
20
25
30
35
0
5
10
15
20
Lag
Lag
Series R.ipsa^2
Series R.ipsa^2
25
30
35
25
30
35
0.0
ACF
0.10
0.00
0.2
0.4
0.6
Partial ACF
0.20
0.8
1.0
0
0
5
10
15
20
Lag
25
30
35
0
5
10
15
20
Lag
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Series dj y rentabilidades
dj
4000
8000
12000
Indice Dow Jones 1994−1998
1994
1995
1996
1997
1998
0.00
−0.06
R.dj
0.04
Rentabilidades Indice Dow Jones 1994−1998
0
500
1000
1500
2000
2500
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Características (“stylized facts”)
Las ST financieras presentan características diferentes a las otras series
estudiadas :
• Volátiles
• No gausianas
• Observaciones atípicas
• Extremos pesados
• Efecto de Joseph
• No correlacionadas linealmente
• Correlaciones en momentos de orden superior
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Características serie rentabilidades ipsa
−0.05
0.00
0.05
QQplot R.ipsa
0.05
0.00
−0.05
Sample Quantiles
Normal Q−Q Plot
−3
−2
−1
0
1
2
3
Theoretical Quantiles
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Características serie rentabilidades dj
−0.05
0.00
0.05
QQplot R.dj
0.04
0.00
−0.06
Sample Quantiles
Normal Q−Q Plot
−3
−2
−1
0
1
2
3
Theoretical Quantiles
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Modelos ARCH : Antecedentes
• Los modelos cásicos de ST, fundados en los modelos ARMA, suponen
series con varianza constante (hipótesis de homocedasticidad).
• Los modelos financieros y económicos se caracterizan por periodos
agitados de fuerte especulación (variabilidad elevada) seguidos de
periodos calmas con pocas fluctuaciones (efecto de Joseph).
• Los modelos financieros presentan además una volatilidad (o varianza
o variabilidad) actual o instantánea que depende del tiempo pasado.
• El estudio de ST financieras se enfrenta a dos problemas :
1
2
la no estacionariedad de la ST,
el carácter leptokúrtico de la distribución de los datos (los extremos
de la distribución de proba de los datos son mas anchas que la
distribución normal, asi los valores anormales son mas frecuentes).
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Modelos ARCH
Características :
• Introducidos por Engle en 1982.
• Muy utilizados en la modelamiento de series financieras.
• Se han derivado muchas extenciones.
• (Xt ) secuencia no correlacionada (RB) pero (Xt2 ) es correlacionada.
• Fuertes (débiles) variaciones de (Xt ) son seguidas de otras fuertes
(débiles) variaciones de (Xt ) : efecto de Joseph
• (Xt ) no gausiana.
• El modelo ARCH fue introducido para reponder al problema de
modelizar series financieras que presentan características que violan
los supuestos de la modelización ARMA.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Notación
Sean X1 , . . . , Xn datos observados.
Definimos los conjuntos Ft que son σ-álgebras o tribus generadas por
X1 , . . . , Xt .
Ft = σ ≺ X1 , . . . , Xn que representa la información disponible al tiempo t y suponemos que el
conjunto de observaciones hasta el tiempo t está contenido en Ft y si t
aumenta, la información contenida crece igualmente
Ft ⊂ Ft−1 ⊂ . . .
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Martingalas y diferencias de martingalas
Definición
Sea (Xt )t∈Z una secuencia de v.a. definidas en un espacio de probabilidad
(Ω, F, P). La secuencia se llama martingala, si ∀t E(|Xt |) < ∞ y
X
E(Xt | Ft−1
) = Xt−1
casi seguramente.
Definición
Sea (Xt )t∈Z una secuencia martingala definida en un espacio de
probabilidad (Ω, F, P). Sea Zt = Xt − Xt−1 , entonces la secuencia
(Zt )t∈Z es llamada it diferencia de martingala.
Notar que para una secuencia diferencia de martingalas se observa
X ) = 0 casi seguramente.
E(Xt | Ft−1
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Modelo ARCH(1)
Definición
La SC (Xt ) es llamada serie ARCH(1) (Autoregressive conditional
heteroskedasticity) si (Xt ) es solución de las ecuaciones :
(3)
Xt = σt εt
σt2
= α0 +
2
α1 Xt−1
(4)
σt : raiz cuadrada positiva de σt2 ,
α0 ≥ 0, α1 > 0 et
(εt ) v.a. centradas i.i.d.
