Ecuación de transmisión de Friis. Relación de potencia recibida a

2.4 ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DE FRIIS
La ecuación de trasmicion de FRIIS relaciona la potencia recibida a la potencia
trasmitida entre dos antenas separadas por una distancia:
R>
2D 2
l
donde D es la dimensión más grande de cualquier antena.
Antena
Transmisora
Antena
Receptora
( θ ,f )
( θ ,f )
Pt , G ot , Dg
t ,
e c d t , Gt , rt
Pr , G or , Dg
r ,
e c d r , Gr , rr
Figura 2.17 Orientación geométrica de las antenas transmisora y receptora
Si la potencia a la entrada es Pt, en las terminales de la antena trasmisora es Pt,
entonces su densidad de potencia W0 a una distancia R de la antena es:
W0= ett
Pt
4pR 2
( 2.68 )
Donde:
ett = la eficiencia total de la antena
Wt=
Pt Dgt (q t , ft )
Pt Got (q t , ft )
= ett
2
4pR
4pR 2
Donde: Got (qt, f t) es la ganancia de la antena transmisora;
( 2.69 )
f t) es la ganancia directiva de la antena transmisora en la dirección qt, f t ;y
puesto que la abertura efectiva Ar de la antena se relaciona a su eficiencia e t r y la
ganancia directiva Dgr mediante:
Dg t (qt,
æ 2ö
l÷
Ar= et r D g r(qr, f r) ç
ç 4p ÷
è
ø
( 2.70 )
La cantidad de potencia Pr conectada por la antena receptora se puede escribir en
términos W t , Ar las perdidas por el factor de perdida de polarización como:
Ù
f
Pr= e t r D g r(q r,
r)
Ù
2
rw · rr *
Pr = Wt Ar PLF = Wr Ar
l2
4p
Wt = e t t e t r
l2 Dgt (q t , ft ) Dgr (q r , f r ) Pt Ù Ù 2
rt · r r *
(4pR) 2
( 2.71 )
Ó
2
Ù
Ù
Pr
2
2 æ l ö
= ecdt ecdr (1 - Gt )(1 - Gr )ç
÷ Dg t (qt , f t) Dg r (qr , f r) r w · r r *
Pt
è 4pR ø
2
( 2.72 )
Antena de trasmisión
Para antena con polarización acoplada y alineadas para máxima trasmisiónrecepción se reduce a:
Ù
Ù
rw · rr *
2
=1
Got = e t t D g t (q t,
f
Gor = e t r D g r (q r ,
f
t)
| máx.
r)
| máx.
Finalmente:
2
Pr æ l ö
=ç
÷ G ot G or
Pt è 4pR ø
Ecuación de transmisión de Friis
( 2.73 )
La ecuación 2.72 ó 2.73 se conoce como ecuación de trasmicion de FRIIS
relaciona la potencia recibida a la potencia trasmitida en el sistema el termino
2
æ l ö
÷ se denomina factor de perdida del espacio libre el cual toma en cuenta
ç
è 4pR ø
las perdidas debido a la dispersion esférica de la energía por la antena.
ECUACIÓN DEL ALCANCE DE RADAR. (ECUACION DE RADAR)
Supongamos que la potencia trasmitida esta incidiendo sobre un blanco, como se
muestra en la figura 2.18 Introduzcamos una cantidad llamada sección transversal
del radar ó área de eco (s) de un blanco la cual se define como el área que
intercepta esa cantidad de potencia la cual cuando se dispersa isotópicamente,
produce en el receptor una densidad la cual es igual al del dispersado por el
blanco actual.
En forma de ecuación:
é sWi ù
=Ws
R ® ¥ êë 4pR 2 úû
lum
( 2.74 )
arreglo geométrico del transmisor, blanco, la ec. de rango del radar
en el receptor.
