3 Integral curvil´ınea de primer tipo

Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM
3
1
Integral curvilı́nea de primer tipo
3.1
Definición
Sea Γ ⊂ R un camino (curva simple y suave a trozos) parametrizado por α : [a, b] −→ Rn ,
y sea f : Γ −→ R una función escalar y acotada. Se define la integral curvilı́nea de
primer tipo de f sobre Γ como
Z
Z
b
f ds =
Γ
3.2
¯
¯
f (α(t)) ¯α0 (t)¯ dt
a
Observaciones
1. La integral curvilı́nea de primer tipo no depende de la parametrización elegida, ni
del sentido en que se recorre la curva.
2. Si Γ ⊂ R2 es el grafo de la función continua ϕ : [a, b] −→ R, entonces
Z
Z
f ds =
Γ
3. Si f ≡ 1, entonces
3.3
R
Γ 1 ds
b
f (t, ϕ(t))
p
1 + ϕ0 (t)2 dt
a
= L(Γ).
Interpretación fı́sica
Si un camino Γ ⊂ Rn , parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , representa a una cuerda y
ρ(α(t)) es la densidad puntual de la cuerda en el punto α(t) ∈ Γ, entonces la integral
curvilı́nea de primer tipo de ρ sobre Γ nos da la masa de dicha cuerda.
3.4
Aplicaciones
Sea Γ ⊂ Rn un camino que representa a una cuerda y ρ(M ), M ∈ Γ, la densidad puntual
de dicha cuerda en el punto M . La masa de la cuerda viene dada por
Z
m=
ρ(x1 , x2 , . . . , xn ) ds
Γ
y el centro de gravedad será G = (xg1 , xg2 , . . . , xgn ), donde
Z
1
g
xi =
xi ρ(x1 , x2 , . . . , xn ) ds
m Γ