Unicidad de la solución estrictamente stationaria (Giraitis et al. (2000)), suponiendo que
E(ε20 ) < ∞ y E(ε20 )α1 < 1 tal que E(Xt2 ) < ∞ y (Xt ) es no-anticipativa.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Propriedades de un ARCH(1)
Sea (Xt ) la serie ARCH(1) solución no-anticipativa con (εt ) v.a.
centradas i.i.d. con E(ε20 ) = 1.
• Solución D.E. si 0 < α1 < 1
• {Xt }t∈Z ∼ RB(0, α0 /1 − α1 )
• EXt4 < ∞ ssi 3α12 < 1
• El cuadrado del proceso tiene la misma ACF que un proceso AR(1)
Por otra parte
E(Xt2 | Ft−1 ) = σt2
2
= α0 + α1 Xt−1
−→ No es un proceso i.i.d.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Modelo ARCH
Definición
La SC (Xt )t∈Z es llamada serie ARCH(p) (Autoregressive conditional
heteroskedasticity) si (Xt ) es solución a las ecuaciones :
Xt = σt εt ;
σt2 = α0 +
p
X
2
αi Xt−i
,
i=1
σt > 0, α0 ≥ 0, αi > 0 y (εt ) v.a. centradas i.i.d.
Generalización GARCH(q, p) :
σt2
=
p
X
j=1
2
βj σt−j
+ γ0 +
q
X
2
γj Xt−j
j=1
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Propriedades de un ARCH(p)
Sea (Xt ) la serie ARCH(p) solución no-anticipativa con (εt ) v.a.
centradas i.i.d. con E(ε20 ) = 1.
• Solución D.E. si 0 <
Pp
i=1 αi < 1
P
RB(0, α0 /1 − pi=1 αi )
• {Xt }t∈Z ∼
• El cuadrado del proceso tiene la misma ACF que un proceso AR(p)
Por otra parte :
X ) = 0.
• E(Xt | Ft−1
Pp
X ) = σ2 = α +
2
•Υ
(Xt | Ft−1
0
t
i=1 αi Xt−i .
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Notar que
• Porque la varianza de un proceso GARCH varía en el tiempo son
llamados condicionalmente heterocedásticos.
• Engle supone que la varianza es condicional a la información que se
dispone i.e. la varianza condicional depende de la información pasada
y sigue un proceso AR.
• Si {Xt } sigue un proceso GARCH(p, q), entonces es también un
RB(0, α0 /(1 −
P
αi −
P
βj )
• La ausencia de correlación entre los valores al tiempo t con los
valores futuros no implica que estos valores sean independientes.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Correlaciones ipsa
0.8
0.6
ACF
15
20
25
30
35
0
5
10
15
20
25
Lag
Lag
Series R.ipsa^2
Normal Q−Q Plot
Sample Quantiles
35
0.00
−0.05
0.10
30
0.05
10
0.00
5
0.20
0
Partial ACF
0.4
0.0
0.2
0.4
0.0
0.2
ACF
0.6
0.8
1.0
Series R.ipsa^2
1.0
Series abs(R.ipsa)
0
5
10
15
20
Lag
25
30
35
−3
−2
−1
0
1
2
3
Theoretical Quantiles
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Correlaciones Dow Jones
ACF abs(R.dj)
0
5
10
15
20
Lag
25
30
35
0.0
0.2
0.4
ACF
0.6
0.8
ACF
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
ACF
0.6
0.6
0.8
1.0
0.8
1.0
ACF R.dj^2
1.0
ACF R.dj
0
5
10
15
20
Lag
25
30
35
0
5
10
15
20
25
30
35
Lag
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Estimación de un ARCH(1) : EMV
Estimación de parámetros : EMV
• Si (εt ) ∼ N (0, 1) ;
f (x1 , . . . , xN ) =
N
Y
1 h x2t i
p
− 2 ×f (x1 ).
2
2σt
2πσ
t
t=2
• Problema : f (x1 ) desconocida −→ MV Condicional
f (x1 , . . . , xN | x1 ) =
N
Y
1 h x2t i
p
− 2 .