ó
s=
é
2 WS ù
ê4pR
ú
Wi û
R®¥ ë
lim
s= sección transversal de radar ó área de eco
R= distancia de observación al blanco w
2
Wi= densidad de potencia incidente w/m
2
Ws= densidad de potencia dispersada w/m
m2
Antena
Transmisora
Onda incidente
Pt , G o t , Dg
t ,
e c d t , Gt , rt
R1
Antena
Receptora
σ
R2
Onda espaciada
rw
Pr , G or , Dg
r ,
e c d r , Gr , rr
Figura 2.18 Arreglo geométrico del transmisor objeto y el receptor para la ecuación de radar
Usando la definición de sección transversal de radar podemos considerar que la
potencia incidente trasmitida por el blanco es capturado inicialmente y entonces es
radiada isotropicamente y la densidad de potencia dispersada se puede escribir
como:
Pc = σWi = σ
s
Pt Dgt (qt ,ft )
Pt Dot (qt ,ft )
e
s
=
tt
2
2
4pR1
4pR1
( 2.75 )
La potencia capturada por el objeto es reflejada isotrópicamente y la densidad de
potencia esparcida se puede expresar como:
Ws=
Pt Dgt (q t , f t )
Pc
= ett s
2
4pR2
(4pR1 R2 ) 2
La cantidad de potencia suministrada a la carga del receptor esta dada por:
( 2.76 )
Ù
Pr= ArWs
Ù
2
rw · rr *
2
Pt Dgt (q t , f t ) Dgr (q r , f r ) æ l ö Ù Ù 2
çç
÷÷ r w · r r *
=ettetrs
4p
è 4pR1 R2 ø
( 2.77 )
Donde Ar es la abertura efectiva de la antena receptora definida por ecuación 2.70
La ecuación 2.72 se puede escribir como:
2
Dgt (q t , f t ) Dgr (q r , f r ) æ l ö Ù Ù 2
Pr
2
2
÷÷ r w · r r *
xçç
= ecdtecdr (1 - Gt )(1 - Gr )s
Pt
4p
4
p
R
R
1 2 ø
è
( 2.78 )
Donde:
Ù
r w = vector unitario de polarización de las ondas dispersadas
Ù
r r = vector unitario de polarización de la antena receptor
Para máximo acoplamiento de polarización entre antenas y una direccionalidad
máxima para radiación y recepción la ecuación anterior se puede escribir como:
G G
Pr
= s ot or
4p
Pt
é l ù
ú
ê
ë 4pR1 R2 û
2
( 2.79 )
La ecuación 2.78 ó la 2.79 se les conoce como la ecuación de alcance del radar,
relaciona la potencia Pr suministrada a la carga receptora a la potencia de entrada
Pt trasmitida por la antena después que ha sido dispersada por un blanco con una
sección transversal del radar ó área de eco. s
Ejemplo:
Dos antenas trompeta sin pérdida operan en banda x (8.2-12.4 GHz), están
separadas
a una distancia
de 100 l. Los coeficientes de reflexión en las
terminales de la antena trasmisora y receptora son 0.1 y 0.2 respectivamente. Las
directividades de las antenas transmisora y receptora (sobre la isotrópica) son 16
dB y 20 dB respectivamente. Suponiendo que la potencia en las terminales de
entrada de la antena trasmisora es de 2Watts y las antenas se alinean para
máxima radiación entre ellas y están acopladas para polarización. Determine la
potencia suministrada a la carga del receptor.
Antena
Receptora
Antena
Transmisora
D ot =16dB
D or =20dB
R = 100λ
Solución para este problema:
ecdt=ecdr=1
Ù
Ù
las antenas son sin perdida
2
rw · rr *
=1
las antenas están acopladas en polarización
D gt = Dot
las antenas están alineadas para máxima radiación
D gr = Dor
Dot= 16dB Þ log -1 (1.6) = 39.81 (
sin dimensión)
Dor= 20dB Þ log -1 ( 2.0) = 100 =
Dor
(sin dimensión)
Usando 2.72 se puede escribir
2
Dgt (q t , f t ) Dgr (q r , f r ) æ l ö Ù Ù 2
Pr
2
2
÷÷ r w · r r *
xçç
= ecdtecdr (1 - Gt )(1 - Gr )s
Pt
4p
è 4pR1 R2 ø
2
é
ù
l
Pr=[1-(0.1) ][1-(0.2) ] ê
ú (39.81)(100)(1)
ë 4p (100l ) û
2
2
=4.79191242 X 10 -3 Wa tts.
Nota: Recordando que
Do = 16 (dBs) ;
log Do =
Do (dBs) = 10 log Do
é16 ù
êë10 úû D0 ( dbs ) = 1.6
;
log Do =
é1ù
êë10 úû
D0 ( dbs ) ,
; log Do = 1.6 ; Do = log -1 1.6 = 39.81