2σt
2πσt2
t=2
• Si α0 = (α0 , α1 )
e N (α) =
L
N
Y
1 h x2t i
p
− 2 .
2σt
2πσt2
t=2
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Estimación de un GARCH(p, q) : EMV
Si las v.a. (εt ) son i.i.d. gausianas centradas con E(ε2t ) = 1, entonces
X ∼ N (0, σ 2 ), donde F X = σ ≺ X
para t > p, Xt | Ft−1
t−1 , Xt−2 , · · · .
t
t−1
f (Xp , . . . , XN ) =
N
Y
f (Xt | Xt−1 ) × f (X1 , . . . , Xp ).
t=p+1
f (X1 , . . . , XN ) =
N
Y
t=p+1
h X2 i
− t2 ×f (X1 , . . . , Xp ).
2σt
2πσt2
1
p
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Desvantajas EMV
e N (α) =
L
N
Y
1 h x2t i
p
− 2 .
2σt
2πσt2
t=2
σt2 depende de los parámetros a minimizar α0 y α1
−→ No es posible de maximizar en forma explícita,
−→ Se deben utilizar algoritmos iterativos para la maximización de la
verosimilitud.
• Elección de valores de α0 , α1 para inicialización.
• Difícil de obtener numéricamente, posibilidad de máximo local.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Los cuadrados de un ARCH
Sea ηt = Xt2 − σt2 , los cuadrados de las observaciones de un modelo
ARCH(p) tienen una dependancia de tipo AR(p).
Xt2
= α0 +
Xt2 = α0 +
p
X
i=1
p
X
2
αi Xt−i
+ (Xt2 − σt2 )
| {z }
2
αi Xt−i
+
ηt
i=1
η
• (ηt ) satisface E(ηt | Ft−1
) = 0.
η
• Pero E(ηt2 | Ft−1
) 6= cte.
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Introducción Procesos LM ARFIMA Estimación MV Estimación Whittle Postludio ST financieras Modelo GARCH E
Alternativas de estimación GARCH(p,q) : los cuadrados
Los cuadrados de las observaciones de un modelo GARCH(p,q) tienen una
dependancia de tipo ARMA(m, q) con m = max(p, q) .
Yt = α0 +
m
X
δi Yt−i −
i=1
donde, Yt =
Xt2 ,
ηt =
σt2 (ε2t
q
X
βj ηt−j + ηt ,
j=1
− 1) y δi = αi + βi .
η
• (ηt ) satisface E(ηt | Ft−1
) = 0.
η
• Pero E(ηt2 | Ft−1
) 6= cte.
1
EMC de ARCH(p)
2
Estimación de Yule–Walker de un GARCH(1,1)
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Consideraciones sobre las innovaciones ηt
El proceso {ηt }t∈Z satisface :
• es un ruido blanco (0, τ (α0 , α1 )),
• es no correlacionado E(ηt ηt+` ) = γη (`) = 0, ∀` ∈ Z,
η
• es una diferencia de martingala E(ηt | Ft−1
) = 0,
η
• es condicionalmente heteroscedástico Var (ηt | Ft−1
) depende del
tiempo.
Notar además que existen dependencias no lineales entre {Xt } y {ηt }.
ηt = Xt2 − σt2 = σt2 (ε2t − 1.
Finalmente, el proceso {ηt }t∈Z depende de la secuencia estacionaria
{Xt }t∈Z que se está construyendo.
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Estimación de parámetros : EMC
Sea α0 = (α0 , . . . , αp ).
Y = Xα + η,
α̂M C = (X0 X)−1 X0 Y
(5)
donde
2 )0 es el vector de respuestas.
- Y = (X12 , . . . , XN
- X es una matriz (N + 1) × p.
- η = (η1 , . . . , ηN )0 .
Tiene una expresión exacta y es fácil de calcular numéricamente.
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Resolución de ecuaciones lineales
Sea Yt = Xt2 ,
1−p≤t≤N ,
2
σt−1
(α) = ZTt−1 α
y Zt−1 = [1, Yt−1 , . . . , Yt−p ]T entonces
y
2
ηt = σt−1
(α)(t−1 ) = ZTt−1 α(t − 1),
donde
• αT = (α0 , . . . , αp ), y
2 , . . . , X 2 ]T .
• Zt−1 = [1, Yt−1 , . . . , Yt−p ]T = [1, Xt−1
t−p
Se obtiene
2
Yt = ZTt−1 α + σt−1
(α)(t − 1),
(6)
y se puede obtener un LSE (preliminar) de α como
α̂pr = (ZT Z)−1 ZY.
• tiene una expresión exacta,
• es fácil de obtener,
• se observan mejores resultados que en el QMLE para muestras pequeñas.
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QLSE : Estimador en dos etapas
2 (α) :
• Divida la ecuación (6) por σt−1
Yt
Zt−1 0
=
2 (α)
2 (α) α + δt
σt−1
σt−1
2 (α) por σ 2 (α̂) y se obtiene :
• Reemplace σt−1
t−1
Yt
Zt−1 0
2 (α̂) ≈ σ 2 (α̂) α + δt
σt−1
t−1
Y esto corresponde a un modelo de regresión lineal estándar con
ruido homocedástico.
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QLSE
De esta manera se obtiene un estimador de quasi mínimos cuadrados para
los parámetros del modelo ARCH(p) :
α̂ =
X
n
t=1
0
Zt−1 Zt−1
4 (α̂)
σt−1
−1 X
n
t=1
Zt−1 Yt
4 (α̂)
σt−1
Se puede demostrar la normalidad asintótica de este estimador.
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Estimación de parámetros : Yule–Walker
Es posible estimar los parámetros de un proceso GARCH(1,1) mediante
en método de Yule–Walker.
Xt = σt εt
2
2
σt2 = α0 + α1 Xt−1
+ β1 σt−1
Sean
w = α0
φ = α1 + β1
θ = −β1
Asi, se tiene que el modelo GARCH(1,1) se puede escribir como
Yt = w + φYt−1 + ηt + θηt−1 ,
donde Yt = Xt2
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Estimación de parámetros : Yule–Walker (cont.)
Asumiendo que {Yt } es estacionario con EYt2 < ∞ se tiene que
ρY (k) = φρY (k − 1)
(1 + φθ)(φ + θ)
ρY (1) =
1 + θ2 + 2φθ
Y es posible expresar ρY (1) como una ecuación cuadrática en θ :
1 + bθ + θ2 = 0,
donde b =
(φ2 + 1) − 2ρY (1)φ
.
φ − ρY (1)
Y asi, se tiene que
λ̂ = (ŵ, φ̂, θ̂) = (σ̂ 2 (1 − φ̂), ρ̂(2)/ρ̂(1), b̂)
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Contenidos
1 Introducción a los procesos de larga memoria : Procesos fuertemente
dependientes en media condicional
2 Procesos de larga memoria
3 Procesos ARFIMA
4 Estimación máximo verosímil de procesos ARFIMA
5 Estimación de Whittle en procesos ARFIMA
6 Consideraciones finales y conclusiones
7 Series de tiempo financieras
8 Modelos GARCH
9 Estimación en modelos GARCH
10 Consideraciones finales
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Razones de la popularidad de estos modelos
La clave de estos modelos es :
• consideran la información pasada de la variable y su volatilidad
observada como factor altamente explicativo de su comportamiento.
• se centran en la evolución temporal de la varianza condicional,
claramente mejor medida del riesgo y de la incertidumbre.
• las propiedades asintóticas se demuestran bajo condiciones débiles.
En los primeros 10 años de existencia, se aplicó con éxito a más de 400
aplicaciones diferentes centradas en economía financiera.
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Algunas extensiones
La familia GARCH ha crecido principalmente respondiendo a
−→ las restricciones sobre los parámetros que impone el carácter positico
de la varianza
−→ Shocks asimétricos en la varianza
• IGARCH (GARCH Integrado)
• EGARCH (GARCH Exponencial)
• TARCH (Threshold ARCH)
• SWARCH (Switching ARCH)
• LM-GARCH (Long Memory GARCH)
• etc
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Conclusiones
• Las ST han evolucionado de la mano de los avances sociales y
computaciones.
• Actualmente se cuenta con modelos especialmente diseñados para
nuevas necesidades.
• Los nuevos modelos involucran cálculos mas costosos
computacionalmente.
• La complejidad de los nuevos modelos necesita teoría específica no
tan tradicional.
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